【定点観測レビューとは】（はじめての皆さん向け【注】）
【調査対象テーマ＆書籍】
年度からの新課程では，特に数学Ⅰの内容が大きく増えており，教科書や問題集
参考書での扱われ方や指導法が問われることになる。新課程の数学の指導要領では，
「場合の数確率」「整数」「図形の性質」の分野から分野を選択して取り扱えばよ いということになっているが，東大京大が早々と入試での出題範囲に分野すべてを入 れることを明言し，私大でも難関校有名校と呼ばれるところがこれに追随すると思われ ることから，授業時間の少ない中で各分野をどのように扱えばよいか，指導者としても悩 みの尽きない状況になっている。
そこで今回は，前回の「不定方程式の整数解」に引き続き，数学の「作図」に注目 した。「作図」というと，どうしても「中で学ぶ内容」というイメージを持ちがちであ るが，新課程の数学では他の図形の性質（方べきの定理＆逆など）をほぼすべて学ん だあとで扱われるほか，作図の具体的な方法だけでなく証明や吟味なども含めればかなり 高度な内容まで出題でき，検定教科書などでも扱いが分かれやすいはずである。
そこで，本調査では検定教科書と定番の総合（網羅系）参考書の選題から，純粋な高校 内容（中内容とその延長の枠組みを超えたもの）についてまとめる。その際，複数の出 版社グレードの検定教科書における扱いを比較して白黄青の「チャート式」（数研 出版）との対応についても考え，想定レベル別目標到達度別の指導上の留意点を考える きっかけとなるよう心がける。なお，検定教科書に関しては節末章末問題に加えて巻末 の「課題学習」や「研究」などの各種コラムについても調査の対象とした。
【調査方法】
以下の項目について，必要事項を記録したものを一覧表にまとめる。
＊書名出版社名
＊問題枠種別難易番号：どのような位置づけの問題として収録されているかについて，
「例題」「基本例題」「類題」「練習」「難易度２」等その本における収録枠および問 題番号を記録。さらに，調査結果（後述）をまとめる際，大きく例題例題に付属する 類題その他の問題（章末など）課題学習に分け，それぞれ赤，黄，白，緑で色分け した。
＊出題パターン：以下のパターンに分け，それが小問の何問めか（単問は○）を記録。 さらに小分類に分かれるものについては小分類に沿って記録する。
－平行線分点：
平行線の作図，およびそれを利用して線分の内分，外分をさせるもの。後者について は中で学ぶ「相似」の知識が必要であるため，中用の検定教科書では扱われない。
また，平行線の作図については，垂線の作図を回繰り返すものとひし形を利用する ものがあり，各教材でどちらを扱っているかについても備考欄に記録した。
また，平行線の応用としては「等積変形」も頻出である。等積変形は中内容である が，節末などに収録している教材が多いため，本調査では「応用」として記録した。
点，からの距離が：である点の軌跡を作図せよ。［アポロニウス］
四角形が与えられたとき，同じ面積をもつ三角形を作図せよ。
－相似利用：
長さ，，（その他など）の線分が与えられ，それらの長さを使って表され る別の長さを，相似を利用して作図させるもの。求める長さをとして，与えられ た長さとの関係を比の式に表し，適した相似比を持つ三角形の重なり図形を作図する。
長さ，，の線分が与えられているとき，長さ の線分を作図せよ。
［求める長さ をとして：：から相似に帰着］
－拡大縮小：
やや複雑な条件を満たす図形を作図する際，まず一部の条件を満たす「仮の図形」を 作図し，それを相似拡大（もしくは縮小）することによって，求める図形を作図させ るもの。
鋭角三角形が与えられたとき，それに内接する正方形を作図せよ。
［辺に接する小さめの正方形を作図し，つの頂点を中心に相似拡大する］
－円周角方べき：
円周角の定理の逆，方べきの定理の逆を利用し，円外からひいた接線や与えられた長 さを用いて表される別の長さを作図させるもの。出題も多彩で，最も「高校数学らし い」問題といえる。
長さ，の線分が与えられたとき，長さの線分を作図せよ。
長方形が与えられたとき，それと等積な正方形を作図せよ。
円とその外部の点が与えられたとき，を通るの接線を作図せよ。
長さ，の線分が与えられたとき，次方程式の正の解を長 さにもつ線分を作図せよ。
－平方根：
三平方の定理の逆を利用し，根号を含む長さを作図させるもの。純粋に直角三角形の 性質だけを使えばよいものと，前述の方べきの定理の逆を利用させるものがある。
長さの線分が与えられたとき，長さ の線分を作図せよ。
－その他発展：
上記の内容を様々に組み合わせて図形を作図させる，まとめ的な出題。有名問題のほ
か，条件に「最大最小」を含むもの（詳しくは後述）などの発展が考えられる。
与えられた長さを辺とする正五角形を作図せよ。［長さ
を作図］
＊出典：出題大学名が明記されているものについてのみ記録。
今回調査対象とした書籍には出典に該当するものは見当たらなかったため空欄となって いるが，今後大学入試で出題され，受験用問題集のラインナップが出揃えば，随時調査 対象に加え記録していくことにする。
＊備考：出題内容の概略を記録。別解，特徴ある出題なども含む。
【調査結果】※参照
【考察所感】
○検定教科書での扱いについて
各社とも「拡大縮小」を節末もしくは章末，巻末の「課題学習」等で扱っている点で 共通していた。筆者は中高一貫校向けの教科書型テキストで扱われているのを以前に見た ことがあったので知っていたが，多くの条件が与えられたとき，いっぺんに全部を考える のでなく，回り道のように見えても一部の条件からスタートしてそれを満たす解から考え ていくという「題材」としての面白さ，教育的効果まで考えれば，是非とも授業で扱いた いところであろう。ノーヒントで生徒に考えさせ，いわゆる「目分量」に頼った解答が続 出するであろう反応を観ながら，ヒント（例えば，三角形の内接円の作図ではなぜ角の二 等分線を回作図するのか，思い出させて考え直させる）を与えれば授業が「立ち」そう であるが，それ以前のレベルの生徒が中心となるクラスでは，逆に教員主導でコラム的な 扱いにならざるを得ないだろう。
数研出版「数学」では，上記の仮の図形を相似拡大させる問題は巻末の「課題学習」 にて扱われているので，他分野と同様，入試レベルまで考慮するならここまで授業で扱い たい。逆に，平方根長さを作図する際に三平方の定理の逆を使わせるものがつもないの が気になった。三平方の定理は中学内容であるし，作図法は自明であるが，方べきの定理 の逆（特に接線版）をいきなり使うのは高校生らしい発想とは言い難いので，同じ出版社 の「高等学校数学」や「新編数学」の本文にあるような内容を少しでもいいから補 うべきであろう。「自然数の平方根の長さは必ず作図できるが，自然数でない長さが 線分の形で与えられたら，どうすればよい？」というのが自然の流れだと思るのだが，ど うであろう。他の部分も含めて，全体としては「中内容の反復は極力扱わない」という スタンスで書かれているようであるが，そのあたりは参考書や問題集も含めたトータルで の扱いでフォローする必要があるので，指導者として意識しておくべきである。
啓林館「数学」は，率直に言うと随所に荒っぽさが目につく。例えば，長さなど の線分の作図問題は本文中ではまったく扱われておらず，方べきの定理の逆を利用するも のも，円外からひいた接線の次にいきなり「長方形と等積な正方形」を作図させており， 突飛さは否めない。本節の内容を「いろいろな問題の解き方があるんだね」という単なる
「お話」で終わらせようとするのであればこれで良いのかも知れないが（実際に，多くの 学校ではそういった位置づけで短時間で終わりたいと思われるが），同じ教科書でも整数 分野は様々な例題をこまめに扱っており，あまりの扱いの違いに戸惑ってしまう。また， 中学内容の反復ではあるが，直線に垂線を立てる作図が，表紙の見返しにあるものと本文 中にあるものとが（本質的には同じことをしているものの）見た目が少し異なっているな ど，中学内容との連携という面でも不安を覚える。同社の「新編数学」を含め，基本 的な内容に絞ってより体系的に扱うべきではないだろうか。
実教出版「数学」は，冒頭で「基本作図」を定義するなど，今回調査した社の中 で最も体系的に扱おうとする意図が感じられた。中内容に混じって「等しい角の作図」
（合同利用），「円の接線の作図」（円周角の定理の逆利用），「平行線の作図」（ひし 形利用），「内分点，外分点の作図」などもここに入る。ただし，「作図可能な長さ」の 項目で，長さ，
の長さの作図の証明が載っていなかったのは残念。せっかく「作 図可能な長さ」として項目を立てているのであるから，数研出版「数学」のような証 明も入れておくべきではなかったか。到達点としてはかなり高めで，節末問題には以下の ような問題も収録されていた。方べきの定理の逆を利用する問題だが，後述のの 条件が加わると，（注：の場合）よりも高級な問題になることも分かって面白 いのでは。さらに，章末問題には条件に最大最小を含む問題が出題されているが，
（定数）を満たす点の軌跡が円になることはどのみち数学Ⅱの「軌跡」 で扱うわけであるし，数学だけの知識で解こうとすると，中線定理を思い出して条件 式を変形するしか発想がない。啓林館で扱われていたアポロニウスの円も含めて，現時点 でここまで深入りさせるべきかどうかは微妙であろう。
［問題］
直線の同じ側に点，（）がある。，を通り直線に接する円を作れ。
［章末問題］
直線の同じ側に点，があるとき， の値を最小にする上の点を 作図せよ。
［の中点をとすると
だからを最小にする］○その他の教材での扱いについて
検定教科書にはないが，その他の教材（参考書傍用問題集）では決まって扱われる問 題で，代表的なものは「円の共通外接線の作図」「次方程式の正の解
の長さの作図」である。後者はかなり高等な考え方であるが，数研出版の傍用問題集では グレードを問わず扱われているので要注意といえる。
前者は，円の半径の差の半径をもつ円を作図して円外からの接線を作図し（円周角の 定理の逆を利用），それを平行移動させる。同様の方法で，円の半径の和の半径をもつ 円を作図すると共通内接線も作図でき，「青チャート」では例題の類題として扱われてい る。後者は，与えられた方程式を と変形し，方べきの定理（接線版）の逆 に帰着させる。高校数学らしい良問であるが，この変形は一度どこかで見ておかないと対 応できない生徒がほとんどであろう。
節末～章末の問題は，問題数としては少ないながらも各参考書問題集とも百花繚乱と いった感じで，他分野との兼ね合いもある中でどの程度まで授業で扱えるかは甚だ疑問で はあるけれど，出来れば時間をかけて考えさせたい「面白い」問題が揃っている。例えば
「青チャート」には，以下のように相似拡大縮小を利用する問題だとはすぐに気づきづ らい問題も収録されているが，筆者は三平方利用で を作図してからを： に分 ける別解の方を先に思いついたので，生徒がどう発想するか見ものである。では「黄チャ ート」はもっとあっさりしているのかと思いきや，なかなかの曲者も見受けられた。ヒン トを読まないと，方べきの定理の逆を利用することすら，気づきにくいであろう。
さらに，傍用問題集の中でもかなり手こずりそうな問題がある。方べきの定理の逆を使 うことは想像がつくが，段階を踏まなければならず，具体的な作図方法まではなかなか辿 りつかないのではと予想できるが，多くの学校ではこのレベルまでは授業で扱えないであ ろう。
「青チャート」
辺と対角線の長さの和がである正方形を作図せよ。
「黄チャート」
長さの線分と，点から出る半直線，がある。上の点においてに接し， かつから長さの線分を切り取る円を作図せよ。
［条件の一部を満たす適当な円を描き，図に現れた長さを回転移動させる］
「」（実教出版）
点は定円を中心とするつの定円周上を動くものとする。をこの円周の内部に あってと異なる定点とするとき，を最大にする点の位置を定めよ。
［，を通り円に接する円が，円と接する点が求める点であることを利用］
○指導上の留意点について
※現在，追加調査＆執筆中
【まとめ】
本調査では，現時点で入手できた新課程版の検定教科書，傍用問題集，参考書の主なも のについて選題分析を行い，教材間での重要問題の扱いの差を指摘しつつ，指導上の留意 点について考察した。苦手意識を持つ生徒の多い「図形」分野の中でも総まとめ的な位置 づけである本テーマをどのように扱うかは悩ましいところであり，筆者自身も解法がなか なかスッと出てこない問題が多く残っておりまだまだ勉強が足りないと思い知らされた。 が，そうであればなおのこと今後とも同様の調査を続けていかなくてはならない。
＝＝＝＝＝【注】
【定点観測レビューとは】
ある１つの出題テーマに注目し，それが複数の教材においてどう扱われているかを記録 し，またそれらを比較することによって，教材間の網羅性レベル傾向の相違に関する ある種の見通しを得るもの。と同時に，教材を作成する際の選題や配列の仕方，さらには 各教材においての妥当性，有用性に関して，客観的なデータをもとに議論するきっかけと する。
