論 文
非局所性を考慮した二次元弾性問題の基本解
平島健一 伊良原仁
（平成2年8月31日受理）Fundamental Solutions of Two-Dimensional Nonlocal Elasticity
Ken-ichiHIRASHIMA HitoshiIRAHARA Abstract Concentrated force or concentrated moment into an infinite plane and a half−plane elastic medium is examined assuming that the medium has nonlocal properties． Field equations of the nonlocal theory are solved by the use of Fourier transform technique． lnversion of the equations obtained for the stresses and displacements coincides with those predicted by the conventional classical（local）elasticity， for the particular cases adopted the Dirac delta distribution as a nonlocal kerneL Several numerical results for the Poisson material by setting equal toレ＝0．25 are given in the present paper． 1．緒 言 近年，微細構造を持つ材料物質の力学的挙動を連続 体近似の手法を採り入れて解析しようとする一般化連 続体力学の研究が盛んになってきている。この分野の 研究は，幾つかの方向に進展が計られてきているが， それらの一つとして本論文で扱う非局所性理論を位置 付けすることが可能である。ここで，非局所性とは実 際上，以下のような2つの事柄を意味する。第一は， 釣合式がいわゆる局所化剰余（localization residua1） を含んでいることである。これは，物体のある点とそ の他のすべての点の間に存在する相互作用を表わすも のである。第二は，構成方程式が物体の本質的な状態 を決定する関数の導関数と積分の両方を含んでいるこ ＊土木環境工学科，Department of Civil and Environmental Engineering． ＊＊ R梨県庁，Yamanashi Prefecture． とである。これらの二つの事実は，もちろん古典的局 所理論において仮定される粒子間の相互作用としての 接触力の代りに，遠隔相互作用の存在を確立した非局 所連続体力学の根本的原理の結果である。 本論文は，上述の非局所性を考慮した二次元弾性理 論の基本解の提示を目的とするが，今少し，非局所性 連続体力学の発展の概要をみておこう。なお，現在ま でに公表されている文献の主たるものを参考文献欄に 与えてある。 物質媒体に対する研究は，今から約25世紀も前に2 つの互いに排他関係にある視点からのアプローチがな されてきた。すなわち，その一つは，実在の物体は連 続的に分布しているものであり，空隙空間は存在しな いとするArchimedesを源流とするもの，今一つは，物体は個別粒子から構成されているとするDemo−
critusを源流とするものである。・これらの意見の分岐 はほとんど現在に至るまで継続され，2つの異なった第41号 学問分野すなわち，連続体力学と原子物理学として発 達してきた。 しかしながら，現代の知識の集約によって，上記の 巨視的ならびに準巨視的哲理の間の差異は序々に減少 し，そのことの一例は固体の状態物理学 これは物 理学と格子動力学理論を通じた古典弾性論の間の有意 な接触によって形成された学問分野 の発展であ る。また，連続体としての例では非局所連続体力学と して知られた材料物質の有効な理論の展開がこの20年 の間になされつつあることである。 この分野は，古典連続体力学の内部粒子間の相互作 用は接触力あるいはzero−range力であるという基本 仮定を設定しないという意味で，擬連続構造体として 物体を記述するものである。その代わり，内力は遠隔 到達力であると仮定すること，すなわち，非局所性を 仮定するものである。明らかに，そのような仮定は通 常の古典理論と比較してより一般的である。非局所性 理論の具体的問題への適用は，しばしぼ実験的事実と 良い一致を示す。その一例として非局所性理論では線 形クラックのtipでの有限な応力値を予測する。 以下では非局所性弾性論の幾つかの基本解の誘導 と，数値計算例によってその定量的な性状を検討する と共に，古典理論解との比較を行なう。 2．理論式の定式化，境界条件および基本解 ［1］理論式の定式化 均質等方の弾性媒体を考える。直交デカルト座標系 （x、，x2， x3）を設定し，考えている集中力P，集中モー メントMはX、，κ2平面に直なκ3方向に沿って分布す るような線荷重問題すなわち，2次元な集中力，集中 モーメント問題を取り上げる。したがって，媒体は平 面ひずみ状態であり，局所化剰余（localization resid− uaDおよび物体力を無視した場合の釣合方程式は次式 となる。 T1，・＋T12，2＝0， rl2，1＋r22，2＝0，一……・…・・………（1） 砺は応力成分であり，上式中のコンマの後の指標はそ の座標に関する偏微分を意味する。 いま，媒体は非局所作用状態にあると仮定し，応力
成分を求めるための構成方程式としてKroner−
Eringen形式を採用するものとすれぽ，次式のように 表示される。 句一 k［At（lx−x’1）ehh（・C’）δ・ 十2μノ（1JC−Jct l）eiy（xノ）］dxf・dxi，… ………（2） ここに，lx−Jct 1は係数A’，μ’の引数であり（lx−」〆1 ≡日Xl−cfl， lx2−x’1）を，．4はx、，x2平面内における 領域（一。○＜Xl＜∞，0＜x2）を表わすものとする。係 数A’，μ’は非局所弾性定数，ei」（i，元＝1，2）は線形ひず みテンソルであり，プライム記号は媒体内の一般部分 を，xは注目している点を意味する。 ここで，幾何学（ひずみ一変位）関係式： 炉†（耐励，………・………一・・………・（3） を式（2）の構成式に代入すれば，2次元の応力成分τH， T22，τ12は次式となる。 r・1−轣mα＋2〆）z・ f，i＋九鋼既 r22−轣mα＋2〆）晦＋獅協既
r12一ｳ・・（u・・C2＋uii）励磁 ・・・・・・・・・・・・…@（4） ここに，Ul， za2はそれぞれx、，・x2方向の変位である。 さて，以下において使用するFourier変換を次式の ように定義する。1：蹴∴｝一・・（5）
上式の変換を式（1），（4）に適用すると次式が成立するこ とになる。 一‘〃百1一卜百2，2＝0， −ik i，，十i22，2＝0． ・・・・・・・・・・・・・・・… （6） ill− P：仁ik［ア（k，・1・x2一副）＋2〆（fe，1・…一・xi 1）］・ π1（k，彪）＋ア（〃，ix2一刷）・πゑ、（〃，彪）｝・編， i22−轤P｛［孤1唖1）＋2砲1・・一・i1）］・ π⊆2（k，彪）−ifeA’（ゐ，1×2−xi 1）πf（k， X2’）｝砺， 砲一轣F礁1扁1）［πf，2（fe，彪）一滅（醐］dUi ・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （7） 上式までに示された非局所場の弾性定数A’，μ’は原子 の格子力学に基づくphononに関する分散曲線との matchingにより決定することができる。例えば， Erin− gen（1977a）． Eringen（1983）は非局所場の弾性定数 の幾つかの異なった形式を提示しており，それらは， 各種の問題に適用されている。また非局所場の弾性媒 体の波動伝播に関するNowinski（1984）の研究に従う と，非局所場のFourier変換した値と古典的なLame 定数のA，μの間には次の関係が成立する。 ・（〃）≡tl−i（llk）−E！i（ille）−A（鷲亮（k）一si鵠≧），………・…・・（8） ここに，aは完全な格子の2つの隣接する原子の間の 距離であり，kは式（5）で用いたFourier変換係数，した がって波数である。式（8）で決定される非局所弾性定数 を用いると，1次元弾性波の分散曲線は全Brillouin 領域での格子力学のBorn−Karmanモデルのそれと一 致するものである。 式（8）の結果を用いると，考えている問題に関連した 非局所弾性定数が次式で表示される。 ㍑ll：二膓ll；：駕瓢1㌶ll≧｝・………・・（9） これはκ1一軸方向の非局所性の効果を考慮することを 意味する。式（9）の関係を式（6），⑦に代入すると次の結果 を得る。
一霊㍑鑑蕊隠㌶：1：｝・・……・（10）
百1（k， x2）＝ε（〃）・［一漉（！そ十2μ）π1（ん，喧） 十λπ2，2（ん，x2）］， 百2（k，x2）＝ε（〃）・［（！｛十2μ）π2，2（ん，勉） 一‘ん漉1（k，x2）］， 百2（k，x2）＝ε（〃）μ［π1ρ（〃，乃） 一沈π2（k， x2）］． ・・………・ i11） 式（10）の連立常微分方程式は簡単に解くことができ，次 のようになる。1：1∵㌘鶯≠｝一…（12）
ここに，係数A，Bはパラメータkの関数であり，式（1》 の係数sはk＞0のときs＝＋1を，k＜0のときs＝−1 をとるものとする。m＊は次式の値である。 m・一竦勛黷R−4………・…・…・…・・⑬ 式⑫を式（11）に代入すれぽ，次のように応力のFourier 変換式が求められる。 τ11（〃，x2）＝ε（ん）｛−2／1‘μ〃十Bi［−2μ砺 ＋A（〃z＊−1）∫］｝θ一ShX2， あ2（k，x2）＝＝ε（k）｛2A iμん十Bi［（λ十2μ）（m＊ −1）s十2μ疏］｝e−Shx2， 肴2（k，x2）＝一ε（fe）μ｛2Aks十B（m＊−1 ＋2ksu，）｝θ一SkX2． ［II］境界条件と基本解 （a） ．・・…@ ◆・・（14）無限板の問題1一原点0に集中力Pまたは
Qが作用する場合 第2節の［1］において，構成方程式（2）または（4）の 領域Aとしてx2＞oの半空間を考えることから， Fig． 1のようにx、方向の集中力Pが原点0に作用する無 限板問題に対し，対象とする空間をXIX3平面で分断し， 半空間x2＞0の表面の原点0に集中力P／2が作用する ものと考えられる。このとき，x2＝0の平面上で次の境 界条件式が成立しなけれぽならない。蕊言輌が畔｝一㈲
この条件式を式⑫，（14）に適用すると未知定数A，Bが 次のように求められる。ll二；；鷺：ll：i’／−一⑯
この結果を式（14）に代入すれぽ，応力成分のFourier変 換形は次式となる。ii・一一Q（ip香柾¥1）［（m・＋3）・−2k・・］e’shx2p i22− Q（ip香柾¥1）［（m・一・）s−21e・・］e’Shx27 i12−−Q（ P香柾¥1）［（m・＋1）−2〃…］e’Shx・・ ・．・・・・…@ （17） ところで，式⑬よりm＊は対象とする弾性体の非局所 性には依存しない量であることから，式⑰の応力場は 非局所性には何ら関係なく決定されることになる。実 際，式⑰のFourier逆変換を行なうと，古典理論によ るものと完全に一致した次式が得られる。 T1− Qπ（P 香柾¥1）・ナ｛4・，・i−（m・＋3）x・・r2｝・ ・2・一一Qπ（P 香柾¥1）・乏｛嬬一（m・＋1）・・r2｝・ T・2・一一Qπ（P 香磨￨F1）・ず｛2肱＋（m・＋・）Xl｝・ …（18） ここに，γ2＝㎡＋珍である。 しかるに，変位成分は古典理論によるものとは異な り，次のようになる。 炉2πμ（P香柾¥1）・∬。占）・（誓一x2＞ e−kX2・COS kx、 dk， 炉2πμ（PVz＊十1）・∫°°。占）・x・e”hx2・・i・ke・・dk・
ト
上式中のε（fe）に特別な場合としてkに独立であるよ うな単位量，すなわちε（k）＝1．0とおけぽ，その結果は 次式の古典的な局所弾性論のそれと一致する。第41号
X2
Fig．1X1
X2
Fig．2X1
X2
Fig．3X1
なお，上式中の特性長Lは放射条件として za1＝O at Xl＝±L， x2＝0． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （21） の設定によって導入された一つのパラメータである。 次に，Fig． 2のようにκ2方向の集中力Qが原点0 に作用する問題の場合には上記までで得られた式⑰ ∼⑳においてPをQに，またXl， x2の座標は互いに適 切な入れ替えをしてやれぽよい。その結果は最終的に 次のようになる。 ill−Q（ Q香柾¥1）［（m・＋3）−2・，hr・］e−・hx2P T22−−Q（ Q香柾¥1）（2・le…＋・m・＋1）e−・hx2！ ii2 ＝＝ 2（iQ 香f＊十1）［21e・・＋（m・−1）・］・r ………ll；：竃；：∴一一・（23）
上式のFourier逆変換をとったものは次式となる。ご1：｛：；i；㌫一
．・・… ．・・… ．・・●・・… （24） ここでε（k）＝1．0とおくと，古典的な弾性解の変位 式：0
M／2δ
M／2δ
一一 一 一一 ’ ●●＿@ δ
X2
M／2δ
0
｜M／2δ
δi ‘X2
Fig．4X1
X1
ll鷹∴調｝一・・…（25）
が得られる。なお，式㈱から得られる応力式は古典理 論の解析解と全く同一であるので，ここでは省略する。 （b）無限板の問題II 原点0に集中モーメント Mが作用する問題一 Fig． 3のように集中モーメントMが原点oに作用 する問題の解は前項（a）で得られた結果をFig．4（a），（b） のように分解して重ね合わせ，その極限をとる（i．e．δ →0）ことによって求められる。応力成分の式は古典理 論の結果と全く同一であり，極座標系およびデカルト 系表示すると次のようになる。：二二念＿ト∴細
これに対し，変位成分は最終的に次のように書ける。1：鳶ご｝一・（2n
上式でε（k）＝1．0とおけば， z…一一煤E膓炉4麗弔………・…・……・…㈱
となって，これは古典理論による解そのものである。（c）半無限板問題1一表面に集中力PまたはQ
が作用する問題 Fig．5のように原点oのx2軸方向に集中荷重Pが 作用する場合を考える。この場合の境界条件はx2＝0に おいて， 1：：1：1：1。一．p！l6（x’）e’hx’d”’＝−P・ ／−・・…（29） となる。この式を式（12），⑭に適用すると未知定数、4，B が次のように求められる。A−
Qik。（P求j（λ＋μ）・B−−Qi。罷）μ・………・・…・（30）この問題に対する応力および変位のFourier変換形 は式（11），⑫から次のようになる。 ：：：㌫燃 ・’22＝−P（1＋ s’ex’）θ ・｝ ・・………・（31） これらの式から，応力成分は弾性体の非局所性に依存 せず，いわゆる古典的な解析結果である次式となる。
ilr：蕊∵蕊…，，rrsin2。． ／−’（33）
これに対し，変位成分は議竃烈ll：：∵｝
…・・………・（34） となる。ε（k）＝1．0の局所性の場合には となり，これは古典理論の変位解そのものである。た だし，上式を求めるに際し，放射条件として u2＝O at Xl＝±」乙， x2＝0． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （36） とした特性長Lを導入してある。 次に，Fig．6のようにせん断集中力Qが作用する場 合の荷重（境界）条件は次式で与えられる。1：：1：：∵庖酋ヨー（3・
この条件より定数．4，Bを決定すれば，応力，変位のP
X2
Fig．5X1
Q
X2
Fig．6X1
平成2年12月 Fourier変換形は次式となる。
iiil総∵｝一一・…（38）
1難割一…（39）
式㈱の逆変換を施したものは古典的な応力成分の解析 解に一致する。他方，変位式倒の逆変換は次のように なる。1：総：鷺；1：1：：1：：蕊：｝
…・……・………・㈲ 上式においてε（ん）＝1．0とおいて，積分を実行すると 最終的に次式となる。1二竃ぽ一覇］｝一ω
ここで，放射条件としてX2
隅
M／δ
M／δ
ノ0
（b）X2
X1
X1
za1＝O at Xl＝±L， x2＝0． …・…………・…・………閻 とおいた。式ωの結果は古典解に一致している。 （d）半無限板問題II 表面に集中モーメントM が作用する問題 Fig．7（a）のように表面の原点0に集中モーメント Mが作用する問題はFig．7（b）に示した2つの集中力 作用問題の極限化（i．e．δ→0）によって求めるべき結 果が得られるから，前項（c）の式⑪∼㈲を利用できるこ とになる。応力成分については古典解と同じであるの に対し，非局所性を考慮した変位解は最終的に次式と なる。1：曇：；i：1＃∴㌘耽｝
……・…・………・⑬ 上式でε（k）＝1．0とおいた場合には，1㌶籔劃一・・・・・…（44）
（e）半無限板問題III 領域内部に集中力，集中 モーメントが作用する問題 Fig．8に示すように，集中力Pがκ2軸上の距me d の位置に作用する，いわゆる2次元のMindlin問題 （Melan問題ともいう）を考える。この問題はFig． 9 （a）の無限板問題の解とその解から計算した仮想の境界 表面（x2＝0）における直応力胡，およびせん断応力Ti9 を打ち消すように，Fig．9（b）の半無限板表面（x2＝o） に一胡および一rl9を作用させた解を重ね合わせるこ とにより所期の目的の結果が得られることになる。 そこで，Fig．9（a）のκ2＝0上のT，》， Ti2のFourier変 換形は，前項（a）の式e2）から次のようになる。X2
X，
Fig．7 Fig．8t 022
t？2
d
0
一P
（a）X2
Xi
一t》2
−t
X2
X1
Fig．9X2
X1
d
（b）0
ヰ
『l
lδM／2δ
M／2δ
X2
Fig．10X1
d
0
M／2δ
（c）M／2δ
＝匠
X1
X2
i：：i：藁1：：：㌫∴一
式（5）の符号を変えたものをFig．9（b）のx2＝oの表面に 作用させてやれぽよい。Fig．9（a），（b）を重ね合せた所 期の目的の問題の変位解の最終結果は次のように求め られる。P
za1＝ Qπμ（m＊十1） ∫°°。占）｛（x・−d）e−・1・・−dl 一［m＊（蠕んの一1−（m・＋2kd）司 ×e−・…＋d） p・i・k…d・，， za2＝ ．．°・．．°・・． ……… z・・− QπitR（P香柾¥1）｛me・t（x：i−d2）・＋1−ge’2 ×t・百1￨4＋裂鑑誓
＋緩駕宰あ裂
U2＝ ・・… ．… ● ここに，放射条件として式ωを設定した。 ………P
同様にしてXl＝0， x2＝dの位置に水平な集中力Qが 作用する問題も解析できるが，ここでは雀略する。 最後に，Fig．10（a）のようにx、＝0， x2＝dの位置に集 中モーメントMが作用する問題については同図（b），（c） のように前項までの結果を重ね合せてやれぽよく，変 位の最終結果は次のように与えられる。 上式でε（k）＝1．0とした古典解は上式の積分を実行す ることにより，最終的に次式となる。第41号
炉濫∬。占）｛一高・→一
＋（m＊−2kx，）ゼー｝・・s繊 u2−S麗∬。占）｛〆一＋（勿・ ＋2hr・）e−一｝・in繊 ……… ここで，ε（k）＝1．0として上式の積分を実行すれば u・−S麗卜㎡＋き着戸＋㌶鴇
一ご｛嘉そ論・−1｝］，
ル1 κ1 〃z＊κ1炉石rア＋㎡＋（x2＋の・
［ ………＋［諜欝あ1司・
が得られる。これは古典理論の解析解と完全に一致し ているのはいうまでもない。 3．数値計算例 前節までにみたように非局所性を考慮した2次元的 な特異荷重問題の応力成分は非局所性を無視した古典 弾性論の結果と全く変らないが，変位についてはその 効果が影響関数ε（fe）の選択によって各種に変化する 2πμ（1十m峯）・ul Pm京 3．0 2．0 1．0 〇 5．0 10．0 Fig．11 ことになる。（ちなみに，特別な場合としてε（le）＝1．0 と設定したものは古典理論そのものに帰着する。） そこで，本論文では前節で導かれた無限板，および 半無限板の変位場に含まれる非局所性の影響関数とし て次式を用いて，二，三の数値計算例を行なうことにす る。 ε（γ1（）＝［（1十γ21（2）1／2十71（］−1 十γK［（1十γ2K2）1／2十7K］−2． ・… 一・・・・・・・… （50） ここに， 7K＝0．22ka…・……・・………・…・……・…（51） であり，aは原子間の距離に相当するものである。ま た，対象とする平板については，すべてボアソン材料 （すなわち，A＝μ）とした。したがって， m＊＝3−4レ＝ 2，すなわち，レ＝0．25である。さらに半無限板に集中 力が作用した場合の作用方向変位の計算においては， 特性長LとしてL＝20aと仮定した。 ［1］ 無限板問題 まず，Fig．11は集中力Pがx、方向に作用した場合 のκ1方向変位Ulをプロットしたものである。またそ れと古典（局所）理論による解とを比較したものであ る。これらによれぽ，非局所性理論と古典理論のそれ ぞれによる変位場は，ほぼ同じ傾向を示すことがわか る。また，その差は載荷点に近いところほど大きく， その距離が大きくなるにつれて小さくなることを示し ている。なお，平面x2＝0上では当然のことながら， u 2＝Oとなっている。次に，Fig．12は原点に集中モーメ ントが作用した場合のθ方向変位Ueについて表わし たものである。この場合も非局所理論と古典理論のそ れぞれによる変位場はほぼ同じ傾向を示していることザ’uθ
2．0 1．0 X2 θ＝π／2 5．O Fig．12 10．0 r／a一22里・Ul P 1．0 0．5 0 va2 9・u2 P 5． 0 、 、 、 ＼ ＼ ＼ N X2 ×2＝O N N 5．O Fig．13 P 0 X2 X2＝O
Nonloca1
一一一一一一一一’ kocal 10．0 X1 X、／a X1／a 6πμ・u2 3．0 P 0 d；10a X2＝d 午’u・ 7．0 5．0 3． 0 Fig．16 10．0 X1／a 一辿・u・P
1，0 0．5 5，0 Fig．14 X2 d＝10a X2＝d 5．0 Fig．15 X1／a d＝10a X2＝0 5． O Fig．17 Xl／a が観察できる。なお，この結果は集中力が作用する場 合と比較して載荷点付近の変位勾配がかなり大きくな る。両理論による差は載荷点付近で大きく，それから は急激に減少することは集中力が作用した場合と同様 であるが，載荷点付近の差は集中力が作用した場合よ りもかなり大きくなっている。 ［II］半無限板問題 Fig．13，14は，半無限板の表面に集中力Pが鉛直下平成2年12月 方（i，e， x2方向）に作用した場合の表面（x2＝0）にお ける変位を表わしたものである。 まず，Xl方向変位u、であるが，これは古典理論によ れぽ，Xl＝0でUl＝0， Xl≠0でUl＝constとなる。このた めもあって，特に載荷点付近においては古典理論によ る変位場との比較が困難であるが，しかしながら，載 荷点から離れていくに従って古典理論による値に近づ いていくことはこれまでの場合と同様である。次に， x2方向変位za2であるが，この場合の両理論における差 は無限板の場合とほぼ同様の傾向となっている。 最後に，荷重作用点が半無限板の内部にある場合に ついて計算を実施した。Fig．15∼17は集中力Pが領 域内部の鉛直下方に作用する場合について示したもの である。まず，Xl方向変位u、はXl＝0において0で，次 第に大きくなり，荷重作用点の深さにおける変位より も表面における変位がより大きくなっている。そして， 両理論による差はκ1＝0で0となるのはもちろんであ るが，その他の点は載荷点からの距離がある程度，大 きくなるにつれて大きくなるが，それから先では減少 していっている。また，非局所性の影響そのものもあ まり大きくないことが観察される。Xl2方向変位za2にお ける非局所性の影響については，荷重作用点深さにお いて無限板の場合とほぼ同程度であるが，表面では， かなり載荷点から離れていることもあり，図に示す範 囲にわたってごく小さいものとなっている。 4．結 言 本論文は，非局所性を考慮した連続体力学を用いて 二次元弾性問題の幾つかの基本解を誘導したものであ る。その結果，本論文で用いた仮定のもとでの応力場 については，非局所性理論と古典理論は完全に一致す るが，変位場については，特に載荷点の近傍において 大きな差が生じうる場合があるということが判明し た。 この理論を用いれぽ，従来の理論では説明できな かった原子や分子のスケールでの物理現象を取扱うこ とが可能であると言われている。さらに，ここでの取 扱いは原則的に連続体理論であるから，従来，自由表 面の存在やその内部構造の複雑さのために格子理論で は取扱うことが困難であった問題も，境界・初期値問 題としてとらえることができるようになる利点が期待 できる。 非局所性理論は，誕生間もないまだ新しい理論であ るが，その有用性は，その内部構造や遠隔作用力が重 要となってくる静的あるいは動的問題を扱う際に非常 に大きいものと思われる。 参考文献： 1）Ahmadi， G，“Linear theory of non・local viscoelasticity”， Int． J． Non−Linear Mech．， Vol．10（1975）， pp．253−258． 2）Altan， SB，“On positive definiteness of strain energy in nonlocal elasticity”， Int． J． Eng． Sci．， VoL 25（1987）， pp， 385−394． 3）Altan， SB，“Uniqueness of initial・boundary value prob・ lems in nonlocal elasticity”， Int． J． Solids＆Struct． Vol． 25 （1989），pp．1271−1278． 4）Ari， N，“Admissible traction boundary conditions along the crack line in nonlocal elasticity”， Quart． Appl． Math．， Vol．46（1988）， pp．727−736． 5）Atkinson， C，“Some problems associated with some cur・ rent non・10cal theories of elasticity”，5th Int． Symp． on Continuum Models of Discrete Systems， Nottingham．， （1985），pp．85−88． 6）Bazant， ZP and Chang， TP，“Instability of nonlocal con・ tinuum and strain averaging”， J． of Eng． Mech．， Proc． ASCE， Vol．110（1984）， pp．1441−1451． 7）Bazant， ZP and Pijaudier−Cabot， G，“Measurement of characteristic length of nonlocal continuum”， J． of Eng． Mech．， Proc． ASCE， Vol．115（1989）， pp．755−767． 8）Chen， Z and Schreyer， HL，“Simulation of soil−concrete interfaces with nonlocal constitutive models”， J． of Eng． Mech．， Proc． ASCE， VoL 113（1987）， pp．1665−1677， 9）Eringen， AC，“Nonlocal elasticity and waves”， Contin・ uum． Mech． Aspects． of Geodynamics and Rock Fracture Mech．，（1974）， pp．81−105． 10）Eringen， AC，“On the problem of crack tip in nonlocal elasticity”， Continuum． Mech． Aspects． of Geodynamics and Rock Fracture Mech．，（1974）， pp．107−113． 11）Eringen， AC and Kim， BS，“Stress concentration at the tip of crack”， Mech． Res． Comm． Vol．1（1974），pp．233−237． 12）Eringen， AC and Kim， BS，“Relation between non−local elasticity and lattice dynamics”， Crysta1． Lattice Defects．， Vol．7（1977）， pp．51−57． 13）Eringen， AC，“Continuum mechanics at the atomic scale”， Crystal Lattice Defects．， Vol．7（1977）， pp．109−130． 14）Eringen， AC，“Screw dislocation in nonlocal elasticity”， J． Phys． D：Appl． Phys．， Vol．10（1977）， pp．671−678． 15）Eringen， AC，“Edge dislocation in nonlocal elasticity”， Int． J． Eng． Sci．， Vol．15（1977）pp．177−183． 16）Eringen， AC， Speziale， C G and Kim， B S，“Crack・tip problem in non・10cal elasticity”， J． Mech． Phys． Solids， Vol．25（1977）， pp．339−355．
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