講演資料置き場 名城大学春季セミナー2015

(1) _{コイン投 始 数理フ イナン}

(2) _{最適投資問題入門}

加藤 恭

大阪大学大学院基礎工学研究

大阪大学金融 保険教育研究 ン _(CSFI)

[email protected]

名城大学理工学部数学科 2014年度春季 ー

数理フ イナン 入門 そ 1

コイン投げとラン ムウ ーク

ン ウ ー ～ 帰宅中 酔 払い

 酔 払い P 自宅 (原点 O) 帰 う い

 現在 居場所 居酒屋 入 口 (点 x ≠0)

 ^P 前後不覚 酔 い 、50% 確率 前 、 う50% 確率

後 一歩進 う

 ン 投 表 出 前 、裏 出 後 進 読 替え 良い

 果 ^P 家 帰 う ？

 家 帰 いう性質 ≒ 再帰性

-3 -2 -1 0 1 ² 3

%

50 ^50%

P

Goal!

コイン投げとラン ムウ ーク

ン ウ ー ～ 帰宅中 酔 払い

 酔 払い P n 時点 位置 P

置く

 初期時点 居酒屋 x い ^P0 ^{= x} あ

 ^X

^{: n} 回目 ン投 試行 表 確率変数

 ^Xn ^{= 1 (}確率 50%), -1 (確率 50%)

 ^X1^{, X}2^, … 独立 同様 確 い

 時、酔 払い 位置 …

 ^P1 ^{= P}0 ^{+ X}1 ^{= x + X}1

 ^P2 ^{= P}1 ^{+ X}2 ^{= x + X}1 ^{+ X}2

 …

 一般 次 う 書 ^:

 う 確率変数列 事 ラン ムウ ーク 呼ぶ

 日本語 酔歩 ( いほ) 呼 、 さ 酔 払い 歩 方 あ

マルコ 過程

ン ウ ー 再帰性

 ン ウ ー 生息 空間 (状態空間 呼ぶ) 次元

再帰性 関 結果 異 ^{(1, 2} 次元 家 帰 ³ 次元以上 困難)

 空間 次元 大 く 、特定 点 到着 難 く

 直観的 当 前 感 く い 、空間 次元 3 以上 否

結果 ガ ッ 変わ 興味深い

ン ウ ー 一般化 = 過程

 酔 払い 家 戻 い 、酔 払い

 今い 場所

 次 動く

覚え い い

 う 確率変数列 (確率過程) 事 過程 呼ぶ

 過程 応用例

 物理 (特 統計力学)、生物学、待 行列、 ン ュー ー・ ン 、 金融・ ァイナンス…

 、Google PageRank Algorithm 過程 用い い

確率過程として ラン ムウ ーク

n 大 い時 酔 払い 軌跡

 ^(P

⁾

折 線

 ン ウ ー ン

0 2000 4000 6000 8000 10000 n

P_n (n=10000)

連続時間モ ルへ 拡張

連続時間確率過程

 ン ウ ー ：n → ∞ 場合

 ⁿ 非常 大 い時、 ン ウ ー ⁽時刻 関 関数 = 酔 払い

軌跡) 曲線 う 見え

 ⁿ → ∞ 、連続時間 ー ー 持 ン 曲線

得 ⇒ ウン運動 ウン運動 ン

連続時間モ ルへ 拡張

ウン運動

 ウン運動 数学的 定義

＝ 定常独立増分 連続 確率過程

 ウン運動 数学的 定義 ー ー ・ウ ー ー いう数学者

 ウン運動 名付 親 あ ー ・ ウン 植物学者

 水面上 浮 花粉 流出 微粒子 運動 不規則 様 詳細 観察

 数学的 定義さ ウン運動 事 ウ ー ー過程 呼ぶ事 多い Norbert Wiener

-1 0 1

微粒子 運動 ュ ー ョン Robert Brown

確率分布

n = 100 _{酔 払い 分布}

 ^(P

⁾

折 線

 ン ウ ー ン

 ン 沢山 ( ¹⁰⁰本) 発生さ …

P_n (n=100)

P_{n ー達}

確率分布

n = 100 _{酔 払い 分布}

 中心極限定理

 ⁿ 大 く 確率分布 正規分布 近付く

0 20 40 60 80 100

-4 -2 0 2 4

正規分布 密度関数

(n _{十分大 い時)}

連続時間モ ルへ 拡張

ウン運動

 ウン運動 分布

 先程 ン 何度 発生

⇒ 各時点 持 ン 持 関数 思え

 時点 見 正規分布 い

 但 分散 ( ^{) (}時刻 t 比例 ⁾ 大 く いく 更 実 増分 分布 正規分布 ⁽定常増分性)

-10 -5 0 5 10

-10 -5 0 5 10

連続時間モ ルへ 拡張

ウン運動

 ウン運動 う一 性質：独立増分性

・ 適当 時点 分 ⁽確率変数 意味 ) 独立

・ う 性質 時点 成 立 独立増分性

株価変動と ラウン運動

日経平均株価 ー

10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000 16,000 17,000

2013/4 2013/5 2013/6

日経 均株価 ₍日足₎

10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000 16,000 17,000

2013/4 2013/5 2013/6

日経 均株価 ₍日足₎

10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000 16,000 17,000

2013/4 2013/5 2013/6

日経 均株価 ₍引値折れ線グラフ₎

株価変動と ラウン運動

日経平均株価 ー ：長期的 変動 様相

 ウン運動 軌跡 似 い …

6,000 7,000 8,000 9,000 10,000 11,000 12,000

2011/4 2011/5 2011/6 2011/7 2011/8 2011/9 2011/10 2011/11 2011/12 2012/1 2012/2 2012/3

株価変動と ラウン運動

株価変動 確率

 株価 変動 理由

 経済要因、景気循環

 企業業績、財務要因、配当政策

 需給 ン 、流動性要因

 風評、思惑

 …

 確率過程 株価 ー (あく 一例)

 ^{t :} 時刻

 ^Pt ^: 株価

 ^f(t): 含 い関数 (長期的景気循環等)

 ^Bt ^: ウン運動

 σ : 具合 表 ー ー ( ― 呼 ⁾

多種多様 要因 あ 個々 詳細 分析 困難

⇒ (用途 ⁾ 各要因 不確実 _{確率論的手法 定式化}

0 2 4 6 8 10

t

数理 ァイナンス

数理 ン ≒ 確率解析 金融・経済・ ン 応用

 金融資産 投資運用 最適化

 良い投資戦略 ？ ⇒ ー 最適化問題 (確率制御理論)

 金融派生商品 ( ⁾ 価格付 ( ン )

 ョン、先物 言 複雑 構造 持 金融商品 適正価格 ？

⇒ 無裁定価格理論 ( ン ー 理論)

 金融 管理

 危機、 ー ン危機 う 金融 対 備え

⇒ 計量化 ( 尺度、極値理論)

 そ 他様々 先進的 ッ

 市場流動性、 伝播、高頻度取引、最良執行、…

上 概要 本講義後半 ( ) 及び残 講義 ( ～ ) にてご紹介

い 研究 ッ い

確率解析、 わ 確率過程論 基本的 道具立

揺 ぎと ス・ ラク ル

株価 複雑 変動 記述 う一 ー :

 ？

 ⁽厳密 定義 難 い ) 自己相似性 持 図形 事

 平 く言 、 拡大 全体 同 構造 見 う 図形

 株価変動 中 見 自己相似性

 ワ・ ン

 ン ・ 有名

数学者・経済学者・自然科学者

 株価過程 自己相似 (自己相関) → 長期記憶性

 ウン運動 一般化 ^⇒ 分数 ウン運動

 分数 ウン運動

数理 ン 応用

⇒ 近年 hot issue ( 一 )

ン ・

拡大

ご参考: 関根・日野研 研究 ーマ

ン 数理 研究 ー (関根研究室)

 数理 ン 諸問題 研究

 長期間最適資産運用、 ン ョン

 鋭感的確率制御理論

 市場流動性 考慮 最適資産運用/執行問題

 金融 や資産価格 解析的数値計算手法

 ^etc.

確率解析研究 ー (日野研究室)

 ン 含 自然現象や社会現象 定式化 纏わ 確率解析 研究

 集合上 確率解析

 ン 最適化問題 附随 非線形偏微分方程式

 部分観測下 確率制御、 ン

 ^etc.

最適投資問題入門

多期間 場 最適投資問題

 ^{簡単 散時間 多期間 場 考え、 数理 ン}

代表的 研究 一 あ 最適投資問 基礎 解説

 ^{数学的 確率制御問 特徴付}

 ^{要 概念: 動的計画原理} (Dynamic Programming Principle; DPP)

 ^{Bellman 原理、西尾半群性等 呼}

 ^{最適解 ( 最適投資戦略 ) 出 、 性質 い 調}

 ^{更 、投資時刻 間隔 時 最適解 連続極限 い 調 、}

連続時間 最適化問 い 雰囲気 味わう

 ^{厳密 数学的議論 、確率解析 関 知識 必要}

う 、最 限 知識 大 試算 行う

( ^{、 式展開 一部 数学的 正 い可能性 あ} )

 ^{更 、近 注目度 高 い 流動性 問 い 簡単 紹 、}

流動性 考慮 い 最適化問 い 、や 雰囲気 味わう

 ^{厳密 議論 、 増 更 知識 必要 う}

Basic Model -0-

考え 問題 概要

 ^{初期時 金 w 持 い 人 い}

 ^{金 、 安全資産 危険資産 投資 将来時 T}

価値 増や い

 ^{安全資産 ～ 預金、国債購入等 ← 厳密 必 安全 限 い …}

 ^{危険資産 ～ 株式 投資等}

 ^{期中、適宜 資産 売買 繰 返 い}

 ^{但 危険資産 投資 将来 価値 い いう}

在

 ^{金融 ？ ← 明日 ッ}

 ^{確実 全 安全資産 投資 、 十 収益}

出来 い

 ^{投資家 減 ン 高 い}

 ^{将来 確実性 含 資産価値 効用関数 いう尺度 用い 計測出来}

 ^:

Basic Model -1-

N _期間 : _基本設定

 ^{取引時刻 :}

 ^t

^{(= 0, 現時 ) 情報 既 知 い}

 ^{確実性 扱う 、将来起 得 集合 準備}

 ^{本数 = M}

 ^各 j = 1, …, M ^{い 、} ω^{j 次 う N 次元ベ}

 ^各ωji ^{j i 時}

場 状態 表 日経 均 ○○

○○社 新商品 発表

○○国 選挙 ○○氏 勝 天気 ○○

…

※確率論 言葉 言う 、 ナ オ = 標本 (sample)

一本 ナ オ ¹ 時点 状態 ^N 時点 状態

5000 7000 9000 11000 13000

0 1 2 3

時刻

将来時点 i 記述す

あ あ ゆ 情報

イ ー ( 均株価) 我々 住 い 世界

ナ オ ω^j 属し い 、

そ 誰 知 い

Basic Model -2-

N _期間 : _{基本設定 (続 )}

 ^{全体 集合 ( = 標本空間} (sample space))

 ^{各 起 確率}

 ^{確率 総和 1 :}

 ^確率空間

 ^{測度論 言葉 言え 、確率空間 = 全測度 1 測度空間}

 ^{回 話 簡単 標本空間 限集合 場合 念頭 置 、}

Basic Model -3-

N _期間 : _{確率論 用語 さ い}

 ^確率変数

 ^{X : ω 起 時 X(ω) いう値 取}

 ^{(ω) 省略さ 、単 X 書 多い}

 ^{確率空間 一般 場合 可測性} (measurability) ^{い 仮定}

え い 、 あ 気 い

 ^{将来 株価等 い い 確実 値 確率変数}

 ^{期待値 ( 作用素 ) : 確率変数 X 対}

 ^{均値 呼}

 ^{例 : 均一 サ 目 均値 =}

 ^{P Lebesgue}

Basic Model -4-

N _期間 : _{確率論 用語 さ い}

 ^{散 : 確率変数 X 散 以 定義さ}

 ^{確率変数 X 、 均値 中心 具合 表 指標}

 ^{散 大 い 、X 取 値 確実性 高い 言え}

 ^{立 : 確率変数 X Y 立 …}

 ^{大雑把 言え 、 X Y ン 連動 い い いう}

 ^{サ 投 、出 目 確率変数 立}

 ^{サ 接着剤 投 、出 目 立 い}

Basic Model -5-

N _期間 : _金融商品

 ^{簡単 、以 金融資産 考え}

 ^{安全資産 : 投資 、一定 金利 r 従 資産価値 増大}

 ^{tk-1 時 x 投資 tk 時} x(1 + rh)

 ^{rh tk-1 ～ tk 期 収益率 ( ン) あ 、決定的 ( ン い) 値}

 ^{危険資産 : 将来 収益 確実性 あ (株式等)}

 ^{ω い 、tk-1 時 x 投資 tk 時 x(1 + Rk(ω))}

 ^{Rk tk-1 ～ tk 期 確実性 伴 収益率 あ 、確率変数}

 ^R1,…, RN ^{(確率変数 ) 立}

 ^{危険資産 収益率 確実性 持}

⇒ 均値＋ 以外 _{( )} 解

 ^μk ^{: 単 時間あ 均収益率 (以 k} )

 ^ξk ^{: 均 確率変数 ( )}

Basic Model -6-

N _期間 : _{金融商品 (続 )}

 ^{危険資産 収益率}

 ^{大 さ 散 いう指標 用い 計測さ}

 ^{以 う 置}

 ^{散 非負 あ 、 方根 取 値 (標準偏差) σ}k ^{置い い}

 ^{散 h 割 値 考え ？ ( 散 乗 い h2 い ？)}

⇒ 大数 法則 中心極限定理 いう確率論 基本的 大理論 基

 ^{均収益率 値 一定 同様、 散 い 値 一定 仮定}

 ^{更 強 、確率変数列 ξ}1^{, …, ξ}N ^{全 同 仮定}

 ^{立同 = i.i.d.}

 ^{、σ = 0 時 確実性 無い 同 、以 σ > 0}

Basic Model -7-

N _期間 : _{金融商品 (続 )}

 ^{危険資産 収益率}

 ^{以 …}

 ^{あ い} ( ^{う 操作 基準化 呼ぶ})

 ^注意

 ^tk ^{時 株価 S}k ^{( 確率変数) 書い 時、収益率 株価 関係}

例 : Sk-1(ω)= 100円, Sk(ω) = 105円 ^⇒ R_k(ω) = 0.05 (= 5%)

Basic Model -8-

N _期間 : _投資戦略

 ^{投資戦略 π=なπ}

^{, … ,π}

^{} : 確率変数 列}

 ^πk ^{: t}k-1 ^{～ t}k ^{期間 い 、持 い 資産 う 割合}

危険資産 投資 割合 表

 ^πk ^{自身 確率変数 、t}k-1^{時 情報 知 い 値 決}

出来

 ^{確率過程論 言葉 言う 可予測} (predictable)

 ^tk-1 ^{時 い w 金 持 い 人 戦略π}k ^{選択 …}

 : ^{危険資産 運用}

 : ^{安全資産 運用}

 ^{合わ …}

Optimization Problem -1-

N _期間 : _{最適化問題}

 ^資産価値

 ^{投資戦略 π=なπ1,…,πN} 、初期資産 w 時 t}l ^時

所 資産 _Wl 以 漸化式 え

 ^{最適投資問 : 次 V( w ; π ) 最大 π 求 ！}

 ^{関数 U ？}

 ^{(期待) 効用関数 呼 、 満足度 表 指標}

 ^{投資家 選好関係 ( ン 好 表 半 序) 経済学的 、}

U(w) = log(w) (_→ )

Optimization Problem -2-

N _期間 : _{寄 道}

 ^{対数効用関数}

 ^{経済学的 言え 、 回避的 投資家 効用関数 凸 単調増加関数} 用い え

 ^{対数効用関数 一 あ 、扱い 便利 あ 良 用い}

 ^{対数効用関数 長期期待収益率 いう意味付 考え 出来}

 ^{投資戦略π 従 初期時 w 投資 ⇒ 最終的 収益 W}N ^{あ 時、}

連続複利 見 時 利回 _L 書

 ^{、対数効用最大化 (大体) 長期期待収益率最大化 意味 い}

 ^以

所与 数

Dynamic Programming -1-

動的計画法

 ^値関数 (value function)

 ^{考え い最大化問 解 媒 的 関数}

 ^{元々考え い 最適投資問 一致}

 ^{終端時刻 値関数} log(w) ^一致

 ^{動的計画原理 (DPP)}

Dynamic Programming -2-

動的計画原理

0 _T

time t

Optimize ^⇒

(πl⁾l 動 す 変化 ( k = N – 2 時 イ ー )

Dynamic Programming -3-

動的計画法 : 解法

 ^{Step 0. 最終時刻 t}

^値関数

 ^{Step 1. t}

^t

動的計画原理

log(ab) = log(a) + log(b)

Dynamic Programming -4-

動的計画法 : 解法

 ^{Step 1. t}

^t

^{( 続 )}

 ^{関数 f π い 微 …}

 ^{期待値 微 交換 あ 、 標本空間 限集合 い 問 無い}

関数 f 凸 あ 、 解 最大値 取

Dynamic Programming -5-

動的計画法 : 解法

 ^{Step 1. t}

^t

^{: 以}

 ^{、本来 あ w 依 関数 、 場合}

log(w) ^{う 出さ 、} w ^{い定数 い}

(_← ^{ン ！})

 ^{Step 2. t}

^t

log(ab) = log(a) + log(b) 同分 性

Step 1. _結果

Dynamic Programming -6-

動的計画法 : 解法

 ^{Step k. t}

^t

^{: 同様}

 ^{Step N. 最終的 、 t}

^{時 値関数}

 ^但

 ^{以 、期待収益率最適化問 対 最適戦略}

危険資産 投資比率 常 一定値 保



Conti.-Time Limit -1-

離散多期間 連続時間 へ

 ^{最適投資比率 次 方程式 解}

 ^η1 ^{計算出来 、やや煩雑}

 ^{次 、取引時 N 増や 取引時刻 間隔 h 短 い 時、}

最適投資戦略及び対応 値関数 う 収束 調

 ^{収束 先 連続時間 最適投資問 解 特徴付 う}

 ^{h 依 、以 書}

 ^{|x| さい時 次 Taylor 展開 用い}

Small order

( _{大 く い す )}

Conti.-Time Limit -2-

離散多期間 連続時間 へ

 ^{前頁 展開式}

 ^{h 割 h → 0}

1/(1+x) Taylor _展開 E[η] = 0, Var(η) = 1 (分子)上(1/ (分母)) 整理

Conti.-Time Limit -3-

離散多期間 連続時間 へ

 ^{対応 値関数 極限 … (f h 依 f}

^{書 )}

 ^{対数関数 log(1+x) Taylor 展開}

E[η] = 0, Var(η) = 1 log(1+x) _展開 ( 次 項

見 十分)

h = T/N

( _本当

h _依存)

Merton Problem -1-

Merton _比率

 ^{前々頁 出 最適投資比率 極限値} Merton ^{比率 呼ぶ}

 ^{危険資産 期待収益率 安全資産利回 大 い程、}

危険資産 価格変動 _{( ―} 呼ぶ₎ い程、

危険資産 最適投資比率 高

Merton _問題

 ^{考え い} 多期間期待収益率最適化問 連続時間版

Merton ^{問 呼}

 ^{厳密 定式化 ウン運動や確率微 方程式 い 概念}

必要 ₍確率空間 大 取 必要 あ ₎ 雰囲気

Merton Problem -2-

Merton _問題

 ^解法

 ^{動的計画原理 (Bellman 原理)}

 ^{散時間 多期間 行 計算 連続時間 行う}

散時間 動的計画原理 ⇒ _{k → k-1 (}後 向 ₎ 漸化式

連続時間 動的計画原理 ⇒ 非線形半群 ⇒ 非線形偏微 方程式、粘性解理論

 ^{ン (双対 )}

 Black-Scholes ^理論 ( ^{ョン 価格付} ) ^{凸解析 手法 う 用い 解}

 ^{実 Merton 問 最適投資戦略 、先程 い 散時間}

最適投資比率 極限 _(Merton 比率 ) ^一致

 ^更

Discrete-Time v.s. Conti.-Time

連続時間 役割

 ^{株式 場等、取引 盛 行わ い 場 取引 ン}

無数 あ 、連続的 取引可能 考え 出来

 ^{実際、1 未満 間隔 高頻度取引 行 い 多 在}

 ^{、 金融資産 保 比率 連続的 変化さ いう}

実際 可能 あ 、連続時間 あ 近似 過 い

 ^{実際 場参加者 行動 数学的 化 際、 散時間}

記述 や さ いう面 優 い

 ^{一方、例え 最適投資比率 見 時、 散時間 解 ッ 見}

い い 対 、連続時間 解 簡単 あ 、

更 意味付 や

 ^{散時間 → 連続時間 極限移行 、煩雑 落 さ}

問 本質的 部 出さ

 ^{c.f. 立 足 合わ 正規}

中心極限定理

Liquidity -1-

流動性 問題

 ^{、取引 自由 行え}

 ^{実際 場 い 以 う 問 在}

 ^{取引 : 手数料、税金 etc.}

 ^{例示 英語 言う fee あ 、経済学}

取引 (transaction cost) ^{以外 目 見え い費用 含}

 ^{ッ ン : 大規模 売買 場価格 影響 え}

 ^{広い意味 取引 部 的 含 、}

ッ ン 取引後 場価格 影響 含 い

 ^{取引成立 可能性}

 ^{取引相手 い 取引 成立 い}

 ^{う 、 場 い 売買 自由 出来 い いう問}

( ^非 ) ^{流動性 問 呼ぶ}

 ^{流動性 = 商品 貨幣 換金 易さ}

 ^{普通預金 : 流動性 高い}

 ^{場株式 : 流動性 ほ ほ}

 ^:

Liquidity -2-

流動性 考慮し 最適投資問題 (例)

 ^{取引 最適投資問}

 ^{Merton 問 解 投資比率 一定 保 いう戦略 あ 、} 取引 考慮 場合、投資比率 厳密 一定 保 う 戦略

過大 う 最適 言え い

 ^{連続時間 一瞬 破産}

 ^{考え 最適投資問 比例的取引 入 …}

 ^{連続時間 : 解 明示的 出出来 ！}

言え数学的 やや い 、後程雰囲気 例示

 ^{ッ ン 最適執行 ( 流動化 ) 問}

 ^{保 い 大 商品 一定期間 売 (執行) 場合、}

 ^{一度 売 、多大 ッ ン 生 損}

 ^{少 売 、 場価格 時間 共 変動 ン 生}

⇒ う 割執行 行え 執行 抑制出来 ？

Liquidity -3-

最適投資問題 : 比例コ ⁽ 雰 気 ⁾

 ^{安全資産及び危険資産 設定 同}

 ^{但 危険資産 購入 売 際 仮定}

 ^{比例 : 率 c}

 ^{z 購入→ cz}

 ^{z 売 → cz}

⇒ _z 取引 (z > 0 : ^買い、z < 0 : ^売 ) : c|z|

 ^{時、対応 値関数 …}

 ^{更 無限期間 最適期待成長率 最適化 考え}

Liquidity -4-

最適投資問題 : 比例コ ⁽ 雰 気 ⁾

 ^{最適戦略 、言葉 言う 以 う}

 ^{あ 定数} a, b > 0 ^{在 、以 う 戦略 最適}

 ^{Xt t 時 危険資産保 (Pt) 平 安全資産保 (Dt)}

取引 無い _Merton 問 い

ゆえ、最適投資戦略 _X

t ^{一定 保 言い換え}

 ^{時 う 購入}

 ^{時 何 い}

 ^{時 う 売}

Liquidity -5-

最適投資問題 : 比例コ ⁽ 雰 気 ⁾

 ^最適戦略 : ^推移

 ^Xt ^{[a, b] 出 う 購入 売 調整}

 ^適当 a = 3.5, b = 4.5 ^{、実際 他 定}

3 3.5 4 4.5 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 time

Merton optimal

4.5 ^{戻 う 売}

3.5 ^{戻 う 購入}

取引 無い時

最適投資比率

Liquidity -6-

最適投資問題 : 比例コ ⁽ 雰 気 ⁾

 ^{最適戦略 : P}

^{, D}

^変動

 ^{次元ベ (P}t^{, D}t^{) 以 領域 収 う 購入 売}

0 10 20 30 40

0 2 4 6 8

P

D 出 い う

売

出 い う 購入

In Practice -1-

今ま 話 実運用 応用出来 ？

 ^{Merton 問 解 用い}

 ^{安全資産 = 預金}

 ^{危険資産 = 株式投資 (単純化 日経 均)}

運用 考え

 ^{、 μ, σ, r 推定 い}

 ^{試 日経 均 次収益率 用い μ σ 推定 …}

 ^{各時 い 、 次収益率 直近 60 ヶ 用い} 次 均値 標準偏差 推定

 ^{率換算 : μ 12 倍、σ t 倍法 適用 (← あ 気 良い)}

-20% -10% 0% 10% 20% 30% 40%

9954月 9510月 9964月 9610月 9974月 9710月 9984月 9810月 9994月 9910月 0004月 0010月 0014月 0110月 0024月 0210月 0034月 0310月 0044月 0410月

時間 共 変動 、定数 い

σ ^{い 値 安定 い 、}

μ ^{負 値 う}

In Practice -2-

今ま し 話 、そ まま実務へ適用出来 いうわ い

 ^{実務的 、 散 標準偏差 い 前頁 う 方法 推定 行う}

あ 得 ₍ う少 凝 方法 使わ 多い ₎ 、

期待収益率 い 推定 い いう 一般的 考え方

 ^{金運用 い 必 統計的手法 い 用い}

期待収益率 算出 行う 多い

 ^{株式 ン 等 投資戦略 策定 際 、 期待収益率 高 いう}

考え方 い 一般的 _{(c.f. /} ッ 運用、詳細略₎

 ^{時間 共 変動 以 、投資比率 都度変更さ や}

必要 あ

 ^{、危険資産価格 (変動) 説明 数式 複雑}

や

 ^{場合、多期間 最適化問 解 非常 い問}

A Role of Mathematical Finance -1-

例 : 金運用 政策 セッ ミック 、 バ ン 戦略

 ^{政策 ッ ッ ？}

 ^{非常 大雑把 言 、最適投資比率 決}

 ^{危険資産 = 株式、債券、 替、 動産 etc. ← 何 持 ？}

 ^ン (“re”balance)

 ^{政策 ッ ッ 何 方法 決 、実際 割合}

資産 投資 行

 ^{時間 経 共 各資産 時価総 変化 、 投資比率 変わ い}

 ^{、 各資産 追加的 購入 一部 売}

投資比率 元 政策 ッ ッ 戻 や 必要 あ

( ^{ン ≒ ン 調整})

 ^{前述 通 実際 政策 ッ ッ 自体 時々見直さ}

応 ン 必要

 ^{実際 売買 伴う 、 ン ン}

検討 い

 ^{案 : 一定 時間間隔 ン ？}

 ^{: ( )}

A Role of Mathematical Finance -2-

例 : 金運用 政策 セッ ミック 、 バ ン 戦略 (続 )

 ^{最適投資問 解}

 ^{ン 案 :}

閾値 ₍ い ₎ 設 、投資比率 閾値 超え ン

⇒ 比例取引 考慮 期待成長率最適化問 同 ！

 ^{実務 ン ン ッ (CM)}

呼

 ^{実際 閾値 え方 数式 解い 得} 限 い 、 要

CM ^{理論的 効} いう裏付 え い

 ^{尤 、 仮定 結果 変わ 得}

必 _CM 最適 限 い

閾値 勝手 設定 う

実際 最適戦略 取 い

 ^{、実際 運用 い 運用哲学}

いう 明確 持 大 あ 、

数理 ン 理論的 裏付 え

3 3.5 4 4.5 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 time

Merton optimal

※本 ミュ ー ョン 用い 数値

_{仮想的 あ 、実際 う}

_{頻繁 バ ン 行う 限 い}

A Role of Mathematical Finance -3-

補足

 ^{数理 ン 実務 適用出来 い いうわ い}

 ^{多 (金融派生商品) 、数理 ン 理論 適用}

得 価格公式 用い 根付 さ い

 ^{投資理論 数理 ン 実践 例 : 確率 理論}

 ^{Fernholtz 氏 提案さ 、Intech 社 実運用 活 さ い}

 ^{、 実務 直結 い研究 非常 要}

 ^{昨 金融危機 : サ 問 、 ン ョッ 、…}

⇒ 誤 理論 用い 方 さ い 原因 一

 ^{実際 数 出 目的 、理論的 適 考え方 自体}

提供 い 大 研究

 ^{実務 あ : 性能 対 場 複雑化 行う}

 ^{場 繰 返 ⇒ 大規模}

 ^{経済学 同様、 大 視 持 大}

 ^{理論 誤用 さ い う、啓蒙的 活動 行う 数理 ン 理論} 役割 一 ₍ い₎