熱 伝 導 に 関 す る 高 橋(喜)法
の 球座 標 へ の 拡 張 と一 数 値 計 算 例1)
馬 淵 幾 夫2) 河 合 望2)
An Extention to the Spherical Co-ordinate of Takahasi's Method of Heat Conduction
By Ikuo MABUCHI Nozomu KAWAI Abstract
Recently Y. Takahasi has given a very convenient method solving graphically the problems of heat conduction. In this paper, we extended to the spherical coordinate and applied to the problems with heat radiation from spherical surface and proved the utility.
筆 者 は き きに,光 輝 あ る高 橋(喜)法 を 円〓 座 標 に 拡 張 した一 文 を発 表 した が3),本小 論 で は さ らに球 座 標 に 拡 張 し一 例 と して球 表 面 か ら熱 放散 の場 合 を挙 げ, 厳 密 値 と比 較 して実 用性 をた し か めた も ので あ る. §1. 基 礎 式 方 法 は 円〓 座 標 で 取 り 扱 った と全 く 同様 に行 え ば よ く,詳 しい こ と は前 報文 に ゆず り結 果 の み 書 け ば一 訳 元 の場 合 に,γ を 半 径, μ を温 度 とす る と (1) とな り,平 均 範 囲sと 時 間 間隔 τ,お よび 熱 伝 播 率 κ との間 に は次 の関 係 で つ な が ってい る. (2) 右 辺 の第1項 は高 橋 氏 の よ うに 図 式 に より プ ラ ニ メ ー タ ーを 使 って も出来 る が数 値 的 に は,シ ンプ ソ ン則 を 用 い て も同一 の 目的 を達 ず る こ とが で き る ．そ の 結 果 は (2) とな る.と の 式 の 物 理 的 意味 は,あ る時 刻tに お ける 温 度分 布 が わ か って い る と き,そ れ よ り微 小時 間 τだ け 経過 した時 刻 に お け る温 度 分 布 は,(γ-s)よ り(γ + s)ま で 移 動 平 均 した もの と,時 刻tに お け る温度 勾 配 よ り分 る こ とを 示 す,熱 伝 導 の 鏡 界 値 問題 として は,表 面 の 温 度 勾 配 が 与 え られ る こ とが 多 い か ら,こ の 式 か ら順 次 τ 時 間後 の 温 度 分 布 が 分 り 熱 伝導 の問 題 が とけ る こ とに な る.し か し境 界 以 外 で は― 々s2/3γ ∂u/∂rの値 を計 算 す るこ とは,不 便 で あ るか ら定 差式 を用 うれ ば こ の困 難 は さけ られ(3)は 次 の如 くな り, これ が 任 意 の場 所 お よび,任 意 の時 刻 に お け る温 度分 布 を求 め る数 値 計 算 基 礎 式 で あ る. (4) な お この 計 算 式 の 誤 差 はs4の 程 度 で あ る か らシ ンプ ソン法 則 に 平 均 範 囲sの5乗 故,わ れ わ れ の 必 要 と 140
論文(馬
淵幾夫 ・河合
望)
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す る精 度 よ り高 い こ とは 押 田 氏4)め 論文 に あ る通 りで あ る.し た が って 積分 は も っ と荒 い もの を 使 って もよ い が しか し偶 々公 式 が 簡単 に な る とい う点 で シ ンプ ソ ンの 積 分 則 が 矢 張 り都 合 が よい の で あ る ． 以 上 で 基 礎 式 が 求 ま った の で あ るが 都 合 の 悪 いこ と に は,右 辺第2項 にγ が分 母 に きて い る.こ れは 球 が中 実 で あ る時 は 原 点(球中 心)で は 異 常 点 を 形 成 す る.し か る に 実 際 で は 球中 心 にて も温 度 分 布 は物 理 的 に も有 限 確 定 値 を と ら ねば な ら ない 。 この 困難 は第2 項 を 階 差 式 に直 す前 の(3)に さか の ぼ って 考 え る必 要 が あ る.(1)式 の第2項 を 極 限 定 理 に よ り 分 母 子 を微 分 して そ の 後γ=0と お け ば よ く,す なわ ち と し これ を階 差 式 に な お しγ=0と お き計 算 す れ ば (3)式 は (5) とな り(5)式 は 球中 心 の 左 右 の 温 度 の相 加 平 均 が そ れ よ り時 間 τ だ け経 過 した 時 刻 の 球中 心 の温 度 で あ る こ と を示 す,な お中 空 球 す な わ ち,球 殻 の場 合 は か くの ご とき異 常点 は 存 在 しな い か ら(4)で 全 移動 平 均 範 囲 に亘 って 使 用 出 来 る こ とは 勿 論 で あ る.し か も 球 殻 の場 合 は 中実 球 に比 して解 析 的 に 解 くこ とは 困 難 を増 大 す るの で あ るが 本 法 に よれ ば,全 く中実 球 の 場 合 と手 数 は全 く変 らない 特 長 を もつ.な お ま た,鏡 界 条 件 の 取 扱 い 方 は直 角座 標 に て高 橋 氏 が 十分 研 究 され て い る ので 本 報 で は 詳 細 は高 橋 氏 の 論 文 に ゆ ず る こ と に す る5).また本 法 に よれ ば 熱 伝 導 率 や 比 熱 が 温 度 の 函 数 で あ る場 合 に も簡 単 に 応 用 す る こ とが 出 来 て,こ れ に つ い て は 日高 氏 の論 文6)が あ る こ と を あわ せ て 附 記 す る. §2.数 値 計 算 例 半 径1な る球 が あ って初 め の 温 度 が 一 定(単 位 温 度)に して 球 表 面 か ら熱 が放 散 す る場 合 の不 定 常熱 伝導 問 題 を挙 げ る.こ の 問 題 は (6) を解 くこ とに 帰 し,結 果 は 簡 単 に次 の よ うに 表 わ され る ． (7) た だ しμnは1-h=μcosμ の 正 根 で あ る. 境 界条 件γ=1に お け る 式 は 数 値 計 算 の 便 な る よ う に か きか え る と簡 単 な計 算 の 結 果r=1の 温 度 μ(1,t) お よび 両 側 に ±sだ け 離 れ た 点 の 温 度 を μ(1+s,t), μ(1-s,t)と かけ ば (8) と な る.本 数値 計算 で は計 算 の便 な るた めh=1と お い た.計 算 の結 果 の一 部 は第1表 に 示す. これ に つ い て簡 単 な 説 明 を 加 え る と,ま ずt=0で はμ の分 布 は1＜γ＜0で は単 位 温 度で あ り(γ+s) 点 で は(8)式 よ り求 め られ る.な おs=0.1で 時 間 の ア ーギ ュ メ ン トは,τ=0.01/6κ で あ る.か くて2行 目の よ うにな る.つ い でt=τ とい う瞬 間 の 温 度 は こ の2行 目の温 度 か ら(4)よ り計 算 され,ま た γ=O の球 中 心 で は(5)か ら求 め られ 結 局3行 目の 如 くな り,同 様 に して い く と積 分 が完 全 に 遂 行 され て 第1表 が 出 来上 る. 第1図 は時 間 の経 過 と共 に各 点 に おけ る温 度 変 化 の 有 様 を 如 実 に 示 す もの と して,横 軸 に時 間 を と り厳 密第1表
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