H23 コマの物理から素粒子のスピン

質点の運動についての復習

質点の運動：　復習

質点の運動：　復習

回転運動で・・・・

フィギュアスケートのスピン

始めは腕を広げて、ゆっくりとした回転

最後に腕を縮めて（上げて）回転速度を上げる

野球・テニス・バトミントンなどの球技

ヘッドスピードを効率的に上げるには？

ケプラーの法則

面積速度一定になるのはどうして？ 慣性力

車で急加速すると椅子に押しつけられるのはなぜ？ 左にまがると、右に傾くのは？

遠心力はなぜ働く？

運動の法則

運動の法則

運動の第１法則 （慣性の法則）

物体は力の作用を受けなければ、あるいは受けていても合力が０ならば、 静止したままであり、運動している物体は等速直線運動を続ける

運動の第２法則 （運動の法則）

物体は力 F を受けると、その向きに加速度 a が生じる。

加速度の大きさは受ける力の大きさに比例し、質量 m に反比例する。

運動の第３法則 （作用反作用の法則） 力は二つの物体の間に働く。

物体Aが物体Bに力を作用していれば、物体Bも物体Aに力を作用している。 二つの力はたがいに逆向きで、大きさは等しい。

F =ma

F =0 ^{a =0}

運動の法則：　第１と第２

運動の法則：　第１と第２

m ^{d v}

d t ^=F

m ^d

2

x

d t

^=F

外力がない場合 F = 0 なので、

速度 v 一定

→　第1法則（慣性の法則）

m a =F

第2法則（運動方程式） a= ^dv

d t

v=^dx d t

d v

d t ^{=0 v (t )=v}

運動量と力積：　積分表記と運動の第2法則

運動量と力積：　積分表記と運動の第2法則

lim

 t 0

p t t− p t 

 t ^=F

d p

dt ^=F

p t t − p t=F  t

p t ² − p t ¹ = _{∫ t}

1

t

F d t _力積

p =mv

運動量

m ^{d v}

d t ^=F

d (mv)

d t ^{= F}

mは一定

仕事と運動エネルギー

仕事と運動エネルギー

物体に対して『仕事』をする → 物体に『仕事をする能力』を与える

エネルギー

位置エネルギー

運動方程式

→ 外力により物体は速度に変化をうける

→ 初速度

の物体が速度

をもつ場合

→ 速度

で運動する物体はエネルギーを持つ

外力による質点の速度変化

外力による質点の速度変化

F⋅Δ x=F⋅ v ⋅Δ t

= ₍ ^{m dv}

dt ₎ ^{⋅ v ⋅Δ t}

= ₍ m v ^dv

dt ₎ ^{Δ t}

= ^d

dt ₍

1

2 ^{m v}

2

) ^{Δ t}

仕事 　 _{W = F Δx}

Δ x= v ⋅Δ t

物体の速度を _{v とすると}

F _=m ^dv

dt

運動方程式より

m v ^dv

dt ⁼

d

dv ₍

1

2 ^{m v}

2

) ^{dv dt}

m v ^dv

dt ⁼

d

dt ₍

1

2 ^{m v}

2

)

外力による質点の速度変化

外力による質点の速度変化

∫ ^{F dx =[ 1} ₂ ^{m v}

^]

v₀=v(t₀) v1=v(t1)

F Δ x= ^d

dt ₍

1

2 ^{m v}

2

) ^{Δ t F dx = dt d} ₍ ^{1 2 m v}

₎ ^dt

仕事を積分表記すると

W _{= ∫} F dx _{= ∫} ^d

dt ₍

1

2 ^{m v}

2

) ^dt

∫ ^{F dx = 1} ₂ ^{m v}

^{− 1} ₂ ^{m v}

速度

0

^{で動いている質点を}

力

で動かすと、

与えた仕事によって

質点の速度は

1

^となる。

運動エネルギー

運動エネルギー

W = _∫ F dx = ¹

2 ^{m v 1}

2 − ¹

2 ^{m v 0}

2

外力による仕事により _{T =}

1

2 ^{m v}

2 という量が変化した

運動エネルギー

エネルギーの保存

エネルギーの保存

W = _∫ F dx = ¹

2 ^{m v 1}

2 − ¹

2 ^{m v 0}

2

物体にあたえられた仕事が 0 の場合 W = 0

1

2 ^{m v 1}

2 − ¹

2 ^{m v 0}

2 =0

T ₁ −T ₀ =0

仕事が

の場合運動エネルギーは変化しない

T ₁ =T ₀

移動距離 移動距離

r t^1=

_

_

r t2=

_

_

rt = _ ^x t  , y t _

 r=rt t −r t

 r= x ,  y= _ ^x t t , y t t _ − _ x t , y t  _

v t = lim

 t  0

 r

 t ^{= lim}

rt t −rt 

 t ^{= lim}

_

 x

 t ^,

 y

 t _ ^=v

^{, v}

^

v t = lim

 t  0

 r

 t ^{= lim}

rt t −rt 

 t ^{= lim}

_

 x

 t ^,

 y

 t _ ^=v

^{, v}

^

２次元の速度・加速度

２次元の速度・加速度

vt = lim

 t  0

 r

 t ^{= lim}

rt t −rt 

 t ^{= lim}

_

 x

 t ^,

 y

 t _ ^=v

^{, v}

^

⃗v (t)= ^{d ⃗r}

d t ^{= lim}

Δ ⃗r

Δ t

 ^v

^{, v}

 ⁼ _ ^{d x} _{d t} ^{, dy} _{dt } ^{= lim}

 t  0

_

 x

 t ^,

 y

 t _

v t = ^{d r}

d t ^{=  v}

^{, v}

^{ =} _

d x

d t ^,

dy

dt _ ^{= } ˙x t , ˙y t  

at = ^{d v}

d t ⁼

d

r

d t

^{=  a}

^{, a}

^{ =}  ^{d v d t}

^{, d v dt}

 ⁼ _ ^d d t

^v

^,

d

v

dt

_ ^{= } ¨x t , ¨y t  _

多次元の運動方程式

多次元の運動方程式

F _{x =m ¨x}

F _{y =m ¨y} ^{F  =m ¨r}

F _{z =m ¨z}

F  = ^{d  P}

dt ^{U = ∫ C ⃗F⋅d ⃗x}

F = ^{d P}

dt ^{U = ∫ F⋅d x}

③ ④

慣性力についての復習

加（減）速する車にのっている人が感じる力

加（減）速する車にのっている人が感じる力

車が加速する時には、シートに押しつけられる 車が減速する時には、前方に押し出される

少々複雑なので、話を簡略化

異なる『系』での観測

異なる『系』での観測

枠の中にボールがある。

枠に固定された_カメラC'で、ボールの位置を記録する。

枠の外にもカメラＣを設置。

枠を透明にすると、Ｃでもボールの位置を記録できる。

枠を動かした時、ボールはどの様に見えるか？ カメラC'

カメラC

座標系つづき

座標系つづき

カメラC' カメラC

カメラC' カメラC

この場合系の選択は結局カメラの位置になるので、 カメラＣが枠の中に入る場合もまったく同じ

（そもそも枠なんてなくてもいい） 背景が一様の場合、

観察者はカメラが移動しているか、

物体が移動しているか 判断出来ない！

カメラC'が等速 v で移動する ＝　物体が等速 -v で移動しているように見える

座標系による速度の違い

座標系による速度の違い

r=s r '

d _r

dt ⁼

d _s

dt ^

d _{r '}

O ' ^{x '} dt

y '

r '

カメラC'

O ^x

y

s r

カメラC

Ｃに対して静止

^{d r}

dt ⁼⁰

C'からみた速度

^{d r'}

dt ⁼⁻

d _s

dt

Cからみた 物体の位置

Cからみた C'の位置

Ｃ’からみた 物体の位置

Cからみた 物体の速度

Cからみた C'の速度

Ｃ’からみた 物体の速度

例えば物体が ^⑤

⑥

等速で移動する座標系の場合

等速で移動する座標系の場合

Ｃに対して静止

^{d r}

dt ⁼⁰

C'からみた速度

^{d r'}

dt ⁼⁻

d _s

dt

それぞれの系での速度は確かに違うが

運動方程式は？（物体の質量を m とすると） Ｃでは

m ^d

2

r

d t

⁼⁰

Ｃ'では

^{m d}

2

r '

d t

⁼⁰

⑦

（同じに・違って）見える

等速で移動する系

等速で移動する系

_{d s}

dt ⁼

O ' ^{x '}

y '

r '

カメラC'

O ^x

y

s r

カメラC

速度を変えながら移動する系：　加速度をもって移動する系

速度を変えながら移動する系：　加速度をもって移動する系

m ^d

2

r

d t

⁼⁰

m ^d

2

r '

d t

⁼⁻

d

s

dt

C 系では

C’ 系では ^⑧

（同じに・違って）見える

加速度をもって移動する系

加速度をもって移動する系

_d

_⃗s

dt

^≠0

O ' ^{x '}

y '

r'

カメラC'

O ^x

y

s r

カメラC

運動方程式は

加速度をもって移動する系、外力のある場合

加速度をもって移動する系、外力のある場合

m ^d

2

r

d t

^{= F}

m ^d

2

r '

d t

^=−m

d

s

dt

^{ F}

C ^系では

C’ ^系では

^{m d}

2

r '

d t

^{=  F '}

慣性力（みかけの力）

O ' ^{x '}

y '

r'

カメラC'

O ^x

y

s r

カメラC

運動方程式

静止したボールを、「自由落下するカメラ」で撮影すると、

記録された動画の中ではボールが鉛直上方に等加速度運動する ように見える。（反重力?）

静止したボールを、「自由落下するカメラ」で撮影すると、

記録された動画の中ではボールが鉛直上方に等加速度運動する ように見える。（反重力?）

自由落下するボールを、「自由落下するカメラ」で撮影すると、

記録された動画の中ではボールかかる外力の合計が 0 と見える。 自由落下するボールを、「自由落下するカメラ」で撮影すると、

記録された動画の中ではボールかかる外力の合計が 0 と見える。

（反重力による打ち消し）

与太話 与太話

静止している物体を、加速運動するカメラで撮影する場合、

その物体は力を感じるのか?

慣性力の説明で

電車等に乗っているときに、加速・減速時に感じる力

曲がる時に、曲がる方向とは逆に飛び出す時に感じる力 遊園地の回転遊具で感じる遠心力

という記述を見かける。

なにか矛盾を感じるのだけれど、一体なにが問題なのでしょうか？

回転運動のおさらい

等速円運動

等速円運動

等速円運動

物体が半径 _r の円周上を一定の速さ _v で運動する 等速円運動

物体が半径 _r の円周上を一定の速さ _v で運動する

v

r

速度ベクトルは円の接線方向

→　質点の位置ベクトルと速度ベクトルは垂直

r⋅ v ⁼⁰

加速度は位置ベクトルと逆向き。向心力 ベクトルと加速度ベクトルは垂直

a =−2  f 

r

円周：

周期：

回転数：

2 _{ r}

T = ^{2  r}

v

f = ¹

T ⁼

v

2 _{ r}

v ^⋅ a ⁼⁰

等速円運動の加速度：　幾何学的な理解

等速円運動の加速度：　幾何学的な理解

⃗v

⃗v

⃗v

⃗v

⃗v

⃗v

⃗v

⃗v



v



v



v



v



v

_{v }

6



v



v



a



a



a



a



a



a



a



a

半径：

円周：

位置変化：

r

2 _{ r}

v =2  r  f

v =2  r  f

2 _{ v=2 }

_{r f}

a =2  v f = 2 f 

r = ^v

2

r

位置 速度

⃗r

⃗r

⃗r

⃗r

⃗r

⃗r

⃗r

^⃗r

向心力と遠心力

向心力と遠心力

v

速度と垂直方向（半径方向）の 力の釣り合いを考えると

大きさが _F の力が位置ベクトルと同じ向き

（円の外側向き）に作用している

向心力　←→　遠心力

F =m 2 f 

= ^mv

2

r

a =−2  f 

r

加速度は

向心力

_F ^

_{=m a} =−m 2 f 

r

F ' 

=−  F

=m 2 f 

r

遠心力

＊加速度の大きさ a=

_

_

2

r

＊遠心力（向心力）の大きさ _Fc=m

_

_

2

r

等速円運動：　角速度

等速円運動：　角速度

θ=ω t+ϕ

r= x , y = r cos , r sin 

x =r cos

y=r sin 

r

 x , y r ,

等速　　_ω 一定

=t 

d 

d t ^=

d r

d t ⁼⁰

角速度 角速度

˙= ^{d }

d t ^=

1週 (2π)にかかる時間が周期 T

² =T

周期 T と速度 v の関係

^T = ^{2  r}

v

速度 v と角速度 ω の関係

^v =r 

周波数 f = 1/T と ω の関係

^{=2  f}

⑨

⑩

⑪

⑫ (極座標)

θ

円運動 r 一定

等速円運動:　まとめ

等速円運動:　まとめ

=2  f =^2 T

遠心力

向心力 _{v=r =r ˙}

v

質点の速度の大きさ 質点の加速度の大きさ 向心力の大きさ

遠心力の大きさ

a=r ²=r ˙²

F =mr ²=mr ˙² F ' =m r ²=m r ˙²

角速度と周期、周波数との関係

r⋅v=0 ^{v⋅a =0}

位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトルの関係

角速度ベクトル

角速度ベクトル

A

B

∣C∣=∣A∣∣B∣sin 



C  ₌ A _× B

r

⃗v

角速度ベクトル

 

r _v

 

0

面積速度

_S

v

⁼

1

2 ^{∣ ⃗r∣∣ ⃗v∣sin θ}

v ^{= }  ^× r

質点の速度

S

= ¹

2 ^{∣ ⃗r∣}

2

∣ ω ⃗ ∣sin θ

v

奥から手前側に向かう方向 手前から奥向きに進む方向

⃗v

角速度と角運動量

角速度と角運動量

角運動量 _{L = r × p = r ×m v}

d  L

dt ⁼

d

dt ^{ r×p  =v×pr×} _

d _p

dt _ ^{=r× F}

L =m r



角運動量の大きさ

r 

v

 L 

運動量の時間変化=外積（力×時間変化） 外積（力）に対応するものを考えよう

⑮

p=mv

=0

より ^{⑬ 運動方程式より}

=  F

v ^{= }  ^× r

速度・角速度

角運動量とモーメント

角運動量とモーメント

d  L

dt ^{=r×  F}

L=r×p

N  _{=r× } F

d  L

dt ^{=  N}

モーメント

角運動量

外力によるモーメントによって、角運動量が変化する

r 

v

 L 

時間変化

向心力のみ働く系の場合

向心力のみ働く系の場合

向心力によるモーメントは

N  = _r × F ^ =0

角運動量は一定！

d L

dt ⁼⁰

L =m r



角運動量保存則

質量が一定だと、

_{r r =r⋅v}

面積速度一定

半径が小さい 速度は大きい 半径が大きい 速度は小さい

F  ∝− _r

r 

v

L

F 

N 

⑯

⑰ ⑱

面積速度

_S

v

⁼

1

2 ^{∣ r∣∣ v∣sin }

S

₌ ¹

2 ^{∣ r∣}

2

∣ ∣sin  

向心力：

与太話： 与太話：

速度と運動量の関係を考えると、



 = ^{r × v}

r

位置ベクトルと速度ベクトルのなす角を θ とすると、 円周方向の速度成分 vsinθ

周期は T = 2πr/ vsinθ

角速度は ω = 2π / T = vsinθ / r = rvsinθ / r²



r

v

  _L

= _r × _p

速度 v _{運動量 p=mv}

なんとなく良いように思えるが、 質点の運動は平面内に限定



 ∝ L

角速度の本来の意味とは異なる。

L = _r × _p

v ^{= }  ^× r

v ^{= }  ^× r

速度 v の質点が動いているとき、原点に対する角速度 ω は?

与太話続き

与太話続き

L _{=m r} ² _

p _=mv

（平面内の運動の場合）

運動量 質量 速度

角運動量 _角質量? 角速度

角速度が同じであっても、回転の「勢い」は 質量

回転中心からの距離（の2乗） によって、変化する。

L _{=I ω}

I _=mr ²