一般超幾何方程式を部分系に含む
2
変数形式的
KZ
方程式の
3,
4
次元表現
早稲田大学大学院基幹理工学研究科
今関靖一郎
(Imazeki
Seiichiro)
Graduate
School
of
Fundamental Science
and
Engineering,
Waseda
University
1
2
変数形式的
KZ
方程式の表現への延長と問題設定
1,
2
変数形式的
KZ
方程式を以下のように定義する
.
定義 1(1 変数形式的
KZ
方程式)
$X_{0},$$X_{1}$を非可環な形式元とする
.
このとき
$d \varphi=(\frac{dz}{z}X_{0}+\frac{dz}{1-z}X_{1})\varphi$
(1)
と表される
1
変数微分方程式を
1
変数形式的
KZ
方程式と呼ぶ
.
定義
2(2
変数形式的
KZ
方程式
)
$d\varphi=\Omega\varphi$
,
$\Omega:=(\frac{X_{0}}{\sim r}+\frac{X_{1}}{1-z})dz+(\frac{Y_{0}}{w}+\frac{Y_{1}}{1-w})dw+\frac{Z}{1-zw}d(zw)$
(2)
と表される
2
変数微分方程式を
,
2
変数形式的
KZ
方程式と呼ぶ
.
ただし
$X_{0},X_{1}$
,
$Y_{0}$,
$Y_{1}$,
$Z$
は非可環な形式元で,
可積分条件
$\Omega\wedge\Omega=0$
,
すなわち,
$\{\begin{array}{l}[X_{0}, Y_{0}]=[X_{1}, Y_{0}]=[X_{0}, Y_{1}]=0[X_{1}, Y_{1}+Z]=[Y_{1}, X_{1}+Z]=[X_{0}-X_{1}-Y_{0}, Z]=0\end{array}$
(3)
をみたすと約束する.
非可環な形式元
$X_{0},X_{1}$
,
$Y_{0}$,
$Y_{1}$,
$Z$
で生成され,
(3)
を基本関係式とする
Lie
環を
$X$
とする
.
また,
$X_{0},$$X_{1}$で生成される劣の部分
Lie
環を劣
z
とする
.
$\text{劣_{}z}$は自由
Lie
環である
.
このと
き
,
形式的
KZ
方程式の表現について,
次のように定義する
.
定義
3(
形式的
KZ
方程式の表現)
$X_{z}$
の
$n$次元表現
$\sigma$:
$X_{z}arrow M(n, \mathbb{C})$
に対し
,
(1)
の
$X_{0},$$X_{1}$を
$\sigma(X_{0}),$$\sigma(X_{1})$に置き換え
次元表現
$\rho$:
劣
$arrow M(n, \mathbb{C})$
に対し
,
(2)
の
$X_{0},$$\ldots,$$Z$
を
$\rho(X_{0}),$
$\ldots,$$\rho(Z)$
に置き換えた方
程式を
2
変数形式的
KZ
方程式
(2)
の
$\rho$による
$\uparrow\gamma$次元表現と呼ぶ
.
ここで,
実 z
は
$X_{0},$$X_{1}$で生成されているので
,
$X_{0},$$X_{1}$に対する
$\sigma$の像を指定すれば,
$\sigma$は
一意に定まる
. したがって以後
,
劣
z
の
$n$次元表現は
2
つの行列の組と考える
.
同様に,
実
は
$X_{0},$$\ldots,$
$Z$
で生成されているので
,
$X_{0},$ $\ldots,$$Z$
に対する
$\rho$の像を指定すれば,
$\rho$は一意
に定まる
. よって,
劣の
$n$次元表現は可積分条件
(3)
をみたす行列の組と考える
.
劣の
$n$次元表現全体上に以下の
2
つの変換を導入する
:
$T\in GL(n, \mathbb{C}),$
$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{5})\in \mathbb{C}^{5}$に対し
$\hat{T}$
:
$(M_{1}, \ldots, M_{5})\mapsto(TM_{1}T^{-1}, \cdots , TM_{5}T^{-1})7$
(4)
add
$(\lambda)$:
$(M_{1}, \ldots, M_{5})\mapsto(M_{1}+\lambda_{1}I_{n}, \ldots , M_{5}+\lambda_{5}I_{n})$
.
(5)
2
変数
KZ
方程式の解の変換としてみるならば
,
$\hat{T}:\varphi\mapsto T\varphi$
,
(6)
add(A)
:
$\varphi\mapsto z^{\lambda_{1}}(1-z)^{-\lambda_{2}}w^{\lambda_{3}}(1-w)^{-\lambda_{4}}(1-zw)^{-}$
$\varphi$,
(7)
となる
.
(4)
を一斉相似変換,
(5)
を
addition(加法操作)
と呼び
,
これらで生成される群
$G$
の
(左)
作用で劣の
$n$次元表現の間に同値関係を定義する
.
本研究においては
, 次の構成で得られる表現を考察の対象とする
:
まず
,
$X_{0}’,$$X_{1}’\in\lambda f(n, \mathbb{C})$とし, 1 変数形式的
KZ
方程式の
$n$次元表現
$d \varphi=(\frac{dz}{z}X_{0}’+\frac{dz}{1-z}X_{1}’)\varphi$
(8)
があるとする. このとき
$X_{o}’,$$X_{1}’$に対し,
$X0,$ $X_{1}\in M(n+m, \mathbb{C})(m\geq 0)$
を
$X_{0}=(\begin{array}{llll} * X_{0}’ | *0 \cdots 0 *\end{array}),$ $X_{1}\simeq(\begin{array}{llll} * X_{1}’ | *0 \cdots 0 *\end{array})$
と定める
(
それぞれ
$X_{i}’$を埋め込み
,
$m$
列拡張する).
この
$(X_{0}, X_{1})$
を
2
変数形式的
KZ
方
程式
(2)
の表現の特異因子
$w=0$ 上でのデータとし
,
可積分条件
(3)
のもとで
$Y_{0},$ $Y_{1},$$Z$
を決定する.
これにより実の $(n+m)$ 次元表現
$(X_{0},X_{1} , Y_{0}, Y_{1} , Z)$
が構成され
,
特異因子
$w=0$
への制限が
(8)
を部分系に含む 2 変数形式的
KZ
方程式の
$(n+m)$
次元表現が得
このような表現の構成を,
本研究においては
2
変数形式的
KZ
方程式の表現への延長と呼
ぶことにする
. このとき
,
次の問題が自然に想起される
.
問題
1
変数形式的
KZ
方程式の表現
$X_{0}’,$$X_{1}’$に対し
,
どのような
2
変数形式的
KZ
方程式
の表現への延長が実現されるか
,
すなわちどのような
2
変数形式的
KZ
方程式の表現がど
れくらい得られるか
?
また
, この問題から派生する具体的な問題として
,
問
$\text{
題^{}\prime}m=1$
とし,
$X_{0}’,$$X_{1}^{l}$に一般超幾何方程式
$nE_{\mathcal{R}-}i(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n};\beta_{1}, \ldots, \beta_{n-1;}z)$$[ \theta\prod(\theta+\beta_{j}-1)-z\prod(\theta+\alpha_{i})]g=0$
$($ただし
$\theta:=z\frac{d}{dz})$の表現を与える
. また
,
$\alpha_{1},$$\ldots,$$\alpha_{n},$ $\beta_{1},$
$\ldots,$ $\beta_{n-1}\in \mathbb{C}$
は以下のパラメータ条件
$\alpha_{1}\cdots\alpha_{n}q\prod_{\rangle}.,(p_{j}+\alpha_{i})\neq 0J=1,.r\iota-1i=1.’.\cdot\cdot n$
(9)
をみたすとする
$*$1
$($
ただし $p;:=1-\beta;,$
$q:= \sum\alpha i+\sum_{P1})$
.
このときどのような 2 変数
形式的
KZ
方程式の
$(n+1)$
次元表現がどれくらい得られるか ?
が挙げられる
.
本稿においては問題
’
の
$n=2,3$
の解決を目的とする. 各々の場合に与え
る表現
$(\varphi_{i}:=z^{i}d^{i}/dz^{i}g(i=0, \ldots, n-1)$
として方程式
(8)
を構成したときに得られ
る行列の組
$)$は以下の通りである
:
$n=2$
$X_{0}’=(\begin{array}{ll}0 10 p_{1}\end{array})$
,
$X_{1}’=(\begin{array}{ll}0 0\alpha_{1}\alpha_{2} q\end{array})$.
(10)
$n=3$
$X_{0}’=(\begin{array}{llllll}0 1 00 1 10 -t_{2} -t_{1} -1 t_{l} -1\end{array})$
,
$X_{1}’=(\begin{array}{llll}0 0 00 0 0s_{3} s_{2} -t_{2}+q q\end{array})$.
(11)
ただし
$s_{i}:\alpha_{1},$ $\ldots,$ $\alpha_{n}$の
$i$次基本対称式
,
$t_{j}:p_{1},$
$\ldots$
,
$p_{n-1}$
の
$i$次基本対称式
$*1$微分作要素
$\theta\prod(\theta+\beta_{j}-1)-z\prod(\theta+\alpha\iota)$が右から因子分解されないための必要条件として意味を持
詳しくは後に述べるが,
これら
$n=2,3$
の場合に与える表現
(10), (11)
を
2
変数形式的
KZ
方程式の表現に延長すると,
得られる表現のうち自明な延長
$*$2
に同値な表現を除けば
,
$n=2$
の場合には
(
有限個の場合を除いて
)Appell
の超幾何関数
$F_{1},$$n=3$
の場合には
Appell
の超幾何関数
$F_{2}$のみたす
2
変数形式的
KZ
方程式の表現に同値な表現であると
いう結果を得る. これはすなわち
Appell
の超幾何関数
$F_{1},$$F_{2}$の特徴付けに関する結果で
ある
.
2
章で $n=2$
の場合
,
3
章で $n=3$ の場合についての説明をする
.
なお
$n=2$
の
Appell
の超幾何関数
$F_{1}$の特徴付けに関する結果については,
1972
年の
R.
Ger\’ard ,
A.H.M.
Levelt
の研究
[GL],
及び 2002 年の
S.
Hamada ,
J. Kaneko
の研
究
[HK]
の部分結果であることに注意する
.
彼らはより一般に
3
次元表現全体を分類
,
考察
しており
, 私が考察対象としている
3
次元表現はその一部でしかないからである
.
2
Gauss
の超幾何微分方程式
$2E1$
に対する
2
変数形式的
KZ
方程式の表現への延長
2.1
表現の分類
この節では,
パラメータ条件
(9)
のもとで
,
$w=0$ への制限が
Gauss
の超幾何微分方程式
2
$E_{1}(\alpha_{1}, \alpha_{2};\beta_{1_{-}}:z)$を部分系に含む
2
変数形式的
KZ
方程式の 3 次元表現を分類する.
ま
ず
,
分類すべきは
(10)
より
$(X_{0}, \ldots, Z)\sim(\tilde{X}_{0}, \ldots,\tilde{Z})$
s.t.
$\tilde{X}_{0}=(\begin{array}{lll}0 l *0 p_{1} *0 0 *\end{array})$,
$\tilde{X}_{1}=(\begin{array}{lll}0 0 *\alpha_{1}\alpha_{2} q *0 0 *\end{array})$(12)
なる表現
$(X_{0}, X_{1}, Y_{0}, Y_{1}, Z)$
である
.
こうした 3 次元表現全体を
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$で表すことに
する.
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$の元を全て求めるには
,
可積分条件
(3)
のもとで
$\{\begin{array}{l}X_{0}= (000 p_{1}01 x^{0}x_{23}^{0}x_{33}^{0}13) , X_{1}=(\alpha_{10}\alpha_{2}00q0 x_{23}^{1}x^{1}x_{33}^{1}13)Y_{i}=(y_{jk}^{i})_{1\leq j,k\leq 3}(i=0,1), Z=(zjk)_{1\leq j,k\leq 3}\end{array}$
(13)
$r2$
これは後に本質的に 1 変数
KZ
方程式の表現,
あるいは本質的に
$nE_{n-1}(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n};\beta_{1}, \ldots, \beta_{\hslash-1};z)$なる
$(X_{0)}\ldots, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$を決定すれば十分である
.
$N_{\alpha_{1_{7}}\alpha_{2},p_{1}}’$で
(13)
をみたす表現
全体を表すことにする.
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}’$
に属する表現を以下の場合分けにしたがって分類する
.
(I)
$(X_{0}, X_{1})o^{O}((\begin{array}{lll}0 1 00 p_{1} 00 0 x_{33}^{0}\end{array}), (\begin{array}{lll}0 0 0\alpha_{1}\alpha_{2} q 00 0 x_{33}^{1}\end{array}))$(II)
$(X_{\text{砺}}X_{1})\sim((\begin{array}{lll}0 1 00 p_{1} 00 0 x_{33}^{0}\end{array}), (\begin{array}{lll}0 0 0\alpha_{1}\alpha_{2} q 00 0 x_{33}^{1}\end{array}))$(II–1)
$x_{33}^{0}\neq 0,p_{1}$or
$x_{33}^{1}\neq 0,$$q$or
$x_{33}^{0}-x_{33}^{1}+y_{11}^{0}-y_{33}^{0}\neq-\alpha_{1},$
$-\alpha_{2}$(II–2)
$x_{33}^{0}=0,p_{1}$
,
$x_{33}^{1}=0,$
$q,$
$x_{33}^{0}-x_{33}^{1}+y_{11}^{0}-y_{33}^{0}=-\alpha_{1},$
$-\alpha_{2}$$(II-1),$ $(II-2)$
で考慮する
$x_{33}^{0},$ $x_{33}^{1},$$x_{33}^{0}-x_{33}^{1}+y_{11}^{0}-y_{33}^{0}$
に関する条件は,
それぞれ
$X_{0},$ $X_{1},$
$X_{0}-X1-Y_{0}$
の固有値の重複度に関わる条件であることに注意する
.
また
,
実際に可積分条件
(3)
から表現を求めるとき,
次の補題
$([KiH]$
参照
$)$を多用する
.
補題
4
$A,$
$B$
をそれぞれ与えられた
$k,$
$l$次正方行列とし
,
$k\cross l$行列
$X$
についての次の行
列方程式
AX–XB
$=0$
を考える
.
このとき
,
$A$
の固有値と
$B$
の固有値に共通なものが存在しないならば
,
$X=0$
が成り立っ
.
まず,
$($I) をみたす表現についてであるが
7
この場合はさらに
$X_{0},X_{i}$
の固有値に着目して,
$x_{33}^{0}\vee$
ついて
$x_{33}^{0}\neq 0,p_{1},$$x_{33}^{0}=0,$
$x_{33}^{0}=p_{1}$
の 3 通り,
$x_{33}^{1}$について
$x_{33}^{1}\neq 0,$ $q,$$x_{33}^{1}=0$
,
$x_{33}^{1}=q$
の
3
通りに場合分けする
. こうして計
9
通りに場合分けするわけだが
,
$x_{33}^{0}\neq 0,p_{1}$または
$x_{33}^{1}\neq 0,$$q$を仮定する場合
(5
通り
)
においては,
行列を
2
$\cross 2,2\cross 1,1\cross 2,1\cross 1$
行列に区分けして考える.
このとき,
例えば
$[X_{0}, Y_{1}]=0$
や
$[X_{1}, Y_{1}+Z]=0$
等の行列方
程式において補題
4
が適用できる
.
このことと
(I)
を仮定していることに注意して計算し
ていく
.
残り
$($4 通り
$)$については,
先の行列の区分けをしても補題 4 の適用が困難なので,
これらの場合には
(I)
に反さないように直接計算する
.
この方針により次の命題を得る
.
命題
5(I)
をみたす表現
$(X_{0}, X_{1}, Yo, Y_{1}, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}’$
は
のいずれかに同値である
.
命題
5
より得られる表現は
,
本質的には
1
変数形式的
KZ
方程式の表現
$d \psi=(\frac{X_{0}}{z}dz+\frac{X_{1}}{1-z}dz)\psi$
である.
実際
,
$\epsilon=0$のときは
$w$方向の情報はないので
,
明らかに上述の
1
変数形式的
KZ
方程式の表現である
.
また,
$\epsilon=-1$
のときは, 上述の 1 変数微分方程式の解を
$\psi(z)$
とし
たとき
,
$\psi(z(1-w)/(1-zu’))$
がみたす
2
変数微分方程式を表すので
,
この場合も結局は
上述の
1
変数形式的
KZ
方程式の表現が本質的である
.
次に
(II
–1)
をみたす表現についてであるが
,
この場合は先と同様に行列を
2
$\cross 2,2\cross$1,
1
$\cross 2,1\cross 1$
行列に区分けして考える. このとき
,
仮定より補題
4
が必ず適用できる状況
にあり
,
そのため比較的容易に次の命題を得る
.
命題
6(II –1)
をみたす表現
$(X_{0}, X_{1} , Y_{0}, Y_{1}, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}’$は
$((\begin{array}{ll}\lambda_{0}^{r/} 00 x_{33}^{0}\end{array}), (\begin{array}{ll}X_{1}’ 00 x_{33}^{1}\end{array}), (\begin{array}{ll}0 00 y_{0}\end{array}), (\begin{array}{ll}\hat{c}X_{o}’ 00 y_{1}\end{array}), (^{\epsilon(X_{1_{0}}’X_{0}’)} \sim 0,))(\epsilon=0, -1)$
のいずれかに同値である
.
ただし
,
$X_{0}’,$$X_{1}’$は
Gauss
の超幾何微分方程式
$2E_{1}$の表現
(10)
とし,
また
$y_{i}:=y_{33}^{i}-y_{11}^{i}(i=0,1),$
$z’:=z_{33}-z_{11}$
とする.
命題
6
より得られる表現は
2
つの表現
(
第
1, 2
成分のなす表現は
, 先と同様の意味で,
本
質的に
Gauss
の超幾何微分方程式
2
$E_{1}(\alpha_{1}, \alpha_{2};\beta_{1};z)$の表現
,
第
3
成分のなす表現は
2
変
数形式的
KZ
方程式の
1
次元表現
)
の直和に同値な表現である
.
残るは
$(II-2)$
をみたす表現についてであるが, この場合は先と同様の行列の区分けをし
ても補題
4
の適用が困難である
. したがって
, (II–2)
においては可積分条件
(3)
から直接
計算する
.
このとき
$y_{13}^{1},$$y_{32}^{1}$が
$0$であるか否かによって計算の状況が異なり
,
それぞれ次
の命題で述べる表現を得る
.
命題
7
$(X_{0}, X_{1}, Y_{0}, Y_{1}, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}’$は
(II–2)
をみたすとする
.
(i)
$y_{13}^{1}=y_{32}^{1}=0$
ならば
,
$(X_{0}, X_{1}, Y_{0}, Y_{1}, Z)$
は
のいずれかに同値である
.
ただし
,
各記号は命題 6 と同様である.
(ii)
$y_{13}^{1}\neq 0$または
$y_{32}^{1}\neq 0$ならば
,
以下で定める表現
X
$(\alpha_{1},$$\alpha_{2},$$p_{1};x_{33}^{0},$$x_{33}^{1},$$\tau_{2},$ $\epsilon)$ある
いは
X
$(\alpha_{2},$$\alpha_{1},p_{1};x_{33}^{0},$$x_{33}^{1},$ $\tau_{2},$$\epsilon)$のいずれかと同値である
.
X
$(\alpha_{1},$$\alpha_{2},p_{1};x_{33}^{0},$$x_{33}^{1},$$\tau_{2},$ $\epsilon)$
:
$\{\begin{array}{l}\lambda_{0}^{r}=[Matrix], X_{1}=[Matrix], Y_{0}=(x_{33}^{0}-x_{33}^{1}+\alpha_{2})[Matrix]Y_{1}=\epsilon[Matrix]+(p_{1}+\alpha_{2}-x_{33}^{0}-x_{33}^{1})(1+\epsilon)[Matrix]+\tau_{1}[Matrix]+(p_{1}+\alpha_{2}-x_{33}^{0}-x_{33}^{1})\tau_{2}[Matrix]Z=\epsilon[Matrix]+(\alpha_{1}+x_{33}^{0}-x_{33}^{1})(1+\epsilon)[Matrix]+_{p_{1}+}^{\alpha_{1}+}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha_{2}-x_{33}}^{x^{0}-x^{1}}\tau_{1}[Matrix]+(x_{33}^{0}-p_{1}-\alpha_{2})\tau_{2}[Matrix]\end{array}$
$X(\alpha_{2},$$\alpha_{1},p_{1};x_{33}^{0},$ $x_{33}^{1},$
$\tau_{2},$$\epsilon):X(\alpha_{1},$$\alpha_{2},$$p;x_{33}^{0},$$x_{33}^{1},$$\tau_{2},$$\epsilon)$
の
$\alpha$1
と
$\alpha_{2}$を入れ替えた表現
.
ただし
$(\tau_{1}, \tau_{2}, \epsilon)$は
$\epsilon\in \mathbb{C},$
$\tau_{2}=1,$
$\tau_{1}=\epsilon(1+\epsilon)$$or$
$\tau_{2}=0,$ $\tau_{1}=1,$
$\epsilon=0,$
$-1$
(14)
をみたすとする
*3.
以上
3
つの命題を用いれば
,
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$について次の定理を得る.
定理 8
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$の部分集合
$U_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}},$$V_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}},$ $W_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$を
$U_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}:=G\{(X_{0},$ $X_{1},$$Y_{0},$ $Y_{1},$$Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}’|(I)$
をみたす
$\}$$V_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}:=G\{$
(
$X_{0},$ $X_{1},$$Y0$
,
$Y_{1}$,
$Z)\in N_{\alpha,\alpha_{2}}’$,.
$1|$(II)
をみたす
,
$y_{13}^{1}=y_{32}^{1}=0\}$
$W_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}:=G\{$
(
$X_{0},$$X_{1}$,
$Y_{0},$$Y_{1}$,
$Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2}}’$,.
$1|(II-2)$
をみたす
,
$y_{13}^{1}\neq 0$or
$y_{32}^{1}\neq 0\}$$*3(\tau_{1},$$\tau_{2})\in \mathbb{P}^{1},$$\epsilon\in \mathbb{C}s$
.t.
$\tau_{1}\tau_{2}=\epsilon(1+\epsilon)$のように簡潔に表記することは可能だが,
一斉相似変換と
とおく
. このとき
,
次が成り立っ
:
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}=U_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}uV_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}UW_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$
.
また
,
$U_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$に属する表現は本質的に
1
変数形式的
KZ
方程式の表現に同値であり
(
命
題
5),
$t_{\alpha_{1},\alpha_{2)}p_{1}}^{r}/$に属する表現は本質的に
Gauss
の超幾何微分方程式
2
$E_{1}(\alpha_{1}, \alpha_{2};\beta_{1};z)$の
表現と
2
変数形式的
KZ
方程式の
1
次元表現の直和に同値
(
命題
6,
命題
$7(i)$
)
である
.
さらに
,
$W_{\alpha_{1},\alpha_{2},\rho_{1}}$について
$\nu V_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}=\cup\{GX(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon)\cup GX(\alpha_{2}, \alpha_{1},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon)\}$
(14)
が成り立つ
$($命題
$7(ii))$
.
22
パラメータの置き換えと
$x(\alpha_{1},$ $\alpha_{2,p_{1};x_{33}^{0},x_{33}^{1},\tau_{2,\vee})}c$前節の定理 8 より,
あとは表現
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon),$ $X(\alpha_{2}, \alpha_{1},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon)$がどのような方程式を表現するのか考察すればよい
.
まず
,
$X(\alpha_{2}, \alpha_{1},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon)$は命題
7(ii)
より
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon)$に対し
$\alpha_{1}$
と
$\alpha_{2}$の配置を入れ替えただけの表現であるから
,
両者に本質的な違いはない
.
した
がって表現
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1}, \tau_{2}, \epsilon)$を考察すれば十分であることに注意する
.
命題 9
$(\tau_{1}, \tau_{2}, \epsilon)$は
(14)
をみたす任意の組とする
.
このとき次が成り立つ
.
(i)
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1}, q, \tau_{2},\epsilon)\sim X(-p_{1}-\alpha_{2}, -p_{1}-\alpha_{1},p_{1};p_{1},0, \tau_{2}, \epsilon)$
.
(ii)
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};0, q, \tau_{2}, \epsilon)\sim X(-\alpha_{2}, -\alpha_{1}, -p_{1};-p_{1},0, \tau_{2}, \epsilon)$.
(iii)
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};0,0, \tau_{2}, \epsilon)\sim X(p_{1}+\alpha_{1},p_{1}+\alpha_{2}, -p_{1};-p_{1},0, \tau_{2}, \epsilon)$
.
実際, (i)
については,
$T=(\begin{array}{lll}\alpha_{1}\alpha_{2} q 00 (p_{1}+\alpha_{1})(p_{1}+\alpha_{2}) 00 0 (p_{1}+\alpha_{l})(p_{l}+\alpha_{2})\end{array})$
なる
$T\in GL(3, \mathbb{C})$
に対し,
add
$(O, -q, 0,0, -q\epsilon)\circ\hat{T}$
を
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1}, q, \tau_{2}, \epsilon)$に施す
ことで得られる
.
(ii),(iii)
についても同様の変換を比較的容易に見つけることができる.
ここで,
$\alpha_{1}’:=-p_{1}-\alpha_{2},$
$\alpha_{2}’:=-p_{1}-\alpha_{1},p_{1}’:=p_{1}$
とおくと
,
命題
9
の
(i)
より
を得るが
,
この
$\alpha_{1}’,$$\alpha_{2}’,p_{1}^{l}$は
$\alpha_{1}’\alpha_{2}’q’(p_{1}’+\alpha_{1}’)(p_{1}’+\alpha_{2}’)\neq 0(q’:=\alpha_{1}’+\alpha_{2}’+p_{1}’)$
をみたす. この式はパラメータ条件
(9)
そのものである.
よって,
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},pi;pi, 0, \tau_{2}, \epsilon)$を考察すれば,
上述の同値関係より
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1}, q, \tau_{2,\circ}\tau)$についても考察がなされるこ
とになる.
(ii),(iii)
についても同様のことが言えるので
,
結局
$X(\alpha_{1},$$\alpha_{2},$$p_{1};p_{1},0,$
$\tau_{2},$$\epsilon)$を
考察すれば十分である
.
2.3
Appell
の
$F_{1}$と
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1},0, \tau_{2}, \epsilon)$の関係
Appell
の超幾何級数
$F_{1}(\alpha, \beta, \beta’, \gamma;x, y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}(\beta’)_{n}}{(\gamma)_{m+n}m!\prime?!}x^{m}y^{n}$
がみたす全微分方程式系は以下の通りである
([H],[Ko]
を参照
.
ただし
$p:=1-\gamma,$
$q:=$
$\alpha+\beta+p)$
:
$d\varphi=\{$
$\frac{dx}{x}(\begin{array}{lll}0 1 00 p+\beta’ 00 -\beta’ 0\end{array})+ \frac{dx}{1-x}(\begin{array}{lll}0 0 0\alpha\beta q \beta 0 0 0\end{array})+ \underline{d}_{A,y}(\begin{array}{lll}0 0 10 0 -\beta 0 0 p+\beta\end{array})$(15)
$+ \frac{dy}{1-y}(\begin{array}{lll}0 0 00 0 0\alpha \beta \alpha\end{array})+ \frac{d(x-y)}{x-y}(\begin{array}{lll}0 0 00 - \beta 0 \beta -\end{array}) I^{\varphi}$
.
$(x, y)=(0,0)$
において
blow-up $(x=z, y=zw)$
することで,
方程式
から次を得る
:
$d\varphi=\{$
$+$
$\frac{dz}{z}(\begin{array}{lll}0 1 10 p 00 0 p\end{array})+ \frac{dz}{1-z}(\begin{array}{lll}0 0 0\alpha\beta q \beta 0 0 0\end{array})+ \frac{dw}{w}(\begin{array}{lll}0 0 l0 0 -\beta 0 0 p+\beta\end{array})$
$\frac{dw}{1-w}(\begin{array}{lll}0 0 00 \beta’ -\beta 0 -\beta \beta\end{array})+ \frac{d(zw)}{1-zw}(\begin{array}{lll}0 0 00 0 0\alpha\beta’ \beta p+\alpha+\beta’\end{array}) I^{\varphi}$
.
(16)
この
2
変数形式的
KZ
方程式の表現
(16)
を
Appell
の超幾何関数
$F_{1}(\alpha, \beta, \beta’, \gamma;z, zw)$のみたす
2
変数形式的
KZ
方程式の表現と呼び,
XFl
$(\alpha, \beta, \beta’,p)$と表すことにする.
定理
10
表現
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1},0, \tau_{2}, \epsilon)$について
,
次が成り立っ
.
$*4$
(i)
$\tau_{2}=1,$
$\epsilon\neq 0$ならば
,
$x(\alpha_{1)}\alpha_{2,p_{1};p_{1},0,1,\epsilon)\sim X_{F_{1}}}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, (p_{1}+\alpha_{2})\epsilon,p_{1})$.
(ii)
$\tau_{2}=0,$
$\epsilon=0$ならば
,
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1},0,0,0)\sim X_{F_{1}}(\alpha_{1}, \alpha_{2},0,p_{1})$
.
実際,
(i)
については
$T=(\begin{array}{lll}1 0 -\frac{e}{\alpha_{2}}0 l \epsilon 0 0 -\frac{(p_{1}+\alpha_{2})e}{\alpha_{2}}\end{array})$
なる行列
$T\in GL(3, \mathbb{C})$
に付随する一斉相似変換
$\hat{T}$を,
(ii)
については
$T=(\begin{array}{lll}1 0 -\frac{1}{\alpha_{2}}0 l 10 0 -\frac{p_{1}+\alpha_{2}}{\alpha_{2}}\end{array})$
なる行列
$T\in GL(3, \mathbb{C})$
に付随する一斉相似変換
$\hat{T}$を施せばよい
.
定理
10
より
,
$\nu V_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$に属する表現のほとんどが
Appell
の超幾何関数
$F_{1}$のみたす
2
変
数形式的
KZ
方程式の表現と同値であることがわかった
.
残るは
$X(\alpha_{1},$$\alpha_{2},p_{1};p_{1},0,1,0)$
,
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1},0,0, -1)$
の
2
つの表現である
. これらについては未だ完全な特徴づけ
ができていない
.
しかしながら, 両者ともにいかなる一斉相似変換
,
a,ddition
を施しても
Appell
の超幾何関数
$F_{1}(\alpha,\beta, \beta’, \gamma;z, zw)$
のみたす
2
変数形式的
KZ
方程式の表現に変
換できないこと
,
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2},p_{1};p_{1},0,0, -1)$
は可約な表現であることは既に確認してある
.
以上の議論をまとめると
,
次を得る
:
Gauss
の超幾何微分方程式 2
$E_{1}(\alpha_{1}, \alpha_{2};\beta_{1};z)$の表現を 2 変数
KZ
方程式の表現へ延長し
て得られる表現は, 本質的に
1
変数形式的
KZ
方程式の表現と,
本質的に
Gauss
の超幾何
微分方程式
2
$E_{1}(\alpha_{1}, \alpha_{2};\beta_{1};z)$の表現と 2 変数形式的
KZ
方程式の
1
次元表現の直和
,
そ
して未だ特徴づけがなされていない
16
種類の表現
$*$5
に同値な表現を除けば
,
Appell
の超
幾何関数
$F_{1}$のみたす
2
変数形式的
KZ
方程式の表現に同値な表現である
.
$*5$命題 9 より,
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2}, p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1},1,0)$と
$X(\alpha_{1}, \alpha_{2}, p_{1};x_{33}^{0}, x_{33}^{1},0, -1)(x_{33}^{0}=0, p_{1}, x_{33}^{1}=0, q)$,
3
一般超幾何方程式
3
$E_{2}$
に対する
2
変数形式的
KZ
方程式の
表現への延長
3.1
表現の分類
この節では
, 2.1
と同様に
,
パラメータ条件
(9)
のもとで,
$w=0$
への制限が一般超幾何方
程式 3
$E_{2}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3};\beta_{1}, \beta_{2};z)$を部分系に含む 2 変数形式的
KZ
方程式の
4
次元表現を分
類する
.
まず,
分類すべきは
(11)
より
$(X_{0}, \ldots, Z)\sim(\tilde{X}_{0}, \ldots,\tilde{Z})s.t$
.
$\tilde{X}_{0}=(0000$
$t_{1}-t_{2}-1011$
$t_{1_{0}^{0}}11$ $****),\tilde{\lambda^{r}}_{1}=(\begin{array}{lllll}0 0 0 *0 0 0 *s_{3} q+s_{2} -t_{2} q *0 0 0 *\end{array})$(17)
なる表現
$(X_{0}, X_{1}, Y_{0}, Y_{1}, Z)$
である.
こうした
4
次元表現全体を
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}$で表すこ
とにする
.
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}$の元を全て求めるには
,
可積分条件
(3)
のもとで
$\{\begin{array}{l}X_{0}=(0000 t_{1}-t_{2}-1011 t_{1_{0}^{0}}11 x_{24),X_{1}=}^{0}x^{0}x_{34}^{0}x_{44}^{0}14(c_{0}0q_{3}0 s_{2}-t_{2}+q000 000q x^{1}x_{24)}^{1}x_{34}^{1}x_{44}^{1}14(18)Y_{i}=(y_{jk}^{i})_{1\leq j,k\leq 4}(i=0,1), Z=(z_{jk})_{1\leq j,k\leq 4}\end{array}$
なる
$(X_{0}, \ldots, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1)}p_{2}}$を決定すれば十分である
.
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’$で
(18)
をみ
たす表現全体を表すことにする
.
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’$
に属する表現を
,
Gauss
の超幾何微分方程式
2
$E1$
の場合と同様に,
以下の
場合分けにしたがって分類する.
(I)
$(X_{0}, X_{1})\#((\begin{array}{lllllll}0 1 0 00 l l 00 t_{1} -t_{2} -l t_{1} -l 00 0 0 x_{44}^{0}\end{array}), (\begin{array}{lllll}0 0 0 00 0 0 0s_{3} s_{2} -t_{2}+q q 00 0 0 x_{44}^{l}\end{array}))$(II)
$(X_{0}, X_{1})\sim((\begin{array}{lllllll}0 1 0 00 1 1 00 t_{1} -t_{2} -l t_{1} -l 00 0 0 x_{44}^{0}\end{array}), (\begin{array}{lllll}0 0 0 00 0 0 0s_{3} s_{2} -t_{2}+q q 00 0 0 x_{44}^{1}\end{array}))$(II –1)
$x_{44}^{0}\neq 0,p_{1},p_{2}$
or
$x_{44}^{1}\neq 0,$$q$or
$x_{44}^{0}-x_{44}^{1}+y_{11}^{0}-y_{44}^{0}\neq-\alpha_{1},$
$-\alpha_{2},$ $-\alpha_{3}$(II–1),
(II–2)
で考慮する
$x_{44}^{0},$ $x_{44}^{1},$$x_{44}^{0}-x_{44}^{1}+y_{11}^{0}-y_{44}^{0}$
に関する条件は,
それぞれ
$X_{0},$ $X_{1},$
$\lambda_{0}^{r}-X1-Y_{0}$
の固有値の重複度に関わる条件であることに注意する
.
まず,
(I)
をみたす表現についてであるが,
Gauss
の超幾何方程式
2
$E_{1}$の場合の
(I)
と同様
の計算方針で次の命題を得る
.
命題
11
(I)
をみたす表現
$(X_{0}, X_{1} , Y_{0}, Y_{1} , Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’$は
$(X_{0}, X_{1},0, \epsilon X_{0}, \epsilon(X_{1}-X_{0}))$
$(\epsilon=0, -1)$
のいずれかと同値
,
すなわち本質的に
1
変数形式的
KZ
方程式の表現と同値な表現である.
次に
(II
–1)
をみたす表現についてであるが
,
これも
Gauss
の超幾何方程式
2
$E_{1}$の場合
の
(II
–1) と同様に補題 4 を用いて計算することで,
次の命題を得る.
命題
12
(II –1)
をみたす表現
$(\lambda_{0}^{r}, X_{J}, 1_{\acute{0}}, Y_{1}, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’$は
$((\begin{array}{ll}X_{0}’ 00 x_{44}^{0}\end{array}), (\begin{array}{ll}X_{1}’ 00 x_{44}^{1}\end{array}), (\begin{array}{ll}0 00 y_{0}\end{array}), (\begin{array}{ll}\epsilon X_{0}’ 00 y_{1}\end{array}) (^{\epsilon(X_{1}’X_{0}’)}0 z0,))(\epsilon=0, -1)$
のいずれかと同値, すなわち本質的に一般超幾何方程式 3
$E_{2}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3};\beta_{1}, \beta_{2};z)$を表
す表現と, 2 変数形式的
KZ
方程式の
1
次元表現の直和に同値な表現である
.
ただし
,
$X_{0}’,$ $X_{1}’$は一般超幾何方程式
3
$E_{2}$を表す表現
(11)
とし
,
また
$y_{i}:=y_{44}^{i}-y_{11}^{i}(i=0,1)$
,
$z’:=z_{44}-z_{11}$
とする
.
残るは
$($II
$-2)$
をみたす表現についてであるが
,
Gauss
の超幾何方程式
2
$E1$
の場合の
(II –1)
と同様に補題
4
の適用が困難なので
,
可積分条件
(3)
から直接計算しなければな
らない
.
このとき次の命題を得る.
命題
13
$(X_{0}, X_{1} , Y_{0} , Y_{1} , Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’$は
(II–2)
をみたすとする
.
(i)
$y_{14}^{1}=y_{43}^{1}=0$
または
$x_{44}^{1}=q$
ならば,
$(X_{0}, X_{1}, Y_{0}, Y_{1} , Z)$
は
$((\begin{array}{ll}X_{0}’ 00 x_{33}^{0}\end{array}), (\begin{array}{ll}X_{1}’ 00 x_{33}^{1}\end{array}), (\begin{array}{ll}0 00 yo\end{array}), (\begin{array}{ll}\epsilon X_{0}’ 00 y_{1}\end{array}), (^{\epsilon(X_{1_{0}}’X_{0}’)} z0,))(\epsilon=0, -1)$
のいずれかに同値である
.
ただし
,
各記号は命題
12
と同様である
.
$($
ii)
$x_{44}^{1}=0$
,
かつ
$y_{14}^{1}\neq 0$または
$y_{43}^{1}\neq 0$ならば,
以下で定める表現
$X(\alpha_{1}p_{1_{I}}\alpha_{2,p_{2}},\alpha_{3};\alpha_{i}, x_{44}^{0}, \kappa)$$X(\alpha_{1_{1}}p_{1_{1}}\alpha_{2),p_{2}}\alpha_{3};\alpha_{i}, x_{44}^{0}, \kappa)$
:
定理
14
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{8},p_{1},p_{2}}$の部分集合
$U_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}$,
$V_{\alpha\text{、},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}},$ $\nu \mathfrak{s}^{\gamma_{\alpha_{1}\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}}$,
を
$U_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}$$:=G\{(X_{0},$
$X_{1},$$Y_{0},$ $Y_{1},$$Z)\in N_{\alpha\text{、},.\alpha_{2},\alpha_{S},p_{1},p_{2}}’|(I)$をみたす
$\}$$V_{\alpha\text{、},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}:=G\{$
(
$X_{0},$ $X_{1},$$Y0$
,
$Y_{1}$,
$Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’|$(II)
をみたす,
$y_{13}^{1}=y_{32}^{1}=0\}$
$W_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}:=G\{(X_{0}, X_{1}, Y_{0}, Y_{1}, Z)\in N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}’|(II-2)k*f\sim\cdot r,x_{44}^{1}=0y_{13}^{1}\neq 0ory_{32}^{1}\neq 0’\}$とおく.
このとき次が成り立っ:
$N_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{\theta},p_{1},p_{2}}=U_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{S},p_{1},p_{2}}UV_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}UW_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}$
.
また,
$U_{\alpha.\alpha_{3},p_{1},p_{2}}--$.
に属する表現は本質的に
1
変数形式的
KZ
方程式の表現
(命題 11),
$V_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}$
に属する表現は本質的に一般超幾何方程式
3
$E_{2}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3};\beta_{1}, \beta_{2};z)$を表
す表現と
1
階の
2
変数形式的
KZ
方程式の表現の直和
(
命題
12,
命題
13
$(i)$
)
に同値な表現
である.
さらに
,
$l\prime V_{\alpha_{1},\alpha_{2},p_{1}}$について
$W_{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},p_{1},p_{2}}= \bigcup_{i=1,2,3,\prime i=\pm 1}GX(\alpha_{1p_{1,P2}},\alpha_{2},\alpha_{3};\alpha_{i}, x_{44}^{0}, \kappa)$
$x_{44}^{0}=0,p_{1},p_{2}$
が成り立つ
$($命題
$13(ii))$
.
32
パラメータの置き換えと
$X(a_{1}P1,p_{2}$
前節の定理
14
より
,
あとは
18
種類の表現
$X(\alpha_{1p_{1,P’2}},\alpha_{2}\alpha_{3};\alpha i, a;_{44}^{0}, \kappa)$がどのような方程式を
表現するのか考察すればよい
.
まず,
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2,p_{2}},\alpha_{3};\alpha_{i}, x_{44}^{0}, \kappa)$の
$\alpha_{i}$について
,
命題 13(ii)
より
$i=1,2,3$
のいずれを選んだ
としても,
パラメータ
$\alpha_{1},$ $\alpha_{2},$$\alpha_{3}$の役割が変わるだけなので,
本質的な違いはない.
また,
命題 13(ii)
より
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2,p_{2}},\alpha_{3};\alpha_{1},p_{2}, \kappa)$は
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2,p_{2}},\alpha_{3};\alpha_{1},p_{1}, \kappa)$の
$p_{1}$と
$p_{2}$の配置を
交換したものであるから
,
両者に本質的な違いはない
.
よって
,
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2,p_{2}},\alpha_{3};\alpha_{1}, x_{44}^{0}, \kappa)(x_{44}^{0}=0,p_{1})$を考察すれば十分であることに注意する
.
命題
15
$\kappa=\pm 1$
とする
. このとき次が成り立っ
:
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2}p_{2}\alpha s;\alpha_{1},p_{1}, \kappa)\sim X(-p_{1_{1}}p_{2}-p_{1}^{1};p_{1}+\alpha_{1},0, \kappa)$
.
証明としては
,
なる
$T\in GL(4;\mathbb{C})$
に対し
,
add
$(-p_{1_{7}}0_{7}0,p_{1} \{\frac{1+\kappa}{2}+\frac{\kappa(p_{2}-p_{1})}{p_{1}+\alpha_{1}}\}.p_{1}\{\frac{\kappa-1}{2}+\frac{\kappa(\alpha_{2}+\alpha_{3}+p_{1})}{p_{1}+\alpha_{1}}\})\circ\hat{T}$を
$X(\alpha_{1}P\alpha_{2},\alpha\epsilon;\alpha_{1},p_{1}, \kappa)$に施せばよい
.
ここで,
$\alpha_{1}’:=p_{1}+\alpha_{1},$ $\alpha_{2}^{l}:=p_{1}+\alpha_{2},$$\alpha_{3}’:=p_{1}+\alpha_{3},p_{1}’:=-p_{1},p_{2}’:=p_{2}-p_{1}$
とおくと,
$X(\alpha_{1}p_{1_{1}}\alpha 2p_{2}\alpha\epsilon;\alpha_{1}, p_{1}, \kappa)\sim X(\alpha_{11}’\alpha_{2}’,\alpha_{3}’;\alpha_{1}’,0, \kappa)p_{1}^{l},p_{2}’$
を命題
15
より得るが
,
この
$\alpha_{1}’,$$\alpha_{2}’,$$\alpha_{3}’,p_{1}’,p_{2}’$について
$\alpha_{1}’\alpha_{2}’\alpha_{3}^{l}q’\prod_{=i1_{1}2,3},(p_{j}’+\alpha_{i}’)\neq 0(q’:=\alpha_{1}’+\alpha_{2}’+\alpha_{3}’+p_{1}’+p_{2}’)$
をみたす.
この式はパラメータ条件
(9)
そのものである
. したがって
,
結局
2
種類の表現
$X(\alpha_{1_{1}}p_{1}\alpha_{2,p_{2}},\alpha_{3};\alpha_{1},0, \kappa)(\kappa=\pm 1)$
を考察すれば十分であることがわかる
.
3.3
Appell
の
F2 と
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2)}p_{\mu}\eta\alpha_{3})\alpha_{1},0,$ $\kappa)$との関係
Appell
の超幾何級数
$F_{2}(\alpha, \beta, \beta’, \gamma, \gamma’;x, y)=\sum_{rr\iota,r\iota=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}(/3’1_{7l}}{(\gamma)_{m}(\gamma)_{n}m!n!}x^{r}\prime {}^{t}y^{\prime\iota}$
は以下の全微分方程式系をみたす
$($[Ko]
参照
.
ただし
$\delta:=\beta-\gamma+1,$
$\delta’:=\beta’-\gamma’+1)$
:
$d\varphi=\{$
$\frac{dx}{x}(\begin{array}{llll}-\beta 1 0 0-\beta\delta \delta 0 00 0 -\beta 10 0 -\beta\delta \delta\end{array})+ \frac{dx}{1-x}(\begin{array}{llll}0 1 0 00 \alpha-\beta’+\delta-1 0 00 0 0 00 -\beta,\delta’ 0 0\end{array})$$+_{y}^{d} \Delta(\begin{array}{llll}-\beta’ 0 1 00 -\beta’ 0 1-\beta’\delta’ 0 \delta 00 -\beta,5’ 0 \delta’\end{array})+ \frac{dy}{1-y}(\begin{array}{lllll}0 0 1 00 0 0 00 0 \alpha-\beta+\delta’ -1 00 0 -\beta\delta 0\end{array})$
(19)
$x=1-zw,$
$y=z$
と変換すれば,
(19)
から次の微分方程式を得る
:
$d\varphi=\{$
$\frac{dz}{z}(00’$
$1-a-\delta-100$
$\delta 001$,
$1- \alpha--100J+\frac{dz}{1-z}(\begin{array}{lllll}0 0 l 00 0 0 00 0 \alpha-\beta+\delta’ -1 00 0 -\beta\delta 0\end{array})$$+ \frac{dw}{w}$ $(\begin{array}{lllll}0 -1 0 00 -\alpha+\beta’-\delta +1 0 00 0 0 00 \beta.\delta^{l} 0 0\end{array})+\frac{dw}{1-w}(\begin{array}{lllll}0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 \alpha -\end{array})$
(20)
$+ \frac{d(zw)}{1-zw}(\begin{array}{llll}\beta -1 0 0\beta\delta -\delta 0 00 0 \beta -10 0 \beta\delta -\delta\end{array}) I^{\varphi}$
.
この
2
変数形式的
KZ
方程式の表現
(20)
$\backslash$
を
Appell
の超幾何関数
$F_{2}(\alpha,$$\prime 9,$$\beta’,$ $\gamma,$$\gamma’;1-$
$zw,$
$z)$
のみたす 2 変数形式的
KZ
方程式の表現と呼び
,
$X_{F_{2}}(\begin{array}{l}\alpha,\beta.\beta’\gamma,\gamma\end{array})$と表すことにする.
また
,
$x=1/z,$
$y=1-w$
と変換すれば
, (19)
から次の微分方程式を得る
:
$d \varphi=\{\tilde{z}(\begin{array}{lllll}\beta 0 0 0 \beta\delta \alpha-\beta’-1 0 l 0 0 \beta 0 0 -\beta,\delta’ \beta\delta \alpha+\delta -l\end{array})+ \frac{clz}{1-\tilde{z}}(\begin{array}{lllll}0 l 0 00 \alpha-\beta’+\delta -1 0 00 0 0 00 -\beta’\delta’ 0 0\end{array})$
$+ \frac{dw}{w}(\begin{array}{lllll}0 0 -l 00 0 0 00 0 -\alpha+\beta-\delta’ +l 00 0 \beta\delta 0\end{array})+ \frac{dw}{1-\cdot w}(\begin{array}{llll}\beta’ 0 -l 00 \beta’ 0 -1\beta’\delta’ 0 -\tilde{\delta}’ 00 \beta’\delta’ 0 -\delta\end{array})$
(21)
$+ \frac{d(zw)}{1-zw}(\begin{array}{lllll}0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 \alpha+\delta+\delta’ -l\end{array}) \}\varphi$
.
この
2
変数形式的
KZ
方程式の表現
(21)
を
Appell
の超幾何関数
F2
$(\alpha,\beta,\beta’,$$\gamma,\gamma’:1/z$,
$1-w)$
のみたす 2 変数形式的
KZ
方程式の表現と呼び
,
$X_{F_{2}}’(\begin{array}{l}\alpha,\beta,\beta’\gamma,\gamma\end{array})$と表すことにする.
定理 16 表現
$X(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}p_{1},p_{2} ;\alpha_{1},0, \kappa)(\kappa=\pm 1)$について
, 次が成り立っ
.
(i)
$\kappa=-1$
ならば
$X(\alpha_{1}p_{1_{2}}’\alpha_{2_{1},p_{2}}\alpha_{3};\alpha_{1},0, -1)\sim$XF2
$(\begin{array}{lll}\alpha_{\theta}+p_{1}+1 -\alpha_{2} p_{1}+\alpha_{1}1-\alpha_{2}+\alpha_{3} l l+p_{1}-P2\end{array})$.
(ii)
$\kappa=1$
ならば
$X(\alpha_{1}p_{1}\alpha_{2}p_{2}\alpha_{3};\alpha_{1},0,1)\sim X_{p_{2}}’(1+\alpha_{2}-\alpha_{3},1-p_{1}+p_{2})^{*7}$.
$s6$ただし
,
表現内のパラメータ
$\alpha,$$\beta,$$\gamma,$$\gamma’$に対し, 非整数条件等を一切仮定しないとする.
$*7$
命題
13(ii)
より
,
表現
$X(\alpha_{P1}\alpha_{P2}\alpha_{3};\alpha_{1},0, \kappa)(\kappa=\pm 1)$は
$\alpha_{2}$と
$\alpha a$が対称に配置されている.
したがっ
実際,
(i)
$\uparrow$こついては
$T=$
$(\alpha_{1}01$ $1+ \alpha\alpha\frac{\infty s_{2}+q-t_{2}\alpha_{20}\alpha\epsilon}{t_{1^{-}}^{\alpha_{2}\alpha_{8}}1}$ $- \frac{1}{-1\alpha 2\alpha s^{0}2\overline{\alpha 3}3}\overline{\alpha}$$- \frac{(p_{1}+^{\frac{1}{\overline 1\alpha_{0}11)\alpha}}\alpha(p_{2}+\alpha_{1})}{1})\in GL(4, \mathbb{C})$
に対し
add
$(-p_{1},0,0, -t_{2}/\alpha_{1}, \alpha_{2}\alpha_{3}/\alpha_{1}+\alpha_{3})\circ\hat{T}$を
,
(ii)
については
,
$T\in GL(4, \mathbb{C})$
を
$(+^{-\frac{t}{\alpha_{2})0\alpha}-}-12\alpha_{3}$ $\frac{(p_{1}+\alpha_{1^{-\frac{s-t_{2}\frac{t-1}{+\alpha_{1})\alpha\alpha_{2}\alpha_{3}2\alpha_{2}\neq 0\alpha q^{3}}}{\alpha_{\theta}(1+}}})(p_{2}\alpha_{2}+\alpha_{3})}{}$ $(p_{1^{-\frac{1}{\overline\alpha_{2}\alpha_{2}z\alpha_{3})(p_{2}0\Delta_{\frac{\alpha_{3}}{\alpha_{3}}}}}}^{-}+\alpha_{1,\alpha}+\alpha_{1})$ $- \frac-\frac{(p}{}\frac{(p_{1}+\alpha_{1})(p_{2}+\alpha_{1})1+\alpha_{1})(p_{2}+\alpha_{1})s_{30}}{(\alpha_{1}\alpha_{1}(p_{2}+\alpha_{1})}1$
