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骨材回りの応力について

濱本二郎

（昭和54年8月31日受理）

Concentration of Stress Around Aggregates

JiroHAMAMOTO        Abstract  In concrete technology the Hansen model is used to explain the stresses around aggre・ gates． The stresses in the mortar surrounding an aggregate as yet cannot be suf丘ciently explained by the Hansen model， as for example the influence of the modulus of rigidity and radius r．  According to Goodier， solutions for the stresses around an aggregate are derived in this pape「・

1・まえがき

 コンクリートを2相系複合材料とみなし，その物性 を解析的に調べるためのアプローチは，例えぽ弾性係 数のような構造鈍感性の物性には比較的有効である が1），破壊のような構造敏感性の物性に対しては現在 のところあまり成功していないようである2）3）4）。もっ とも…般的なものは，コンクリートが単軸圧縮荷重を 受けた場合の破壊機構を解釈するための構造モデルを 設定し，これに基づいて理論式を誘導するものである が，構造モデルは種々の応力段階におけるコンクリー トの力学的挙動について，あらかじめ定めてあり破壊 機構を帰納的に推理するものである。 −i方，軽量骨材 が実用的になってくるとModular ratio 1）が1より 小さい場合と大きい場合の相違がコンクリートに及ぼ す影響の相違と認められる現象が生じてきた。たとえ ぽ，弾性係数を解析的に調べるための構造モデルが， Modular ratioが1より小さい場合と大きい場合につ いて別々に造られているが，これは1付近を界にして 2相に生じる応力の様相が変化したことの一・つの現象 と考える。この現象の変化を説明する構造モデルを考 えるに，モデルのパラメーターを直接に材料の弾性定 数とした簡便なモデルとしてT．C． Hansenのモデル がある。T・C・Hansenは限定された条件について Modular ratioが1より小さい場合および大きい場合 についてコンクリートに発生するひびわれについて解 析した。本論文はこれをさらに一般化して考察したも のである。 2・骨材回りの応力  一般に単軸圧縮荷重を漸増的に加えた場合，応力が 破壊強度の40∼60％に達すると，コンクリート供試体 では骨材一セメントペースト界面において付着破壊を 起こし，マイクロクラックが生じるが，これは主とし て骨材とセメントペーストの弾性係数に大きい差があ るため引起こされる応力集中の結果であるとされてい る。T・C・Hansenは，骨材粒赤道上の引張応力度を 与える式を図一1のような極座標を用い5），θ＝90°の 場合の例として，セメントペーストをとりあげボアソ ン比0・3，骨材粒の弾性係数を無限大としσrr＝0．16 ao で与え，この式を用いてセメントペーストの引張強度 をセメントペーストの圧縮強度の1／10とし，セメン （

1

、 ’，’ 、 、NN−∼一 0

図一1 応力座標

σrr σθθ

トペーストと骨材との付着強度をペーストの引張強度 の約65％とし，骨材一セメントペースト界面に生じる ボンドクラックはセメントペーストの圧縮強度の40％ 程度の大きさで生じるとした。θ＝0°の場合の例とし て空泡をあげ，aθe ＝ O．68 aoとしセメントペーストの 圧縮強度の15％で空泡の上下でセメントペーストの引 張強度を超えると計算したが，弾性係数がモルタルよ り小さい軽量骨材粒については空泡と同様の応力状態 であり，弾性係数が大きくなるほど応力集中の程度は 小さくなること，粒子が割裂し，それによってモルタ ルが引裂して，コンクリートは破損すること，および 軽量骨材コンクリートにおいては付着ひびわれは発生 し得ないこと等に論及している。これらの式ははなは だ有益であるが，特定の角度および球体の弾性係数を 無限大としたこと，軽量骨材に対し空泡になぞらえて 論じたものであること，およびマトリックスに生じて いる応力を一般に論じていないこと等を考え，一般 の角度および2相のそれぞれの弾性定数としての参考 値を用いて骨材粒回りのセメントペースト・モルタル の層に生じる応力を求めることにした。このためT・ C．Hansenがarr ・O．16σoおよびσθθ＝O．68 ooを導 くのに用いた基本式について検討した。この基本式5） は前述のように（図一1）一様な引張力が作用する応 力場を考え力の作用方向を2軸にとって，球体外部 に対する外部の応力を極座標で示すと6），  σ。r＝（Ar＋B。 cos 2θ）ao  σea・＝（Aθ＋Be cos 2θ）σ。  σψψ＝（Aψ＋Bψc・s2θ）a・  τre＝＝（Bre sin 2θ）ao  σrr：半径方向の直応力度  σθθ：切線方向の直応力度  Oψψ：2に垂直な面内切線方向の直応力度  τ，e：球面に働くせん断応力度  ao：e＝oの方向の引張応力度  A，B：球体およびマトリックスのボアソン比，剛性     率比＝（球の剛性率）／（マトリックスの剛性     率），および（球の中心からの距離）／（球の     半径）によってぎまる定数で文献6）の42頁∼     43頁にしたがって計算する。  以上の式により，T．C． HansenはJ．N． Goodierが 求めた球体外部に対する外部の応力を算定する式とし て，5）の論文中の50∼55頁に述べた計算式はJ．N． Goodierの解の結果の中で自己の条件の場合に利用で きる計算式をJ．N． Goodierの解の結果の計算式とし たことが判明する。従来，T．C． Hansenの計算式を 拡張し，より一般化することを目指していると思われ る諸論文はT．C． Hansenの採用した式のみを検討し ているので，それぞれの一般化にそって誤った拡張が 行われている。  セメントペースト，モルタル，およびコンクリート の圧縮応力に対する弾性定数は材料，施工，材令，応 力度，永久ひずみの取り扱い方，試験方法等によって 変化するから，従来の実験結果を参考にすれば弾性定 数はある範囲内に収まることがわかる。実用的にボア ソン比および剛性率については次のような値が採用さ れている。ボアソン比は，モルタルでは0．15∼0．50， 河川産骨材では0．15∼0．20，人工軽量骨材では0．35∼ 0．44剛性率はモルタルでは60000∼80000kg／cm2河 川産骨材では150000∼。◎kg／cm2，人工軽量骨材では 20000∼70000kg／cm2等である。一軸短期圧縮載荷の 場合，圧縮強度に対する応力比が100％に近づくにし たがい，ボアソン比はセメントペーストでは0．25∼ O．26，モルタルでは0．30∼0．35，河川産骨材では0．15 ∼0．25となっている。したがってこれらの弾性定数を 使って上式を計算した。すなわち，マトリックスには セメントペーストおよびモルタルの参考値とし，球形 弾性粒子には軽量骨材および河川産骨材の参考値を用 いた。計算結果は圧縮応力度を正とし，応力度はOo の比としてあらわしてある。 3・計算結果および考察  計算結果は，表一1，および表一2のようである。表 中でμ1はペースト・モルタルのボアソン比，μ2は骨 材粒のポアソン比とする。表一1は球の中心からの距 離をr，球の半径をroとするとr／ro＝1について計 算した。これらを概括するとペースト・モルタルの剛 性率が等しい場合，ペースト・モルタルのボアソン比 より骨材粒のボアソン比が小さい場合は粒赤道付近の ペースト・モルタルの層に圧縮応力が働き，またこの 部分で粒とペースト・モルタルとがはがれるように引 張応力が働く。骨材粒のボアソン比が大きい場合は粒 の極点付近のペースト・モルタルの層が圧縮されると ともにき裂を生じる引張応力を受け，また粒を包むペ ースト・モルタルの層に引張応力が働く（σψψ〈0）等 である。ペースト・モルタルと骨材粒とのボアソン比 が等しい場合は剛性率比が1より小の場合は粒の極点 付近のペースト・モルタルの層にき裂の原因となる引 張応力が働き，赤道付近のペースト・モルタルの層が 圧縮応力を受けること，および粒を包むペースト・モ ルタルの層に引張応力が働く（σψψ＜0）。

表一1ボアソン比および剛性率比の変化と各応力度との関係 表一1（1）

番号

1     2     3     4     5一 ∠      7     8 μ1

020

応の

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0 0、0〃3 0．！53！ 一〃．2800 一σ／000 0．300〃 _一43！27 ∼α！！82 ρ2889 30 〃．0！63 _ρ〃87 一〇．！875 一〇．07SO 0．225汐 一θ．237 一〇、0932

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ﾔ号

9      ／0     ／／     ／2 _{／3      14      15      ／6} μ1 0．20 応の

ﾍ種

x類

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o，2／65 σ3464 τw _45官 ．一一 σ25〃0 0．4000 ク，すooo 0．2ξ〃0    一L n．4000     「・ V，〃0〃 0．2800 0．4〃ク0 6〃 0．2／6宮 o．3464 0．4330 0．2／68

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0．2／6ぷ αヨ464 勉 0．0000 ∂．00〃0 _{0，〃000 0．0000} θ．0∂00 一已幽2＿ O．〃000 「”一一一一一＿・rTr_@O、0000 ク．〃000  剛性率が1より大きくなるにしたがって，粒の極点 付近のペースト・モルタルの層に圧縮応力を受けるこ と，および赤道付近のペースト・モルタルの層が粒と はがれるような引張応力を受け，またき裂を生じるよ うな引張応力も受けるようになること，粒全体として 粒を包むペースト・モルタル層に引張応力が働く（σψψ ＜0）ようになること，および粒とペースト・モルタ ルの界面の層に働くせん断応力度も0．5000を越えるよ うになること等が判明した。以上はペースト・モルタ ルと骨材粒のボアソン比の変化および剛性率比の変化 が諸応力に及ぼす影響の程度を剛性率があい等しい場 合，またボアソン比があい等しい場合について述べた のであるが，ポアソン比および剛性率がそれぞれ相違 した場合はそれぞれの傾向が重ねられてあらわれるよ うである。表一2は表一1の番号5，16，19，20，21 および23についてr／r。を変化させ諸応力度を計算し たものである。表一1の諸応力度は表一2を参考にす れぽペースト・モルタルの界面から離れてペースト・

表一1（3）

番号

／7 ／δ _{〃     20 2！      22      23}

μ1 グ∼o o．2ξ o、3∂ ∂、eo

応の

ﾍ種

x類

_θ゜ mμ2 ∂．台0 0．20

030

0．4〃 0．之0 o．44 ∠00 ／、％ _{900〃 0．67} ／、7∠ 、 o．∠3 〃．67 〃 _zヨ333 ／、∼￠∼／ _／93δ3 o．goぶ∼ 〃！z4 ∠∼ク84！∼ _0、78〃3 30 ノ．0833 09／∼0 ／4／33 0、7〃ク／ 0、77ぷ∼ 久ポ703 ρよ880 σγr _{4玄 0．δヨヨ3 0．88／9} 488δ4 αω9〃 〃．43クタ _03矛64 〃、3，島 6〃 〃‥夕833 汐．之δ！8 ∂3‘34 o、3／09 o、！oo 7 〃、∼〃∼6 0．之03主

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_ク0000

久〃ク00 0．0〃∂0 〃．0000 表一2ボアソン比，剛性率比およびr／roの変化と各応力度との関係 表一2（1）

番号

5       16 μ1 0．20 応の

ﾍ種

x類

μ2 0．20 0．50 仇 4．00 〃．67 θ。 r／γ・ ／．／ _ズ2 ／．3 ！．8 2．〃 ！、／ ／．2 _∠3 o ！．60ク3 _∠古94 ／．496／ ／、3クぷ3 ！．ノ875 _ム098／ ！，04ぷク _ψo／67 30 〃8〈ζ9

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o o．！472 oo67よ

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30 〃、〃53 ク．05ク3 ρ025δ 一〇、00／2 一〇、0／ρ宮 一〇、！887 一〇、！348 一〇、09％

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o 〃1クo〃o 0．0θ00 0．0000 0．0000 0．0000 〃．〃〃ρo 0．00〃ρ ∂．0000 30 o．8608 o、49！亡 _{o．4547 o．4245 o，〃68} 〃β9θぶ ク4／3ξ ≡o、49／

τγθ 45 _{0．6化ク2 〃，8∠7ξ 〃、82口 ρ49〃／ 0．48／3} 0，4ξ〃9 0、47ク6∼

60 o．86〃8 ρ49／＆ o，4r47 α424富 o、4／68 〃、39〃8 ク、4／3よ 夙4∼δδ

go ρ．θ000 0．ρ000 ∠2000ρ o．oρ〃ρ 0．00〃0 0．000∂ 0、0∂ク〃 0．0∂00 モルタル側に移るにしたがってそれぞれ変化するよう である。・一一例として番号5のσrrはθ＝0°の場合r／ro ＝1よりもr／ro＝1・1の方が大きく，θ＝90°ではr／ ro＝1については0であるが， r／ro＝1・3については 一〇．1115等となり，ペースト・モルタルと骨材粒の 界面の層に働く応力度よりも界面からペースト・モ ルタル側に移るにしたがって応力度が大きくなる場合 とか，圧縮応力度が引張応力度に変化する場合が生じ てくるから注意を要する。写真一1の左側はセルロイ ド製の中空球を埋めこんで造った供試体で，右側は鋼 ．球を埋めこんで造った供試体である。写真から観ると 供試体の端面摩擦の影響があることその他等，2．で述 べた式の成立条件と等しくないが球体回りに，左側の 球では極点付近の縦のひびわれ等，右側の球では極点

表一2（2）

番号

16 ₁₉

却

μ1 _0．20 0弓0 o．3θ 応の

ﾍ種

x類

“μ2

050

0．30 o．40 0．6ク ₉₀₀₀ α67 θ  γ゜ ∠5

20

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番号

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ﾍ種

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び表一2において剛性率比mが1より小さい場合の

表一2（4）

番号

23 μ1’ _α⑰ 応の

ﾍ種

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SLATEの実験

写真一3

ORAL BUYUKOZTURK， ARTHUR H．

NILSON， FLOYD O・SLATEの実験

諸応力度を説明していると考える。  一・般にコンクリート供試体に単軸圧縮荷重を加える と，破壊時においてマイクロクラックが相互に連結し て荷重方向に平行な大きいひびわれを形成する。セメ ントマトリックスと骨材から成る2相系材料を用い て，このひびわれ発生の機構を構造モデルを使って説 明するためには，モデルに圧縮荷重を加えると横方向 に引張応力を発生するようにいろいろくふうがなさ れているようである2）3）4）。 0．Buyukozturk， A．H． Nilson，およびFO． Slate9）はX線を使って荷重が 増加するにしたがい付着ひびわれが発生し，ひびわれ がモルタル中に成長するのを観察した（写真一3）。 表一1，表一2を参考にこの横方向の引張応力を生じさ せるには2つの方法があると考えられる。ペースト・ モルタルのボアソン比を骨材粒のボアソン比よりでき るだけ大きくすること10）および剛性率比をできるだ け大きくすること5）等である。たとえぽ，表一1の番 号21，および番号19である。骨材粒のボアソン比に比 らべてペースト・モルタルのボアソン比を大きくした 場合，表よりθ＝90°とし，r／ro＝1とするとarr＝ 一一Z・2366 aoまたr／ro＝1・2とするとσrr＝−0．2191 σo，……となり，横方向に引張応力が発生する。剛性率 比が大きくなるとm＝ 1000でもm＝9000でもほと んど等しい応力度を示し，骨材粒のボアソン比を0．30 ∼0．50と変化させても諸応力度にほとんど差が生じな かったので，表一2ではm＝9000骨材のボアソン比 0．30の場合を採用した。この場合表一1よりθ＝90°， r／ro＝1としてorr＝−O．16σoとなり，T．C． Hansen の式と一致する。主としてボアソン比に工夫するとき と，主として剛性率比に工夫するときとでは，それぞ れ横方向の引張応力の大きさおよび分布状態について 考察しているようであるが，その他の諸応力度の大き さおよび分布状態が相違してくることについても考察 すれぽ，たとえぽT．C Hansenの諸強度を基準にし て，番号21，で前述のほかにθ＝0°でarr ・＝ 1．1124 ao となること，θ＝90°でσψψ＝−0．0554 aoと引張応 力となること等であり，番号19，でθ＝0°でarr＝ 1．9383σoとなること，θ＝90°でoθθ ＝＝ −O．0690 ao， σψψ＝−0．0692σoとなること，θニ45°でτre＝1．0499 aoとペースト・モルタルの場合のτ，e＝0．5000σoより 大きいこと等であるが，番号21，ではθ＝90°，r／ro＝ 1でのγ＝−0．2366 oo， r／ro＝1．6でσrr＝−O．1269 oo であるが，番号19，では，θ＝90°r／τo＝1でa。。＝ 一一@O．1615σoであるが，r／ro＝2．0でもσrr＝−0．1327 σoとなり，応力度の減少の仕方および球の存在の影響 の及ぶ範囲が違ってくることも考慮する必要があると 考える。 4．む す び  3．で述べたようにT．C． Hansenはペースト・モ ルタルおよび骨材が特定の弾性定数の場合，すなわち 骨材粒の弾性係数が無限大か0の場合についてペース ト・モルタルの界面のペースト・モルタルの層に働く 特定の種類の応力度について述べている。本論文は T．C． Hansenの式の成立条件を一般化するためにペ ースト・モルタルおよび骨材の弾性定数として，それ ぞれのボアソン比および剛性率の参考値，θおよび r／roを用いた。 このためペースト・モルタルにおけ る諸応力度の計算も可能にすることができた。数値計 算の結果θ＝90°およびr／ro＞1でσoが圧縮応力の 場合，arrが引張応力となり得るのは注目に値すると 考える。

参考文献

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