2001 東北大学（理系）前期日程 問題
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１ 解答解説のページへ DE を正の数とする。 つの曲線\ [ E[ \ D[DE[によって囲まれる
つの部分の面積の和を6とする。
6をDとEで表せ。
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２ 解答解説のページへ 関数
[[
[
I [ zについて OLP
[
D
[o I E OLP[oIc[とおく。
DEの値を求めよ。
≦[の範囲で つの関数 [ D[ D[E[の大小関係を調べ
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３ 解答解説のページへ
からまでの整数がつずつ記入された枚のカードの入った箱がある。こ
の箱から 枚のカードを無作為に抜き出してそれに書かれた数が奇数であればその
数を得点とし偶数の場合は奇数になるまで で割って得られる奇数を得点とする。
たとえば抜き出したカードの数がであればこれをで回割って得られるが
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４ 解答解説のページへ 四面体2$%&においてD 2$ E 2% F 2&とおく。線分2$2%2&%& &$$%の中点をそれぞれ/01345とし S /3 T 04 U 15とおく。
線分/30415は点で交わることを示せ。
D E FをS T Uを用いて表せ。
直線 /3 04 15 が互いに直交するとする。; を$; /3となる空間の点とす
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５ 解答解説のページへ 複素数] [\L Z XYL（ただし[\XYは実数）は ] Z を満たし
＜
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６ 解答解説のページへ Q を正の整数とする。W≧ のとき不等式HW＞WQQが成り立つことを数学的帰納
法で示せ。
極限
³
f o
W P [ W
P [ H G[
, OLP P を求めよ。
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電送数学舎 −−
１ 問題のページへ \ [ E[………① \ D[ DE[………②
①②の共有点は [E[ D[ DE[
ED [ DE[
[
[D [E
[ より[ D E
右図より E≦[≦ では①の曲線が②の曲線の上方にあ
り≦[≦Dでは②の曲線が①の曲線の上方にある。
よって①と②の曲線によって囲まれる部分の面積6は
^
`
³
^
`
³
E [ ED [ DE[ G[ D [ ED [ DE[ G[6
>
[ E D[ DE[@ >
E [ E D[ DE[@
D
E DE DEE D E DD DED
E
E DE DED D DEDE E D＞E＞ DE より＜D＜なので
^
`
D D D D D D
6
^
`
D D D D D D D D
6c
D D
DD D
＜D＜ でDD＜より6 の増減は右表 のようになる。
よって D E のとき6は最小値 をとる。
［解 説］
ともさしたる工夫もせず普通に解いてみました。
D … … 6c − ＋
6
[ D
2
\
E
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２ 問題のページへ I[ [[ より
[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ c I OLP OLP OLP o o
o [ [ [
[ [
D [ I [ [
OLP OLP [ [ [ [ [ [ [ E [ [
c o o I OLP
o [ [ [
[
より ≦[
の範囲で
[ [ [ [ に対して
[ [ [ [≧ ≧ [ [ [ [ [ [ [ [ [なお等号はともに[ のとき成立する。
さて
[ [ [ [
J とおくと
[ [ [ c J [ [ [ [ cc J
右表より ≦[＜のときJ[＜ [ の ときJ[ [＞のときJ[＞となる。
以上より≦[＜のとき
[ [ [ [ ＜ ＜
[ のとき
[ [ [ [ ＞
[ のとき
[ [ [ [ ＜ ＜
またグラフは右図のようになる。
［解 説］
はグラフがすぐ書けるので大小関係は直観的にわかりますがきちんと示そう
とすると時間がかかります。
[ … …
[
Jcc − ＋
[ Jc [ … … [
Jc ＋ ＋
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３ 問題のページへ
から までの奇数を同じ得点となる数の個数によって場合分けをする。なお
それぞれの場合に適する奇数をQとする。
L 同じ得点になる数がその数だけの奇数
＜Q≦より Q となる。 LL 同じ得点になる数が個ある奇数
＜Q≦より Q となる。 LLL 同じ得点になる数が個ある奇数
＜Q≦より Q となる。 LY 同じ得点になる数が個ある奇数
＜Q≦より Q となる。 Y 同じ得点になる数が個ある奇数
＜Q≦より Q となる。
YL 同じ得点になる数が個ある奇数 ＜Q≦より Q だけである。 YLL 同じ得点になる数が個ある奇数 ＜Q≦より Q だけである。 YLLL 同じ得点になる数が個ある奇数 ＜Q≦より Q だけである。
以上より求める期待値(は
u u u
(
u u u u u
u u u u u u u u
［解 説］
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４ 問題のページへ 線分/3の中点を6とすると
23 2/
26 DEF
これから 26 2024と表せ点 6 は
線分04の中点に一致する。
また 26 2125とも表せるので 6 は
線分15の中点にも一致する。
よって線分/30415は点で交わる。
条件より S /3 232/ DEF………①
20 24
04 D E F
T ………②
21 25
15 D E F
U ………③
②③よりD TU①③よりE SU①②よりF ST 条件より;$ $; /3 S
T S U T U S S D
E $;
$%
;%
U S U T T S S D
F $;
$&
;&
U T
S が互いに直交することより四面体 ;$%& の体積は
S T U S T U
また $; /3より/から平面$%&の下ろした垂線の長さと;から平面$%& の下ろした垂線の長さは等しいので四面体 ;$%& の体積と四面体 /$%& の体積 は等しい。
すると /は2$の中点から四面体2$%&の体積は四面体;$%&の倍とな り S T U である。
［解 説］
で与えられた条件によって四面体 2$%& の つの面は合同になります。この
ときこの四面体は直方体に埋め込まれるということが元になっています。ずいぶん
前になりますが年に東大・理でこの考え方を利用する問題が出ています。
2
$
% & /
5 3
4 0
1
;
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５ 問題のページへ YL
X Z \L [
] に対して ] Z より
\ X Y
[ ………①
また]Z [X\YLなので ]Z ＜ より
[X \Y ＜ ………②
さらに条件が ] と Z に関して対等なので一般性を失うこ
となく \Y＜から\＞Y＜とすることができ
＜[＜ ＜X＜
………③
②より[ X [X[X\Y \Y＜ ①を代入すると[X[X\Y＜
[ X \Y＜ ………④
ここで 3] 4Zとおくと④は2324＜ を意味するので324＞q……⑤となる。
さて点3を点に関して対称移動した点を5とおくと
5 ] となり 325 qである。
すると] [\Lから⑤の条件はX＜[
＜ X
[ ………⑥
以上より求める条件は③⑥から ＜[＜ ＜X＜ [X＜
［解 説］
④の左辺を内積とみて後半は図形的に考えました。
]
Z 2
]
Z 2
3
4
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６ 問題のページへ Qが自然数のとき HW＞QWQ W≧を数学的帰納法で示す。
L Q のとき IW HW Wとおくと IcW HW
W≧のときIcW≧よりIW≧I ＞となり HW＞ が成立する。W
LL Q Nのとき
N W
HW＞ N W≧が成立するとし
W HW NWN
J とおく。
W HW NN WN HW WNN
c
J
W≧のとき JcW＞よりJW＞J ＞となり
NW
HW＞ N が成立する。
LLLよりすべての自然数Qに対してHW＞WQQ W≧が成立する。
³
W P [ P [ H G[D とおくとD WH[G[ HW
³
より OLP
f o D , W
>
@
P [ W
³
W P [ P W PP [ H P[ H G[ W H PD
D P≧
さらにEP HWDPとおくとEP PEPWPとなり EP PE PW
P P P
P W W W H P W W W E PEP P W P
H P W W PW P
E W P
P
¦
P N W N W P W W W P H W N P H P PW W W H P H H P DよりW≧でHW＞NWN より
W N W N W N H W
N W N N
N ≦ ＜ W P P W N H W N P N P N W N
¦
¦
＜ ≦W→∞のとき PWP oより
¦
P oN W N H W N
よって OLP OLP
^
`
H P W N P H P D , P N W N W W P W
P
¦
f o f
o P≧
これはP のときも満たしている。
［解 説］
どんな自然数Qに対してもOLP
f o [
Q
[ H
[ となりますがこの証明を一度はやっていな
