資料置き場 hustat2017 20171110hand

統計学 第 ₆ 回 様々な確率変数

高木 真吾

北海道大学

URL: http://sites.google.com/site/hustat2017/

質問等は担当者（ [email protected]) ^{までご連絡ください}

November 10, 2017

まとめ（非常に重要）

. . . 2

本日の内容

. . . 3

ベルヌーイ分布

4

. . . 5

二項分布

6

. . . 7

二項分布の性質

. . . 8

応用問題

. . . 9

補論：離散型確率変数に従う確率変数の平均・分散について

. . . 10

正規分布

11

. . . 12

正規分布の性質（１）

. . . 13

正規分布の確率計算

. . . 14

練習問題１

. . . 15

正規分布の性質（２）

. . . 16

練習問題２

. . . 17

解説：練習問題１

. . . 18

解説：練習問題２

. . . 19

まとめ（非常に重要）

二つの確率変数_{X1, X2}を用いて，_{Y = β0+ β1· X1+ β2· X2} とする．

■ 平均

E_{[Y ] = β0+ β1· E[X1] + β2· E[X2]}

■ 分散

V_{[Y ] = β1}²_{· V[X1] + β2}²_{· V[X2] + 2β1β2· cov(X1, X2)}

■ 二つの確率変数_{X1, X2}が独立であるとき， V_{[Y ] = β1}²_{· V[X1] + β2}²_{· V[X2]}

一般に確率変数がｎ個の場合でも，上の結果は成立する

ｎ個の確率変数_{{X1, X2}, . . . , Xn} を用いて，以下の Y を定める． Y = β0+

n

X

i=1

βi_{· X}i

■ ^平均

E_{[Y ] = β0+}

n

X

i=1

βi_{· E[X}i]

■ 分散

V_{[Y ] =}

n

X

i=1

β_i²_{· V[X}i] + 2

n−1

X

i=1 n

X

j=i+1

βiβj_{· cov(X}i, Xj)

■ ^{ｎ個の確率変数}X1, X2, . . . , Xnが互いに独立であるとき，

V_{[Y ] =}

n

X

i=1

β_i^2V[Xi]

以上の結果はすべて離散型確率変数についても，連続型確率変数についても成り立つ

■ 確率変数の基準化（平均を０，分散を１に変換）：以下の結果は期待値演算の性質から明らか Z = ^{X − E[X]}

pE[X] ^{, E}[Z] = 0, V[Z] = 1

それ自身の平均を引き，標準偏差（分散の平方根）で除した確率変数_Zは，必ず平均０，分散１となる．

統計学第

₆

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本日の内容

■ 確率変数の実例について議論する

◆ 以下の二項分布，正規分布以外にも，たくさんの現象をモデルとした確率変数が存在するが，この講 義ではこの先ｔ分布とカイ二乗分布しか新たに登場しない．

◆ 参考図書などに多数の例がある．

■ 離散型確率変数：

◆ 取り得る値ごとに実現確率が定義されている

◆ 例）ベルヌーイ分布，二項分布，

■ 連続型確率変数：

◆ 実現の仕方が密度関数によって特徴付けられている．

◆ 正規分布

統計学第

₆

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ベルヌーイ分布 _{4 / 19}

ベルヌーイ分布

■ ベルヌーイ試行：起こりうる事柄は２種類だけ

■ 一方の結果が実現する確率は_p（他方は_{1 − p）}

◆ コインの表・裏／計画の失敗・成功／_YES・_NO

■ 確率変数_Xとして，１となる確率を_p，０となる確率を_{1 − p とする．}

◆ 一方の結果を１に対応させ，他方の結果を０に対応させるモデル化

■ 例１）日本全体では約₂₀％が_B型と言われている（A : O : B : AB = 0.4 : 0.3 : 0.2 : 0.1^{，赤十字）．}

◆ 適当に選んだある人に血液型を聞く（正直に答える）

◆ その人が「_B型である」と答える確率は        

◆ その人が「_B型以外である」と答える確率は        

■ ベルヌーイ分布に従う確率変数_Xの確率分布 X =

 1 ^確率：p 0 ^確率：1-p

■ 上記の確率分布を持つ確率変数_Xは，パラメータ_pのベルヌーイ分布に従うという（X ∼ Bernoulli(p) と 表記する）

■ ベルヌーイ分布に従う確率変数_Xの平均・分散

◆ 平均：E[X] = 1 · p + 0 · (1 − p)p

◆ 分散：V_{[X] = E[X}²_{] − {E[X]}}²_{= 1}²_{· p + 0}²· (1 − p) − p²= p(1 − p)

統計学第

₆

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二項分布 _{6 / 19}

二項分布

■ 二つの結果しか実現しないベルヌーイ試行を考える．

■ 確率_pで一方の事柄（仮に「成功」と呼ぶ）が生じ，確率1 − p で他方の結果（仮に「失敗」と呼ぶ）が 生じる

■ ベルヌーイ試行が_n回繰り返され，それぞれの試行は独立に行われているものとする．

■ このとき_n回の試行の中で「成功」の回数を確率変数_Y で表すとする

■ 確率変数_Y の確率分布は以下の通り

Pr[Y = y] =nCy· p^y(1 − p)^n−y, y = 0, 1, 2, . . . , n. (1)

■ 上記の確率分布を持つ確率変数_Y は，パラメータ_{(p, n)}の二項分布に従うという（Y ∼ Bi(p, n) と表記 する）

■ 各ベルヌーイ試行の結果を示す確率変数_Xiを考える．

◆ 「成功」を１に対応させ，「失敗」を０に対応させる．このとき Xi=

 1 ^確率：p

0 ^確率：1-p i = 1, 2, . . . , n. となり，各_Xiは互いに独立．

◆ このとき明らかに成功回数は_Xiの合計となるので，_Y との間に次の関係が成り立つ

Y =

n

X

i=1

Xi (2)

■ 二項分布に従う確率変数の平均・分散

◆ 平均：（確率分布₍₁₎式から直接計算することもできるが）上の₍₂₎式より

E_{[Y ] = E}

" _n X

i=1

Xi

#

=

n

X

i=1

E_{[Xi] = np}

◆ 分散：

V_{[Y ] = V}

" _n X

i=1

Xi

#

=

n

X

i=1

V_[Xi] = np(1 − p)

■ 例２）日本全体では約₂₀％が_B型と言われている（A : O : B : AB = 0.4 : 0.3 : 0.2 : 0.1^{，赤十字）．}

◆ 適当に選んだある人に血液型を聞くことを₁₀回繰り返した

◆ ３人が「_B型である」と答える確率は       

◆ 全員「_B型以外である」と答える確率は       

◆ ３人以上「_B型である」と答える確率は       

統計学第

₆

_{– 7 / 19}

二項分布の性質

■ Y ∼ Bi(p, n)：確率変数 Y は，パラメータ (p, n) の二項分布に従う

■ _Xi∼ Bernoulli(p) （i = 1, 2, . . . , n）

◆ 各_Xi （i = 1, 2, . . . , n）は，互いに独立にパラメータ_pのベルヌーイ分布に従う

■ このとき次の関係が成り立つ_{Y =} Pn

i=1^Xi

■ _{Y = Y /n}^¯ として，「成功割合」という確率変数を考えると次のように書ける Y =¯ ¹

n

n

X

i=1

Xi, E[ ¯Y ] = , V[ ¯Y ] = 

■ 基準化：_Y， ¯_Y は以下のように平均０，分散１となるように基準化することができる Zn= ^{Y − np}

pnp(1 − p) ⁼

Y − p¯

pp(1 − p)/n ⁽³⁾

■ ^{発展的話題）}Zn^はnが十分大きいとき，標準正規分布（平均０，分散１の正規分布）で近似することが できる

統計学第

₆

_{– 8 / 19}

応用問題

■ あるテレビ番組の視聴率について，適当に選んだ₁₀₀人に聞いてみた．₁₀₀人から得られるであろう視聴 率（「見た」と回答する割合）について，実際の視聴率＝100 · p ％（視聴割合 p）と比べ，誤差が ± ５

％（±0.05）以内となる確率はどのように表現できるか．

◆ 確率変数_Xi（i = 1, 2, . . . , 100）を以下のように定義する

■ 「見た」という回答を得る事象を１，「見てない」という回答を得る事象を０

◆ このとき，各確率変数_Xiは１を確率_p，０を確率_{1 − p でとる}

◆ 「見た」と回答するであろう人数，および視聴割合は，_Xiを用いて

Y =

100

X

i=1

Xi, ¯Y = ¹ 100

100

X

i=1

Xi

◆ この_Y と_Y¯ について，平均・分散は以下の通り，

E[Y ] = 100 · p, V[Y ] = 100 · p(1 − p), E[ ¯Y ] = p, V[ ¯Y ] = ^{p(1 − p)} 100

◆ このとき求めるものは，調査から得られるであろう視聴割合_Y¯ と真の視聴率_pの誤差が_{±0.05 とな} る確率

◆ この誤差は_{, ¯}Y − p と表現できる．したがって求める確率は次の通り．

Pr[| ¯Y − p| ≤ 0.05] = Pr

"

| ¯Y − p| pp(1 − p)/100 ^≤

0.05 pp(1 − p)/100

#

◆ 左辺は前項の通り，標準正規分布で近似できるので上の確率を（大雑把に）計算できる

a

．

◆ こうして求めたものが₁₀₀人を対象とした視聴率調査についての誤差の情報を与える．

a

さらにp(1 − p) ≤ 0.25^{より，0.05/}pp(1 − p)/100 ≥ 0.05/0.05 = 1という下限を与えることができるため，この確 率が約0.683つまり68.3％以上であると評価できる．この点については次週．

統計学第

₆

_{– 9 / 19}

補論：離散型確率変数に従う確率変数の平均・分散について

■ ベルヌーイ分布（パラメータ＝成功確率_(p)）: X = 1, or 0 with probability p or 1 − p p(x) = Pr[X = x] = p^x_{(1 − p)}^1−x, x = 0, 1, 0 ≤ p ≤ 1

E_{[X] = p} V_{[X] = p(1 − p)}

■ 二項分布（パラメータ_{(n, p)}）_{: n}回の独立なベルヌーイ試行での成功回数（成功確率_p） p(y) = Pr[Y = y] =^n

y



· p^y(1 − p)^n−y, x = 0, 1, 2, . . . , n. 0 ≤ p ≤ 1 E_{[Y ] = n · p}

V_{[Y ] =} n · p(1 − p)

パラメータ_{(n, p)}の二項分布に従う確率変数_Y は，独立な_n個のベルヌーイ分布に従う確率変数の和で表 現可：_{Y = X1+ X2}+ · · · + Xn,^ただし_{Xi}ⁿi=1 ^{は独立にBernoulli}分布に従う確率変数（成功確率_p）_.

■ ポアソン分布₍パラメータ_λ): ごく稀にしか起きない現象のモデル化に用いられる（例：馬に蹴られて死 亡した軍人数／年）

p(x) = Pr[X = x] = exp{−λ} · λ^x

x! , x = 0, 1, 2, . . . . λ > 0 E_{[X] = λ}

V_{[X] = λ}

■ 計算について（数学的な側面に興味がなければ飛ばしてください）

◆ 前提_: 二項定理，指数関数の_Maclaurin展開

(x + y)ⁿ=

n

X

k=0

n k



x^ky^n−k, e^x=

∞

X

k=0

x^k k!

◆ 二項分布に従う確率変数の平均：E_{[Y ]}（分散については，E[X(X − 1)] を求めると効率的に求めら れる）

E_{[Y ] =}

n

X

y=0

n y



y · p^y(1 − p)^n−y=

n

X

y=1

n!

(n − y)!y!^{y · p}

y(1 − p)^n−y

=

n

X

y=1

np · ^{(n − 1)!}

{(n − 1) − (y − 1)}!(y − 1)!^p

y−1(1 − p)(n−1)−(y−1)

=

n−1

X

k=0

np · ^{(n − 1)!} {(n − 1) − k}!k!^p

k(1 − p)^(n−1)−k, k ≡ y − 1

= np · {p + (1 − p)}^{(n−1)= np}

◆ ポアソン分布に従う確率変数の平均：E_[X]（分散については，E[X(X − 1)] を求めると効率的に求め られる）

E_{[X] =}

∞

X

x=0

x ·exp{−λ} · λ^x x! ⁼

exp{−λ} ·^P∞x=1x · λ^x x!

= λ · exp{−λ} ·

∞

X

x=1

λ^x−1

(x − 1)! = λ · exp{−λ} ·

∞

X

y=0

λ^y

y!, y ≡ x − 1

= λ · exp{−λ} · exp{λ} = λ

統計学 第

₆

_{– 10 / 19}

正規分布 _{11 / 19}

正規分布

■ 代表的な連続型確率変数

■ 実現の仕方についての特徴は，密度関数を見ることで分かる

■ 正規分布に従う確率変数_Xは以下のような密度関数を持つ． φ(x; µ, σ²) =√ ¹

2πσ^2exp



−^{(x − µ)}

2

2σ²



(4)

■ これを図示すると

-5 0 5

0.00.20.40.60.8

正規分布の密度関数

x

density

µ =^{0 ,} σ²=¹ µ =^{3 ,} σ²=² µ = −^{3 ,} σ²=^{1 2}

-4 -2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

確率の表示

x

density

µ =^{0 ,} σ²=¹

Pr[ X < -1.50 ] Pr[ -1.00 < X < 1.00 ]

Pr[ X > 1.50 ]

◆ 形状：釣鐘型，_{x = µ}を中心として左右対称

◆ _{x = µ}のところでピークを迎え，そこから離れるほど高さは低くなる（中心は_µ）

◆ _σが大きくなるほど中心から離れたところでも実現しやすくなる（ばらつきが_σに依存）

■ ここから平均 E_{[X] = µ}，分散 V_{[X] = σ}²が予想できる．

◆ 確率変数_Xの実現パターンの特徴は，_µ近辺がもっとも実現しやすく，_µから離れるほど実現確率は 低くなる．

■ 確率Pr[X < a]などは，対応する区間において，密度関数とｘ軸で囲まれる面積として求められる．

◆ Pr[X < −1.5], Pr[−1 ≤ X ≤ 1], Pr[X > 1.5] が右側の図に書き込まれている．

◆ この面積の大きさは手計算では計算できないことが多い（Pr[−∞ < X < ∞] = 1.00， Pr[X ≥ 0] = 0.50，Pr[X ≤ 0] = 0.50）

◆ 数表を利用することで計算可能

統計学 第

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正規分布の性質（１）

■ ₍₄）式のような密度関数を持つ確率変数_X について

◆ 平均_{: E[X] = µ}

◆ 分散_{: V[X] = σ}²

◆ これらの証明は与えないが，興味のある人は講義用のウェブサイトに証明を掲載しておく

a

．

■ 上記のような確率変数_Xを_{X ∼ N(µ, σ}²₎と表記する．

■ 任意の平均・分散を持つ確率変数_{X ∼ N(µ, σ}²₎は次のような基準化で平均０，分散１に基準化できる Z = ^{Y − µ}_√

σ^{2 ∼ N(0, 1)}

■ 平均０，分散１の正規分布は特に，標準正規分布と呼ばれる．

afが密度関数であることを前提として， R^∞

−∞^{f (x; µ, σ}

2_{)dx = 1}

という性質を用いる．もちろんこれ自体も証明可能．

E_{[X] =} Z ^∞

−∞

xf (x; µ, σ²)dx

= Z ^∞

−∞

x_√¹ 2πσ^{2 exp}



−^{(x − µ)}

2

2σ²

 dx

= Z ^∞

−∞

(µ + σ · z)√¹ 2π^exp



−^z

2

2



dz, z ≡^{x − µ}_σ

= _{µ + σ ·} Z ∞

−∞

z ·√¹ 2π^exp



−^z

2

2

 dz

= _{µ + σ ·}



−√¹ 2π^exp



−^z

2

2

^∞

−∞

= µ + σ · (−0 − (−0))

V_{[X] =} Z ^∞

−∞

(x − µ)^{2f (x; µ, σ2)dx}

= Z ^∞

−∞

(x − µ)²√¹ 2πσ^2exp



−^{(x − µ)}

2

2σ²

 dx

= Z ∞

−∞

σ²_{· z}²_√¹ 2π^exp



−^z

2

2



dz, z ≡^{x − µ}_σ

= σ²_·



[(−z) · f(z; 0, 1)]^∞−∞+ Z ^∞

−∞

√1 2π^exp



−^z

2

2

 dz



= σ²

統計学 第

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正規分布の確率計算

■ 正規分布に従う確率変数ついて確率計算を行うときは数表を利用する．

■ ある点_xについて，Pr[X ≥ x] の確率の値が表中に記入されている

◆ 表の行ラベルと列ラベルの数字の合計が点_xに対応している．

◆ 例えば_{x = 1.25}について，Pr[X ≥ 1.25] を求めるとき，行ラベル（縦）1.2，列ラベル（横）.05 の結 び目の数値_.10565が求めるもの

■ Pr[X ≤ 1.25] = 1.0000 − 0.10565 = 0.89435，Pr[0 ≤ X ≤ 1.25] = .5000 − 0.10565 = 0.39435

■ Pr[X ≤ −1.25] = Pr[X ≥ 1.25] = 0.10565（対称性を利用）

Table 1: X ∼ N(0, 1)

Pr[X ≥ x]

⁽

⁾

u .00 .01 _{· · ·} .04 .05 .06 _{· · ·} .0 .50000 .49601 _{· · ·} .48405 .48006 .47608 _{· · ·} .1 .46017 .45620 _{· · ·} .44433 .44038 .43644 _{· · ·} ... ^... ^... _{· · ·} ^... ^... ^... _{· · ·} 1.2 .11507 .11314 _{· · ·} .10749 .10565 .10383 _{· · ·}

■ 上の表は標準正規分布（平均０，分散１）についてかかれたものであることに注意する

■ 標準正規分布以外の場合に確率計算するには，標準化を行った後，上の表を用いる

◆ 問）Y ∼ N(1, 4) のとき，Pr[Y < 3] を求める

◆ 答）Z = (Y − 1)/^{√4とするとZ}は標準正規分布．したがって Pr[Y < 3] = Pr^{ Y − 1}_√

4 ^< 3 − 1

√4



= Pr [Z < 1]

とした後，上の数表を用いればよい．Pr[Z > 1] = 0.15866^なので

Pr[Z ≤ 1] = 1 − Pr[Z > 1] = 1 − 0.15866 = 0.84134, つまり Pr[Y < 3] = 0.84134．

統計学 第

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練習問題１

■ 以下の確率を求めてください

1. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[0 ≤ X ≤ 2] 2. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[−2 ≤ X ≤ 0] 3. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[X ≥ 1.5]

4. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[1.65 ≤ X ≤ 1.96] 5. X ∼ N(1, 0.25) のとき，Pr[X ≥ 1.5] 6. X ∼ N(−1, 4) のとき，Pr[−2 ≤ X ≤ 0]

統計学 第

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正規分布の性質（２）

■ 正規分布に従う２つの確率変数：_{X1∼ N(µ1, σ1}²₎，_{X2∼ N(µ2, σ2}²_{), cov(X1, X2) = σ12.}

■ これらの和_{Y = β0+ β1· X1+ β2· X2}について考える

◆ 平均: E[Y ] = β0+ β1µ1+ β2µ2≡ µ^Y

◆ 分散: V[Y ] = β₁²σ²₁+ β₂²σ²₂+ 2β1β2σ12≡ ˜σ²Y

◆ 分布_{: Y ∼ N(µY, ˜σY}²₎

■ _X1と_X2が互いに独立であるとき，

◆ 平均: E[Y ] = β0+ β1µ1+ β2µ2≡ µ^Y

◆ 分散: V[Y ] = β₁²σ²₁+ β₂²σ²_{2≡ σ}²_Y

◆ 分布_{: Y ∼ N(µY, σY}²₎

■ 正規分布に従うｎ個の確率変数：_{{Xi∼ N(µi, σi}²₎，_{cov(Xi, Xj) = σij.}

■ これらの和_{Y = β0+} Pn

i=1^βi· X^{iについて考える}

◆ 平均: E[Y ] = β0+^Pn_i=1βiµi_{≡ µ}Y

◆ 分散_{: V[Y ] =} Pn

i=1^βi^2σi^{2+ 2}

Pn−1 i=1

Pn

j=j+1^βiβjσij≡ ˜σ²Y

◆ 分布_{: Y ∼ N(µY, ˜σ}

2 Y⁾

■ X1^とX2が互いに独立であるとき，

◆ 平均: E[Y ] = β0+^Pn_i=1βiµi_{≡ µ}Y

◆ 分散_{: V[Y ] =} Pn

i=1^βi^2σi²≡ σY²

◆ 分布_{: Y ∼ N(µY, σY}²₎

統計学 第

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練習問題２

■ 株価の変動について考える

■ 時点_tの株価を_St，前日からの変化量を_Xtとする Xt= St− St−1

■ 昨年１年間の日経平均株価の動向を見ると，変化量_Xtは，平均−10 円，標準偏差 220 円の正規分布に 従っているように見える．

Xt∼ N(−10, 220²⁾

■ ある時点₀の日の株価を_s0とし，_{s0= 14000}のとき， 1. 1^{日後の株価}S1^をs0^とX1を用いて表現してください 2. 2^{日後の株価}S2^をs0^とX1^とX2を用いて表現してください 3. h^{日後の株価}Sh^をs0^と{X^t}^ht=1を用いて表現してください

4. ^変化量Xt^が Xt∼ N(−10, 220²⁾という確率変数であるとき，_Shはどのような分布に従いますか

（_Xtは異なる時点で互いに独立であるとする）．

5. 20日後に現在よりも５％以上株価が下がっている確率はいくらですか．

6. 20 ±2.5 ％以内に収まっている確率はいくらですか．

解説：練習問題１

■ 以下の確率を求めてください

1. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[0 ≤ X ≤ 2]

■ 数表をそのまま用いればよい 2. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[−2 ≤ X ≤ 0]

■ 正規分布は原点に関して左右対称であることを用いる 3. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[X ≥ 1.5]

■ Pr[X ≥ 0] = 0.5 であることを用いる 4. X ∼ N(0, 1) のとき，Pr[1.65 ≤ X ≤ 1.96]

■ Pr[1.65 ≤ X ≤ 1.96] = Pr[X ≤ 1.96] − Pr[X ≤ 1.65] であることを用いる 5. X ∼ N(1, 0.25) のとき，Pr[X ≥ 1.5]

■ 基準化Z = (X − 1)/^√0.25 ∼ N(0, 1) を用いる 6. X ∼ N(−1, 4) のとき，Pr[−2 ≤ X ≤ 0]

■ 基準化Z = (X − (−1))/^√4 ∼ N(0, 1) を用いる

統計学 第

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解説：練習問題２

■ 株価の変動について考える

■ 時点_tの株価を_St，前日からの変化量を_Xtとする Xt= St− St−1

■ 昨年１年間の日経平均株価の動向を見ると，変化量_Xtは，平均−10 円，標準偏差 220 円の正規分布に 従っているように見える．

Xt∼ N(−10, 220²⁾

■ ある時点₀の日の株価を_s0とし，_{s0= 14000}のとき， 1. 1^{日後の株価}S1^をs0^とX1を用いて表現してください

S1= s0+ X1 ( X1= S1− s0)

2. 2^{日後の株価}S2^をs0^とX1^とX2を用いて表現してください S2= S1+ X2= s0+ X1+ X2

3. h^{日後の株価}Sh^をs0^と{X^t}^ht=1を用いて表現してください

Sh= s0+

h

X

t=1

Xt

4. ^変化量Xt^が Xt∼ N(−10, 220²⁾という確率変数であるとき，_Shはどのような分布に従いますか

（_Xtは異なる時点で互いに独立であるとする）．

■ 正規分布に従う確率変数の和もまた正規分布に従うことを利用する．

■ このとき上の問題から_Shが正規分布に従う

E_{[Sh] =       , V[Sh] =}        5. 20日後に現在よりも５％以上株価が下がっている確率はいくらですか．

■ _{s0= 14000}，５％以上下がるとは，株価が0.95 · 14000 = 13300 円以下になっていること

■ つまり_Pr[Sh≤ 13300] となる確率を h = 20 について求める

■ 確率計算には基準化を用いる

6. 20日後に現在の水準に対して，±2.5 ％以内に収まっている確率はいくらですか．

■ _{Pr[|Sh− s0}| ≤ 0.025 · s0] ^{となる確率を}h = 20^{について求める}

■ 確率計算には基準化を用いる

7. n日後に現在の水準に対して，_13,000円以下となっている確率を₉₀％にするには_nをいくらすれば よいか．

■ _Pr[Sn≤ 13000] = 0.9 を満たす n を求める

■ 確率計算には基準化を用いる

統計学 第

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