ON AN APPLICATION OF THE GROUPRING THEORY TO A COMPLETE NON-SINGULAR ALGEBRAIC CURVE OF GENUS g≧2

      、

ON AN APPLICATION OF THE GROUPRING

THEORY TO A COMPLETE NON．SINGULAR

    ALGEBRAIC CURVE OF GENUS g≧2

    BY

S別SHI WADA

  ㎞tmduc60n． Let C be a complete non−singular algebraic curve of genus g≧2with it，＄ Jacobian variety J． Let k be a◎ommon field of definition of C and J． In§1 we consider a special part of the endomorphism ring A（」）of 」， in order to get oerta血criterions for simplicity or non−simplicity of J， and show that if（x，夕）satis丘es k（C）＝k（k， y）an《張 ∫（）cl， vi）＝Owhere∫（X， y）is in k［X，γ］irreduCible in k［X， y］and l is any餌me rationa1． integer other than the characteristic of k， then J is non−simple． In§2， we・treat・an血volution of the group血g R＝2（G） by the 9roup血9 theoretic’ manner， different to the general theory of algebra【司．   h1§3， we 9ive 1inearly equivalent relations of divisors of C， when R”of Corollary 2 of’ Proposition l is a quarternion diVision ring of the丘rst kind of the sense of Albert［5］．   §10n a group血g 2（G） Let Po＝（xl， x2，．．．．，xn）be a representative ofPill an a缶ne representative of C and put P6＝（κf， xS，．．．．，x紘）fbr an elementσof G． Then・P8 is a・ sp㏄ialization of Po over k， and over this there is an unique extended specialization Pσof P．Forσandτof G， we have（Pσ）τ＝Pστ． We take a subgroup H of G such that H ＝＝ （σ∈GlPσ＝P）， and take a set（S of diVisors of C which are linearly equivalent to some た一rational divisors of C．   We takeαof Z（G）， that is，α＝Σ侮σwith侮∈Zandσ∈G． And we put Pα＝Σ aσPσ． 1￡tR， be a subset of R such that R，＝（α∈RlPma∈（5 for some positive m of Z）． Then、 we get       9      ＞

LEMMA 1． R’肋吻加永鋤1邨R励α励丑」〃η吻品・

 PRooF． We easily see that R， is a right ideal of R since Pt「τ is a specialization of Pσ over Io and over k， and by Lemma 10 of【2．2】． For the latter assertion， we t丞e a醐so品of’ C×C which has a generic pOint P×Pσ over k． Then by NO 24 of［2．1］， we have Xa（戸）＝ P7（σ）’「，〃』Xe（Xr（P）＝P7《σ）’〆τ）where no is the odrer of H． For a of R， andβof R， we take positive integers m， n such that〃叱r and nβare in Z（G）． If〃7α＝Xaσσ十27 bττandi

〃β＝Σα5σ十Σb：τwhereσare llot血五r andτare血刀∼we take a divisor抑＝Σaa

＊Received June 10， 1975 9

’ 董10

S．WADA

Xa十πo（Σゐ：）∠1 where∠is a diagonal of C×C． Then we get Xp（P）＝PnP’H． As獅（Pρ） tis a specialiZation of Xβ（P）over the spedalization血om P to Pρover克， we get Xp（P抗α）＝ 」助ψ互癩．If 1）is a鳶一rational divisor of C such that P功α∼1）， then by Theoreme 40f【2．1］， ’there is aた一rational numerica1 function q on C such that Xp（D十div（g））is defined and       り 一1「β（D十（五マ（切）∼Xβ（pmα）． Hence we get the proof．（ρ．E．D．）   Next， we a§Sume that k is algCbraically closed． Let C be a complete non−singular alge− Lbraic curve de丘ned overたsuch that L＝丘（P）f（）r a generic po血t P of∂over友． Let ＠ be ．a set of divisors of e which are 1inearly eqUivalent to some k−rational divisors’ of e． Then ’we get   LEMMA 2． Me assume k＝k． Let R，＝（α∈Rl．Pmα∈（きノ∂r some positiye mげZ）． ：77ien・R’is a〃ideal of R，αη∂α耳∈R’lff HaH∈R’．   Proo￡As∬＝（σ∈GlPσ＝P）＝1， we㎞ow that R／is an ideal of R． We take a nat一        エ       噸ral nlap∫丘om C to C such thaげ（P）＝Pand with it’s graph 1｝． Then we get‡乃（P）＝ ．！−1（P）＝ΣPτ＝PH and f−1（Pσ）＝PHa．lfαH∈R’， then fbr a suitable positive integer         τε亙 Jn and a k−rational divisor 1）of C， we get、PmaH∼1）． By Theoreme 40f［2．1】， there is a k− ratiOnal numerical function《g on C such thatプー1（1）十div（g））is de丘ned and linearly equiv＿ ・alellt to∫−1（pmaH）・Henoe pHmaH∈㊦． SoαH∈R， means HaH∈・颪，． Conversely， if HαH ・∈Rノ，then there is a suitable positive血teger刀and丘一rational divisor万such that戸砿αH∼        コ ．D． And there is a瓦一rationa1 numerical血nctionψ on C such that 1｝（万十divω）is defined ．and 1祖early equivalent to rf（PnHαH）＝no、PnαH． So we complete the proof．（ρ． E． D）   R＝0（G） is a regulaロing of the sense of Neumann and a semi−simple ring． We加t N       パ ．R＝HLRL［． As（H／no）2＝珂〃o， R is alsO a regular and simple血g， genetated by 7（σ）over 2． If we de◎ompose R into a d丘㏄t sum R， and R”， and decompose into a direct sum of 」∼ノ

・孤d互”th・t iS， R＝R’θR”＝R’（D互”， w・g・t∈丑哀’丑Φ頭・五＝艮・e互〃．

Forαof R and a sU table positive血teger m．such that uα∈Z（G）， we putγ（mcr）＝XρεHmaH

ρ＝HmcrH qnd take a divisor Xma of C×Csuch that為α（P）＝P抗αH． Then we know

that we may rewrite為αas掲伽めsince it depends only onγ伽の， and〃』Xア伽α）αγ（πβ）（P））＝ p，（悟α）．7（犯β）＝noXγ（mα）γ（nβ）（p）， since γ（吻）●γ（nβ）＝＝γ（〃叱どH・、Hnβ）． By correspondin9 ．ζγ伽のof A（」）tσ，17（mの， we getζア伽α）・ζア（πβ）＝ζ7（mの．γ（πβ）． If we putεア（の＝（1加）ζγ伽α）， then we getε7（のεγ（β）＝ε7（d）．γ（β）whereγ（α）＝HαH＝（1／mγ（微）． Moreover we easily       パ ：getεγ（の・γ（β♪＝ε7（α）十εア（β）． Hence we have a homomorPhism from R into Ao（の． If        N       ロ ，εア（α》＝0，we get aH∈R’apd so 7（∋∈R，（since R’＝R’for the case k＝た）． Thus we get       N       N         PRoposrHo）cf 1・ If we assu〃te k t k‘mdput R’・＝HR／Htnid Rノ’＝HR”H／br R， cmd ．反，f of Lenznza 2（R＝R’∈DR”）， then there is an iniectiohノ｝ro〃1五”into Ao（」）．       −      A■ COROLLARY 1． Ifk＝kand R〃is not a読？砧，o〃ring， theπ」 is n．onrsimple．   PRooF． Under these conditiolls， there are two non−zero eleme亘tsξandηof、4（」）such 電hatξ・η＝0． Hellce J is non−shnple．（ρ．E．1）．）

ON APPHCATION OF THE GROUP RING THEORY

1蟄・  CoRoLLARy 2． 」ゲ五＝1， then R”of R＝R，∈D R，’〃tay be considered to be containeグ

inA。（」）．      ．…

 PRooF． ff H＝1， then we have L＝k（P）． So we may consider C＝C and so we nc ee（1｛ nOt to aSsUlne k＝＝k．      （e．E．1）．）  LEMMA 3． 〃’k（C）＝k（p）＝k（x，ア）and Lo＝ kCソ），・then R， eontains an element− G＝Σσ．       一 「   PRooF． As Pσ＝Σ Pσ is kO，）−rational since it is not changed by any T of G， Sψ（PG）＝ΣqA       σεθ （、Pσ）is also a k（夕）−rationa1 point of J， where pa is a canonical map from C into 」． Hence we− get a k−rationa1 map f from a rationa1 curve r defined over k into／such thatノ’（p）＝Sg・ （Pσ）．By Theorprn 8 of【2．2］，f（y）is a fixed point of．． 」． By tak口ig a specialization from（．＿，． Pσ，．．．．）to（．．．．，ρσ，．．．．）over丘where all Cσ are k−rational points of C， we see・ that f（ン）is a k−rational point of J． Hence R’contains G． ‘        （e．E．D．）・  LEMMA 4． If the genus 9≧2and if there are伽o elementsσ，τq〆Gぷ〃ch’肋’στ一1奄…、ぼ 功θ〃σ一τ庄R’．       ●   PRooF． If there is a k−rational divisor 1）of C such that Pσ一Pτ∼1）， then Pρ一P∼Ef（）r ρ ＝＝ aT−1 and some k−rational divisor E of C， by Lernrna IQ of［2．2】． We take a generic point J P／over k（P）of C， then as、P is a generic point over k of C， by taking a specialization（P’， P”）of（P，Pp）over k， we get P”−Pノ∼E∼Pp 一一 P． Hence we get P’十Pp∼P十P”．．

This means l（P十PP）≧2． But we have l（P〆十P）＝2−g十1十1（x−P，−PP）． But．

as l（x−−P，一、PP）＝’g −2． So we get 1（P十PP） ＝1．This is a contradiction． Hence we

know thatσ一τeC R’．      ・      （ρ．E．1）．〉

LEMMA 5． Le’Gb㊨吻12吻e l be a輌’』l integer other than’乃θ』c−一

’eristie ofk， and let G be genera彪d by two e∼ementぷσ，τぷ〃c力吻’♂＝τ1＝1αη4στ＝τσ．． If we a∬醐e吻’五＝1，功εη」‘ぷηoη一ぷ」〃rple．  PRooF． As G is abelian and H＝：1， R is a direct sum of fields， and R’and R”are ideals、 of R． If l is simple， R”must be a field F finite over C， by Coro皿aries of Proposition 1． We・ decomposeσandτasσ＝eσ十ぷandτ＝eτ十t Where eσ and er are in R’， andぷand’・ are in亙We get 5』tl＝1’ for the unity 1 of F． ff vve take a p血ritive 1・th root e of unity 1， we getぷ＝ζa and t＝ζb for some integers a， b． lf a＝0， then we haveσ一1∈R’and this、 contradicts to Lemma 4． Henee a is pOsitive and s顕皿er than 1． By也e s㎝e㎜er，か is also positive Smaller than 1． Hence there is a positive rational integer m such that s ＝ tm． This means thatσ一Pm∈R，． But （n ’mキ1＝耳『since G is generated byσandτalld is． of order 12． Hence by Lemma 4， we get a contradiction．’

_{@    （e．肌㍉}

PRoPosmoN 2． Lθ’Cゐθα’ω〃！plete non−sing〃lar atgebraic cur昭げ8iθ〃〃s g≧2． Lと’た一

12

_S．WADA

、 ㊨ε伯砲ωげ晒ゴtion・and（x，ア）ゐθαη〃αぴぷ励吻τ克（C）＝克（x，夕）．聯c励痂M餌〃z− itive 1−th roO’ζq〆〃η∫カノ｝vhere l is a pri，〃te ra’io〃α1 Z〃teger other than功θcharacteri，ぷtic ofk， イZ〃d ifJacobia〃Varieり「」ρノ’CisぷZ〃rρle， then Wθhaye丘（X，ア）＝丘（xZ，ア）or k（LAcl，ア）＝k イ）cl，アリ．   PRooF． Any isomorphismρof k（xz， yl）over k（xl， yl）sends（x，γ）to（ζax，ζby） for some血tegers a， b． Hence k（x， y）is a Galois extension’of k（ltl，アリ， since k containsζ． lf k（x，夕）早k（xz， y）2k（xz，アリ， k（x，ア）and k（xz， y）are cyclic extensions of degree 1 of k イx膓，ア）and k（xz，アリ， respectively． The Galois group G of k（x，γ）／k（lvl，ア‘）is generated byσ， andτsuch that（x，ア）σ＝（ζax，ア）and（x，ア）τ＝（ζbx，ζ⑲）with rational integersα， b and c． We see that（x，γ）στ＝（ζa＋bx，ζcy）＝（x，γ）τσ， that is， dr＝τσ． As♂＝τ1＝1， by hemma ．5，we know that 」 is non−simple． This is a con仕adiction．且ence we get k（x，γ）＝k（xz，ア）

◇rk（xl， y）＝た（xl，アり．      、．．    ・ ‘  （ρ．E．D．）

   PRoPosmoN 3． L￠’（］． J， k and l be the same aぷ仇Pr卿ぷZ’ion 2．ザ〃（C）＝た（x，γ） ．a〃4（x， y）ぷa’isfies an equationプ｛x膓，アリ＝O where f（Xiコη）垣〃丘【X， y］，かrε吻c茄彪よ〃泥 ¶x．γ］，then・J・is・no〃一ぷ伽ple．   PRooF・If J is simple， then by Proposition 2， there are functions F and F／in k（X，、Y） ・such that x＝：F（bel， y）orγ＝」F”（xl，γi）． But any pair（ζαx，ζbア）stay on the curve off（Xl， yt）＝0． So we getζx＝F（xl，ア）ixorζγ＝F，（xz，夕り＝γ． These are false． Hence J rmust be nOn−s血｝ple・       （e．、E．1）．）

  ExAMpLE． A curve】声…＝F（X2）where F（X）is of degree＞2and is not a square

・of any polinomial of k［X］corresponds to it’s birationally equivalent and complete non− s血gular curve C With non−simple Jacobian variety」」，proVided−that k has not the charac一 寸e］tlstic 2． t

  §2．On皿血vol岨on of a group ring、R飾r a curve We know that any group ring

・de丘ned over the rational number field has a positive hlvolution． But， fbr a group ring R， −we can constmct an祖volution by sp㏄ial calculations and deVices and can use it as we ）use the positive one・1￡t RI be a㎜血1al ideal of R． Let頁be a division』ring such that ・R1＝；： Kczμ with a center 9． We takeα＝Σa‘σi of R and put a＝Σai 6i−1． W・猛・w丘・m。g。噸・h。。ry、in［5］・h。・皿i。。。1。ti。。0’。fK、面㏄， th。，e1。、i。n ，b−1〆b＝臼br anyぷof」ζ and a fixed unit b of R1． Now， we can defme aρ一linear ahd（∼一

・valued丘mctiona1σO on R byσ（α）＝a1 forα＝al十a1σ2十．．．，a，碗∈ρ，σi∈G．

Forαandβ＝：Xbjσ」， we haveαβ＝Xa吻σ吻＝（Σ aibji）1十．．．．，where刀satis丘es

・6t6it＝1and is uniquely deten血ed by i． By this刀we can representβasβ＝Σ函εσ宛． So ・we haveβα＝Σゐゴ硫（萢σ元＝（Σ「bdiai）1十．．．．．Hence we have U（αβ）＝σ（βα）． Clearly σ（α十β）＝σ（∋十σ（β）．Forぷof」9， ss’＝＝ sbSb−1． if s∈Ω，∬’＝sS， since S is again in the t・e・t…fR・廿・m・α一食・姦＝・3飴・al1・・fR、．W・g・t良、一（alR、∋。）三R、，、in㏄・A。i、、

i

ON APPLICA”ON OF THE GROUP RING THEORY

13 aminimal ideal of、R again and cr∂＝（Xai 6i）（；aiσi−1）＝（Σα…）1十．．．．キ0．ifα≒0．

So』｝1（‡R20f R＝R1ΦR2 and良1＝R1． Thus we haveσ（∬り＝σ（ぷの＝Xal．＞O fbir

．∫∈Ω，ifぷ＝』≒0．’I hus we have next Lemma 6．   LEMMA 6． Let K be a diyisio〃ring ovεr whichαminimal ideal・RI is expre∬e∂αぷαtotal ma〃江r晦， R＝Ri O R2，．R1＝XKCaμ． T7ien there is an involution ’O’on K cind a e−linear

￠−valued吻c伽al・UO in R・励’吻ぷ峨cψrぷキO ・f the center 9・f K U（∬う＞0・

M・re・vεr，カγ卿θたmθπ’ぷげF＝（ぷ1ぷ∈Ω，ぷ’＝ぷ），’伽・加ηρθ4θ泥〃2θη’αガFぷ〃c乃 吻’σ（s）＝ TrF／e（αs）．   PRooF． As R is of finite rank over e， so F is also of血rite rank over e． Hence we may take Fto be an algebraic number field． We take solne base（ω1，ω2，．．．．，ω彿）of the ring 《）fintegers of F over Z， a皿d consider equationsσ（ω‘）＝2らxi（TrR／Q（ωゴωε）・Si．nce the d÷ tem血ant l TrFlQ（ωゴωi）lis not O， we can solve them and get solusiolls（刈in￠． So we put α＝X xj （oi∈Fand getσ（ω♂）＝Xj TrF／g（ηωゴωD＝TrF／g（αωε）． So by linearity， we haveこlr（s）＝TrF19（αぷ）fbr a皿ぷofΩ． This completes the proo￡      （⊆∼・E・1）・）   We have next well known theorem for the involution of Lemma 6．   THEOREM． Let K， 9， Faud O／bθα加1診〃㎜6・MenΩis a totally im． a． 9inαrツ extension ofdegree l or 20fF， and F is a totally real algebraie number／ield・   PRooF． As O／is an anti−automorphism in K of order 1 or 2， it is an automorphism ofΩ of order l or 2． Hence［Ω：珂＝10r 2． IfΩキF， then there is an element s of 2， not conta血一 ed in」亘Andぷis a root of ．12−（ぷ十ぷつX十5〆：＝0． By replacing s byθ＝ぷ一（1／2）（ぷ十  ・ め，we get an equatio且θ2−（1／4）（α2−4b）＝、O With a＝ぷ十s’and b＝∬ノ． That is，θis a root ．of Y2＝＝β∈Fand∀＝…一θ． For a血yぷ’of F， we have TrFiQ（ct s2）＝σ（ぷ2）＝σ（Ss，） ＞0，ifぷキ0． ifF has a non−rea1 conjugate丘eld」Fi over e， then 1㌦is dense in the◎om・ pl6x number丘eld C．   We select some’of Ffb皿owingly．（case 1）If a co可ugateα10fαin Lemma 6 has a posi− tive real p征rt， then we take such’tllat it’s conjugate t1血Fi has’a very large imaginary part． ｛case 2）ff ai has a negative rea1 part， we take such t that t1 haS a very large rea1 part．（case 3）Ifα1＝±Ui With u＞0， then we take such t that t1＝v±vi． with largeγ． After these selections of t of F， we apply the valuation theory to our three cases． That is， we take such ぷof」Fresi）㏄tively in above three cases thatぷis very dose to’at a valuation V correspondmg to the conjugate field Fi ofFover e， and thatぷis vely close to O at other v瓠uations・Then， as Fi and it’s complex Conjugate丘eld correspond to the same valuatio11， we have］rrE！g ｛αぷ2）＜0．Hence if we had a non−rea1 Conjugate field Fi ofFover e， we had a contradiction O＞TrFIQ（αぷ2）＞Oδ Theref（）re Fmust be a tota皿y rea1 algebraic number丘eld． By the sa血e way， ifαhad a negative co司ugate conta血1ed血aconjugate丘eld F2 of F over e， we take suchぷof Fthat it’s conjugate in F2 is very −large and it’s other conjugates are very close to O．Then we get TrFiQ（αぷ2）＜0． But TrRiQ（tr s2）＝U（ぷ2）＝U（∬う＞0． So・ct must be totally

14

_S．WADA

positive・Next，鐙Ω≒・呪we have TrR／9（evθ2s2）＝一σ（θθ’sSi）〈o For any s of F． lf e2 has a positive c叫lugate， then we select such s of F that is vgry close to t of F which has a very large absolute value at the valuation corresponding to this conjugate， and which is very close to O at other valuations． For thi∬， we have TrF／e（αθ2ぷ2）＞0． This is a contradiction and soθis totally血1aginary．       （9．E．1）．）   By chapter 10 of NbertTs Structure of a lgebra［5］， K， 9 and F are classified as following．、 type 1． type 2． type 3． type 4．

K＝Ω＝F

Kis a quarte血on division dng over 2＝五K（〔×））F」R＝M2（R）， where 1∼is the real nunlber丘eld． Kis a quarternion division rhlg over 9＝。F such that、K⑧R＝H（H is the division血g of real qua“㎝ion）． 9キF and K is a cyclic algebra（L， S，γ）， where L is a血aximal commutative separable extension ofΩin K， and cyclic overΩ（a splitting丘eld of K）． And L＝i￡⑧F9， where ee is a cyclic extension of F with Galois group（1， S，ぷ2テ

… ，ぷカー1）．Moreover K＝L十〃L十．．．．十un−1 L，γn∈9；z〃＝uzs for

all z of L；［L：9］＝n and【K：Ω】＝〃2；andγγ，＝ハ函F（v）for some v of Ce．   ln our theory of group血g 2（G）of curves， we wM treat K of type 2 and 3 in reference to・ special algebraic equations hl the next paragraph．   §3． On a㏄血in di▼ision r血オg of type 2 and 3  Let K be a division ring of type 20r 3； generated by elements of丘nite order over the rational number丘eld e，、K＝Σあ0，4＝1． For an example， if the Jacobian Va亘ety J is simple and石r＝1，then by corollaries of Pro− position 1， R”of Coro皿田y 20f Proposition l is g㎝αa城』1㎝ents of鈍te order over ￠．   First， we treat type 2． We denote the real numbe西eld by丑．

晒s・cas・細・・Xw・p・・’一（9多）・a・b〃e・d∈R・W・…・t・−i−（6？）f・・

some integer ・N， and denote as 6（t） the dete血hlant of’． Th㎝加m〆v≡i， we haVe 6（t）

一土1・（da・e・fδ（・）＝1）W・p・…一・禄“・・we・av・t・一ド㌫㌦∼竺1）．

……

E’・一

h＝π一2砺］竺一：一，），w…e・we・・』r・・一・一・一・．

ぷo＝1．

As we easny㎞ow IV＝1 or 2 for the case be＝0， we assume●cキ0． The吐om棚＝

』闘・w・』銅一・，sN−1…w・g・・sN−一・−1， sN−・一一1，蛭

一slsN＿2＝・一 S v＿3＝ぷ1， and so on． Ifハr＝2ア十1， th㎝we get， as a last relation， sr＋1−

slsr＝−sr＿1＝sr， Hence we have sr＿1十sr＝Ofbr N＝2r十1， If N＝2ちthen we

get， as a last on島sr＋1−slぷナ＝一ぷト1＝sr＿1， that is， we have sr＿1＝Ofor∧r＝2’．   By us口1g these， we getぷ2＝sr−1， s3：＝s鍵一2ぷ1， alld so on． And we can prove the next relation by血duct三〇n：

・・一呼一云1・r・＋…＋（−1）・（”一肋＋2…＠−2k＋L’ ・？一・・

ON AP肌ICA皿ON OF THE GROUP RING THEORY

IS

十．．．．（Case ofδ（’）＝−1）As we have IV＝10r 2 for the case bc ＝． Q， we assume

・h・・わ・≒・・g血．…・hav・’・一ピ緒一・㌶認．，｝， w…ew・p・t’

ぷ’

F1＝ぷ’

Pぷ’F2＋ぷ’％＿3，ぷ’1＝S＝a＋d， S”O＝1・

…M・・N−1−（；？）・・（’）−lf・・N−・・＋1・w・h・v・・’2H−・f・・N−・・a・di

ぷ’

_{Qr÷1十s’2r−1＝Ofbr N＝4r十2．、By induction we have}

・三軒〃

ｧ！ SI・ 一・2＋…・＋（n−−k）（〃＋2！◆’・（≡＋1）・｛n−・・1−

  Next， we treat the case where K is of type 3．   血1this case we take t of k such〆v＝1，’＝aoi十coノ十ゐヴ；⑳， bo， co， do，∈R． Here i2＝i2＝−1andヴ＝一刀． If we put’π＋1＝an十bni十cn，ノ十dni ’，，血en by induction we 9・t砺＝⑭・一・一（bl．＋c3＋ば8）・炉・， bn＝わ・・…n＝c・…d・＝d・en・whe・e・・〒an−・ 十⑳en＿1． Hence by induction， we get en＝elen＿1−e炉2，el＝2αo，θo＝1． Therefore by rewriting en by sn， we get an equation of the same type as that of K of type 2 and bc キ0．   By these， we have the next proposition．  PRoPoslTloN 4． 、」rfa division ring K is oft7pe 20r 3， then／b7’ofKsuch tha”」v＝10f K，there are such polyno〃iials T（X）andτ，（X）that 1て’十’−1）＝0，τ，（’一’−1）＝0，」Here T and T’αrθノわ〃bwings．（T／appears only in the case where K is邨り7pe 2 and 6（’）＝−1・） （1）1ζ（ゾリ，pe 2；τ（X）＝ぷγ（X）十Sr＿1（X）ノbr N＝2γ十1． τ◇r）＝・ぷ2r＿1（X）and T，（X）＝＝5／2r＿1（X）プbrハr＝4r，δ（’）＝：±1・ T（X）＝ぷ2r◇r）and T’（X）＝ぷノ2夕＋1（X）十ぷ’2r＿1（X）ノbrハr＝4r十2，δ（’）＝± 1 （2） Kロfり，pe 3；τ（X）＝ぷr（X）十Sr＿1（X）ノbrハr＝＝2r十1．       T（X）＝ぷr−1（X）ノbrN＝2r・ For（1）and（2）， Sn（X）and’ s6（X）haγe next／brms∫

・炸xn−（n−−1

@1∫）xn−・＋…・＋（−1）・（h−k）（1！一＝一1kg−＝−iSl）！’”（’t 一 2k＋1）       xn−2iC十．．．

…（X）一糾（1i；1）X・一・＋・…＋（n−k）（〃＋2プ（ 2〃＋1）

      xn『2k＋．．．．，and Si（X）＝ぷ’1（X）＝X， So（X）＝〆o（M＝1・

』F・・…瓦・（’）−1，w・h・v・・＋・一・一（a古da♀、）…’＋’一・−2・・

・e・pec・i・d・f…一

i96）・・’一・・＋b・・＋・・ノ＋励・・w・p・…一・＋・…F

・⑳，・h・nw・h・…h・・es岨・s．・F・・δ（’）一一1ca・e・・’一（Z 9），w・・av・’一・一（一ぎ一髪｝ ・nd・・’一’一・一

iα吉da♀、）…w・h・v・・h・・e・U・・s・  （鋼）

  PRoPosrlloN 5． 〃’weα∬〃〃le that Jaeobian varietyノのf a complete〃o〃−singular alge一 ・

16

_S．WADA

braie curve i，∬imple and・the〃orη吻∬zθr lv（H） ofHhas an ele〃昭ntσs〃c乃伽舳θ．cla∬of． σZ〃N（H）／H is oforderハr≧3，α724ぴ・Rどで㎡1∼o is q〆’type 20r 3タ1vhere 1∼o is a 8・roup ring over O genera彪d ZワaU elements ofN（H），吻τ玩Ro＝e（N（旬）、 then we・have T（σ2＋σw−2） ∈R’，where T（x）＝ぷ，（M＋ぷ。−1（x）プbr∧r＝2r十1 and T（1り＝Sr＿1（X）ノbr N＝2r，㎡ Proposition 4     PRooF． For Ro＝＝0（N（H））， we easily see that R／and R！， of Ro are ideals of Ro and are contaihed in R， and R”of R＝ρ（G）． Hence if J is simple， then R”of Ro must be a divi− sion ring． Ifwe putσ＝t十〆where ・t∈R”and〆∈Rノ， then fromσN∈EI and gN−1∈ R，，we get tN＝1，where l is the unity of Rノノ． As t2N＝1，we haveδ＠2）＝1for R”，of type ・・H・ncew・g・・t・＋t−・−

X：）f・…m・・s…R・ifk〃・・…yp・2…t・＋t−…in・h・

center of R”． We get the same result fbr the case where R”is of type 3． Hence we get a inatriX type equation T（t2十t−2）＝0． As N≧3， we need not to consider the case bc＝O in the proof of Proposition 4． And asσw−2＝σoσ一2 fbr someσo of」既we haveσw−2＝t−2 十ηf（）rsomeηof R「． Therefbre we get T（σ2 十 uN−2）∈R’．        （e．E．1）．）

  ExAMPLE． For N＝5， T（X）＝X2十XL1， and T（σ2十σ3）＝σoσ十σ4十2σo十σ2

十σ3 −1．Fromσo−1is in Rノ， we get 1十σ十σ2十σ3十σ4∈Rノ． For N＝6， T（X）

＝X十1and 1十σ2十σ4∈R，t． For IV ＝＝8， T（X）＝X and 1十σ4∈R，．

  Here we assumed that the Jacobian variety 」 is simple and、R”of Ro＝2（N（H））is of type 20r 3．

『 」REFERENCES

｛1］A．WeH：Foundation of algebraic geometry（revised and enlarged edition） ［2】  ”  ：Courbes alg6briques et vari6t6 ab61ie皿es（1971） ・［2．1］ ”   ：Theorie ele皿entaire des correspondancβs sur une gourbe（P．28 in［2】） 正2．2］ ”  ：Vari6t6 ab61ie皿es et courbes alg6briques（P．87 in【2D I3】M． Hall：T血e theory of groups（1959） ［4】M．Eichler：EinfUhrung in die theorie der algebraischen zahlen und fUnktionen（1963） 江5］ A．Albert：Stucture of algebra（1961， revised edition）