数理的秩序による構造を基盤とした平面表現における構造の構成と視覚効果の関係

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(1)芸術学論集第 1 号 41-50，2020 年 12 月 Journal of the Society of Art and Design, No. 1, 41-50. Dec, 2020 https://doi.org/10.34524/jsartdesign.1.0_41. 論文. Research Paper. 数理的秩序による構造を基盤とし. Relation Between Composition of. た平面表現における構造の構成と. Structure Using Mathematical Order. 視覚効果の関係. in 2-D Expression and Its Visual Effect. 上浦佑太. KAMIURA Yuta. 筑波大学芸術系. University of Tsukuba. キーワード：数理的秩序／構造／平面表現. Keywords：Mathematical Order/Structure/2-D Expression. 要旨. Summary. 平面状の媒体で展開される表現には、数理的秩序に則. There are some 2-D expressions based on the. って複数の図形を配した構造を基盤とするものがある。. structures composited on mathematical order. This. 本研究の目的は、このような数理的秩序による構造を造. research shows how to use effectively such structure on. 形表現や造形教育において有効に活用するために留意す. expression and education of art and design. Especially,. べき点を示すことである。本研究では、とくに数理的秩. this paper focuses on relation between composition of 2-. 序による構造を構成する図形どうしの位置関係に着目し. D structure using mathematical order and its visual effect.. て平面表現の事例を取り上げ、構造の構成と視覚効果の関係について考察する。本研究では構造を構成する図形どうしの位置関係に着. There are three types of positional relations among the figures on the composition of structure. 1) figures are separated each other. 目して以下 3 種類のタイプに分けた。. 2) figures are in contact with each other. 1）図形どうしを離して並べた構造. 3) figures are arranged to overlap each other. 2）図形どうしが接するように並べた構造. The target of the case studies is paintings and poster. 3）図形どうしが重なるように並べた構造. designs and the like from the 1930s to the present day.. 事例研究の対象としては、平面表現において数理的秩. The study shows that it is effective for expression based. 序の活用が多く見られるようになった 1930 年代から現. on the structure in which the figures are separated from. 代までの絵画やポスターデザインなどを取り上げた。. each other to consider about arrangement and spacing of. 研究の結果、以下のことが分かった。. the figures for emphasizing the difference between each. 図形どうしを離して並べた構造を活用した表現では、. content or for creating optical illusion that occurs between. 構造を構成する図形一つひとつに施されている操作の差. distant element. Also the study shows that it is effective. 異や離れた要素の間に生ずる特殊な見え方を強調するた. for expression based on the structure in which the figures. めに、図形の並べ方や間隔を十分に検討するのが有効で. are arranged in contact with each other to consider about. ある。図形どうしが接するように並べた構造を活用した. figure’s color and shape for emphasizing the fusion of the. 表現では、隣り合う形の融合やシステマチックな平面充. adjacent figures or the rhythm of tesselation by. 填により生まれるリズムを強調するために、構造に対し. systematic operation. And also the study shows that it is. て配置する図形の色や形を十分に検討するのが有効であ. effective for the expression based on the structure in. る。図形どうしが重なるように並べた構造を活用した表. which the figures are arranged to overlap each other to. 現では、構造の成り立ちそのものがもつ数理的な美の強. consider about how lines of structure are crossing or or. connecting. for. emphasizing. the. 調や、形の合成による予期せぬ形の生成のために、図形. contacting. の重なりにより生じる接点や交点、線の連続性などに着. mathematical beauty of structure itself or for generating. 目しつつ構造を検討するのが有効である。. the unexpected shapes.. 芸術学論集，第 1 号，2020 年. 1 41.

(2) 1.序 1-1.研究の背景造形要素の配置と視覚効果の関係は、造形の分野を問わず共通する重要な問題のひとつである。造形要素の配置における方針の一つとして、数理的秩序註 1 の活用がある。数理性に裏づけられた配置による表現には、整然とした美や錯視による意外な視覚効果など独特な魅力がある。数理的秩序を活用した表現は 1930 年代に始まった. 図 1 正方形の画面に数理的秩序による構造を設定する様子. コンクリートアートやスイス派によるデザインを皮切りに、ミニマリズムやオプ・アートなど様々な展開の中で探求されてきた。先行事例には絵画やグラフィックデザインをはじめとする平面、彫刻や建築などの立体、動きを伴う映像やキネティック・アートなど、表現形式を問わず多様な展開がある。近年ではコンピュータによるプログラミングを駆使したジェネラティブアートの発展もめざましい。高度な計算能力を持つパソコンやその他デバイスの普及に加え、先進諸国では義務教育の段階でプ. 図 2 規則的な配置. 図 3 不規則な配置. ログラミングが取り入れられつつある背景もあり、今後ますます数理的秩序を活用した表現は身近なものになっ. 寺美和らによる数理的秩序と錯視効果の関連についての. てゆくはずである。. 研究 5）などがある。このように造形表現と数理性の関係. 数理的秩序に則って画面や空間に造形要素を配置する. に着目した研究は様々あるが、数理的秩序による構造の. とき、配置のよりどころとして基盤的な構造註 2 が必要に. 構成と視覚効果の関係を要素的に比較検証した研究事例. なる。つまり、制作過程では第 1 段階として基盤的な構. は少ない。. 造を設定し、第 2 段階として造形要素を配置するステップで表現がなされる。例えば、図 1 は第 1 段階として正. 1-2.研究の目的. 方形の画面に対して小さな正方形を平面充填した構造を. 本研究の目的は、数理的秩序による構造を基盤とした平. 当てはめる様子である。図 2 と図 3 は、第 2 段階として. 面表現において構造を構成する図形の位置関係が作品の. 構造に沿って正三角形を配置した様子の例である。図 2. 視覚効果にどのような影響を与えているのかを考察し、. では格子状の構造による区画のそれぞれ中央に合同な正. 造形表現や造形教育において有効に活用するために留意. 三角形を 1 つずつ割り当て、下から奇数段目にあたる段. すべき点を示すことである。. は正三角形を左向きに、下から偶数段目にあたる段は正. 数理的秩序による構造を活用した表現は立体表現や映. 三角形を右向きにして規則的に配置している。一方、図. 像表現など他の表現形式においても展開が見られるが、. 3 では正三角形の傾きや位置にばらつきがあるものの、. 本稿ではそれらのうち最も基本的な表現形式である平面. いずれの正三角形も区画の中央付近に位置している点に. 表現註 3 に着目する。また、本稿では比較の都合上、テキ. 着目すると、格子状の構造を基盤とした配置とみなせる。. スタイルやラッピングペーパーのようにパターンの一部. このように、数理的秩序による構造は形を配置する上で. を切り取って扱うことを前提とした表現や映像のように. の補助線として様々に機能する。数理的秩序を活用した. 動きのある表現は避け、紙面や壁面、キャンバスなど造. 表現の先行事例を観察すると、単位形体の充填によらな. 形要素を配置する範囲が単独の平面上に限定されている. い構造も数多くある。構造を構成する図形の配置に関す. 静止した表現のみを事例として取り上げる。具体的には. る工夫が作品の視覚効果に大きな影響を与えている例も. 数理的秩序を活用した表現が隆盛した 1930 年代から現. 少なくない。. 代までに制作された数理的秩序を活用した平面表現のな. 数理的秩序を活用した造形表現を対象とした先行研究. かで、基盤的な構造の活用に関してユニークな視点が見. には、蛭田直らによるパターンデザインの制作および学. られる表現を絵画やポスターデザインなどの作品事例か. 習のためのウェブアプリケーションの開発. 1)、横山智也. ら収集し、それらを調査対象として事例研究を行う。. による数理的秩序による構造に対応した配色システムについての考察 2)、大塚礼穂らによるアルゴリズムを利用して得られる形体の実践研究 3)、石井宏一による造形原 4）. 理としての仕組みと数理性の関連に関する考察、小野. 1-3.研究の方法まず、数理的秩序による構造について、構造を構成する図形の位置関係に着目して分類する。次に、それぞれに. 2 42. Journal of the Society of Art and Design, no.1, 2020.

(3) 該当する平面表現の事例を取り上げて構造の構成と視覚. 本稿では作品を構成する造形要素どうしの位置関係で. 効果の関連を考察する。最後に数理的秩序による構造を. はなく、構造を構成する図形の位置関係に着眼して分類. 造形表現や造形教育において有効に活用するうえで留意. する。したがって、構図の検討や制作手順などの面から. すべき点を示し、結論としてまとめる。. 捉えた時に、構造を構成する図形のうちいくつかを規則的に選んで可視化したものとして捉えた方が合理的であ. 2.構造を構成する図形の位置関係に着目した事例研究. ると見做せる場合、図形どうしが接するように並べた構. 2-1.数理的秩序による 3 種の構造. 造を活用した表現として解釈することとする。. 1930 年代から現代までに制作された数理的秩序による. 以上を踏まえて、これら 3 種類のそれぞれに該当する. 構造を基盤とした平面表現の事例を収集して観察した。. 表現の事例として極力アプローチが異なる表現を 7〜8. 数理的秩序による構造は、構造を構成する図形の配置に. 点ずつ取り上げ、構造と視覚効果の関連を考察する。. 註4. よって以下の 3 種に分類することができる。・図形どうしを離して並べた構造（図 4）. 2-2.図形どうしを離して並べた構造. ・図形どうしが接するように並べた構造（図 5）. ここでは、図形どうしを離して並べることで得られる構. ・図形どうしが重なるように並べた構造（図 6）. 造を活用した平面表現の事例を取り上げる。. 図 4、5、6 に示すのは、合同な正方形を等間隔に配置し. 図 7-1 は、図 7-2 のように正方形どうしを離して並べ. た構造のモデルである。実際の表現においては、合同な. た構造を活用した表現の事例である。それぞれの正方形. 形だけではなく複数の形を組み合わせたり、数列に沿っ. の中には 2 本の長方形が配置されており、端から順に観. て間隔を制御したりする例などがある。なお、図形どう. 察すると一定のリズムで長方形が移動する様子が分かる。. しが接するように並べた構造を活用する場合、構造に沿. 構造を構成する正方形どうしの間隔が一定であることと、. って配置された造形要素どうしが互いに接触しないこと. 正方形のサイズが同じであることにより、それぞれの正. もあり得るため、図形どうしを離して並べた構造を基盤. 方形の内部の配置の違いに自然と注意が向くようになっ. とした表現としても捉えられる可能性がある。しかし、. ている。図 8-1 は、図 8-2 のように 4 つの正方形を離して配置した構造を活用した表現の事例である。正方形の区画にはいずれも等幅のボーダー柄が描かれており、ボーダー柄の角度に着目すると上段は水平・垂直、下段は水平から 45 度ずつそれぞれ左右に傾けたものになっている。4 つの正方形が画面内に等間隔で配置されていることにより、個々に施された操作の差異を見比べやすくしている。図 9-1 は、図 9-2 のように縦横比が 2:1 の長方形を画. 図 4 図形どうしを離して並べた構造のモデル. 面全体に等間隔に配置した構造を活用した表現の事例である。長方形の中に正方形を 2 つ当てはめたものと、1 つだけ当てはめたものをランダムに配置している。整然とした構造を基盤としながらも、そこに当てはめる正方形の数や色をランダムに変化させることにより単調にならず適度な揺らぎを伴うリズム感を表現している。図 10-1 は、図 10-2 のように正方形を等間隔に並べた構造を活用した事例である。正方形が小窓のように機能し、向こう側に同じ大きさ、同じ間隔で配置されている. 図 5 図形どうしが接するように並べた構造のモデル. 黒い正方形の群れが見え隠れしている。黒い正方形は全て同じ大きさだが、見た目には同じに見えない錯視効果が生じている。図 11-1 は、図 11-2 のように正方形を離して配置した構造を活用した表現の事例である。正方形どうしの間隔は僅かだが、この隙間が確保されていることにより和紙の端に見られる柔らかな表情を表現に取り入れることができている。個体差を強調するうえで、僅かな隙間が有. 図 6 図形どうしが重なるように並べた構造のモデル. 効に機能している。. 芸術学論集，第 1 号，2020 年. 3 43.

(4) 図形どうしを離して並べた構造を活用した平面表現. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図 7-1 （上） Julio Le Parc「N°14,Siete secuencias del movimiento de traslación de dos segmentos rojo y azul」1959, gouache on cardboard, 3 15/16 × 25 3/16 inches 図 7-2 （下）作品に使用されている構造. 図10-1 （左） Esther Stocker「Ohne Titel」2010, acrylic on cotton 140×160cm 図10-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、. インターネット上での公開にあたり、. 著作権保護のため掲載図版に. 著作権保護のため掲載図版に. 墨消し処理を施しています. 墨消し処理を施しています. 図 8-1 （左） Sol Lewitte「Wall Drawing 684A」1999, color ink wash 図 8-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図 9-1 （左） Matthew Korbel-Bowers 「Coastal & South City」2012, ポスター図 9-2 （右）作品に使用されている構造. 図11-1 （左）百瀬寿「NE.Gold to Platinum by Magenta」 2006, Mixed media, 85×85cm. 図11-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図12-1 （左） Victor Vasarely「Altaï III」1955-1958, 164×133cm, oil on canvas, Geneva,Switzerland,Collection Fondation Gandur pour I’ Art 図12-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図13-1 （左） Stahl R「Raumwelten」2013, ポスター. 図13-3 （左）構造を密着させて造形要素を当てはめた様子. 図13-2 （右）作品に使用されている構造. 図13-4 （右）構造を密着させた様子. 4 44. Journal of the Society of Art and Design, no.1, 2020.

(5) 図 12-1 は、図 12-2 のように縦長の細い長方形を等間. 円弧が隣の区画の円弧とスムーズに繋がる箇所が多数あ. 隔に配した構造を基盤としたものである。基本的にこの. るため、区画の境界が一部曖昧になる効果が生じている。. 構造に沿って黒い長方形を並べつつ、その一部をずらし. 図 17-1 は、図 17-2 に示すように正方形を敷き詰めた. たり、太さを変えたり、斜め 45°の斜線を取り入れて変. 構造を活用した例である。単位形体の平面充填による構. 形したりすることで断続的に境界線に見える箇所を複数. 造を活用している点ではここまでに挙げた 3 つの作品事. 作り、視覚的補完により実際にはない図形が感じ取れる. 例と同様だが、この作品では純粋な幾何学的抽象表現で. 錯視効果を得ている。. はなく具体的なモチーフ（ここでは日本舞踊の役者）を. 図 13-1 は、図 13-2 のように複数の正方形を離して配. 象った表現がなされている。正方形の中を水平・垂直・. 置した構造を活用した事例である。正方形が 4 列 5 段で. または斜め 45°で直線的に区切って、最小限の分割と配. 20 個敷き詰められ、わずかな間隔をあけて配置されてい. 色により髪型や服装などの風貌を表現している。この作. る。画面左上に配置された正方形から右に進み、続いて. 品は同様の構造と分割のルールに従って複数のバリエー. その下の段の左から右に進む順で観察すると、正方形が. ションがシリーズで展開されており、それらを見比べる. 徐々に円に侵食される規則的な操作が施されていること. ことで分割の工夫を読み解く楽しみも一つの魅力である。. が分かる。図 13-3 は図 13-4 のように正方形どうしを密. 図 18-1 は図 18-2 のように正方形の一辺の長さをフィ. 着させた構造に改変したうえで図 13-1 と同じ図形を配. ボナッチ数列に沿って増幅させつつ、渦巻き状に敷き詰. 置したものであるが、正方形が接していることにより単. めることで構成される構造を活用した表現である。規則. 位を認識することが難しくなり、正方形と円の位置関係. 的な操作によって画面が正方形だけで充填されてゆく様. や推移を直感的に把握することも難しくなっている。構. 子からは数理性に基づく秩序の美を感じる。このように、. 造を構成する図形がほんの少しでも離れていることが形. 相似形体によって画面を敷き詰めることも可能である。. の認識に大きな影響を与えていることが分かる。. この作品では数理性による美しい秩序を損なわないよう、構造を構成する描線をそのまま視覚化している。. 2-3.図形どうしが接するように並べた構造ここでは、図形どうしが接するように並べることで得られる構造を活用した平面表現の事例を取り上げる。. 図 19-1 は、図 19-2 に示すように大きさだけでなくプロポーションも異なる四角形を敷き詰めた構造を活用した表現の事例である。この構造を基盤として配置された. 図 14-1 は、図 14-2 のように 5 つの正方形が縦に接. 四角形をそれぞれ観察すると、左に行くほど横の長さが. するように並べた構造を活用した表現である。上の正方. 倍に、上に行くほど縦の長さが倍になるように構成され. 形から順に観察すると、等分割によって生じる区画が一. ている。一方で、余白部分の幅に着目すると、やはり左. つずつ増加する規則が当てはめられていることが分かる。. に行くほど倍に、上に行くほど倍になる規則に準じてい. さらに、分割によって生じた区画を 3 色で塗り分け、同. る。基盤となる構造がもつ数理性をそのまま生かすこと. じ色を隣り合わせにしないルールを適用している。仮に. により一貫した規則性が生まれ、リズミカルな印象が強. 5 つの正方形が互いに間隔をとって配置されていれば、. 調されている。. 同じ色を隣接させない制限が簡単に成立してしまう。逆. 図 20-1 は、図 20-2 のように平行四辺形を平面充填し. に言えば、構造を構成する図形どうしが接していること. てできる構造を基盤とした表現である。この作品では、. により、形の融合が生じる可能性が生まれている。. 画面中央が半球状に大きく隆起しているかのように見え. 図 15-1 は、図 15-2 のように垂直方向と斜め 45°の直. る錯視効果が生じている。もとの状態が整然とした繰り. 線で囲まれた平行四辺形を隙間なく敷き詰めた構造を活. 返しのパターンであるため、本来の均質な状態からどれ. 用した表現である。隣り合う区画が同色の場合、形が融. だけ変化しているのかをパターンの歪みから直感的に感. 合して大きな色面になる。画面内には縦に細長くつなが. じ取ることができる。配色に関しては画面中央に近づく. った色面や、横に広くつながった色面、「く」の字に折れ. につれて明るく鮮やかに変化させており、構造を構成す. 曲がった色面など、融合してできる形のバリエーション. る四角形どうしが隙間なく接していることにより微妙な. が様々生じている。しかし単位となる平行四辺形は共通. 色の変化を認識しやすくしている。. であるため、安定した秩序の印象は保たれる。. 図 21-1 は、図 21-2 のように構造を構成する正方形の. 図 16-1 は、図 16-2 のように合同な正方形を隙間なく. 配置を自由に組み替えて画面を変形させることができる. 敷き詰めた構造を活用した表現である。図 15-1 の作品. 表現である。正方形の辺を一致させれば絵柄がスムーズ. と違って構造を構成する単位の図形、すなわち正方形を. に繋がるように設計してあるため、様々なバリエーショ. さらにそれぞれ分割して配色している。具体的には、正. ンを楽しむことができる。図 21-3 は「田」の字に接す. 方形の一辺の長さを半径とする円弧を利用し、それぞれ. るように並べた正方形のうち 2 枚を 90°回転させた様. の正方形の内部を様々に分割して塗り分けている。この. 子である。回転後も図柄がスムーズに繋がっていること. 芸術学論集，第 1 号，2020 年. 5 45.

(6) 図形どうしが接するように並べた構造を活用した平面表現インターネット上での公開にあたり、. 著作権保護のため掲載図版に. 図14-2 （右）作品に使用されている構造. 墨消し処理を施しています. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図14-1 （左）Max Bill「progression in fünf quadraten」1970, oil on canvas, 200×40cm. 図17-1 （左）田中一光「Close-up of japan,London」1985 ポスター , シルクスクリーン ,103×72.8cm, 三井グループ図17-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図15-1 （左）Bridget Riley「From Here」1994, oil on linen, 156.2×227.3cm. 図18-1 （左）Enrica Bernini「Conposition with Space Poster」2015 図18-2 （右）作品に使用されている構造. 図15-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図16-1 （左）Marta Marcé「Flowing in Black」2008, acrylic on canvas, 2panels, each 200×170cm. 図16-2 （右）作品に使用されている構造. 著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図19-1 （左）ポール・モーゲンセン「Copperopolis」1978, カンバスにアクリルラッカーと銅 ,335×335cm. 図19-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図 20-1 （左）Victor Vasarely「Cheyt-rond-va」1970, vinyl on wood, 106×100cm, Paris, Collection Lahumière. 図 20-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、. インターネット上での公開にあたり、. 著作権保護のため掲載図版に. 著作権保護のため掲載図版に. 墨消し処理を施しています. 墨消し処理を施しています. 図 21-1 （左）野老朝雄「TOKOLO PATTERN MAGNET vol.04」2006, マグネットシート, 27.8×6cm 図 21-2 （中）作品に使用されている構造（4 つの正方形）を隣接させることで得られる画面のバリエーション図 21-3 （右）4 枚のうち 2 枚だけを 90°回転させた様子（左側は回転前、右側は回転後）. 6 46. Journal of the Society of Art and Design, no.1, 2020.

(7) が分かる。正方形どうしが離れたり重なったりすれば、. 点を回避している。. この連続性は損なわれてしまう。4 つの正方形を辺が一. 図 25-1 は厳密にはレリーフ作品だが、二次元の構造を. 致するように隣接させる規則さえ守ればどんな並べ方で. 基盤とした奥行きの小さな表現であるため事例として取. もなめらかな形の融合が楽しめる点が魅力である。. り上げる。この作品は図 25-2 に示すように 20 個の大きさの異なる正方形を重ねた構造を活用した表現である。. 2-4.図形どうしが重なるように並べた構造ここでは、図形どうしが重なるように並べることで得られる構造を活用した平面表現の事例を取り上げる。. 中心の小さな正方形の 2 つの頂点から、それを取り囲む正方形の 2 つの頂点に向かって分割線を引き、白黒で塗り分けている。この規則を、90 度ずつ回転させながら順. 図 22-1 は、図 22-2 に示すように円とその円に内接す. に適用している。20 個もの正方形を利用した多重構造だ. る正方形による構造を活用した表現である。円に内接す. が、構造を構成する線どうしの幅が等しくなるように考. る正方形の 4 頂点を中心とする 4 つの円弧が画面上に描. 慮して正方形を重ね合わせているため、整然とした数理. かれており、それぞれの円弧の元となる円の直径は画面. 的秩序による美が効果的に表現されている。. の直径を 100%とするとそれぞれ 25%、50%、75%、100%と. 図 26-1 は、図 26-2 のように規則的に重ねて配置され. 25 の倍数になるように制御されている。円と正方形に. た円による構造を基盤とした表現である。配置された円. よる構造の安定感を基盤にしつつ数理性に裏付けられた. はいずれも多くの箇所で別の円と接しているため、複数. 客観的操作を加えることで揺るぎない構図の美を強調し. の円を接点で乗り換えつつ滑らかに辿ってゆくことで自. ている。. 然な曲線により画面分割をすることができる。半径の異. 図 23-1 は図 23-2 のように二重の同心円を画面の長方. なる円弧がスムーズに繋がると、構造を構成する図形の. 形の 4 頂点に配した構造を基盤とした表現である。大き. 境界を見分けることが難しくなるため、背後にある構造. な円の半径は画面の短辺と一致させ、小さな円の半径は. の把握は妨げられる。フリーハンドで自由に描いたかの. 画面の長辺の半分に一致させているため、それぞれの円. ように見える有機的な曲線が、円の規則的配置による無. 形は美しく収まっている。構造を構成する円のうち、画. 機的な構造によるものであるという意外性がこの作品の. 面右下を頂点とする 2 つの円は実際には使用せず、残り. 大きな魅力になっている。. の線により分割された面にそれぞれ色を塗っている。これにより構図の安定性が崩れて画面が活性化している。. 3.考察. 画面中央の白い面も対称性を失って動きを感じさせる独. 2 章では数理的秩序による構造を基盤とした平面表現. 特な形になっているが、これは構造を構成する円の輪郭. について、構造を構成する図形の位置関係に着目して分. が重なることで生まれた形であり、作者のイメージした. 類した上で具体的な事例を取り上げ、それぞれの構造と. 形が描かれたというよりは作図の過程で偶然的に生じた. 視覚効果について個別に分析した。ここでは構造を構成. 形をそのまま生かしたものと考えられる。. する図形の位置関係がどのように作用することでこれら. 図 24-1 は 15 点のシリーズ作品に共通するテーマとし. の視覚効果を生じているのか考察する。. て提示されたものである。図 24-2〜24-4 は 15 点のシリ. 図形どうしを離して並べることで得られる構造を活. ーズのうちの一部である。図 24-1 のテーマは、図 24-5. 用した平面表現には、構造を構成する図形一つひとつに. のように正三角形から正八角形までの正多角形を順に重. 対して施されている操作の差異を強調する視覚効果や、. ね合わせることで得られる構造を基にして、各正多角形. 離れた造形要素どうしの間に生じる特殊な見え方に着目. の辺を一つずつ消すことで得られるものである。図 24-2. した錯視効果の活用がみられる。構造を構成する個々の. は、元の正多角形をそれぞれ違う色で塗りつぶして重ね. 図形に対する操作の差異を強調する表現では、配置され. 合わせたものである。図 24-3 はそれぞれの正多角形の. た造形要素の位置、角度、色、数などの要素がそれぞれ. 頂点から中心に向かって線を引いたものを重ね合わせた. に異なっていることや、それらに一定の関係性があるこ. ものである。図 24-4 はそれぞれの正多角形の内接円と. とを瞬時に知覚できる。これは、数理的秩序に則って整. 外接円の間に生じるドーナツ型の領域を塗りつぶして重. 然と配置された図形が 4 コマ漫画の枠のように一種の舞. ね合わせたものである。図 24-1 の渦巻状の形にも数理. 台として機能し、個々の枠の内部に施された操作につい. 的な美しさがあるが、このテーマから発展させた操作の. て鑑賞者に自然なかたちで比較を促すはたらきがあるか. 工夫により多様なバリエーションを得ている点こそがこ. らだと考えられる。離れた図形どうしのあいだに生じる. のシリーズ作品の見どころである。図形を重ね合わせて. 特殊な見え方を利用した錯視表現もまた、数理的に整理. 得られる構造は、重なりによる複雑化によって元の構造. された構造が持つ規則性とそこに配置される造形要素の. が不明瞭になる危険があるが、この作品ではテーマとし. 規則性を干渉させたり、構図にリズムや統一感を生んだ. て作品とともに基盤的な構造を提示することでその問題. りするのに有効に機能している。構造を構成する図形の. 芸術学論集，第 1 号，2020 年. 7 47.

(8) 図形どうしが重なるように並べた構造を活用した平面表現 25%. 50%. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 100%. 75%. 図 22-1 Robert Mangold「Four Arcs Within a Circle(Yellow)」 1975,Acrylic,graphite,and black pencil on canvas, 191cm diameter,The JPMorgan Chase Art Collection 図 22-2 作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図 23-1 Max Bill「poster for the exhibition die farbe（部分）」 1944, lithograph on paper, 128×90.5cm. インターネット上での公開にあたり、. インターネット上での公開にあたり、. 著作権保護のため掲載図版に. 著作権保護のため掲載図版に. 墨消し処理を施しています. 墨消し処理を施しています. インターネット上での公開にあたり、. インターネット上での公開にあたり、. 著作権保護のため掲載図版に. 著作権保護のため掲載図版に. 墨消し処理を施しています. 墨消し処理を施しています. 図 23-2 作品に使用されている構造. 図 24-5 作品に使用されている構造. 図 24-1（左上） Max Bill「quinze variations sur un même thème : das theme」1938, lithografien, 32×30.5cm 図 24-2（右上） Max Bill「quinze variations sur un même thème：variation 1」1938, lithografien, 32×30.5cm 図 24-3（左下） Max Bill「quinze variations sur un même thème：variation 4」1938, lithografien, 32×30.5cm 図 24-4（右下） Max Bill「quinze variations sur un même thème：variation 12」1938, lithografien, 32×30.5cm. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図 25-1 （左）Marcello Morandini「Struttura 209」1974 図 25-2 （右）作品に使用されている構造. インターネット上での公開にあたり、著作権保護のため掲載図版に墨消し処理を施しています. 図 26-1 （左）Karl Gerstner「AlgoRhythm 1」1982, Nitrocellulose lacquers on phenolic resin panels in aluminum frame,81×80cm 図 26-2 （右）作品に使用されている構造. 8 48. Journal of the Society of Art and Design, no.1, 2020.

(9) 間隔に注目すると、いずれの作品においても形の連続性. 工夫すれば豊富な合成の選択肢が得られ、展開の幅が広. や色の響き合いを意識して間隔を狭めたり、逆に間隔を. がる。. 広くとって個々の特徴を際立たせたりするなど、求める効果に応じて適切に制御されていることが分かる。図形どうしが接するように並べることで得られる構. 4.結論事例研究と考察の結果、以下のような点に留意すると、. 造を活用した平面表現には、隣り合う形の融合やシステ. 構造の特性を有効に生かした表現が可能になりやすいこ. マチックな平面充填により生まれるリズムを強調する視. とが分かった。. 覚効果が認められる。これらはいずれも図形が間隔をあ. 図形どうしを離して並べた構造は、構造を構成する図形. けずにフラットにつながっているからこそ得られる特有. 一つひとつに施されている操作の差異の強調や、離れた. の効果である。隣り合う形が融合して見える表現を観察. 要素どうしの間に生じる特殊な見え方を生かした錯視効. すると、それぞれ鑑賞者に境界を意識させないための適. 果による表現の展開に有効であると考えられる。構造の. 切な工夫が施されている。具体的には、隣り合う区画の. 設定にあたっては、求める視覚効果を引き出すために構. 双方を同じ色で塗ったり、境界を跨いでもスムーズに繋. 造を構成する図形の並びと間隔を十分に考慮するとよい。. がる形を配置したりすることで、境界の認識を意図的に. 造形要素の配置にあたっては、形の連続性や色の響き合. 妨げている。システマチックな平面充填により視覚的な. いが際立つように構造を適宜調整しながら配置を決定す. リズムを強調する効果を生じる表現においては、画面全. るとよいだろう。. 体が単位の反復をはじめとする規則的操作による充填構. 図形どうしが接するように並べた構造は、隣り合う形. 造を基盤としたものとして認識されやすいように構成さ. の融合やシステマチックな平面充填により生まれるリズ. れている。例えば、構造を構成する図形の輪郭線をその. ムを強調する表現の展開に有効であると考えられる。隣. まま線の要素に置き換えたり、構成要素の一部を規則的. り合う形の融合を生かした表現をする場合は、隣り合う. に選択して線や面に置き換えたりするなど、基盤となっ. 区画の色やテクスチャーを同質に揃えたり、境界を跨い. ている構造を積極的に感知させる操作が有効に機能して. でスムーズにつながる形を意識的に配置したりするとよ. いる。. いだろう。境界の認識を曖昧にする方法としては、同一. 図形どうしが重なるように並べることで得られる構造. 色または近似色で塗ったり明度を統一したりするなどの. を活用した平面表現には、構造の成り立ちそのものがも. 配色上の工夫が考えられるほか、光沢の有無や異素材の. つ数理的な美の強調や、形の合成による予期せぬ形の生. 使い分けなどテクスチャーの連続・不連続によっても同. 成が認められる。構造の成り立ちそのものがもつ数理的. 様の効果が期待できる。システマチックな平面充填によ. な美に着目した展開がみられるのは、客観的な手順で図. り生まれるリズムを活用したい場合は、基盤となってい. 形を重ね合わせること自体にパズル的な探求の魅力があ. る構造を積極的に感知させるよう配慮するとよいだろう。. るからだろう。構造を構成する図形どうしを数理的秩序. 造形要素の付加をする場合は、構造を構成する図形の位. に則って重ねるとき、図形の輪郭線が交われば交点が生. 置関係が不明瞭にならないよう留意するとよい。. じ、接すれば接点が生じる。こうした点を活用した形の. 図形どうしが重なるように並べた構造は、構造の成り立. 生成や配置について思考を巡らせることで様々な展開が. ちそのものがもつ数理的な美を強調する表現の展開や、. 得られる。構造を構成する図形どうしの輪郭が接触しな. 形の合成による予期せぬ形を表現に活用する展開におい. い場合でも、図形どうしの頂点の位置関係や図形どうし. て有効であると考えられる。構造の成り立ちそのものが. の隙間に生じる形を手掛かりにして形の生成や配置を検. もつ数理的な美を強調するには、構造を構成する図形ど. 討することができる。このように構造を構成する図形ど. うしの接点や交点などに着目しつつ合理的に図形を重ね. うしが重なりあう関係では、形を模索するきっかけとな. 合わせ、その構造が不明瞭にならない範囲で造形要素を. る要素が生まれやすい。構造の成り立ちが不明瞭になら. 付加するのがよいだろう。形の合成による予期せぬ形を. ない範囲で造形要素を付加した表現では、構造の成り立. 生成したい場合は、規則的操作によらない図形配置の可. ちを紐解く鑑賞の魅力も備わる。図形どうしが重なるよ. 能性についても検討したり、線の連続性などに着目して. うに並べることで得られる構造を活用した平面表現で. 合成の選択肢を豊富に持つ構造を模索したりすると展開. は、形の合成によって予期せぬ形を得ることも期待でき. の幅が広がるだろう。. る。基盤となる構造がもつ数理性は構図に安定感をもた. 数理的秩序による構造を基盤とした平面表現に関して. らすため、必ずしも規則的に造形要素を配置しなくても. は様々な先行研究があるものの、基盤となる構造の構成. 一定の整理された印象を得ることができる。したがっ. に応じた有効な活用方法について着目した研究はなかっ. て、あえて対称性を崩すことで画面を活性化させる方法. た。本稿では数理的秩序による構造を基盤とした平面表. も有効である。線の連続性などに着目して構造の構成を. 現について構造の構成と視覚効果の関係を考察し、造形. 芸術学論集，第 1 号，2020 年. 9 49.

(10) Esther Stocker：Esther Stocker: Verruckte. 表現や造形教育における活用にあたって留意すべき点を. 図 10-1. 示した。したがって、本研究は数理的秩序による構造を. Geometrie / Mad Geometry, Kerber Verlag,p.30,2015. 基盤とした平面表現の発展に寄与するものと考える。. 図 10-2 筆者作図図 11-1 百瀬寿：MOMOSE, Art Space 旧石井県令邸, p.19, 2007. 註註 1 造形表現における数理的秩序とは、複数の造形要素の間. 図 11-2 筆者作図. に成立する数理的な関係性のこと。造形要素の生成や配置にあ. 図 12-1 Serge Lemoine : Vasarely, Silvana,p.86,2014. たって数列に基づく値を参照したり、客観的操作に基づく作図. 図 12-2 筆者作図. により生じる図形どうしの位置関係を活用したり、整数比、黄. 図 13-1 Sandu Publishing：幾何学グラフィックス, パイイン. 金比、白銀比などの整った比を活用したりする表現においてみ. ターナショナル, p.81, 2015. られる。. 図 13-2〜13-4 筆者作図. 註 2 構造とは、平面表現においては画面上の補助線によって. 図 14-1 Eduard huttinger : Max Bill, ABC Verlag, p.89, 1987. 構成される形のこと。造形要素を配置する際の位置の目安とし. 図 14-2 筆者作図. て機能する。グラフィックデザインにおけるグリッドシステム. 図 15-1 加藤有希子ほか：ゆらぎブリジット・ライリーの絵. もこの一種である。註 3 平面表現とは、平面状の媒体で展開される表現のこと。例えば絵画、グラフィックデザイン、イラストレーション、写真、テキスタイルデザイン、映像などが該当する。註 4 本稿では線で囲まれた図形は線ではなく面として捉えるものとする。内接・外接のように包含関係にある図形どうしの輪郭が一部で接している場合、図形は互いに接していると同時. 画, DIC 川村記念美術館, p.121, 2018 図 15-2 筆者作図図 16-1 Bob Nickas : Painting Abstraction, Phaidon Press, p.210, 2014 図 16-2 筆者作図図 17-1 田中一光：田中一光回顧展われらデザインの時代, 朝日新聞社, p.82, 2003. に重なっていることになるが、本稿における 3 つの分類におい. 図 17-2 筆者作図. ては「図形どうしが重なるように並べた構造」として取り扱う. 図 18-1 SendPoints：ビジュアル・ハーモニー, ビー・エ. ことにする。. ヌ・エヌ新社, p.71, 2018. 引用文献. 図 19-1 ジェイムズ・マイヤー：ミニマリズム, ファイドン,. 1）蛭田直,吉川義盛：正三角形のユニットでパターンデザインの制作と学習ができるウェブアプリケーションの開発, デザイン学研究作品集, 22 巻 1 号, pp.14-19,2017 2）横山智也：数的関係による配色方法について, 聖霊女子短期大学紀要, 37 巻, pp.9-15, 2009 3）大塚礼穂, 高橋諒子, 横山弥生：アルゴリズム造形による構成法の考察, 図学研究, 42 巻 Supplement1,pp. 119-122, 2008 4）石井宏一：「仕組み」から「造形表現」を見る,アートとデザインの構成学,朝倉書店,pp.131-148,2011 5）小野寺美和, 埜辺勝, 諸岡英雄, 諸岡晴美, 松本陽一：. 図 18-2 筆者作図 p.137, 2005 図 19-2 筆者作図図 20-1 Serge Lemoine：Vasarely, Silvana,p.184,2014 図 20-2 筆者作図図 21-1 筆者撮影図 21-2 筆者作図図 21-3 筆者撮影および作図による改変図 22-1 Marla Prather ほか : Robert Mangold Beyond the Line Paintings and Project, Harry N. Abrams, p.27, 2009 図 22-2 筆者作図. 正弦波曲線群模様の幾何学的構成要素が波動感に及ぼす効果,. 図 23-1 Max Bill：Max Bill, Fundacion Juan March, p.124,. Journal of Textile Engineering, 53 巻 4 号,pp.143-149,2007. 2016. 図版典拠. 図 24-1 Eduard huttinger：Max Bill, ABC Verlag, p.70, 1987. 図 1〜6 筆者作図. 図 24-2 同書,同頁. 図 7-1 Estrellita B. Brodsky : Julio Le Parc - form into action, Prestel, p.63, 2016 図 7-2 筆者作図図 8-1 Susan Cross : Sol lewitte 100 views, Yale University Press, p.201, 2009 図 8-2 筆者作図図 9-1 ヴィクショナリー：デザインを生み出すカタチ, グラフィック社, p.30, 2012 図 9-2 筆者作図. 図 23-2 筆者作図. 図 24-3 同書,p.72 図 24-4 同書,p.76 図 24-5 筆者作図図 25-1 Silvio Fuso : Marcello Morandini. Catalogo della mostra, Skira, p.31, 2008 図 25-2 筆者作図図 26-1 Karl Gerstner : Karl Gerstner Review of Seven Chapters of Constructive Pictures, Etc, Hatje Cantz,p.206, 2004 図 26-2 筆者作図（2020 年 5 月 15 日原稿受付，2020 年 11 月 7 日採用決定）. 10 50. Journal of the Society of Art and Design, no.1, 2020.

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