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日本福祉大学健康科学論集 第12巻
研究ノート
野 呂 春 文
日本福祉大学 健康科学部
Keywords: Fibonacci number, closed formula, generating function, matrix representation
フィボナッチ数の閉じた計算式 解析的アプローチと代数的アプローチ
Closed formula of Fibonacci number, analytical and algebraic approaches
NORO, Harufumi
Faculty of Health Sciences, Nihon Fukushi University
1 はじめに
次の式で定義される数列 をフィボナッチ数列とよ ぶことは良く知られているとおりである． 例えば， に対して である． フィボナッチ数 は によって値が決定されるから の関数とみなすことができる．そこで，上記のような 再帰的定義ではなく，あらわに だけに依存する数式と して書き下すと，次のようになることも知られている． 整数の足し算だけで作られるフィボナッチ数列が，この ように複雑な式で表わされることに多くの初学者は驚か される． 式 (2) は，J.P.M.Binet が 1843 年に発表したことをもっ て Binet の公式 と呼ばれている．しかし，D.Knuth らによると，1730 年ごろ A.de Moivre がこの式を初め て発表しており，次いで，L.Euler が 1765 年に著書で公 にしているそうである．数学ではしばしばこのようなこ とが起こっており，真の発見者よりも後世の研究者の名 前が冠される例が珍しくない． 上に名をあげた数学者達はいずれも，式 (2) を良く似 た方法で導いている．それは，Euler がその著書「無限 解析序説」1)の中で説明しているようなある種の 解析的 な方法である．一方，19 世紀の中ごろ以降に発達したた めに彼らの時代には知られていなかった 代数的 な方 法で式 (2) を導くこともできる．この小文では，それら 2 つのアプローチを高校数学で理解できるように解説する．2 解析的アプローチ
数列の母関数を利用する方法である2)．フィボナッチ 数 を係数とする無限級数， をフィボナッチ数列の母関数とよぶ．このように定義さ れた関数からは，フィボナッチ数列のすべての性質が導 き出されると考えられるからである． フィボナッチ数列の定義 (1) より， であるから， に と を代入すると，─ 28 ─ 日本福祉大学健康科学論集 第12巻 2009年3月 が得られる．これを無限級数展開して式 (3) と項ごとに 比較すれば の表示が得られるはずである． 式 (5) が有理関数であることから，等式 が利用できる．そのためには式 (5) を と書きなおす必要がある．ここで， より， となるから，それより を求める． 式 (9) を満たす は二次方程式 の 根であるから， と解くことができる．よって，式 (8) より となる．式 (5) は， となるので，等式 (6) を利用すると， が得られる．つまり， であり，式 (2) が得られた． このアプローチでは，微分や積分が表面にあらわれて こないから 解析的 アプローチと呼ぶことに抵抗をお ぼえるかもしれない．しかし，ここで用いた母関数を 含む無限級数は 18 世紀においては Euler が 無限解析 analysin infinitorum と呼んでいるように解析的な道 具とみなされていた．今日でも，関数を無限級数に展開 する際の標準的手法であるテイラー展開は解析的な道具 とみなされている． なお，ここで，式 (6) が成り立つ理由を示しておく． と無限級数に 展開できたとする． より， が わかるから， である．
3 代数的アプローチ
代数的アプローチの道具として行列を用いる．ここで は行列の利用法として 2 種類の方法を紹介する． 3.1 代数的アプローチその 1 引き続く 2 個のフィボナッチ数 , をベクト ル で表わす3)．1 つ前のフィボナッチ数のベ クトルは である．これらのあいだには， という関係が成り立つ．そこで， とおけば，行列 を使うことによって， が成り立つことが容易にわかる． と はあらかじ め与えられているから， について知るには がわかればよい．そこで行列の冪乗を計算するときの 定石にしたがって， を対角化するために次の定理 を利用する． 定理 : ジョルダンの標準形 の特性方程式 が異なる 2 根 を持つなら，ある正則行列 を使って とできる． 特性方程式は， であるから，異なる 2 根を持ち， である．─ 29 ─ 日本福祉大学健康科学論集 第12巻 式 (18) より， であるから ここで， とおけば， である．さらに， とおけば， である．つま り，複素数 と を使って， と表わされることがわかる． より， であるから， となり，式 (2) が得られた． 3.2 代数的アプローチその 2 代数的アプローチその 1 では，式 (16) の行列 を フィボナッチ数のベクトルから，次のフィボナッチ数 のベクトルに変換する演算子として考えた．ここでは， 少し違ったアプローチとして，フィボナッチ数からな る行列を考えてみる4)． 引き続くフィボナッチ数からなる行列 を考える． であるから， を特別に と書けば， となる． は，前出の A と同じものである．ここで を思い出すと， となる． とおけば， となるから， 複素数 と を使って と表 わすことができる．あとは既に述べたとおりで となり，式 (2) が得られる．
4 おわりに
ここで紹介した 2 つのアプローチを使うと，パラメー タ を持つ線形再帰式， によって生み出される数列の一般項の閉じた計算式を求 めることができる． 最初の例として，フィボナッチ数列の係数を一般化した リュカ数列の 1 つ について，解析的アプローチを使って の閉じた計算 式を求めてみる． 数列 の母関数 を とする． だから， である．これを と書き直すと， となる．これより，上記のリュカ数列の閉じた公式として，─ 30 ─ 日本福祉大学健康科学論集 第12巻 2009年3月 が得られる．この計算式には根号どころか複素数まで登 場している． 次に 4 項関係式， が生み出す数列 について，代数的アプローチを使っ て閉じた計算式を求めてみる． ベクトル と との関係を表わす行列Aは， で与えられる． が容易にわかるから，あとはフィボナッチ数列の場合と まったく同様にして閉じた計算式が得られる． フィボナッチ数列には 神がかり とでも評するしか ない熱狂的なファンが多い5)．ここで取り上げた閉じた 計算式についても「整数の足し算だけで生み出される数 列を表わすために根号まで現れている．これは奇跡だ．」 などと堂々と述べている書物やホームページまである． しかし，以上で説明してきたように，再帰的に定義さ れる数列の一般項の閉じた表示を求める問題は，初等的 に解くことのできる問題であり，神秘的なものなどどこ にも存在しない．この小文が教育場面で役に立てば幸い である．
参考文献
１）Euler, L., 高瀬正仁訳：オイラーの無限解析，海鳴 社 (2001) ２）結城浩：数学ガール，ソフトバンククリエイティブ (2007) ３）砂田利一：行列と行列式１，岩波講座現代数学への 入門，岩波書店 (1995)４）Johnson, R.C. : Matrix methods for Fibonacci and related sequences,
http://www.dur.ac.uk/bob.johnson/.bonacci/ ５）Simanek, D.E. : Fibonacci Flim ―Flam,
