高等学校数学教育の問題点（3）
教育学部数学研究室 宮 田 龍 雄 常磐女子高等学校 宮 田 加寿子 日立茨城工業専門学校 鈴 木 禎 介
意味づけされている。すなわち，現代数学における厳密
まえがき 舩理鵬巌のものの指導としてではなし帆すくな
前稿までの高等学校数学教育の問題点（1）および（2）で， くとも公理主義に基づく理論的な概念構成についての思 現行の高等学校学習指導要領数学1の内容と，それに 考やその方法の，ある程度の理解を求める指導を期待し 基づく教科書の教材内容，その配列などにおける問題点 ているものといえよう。
を考えてきだ㌃ひきつづいて本稿では数学皿Bにおける そのための具体的指導の媒体として，平面幾何からの内 それらについて考察することとする。数学皿にはほかに 容をとりあげることを原則としつつも，「数学HBの他 数学皿Aがあるが，基本的には数学皿Aの内容は数学皿 の内容，さらに必要に応じては数学皿の内容を取り扱う Bの内容に含まれており，数学豆Aの学習対象となる生 とき，つねに生徒の発達段階にふさわしい程度を考慮」
徒数も数学皿Bのそれに比すれば非常にすくないなどの しつつ公理的構成の方法の指導を配慮することとなって 理由から，ここでは考察の対象を数学∬Bに限定するこ いる。典型的な公理的構成の対象として・平面幾何をと
ととした、 りあげた理由として，それが「てごろな題材であること 以下文中のカギ括弧は，すべて文部省学習指導要領， から」と簡単に表現されているだけで，はなはだ不明確 文部省学習指導要領解説数学冨蕊よびそれらの作成者に であるが，直観的な考察や実験的考察だけを通しての帰 よる高等学校学習指鞭領の展開傲学科編1）からの引 納的方法による小学校での平面図形の指導や，きわめて 用を示す。 不十分な演えき的推論を併用しての中学校での指導，高
等学校数学1での論証方法の指導だけでは「公理の意味 A 代数・幾何 を明確にとらえての体系的論証にまでは及んでいない」
（1） 平面幾何の公理的構成 として，ここまでの段階だけではいわば「局所的論証の 指導要領数学科の目標5に「体系的に組み立てていく 域を脱していない」とする反省の上にたって・「論証が 数学の考え方を理解させ，その意義と方法について知ら 真価を発揮するのは，具体者に対してその論理的分析を
せる」とあり，数学∬Bの目標①で「体系的に理論を組 ほどこすところに存する」という判断に加えて・おそら み立てていく方法を，平面幾何を通して理解させる」た くはEuclid以来の根強い伝統からくる無意識の拘束力 めに「数学1までの段階での学習の基礎の上に，平面幾 が作用し，一見よく整理された体系であり・かつ具体的 何について，数学における公理の意味と公理的構成につ 意味をもつ自明の概念，基本法則を背景として，公理的
いて理解させることが，この項のねらいである。そして， 構成には不可欠の無定義述語，公理系を，洗練されない この学習を通して，もろもろの知識を，その根源まで掘 形のままで，理論的には採用しうる平面幾何を教材とし り下げてその根底を明らかにし，その根底の上に知識を て，公理的構成の指導をすることは・教育的立場からす 演えき的に体系づけることによって，知識全体を整理す れぽ，きわめて「てごろ」なものであるという，はなは
るとともに，新しいものを発見していく学問の方法を明 だ皮相的判断があったのではないかと思われる。
確にとらえさせる」ことをねらいとしている。なおこの 一応「公理系は，無定義述語間の相互関係を規定した ことは「現代数学における考え方としてばかりでなく， いくつかの命題である」と規定しつつも，「発見的には 現代の科学における体系的理論を構成する上で，または 決してそういうものではなく，素朴な直観の中から，そ その理論を理解する上できわめて重要」なことであると れらの論証的精髄が相互関係的にとらえられたもの」で
あるから・たとえば「一つの定理から出発して・次第に 数学における公理的構成の意味を理解しているものから 根源へさかのぼっていくと・その根底に・これだけは証 する論理であって，これから公理的構成を学ぶ生徒に，
明なしに認めなければならないいくつかの命題に到達す 現在の形で公理化の指導を行なへば，無定義述語は物理 る。それが公理系なのである」として・自明に認識すべ 的に存在するものであり，公理系は自然の法則であって，
き命題として「公理系」を位置づけしている。無定義述 人間の創造すべきものではないと考えるような，謬った 語についても・その論理的な位置づけを一応はしておき 先入観を植えつけてしまうであろう。いいかえれば，経 ながら・事実上では具体的意味をもつ直観的概念の数学 験空間内の知識の整理は可能であっても，その中にだけ 教育的表現から一歩も踏みだしたものではない。 埋没して，普遍的な立場で，それら具体者の論理的分析 したがって・無定義述語・公理系はそれぞれ自明な概 を行うことはしないという，19世紀以前の数学の指導に 念・あるいは法則であって直観的な認識の対象となりう 逆戻りすることになろう。
るものと解釈されている。公理主義の立場からすれば，
無定義述語は認識とは無関係の無定義の用語（あるしソま （2）空間における座標とベクトル
記号）であり・公理系はそれらの間の関係にすぎない。 指導要領数学皿Bの目標（2）に「座標およびベクトルの この意味からすれば・ここでの指導は・公理的構成の基 概念を空間にまで拡張し，これらについての理解を深め，
本そのものを否定しているから・公理化への手順あるい 図形の性質を考察する能力を養う」とし，同時に「ベク は公理化への指向の方法についての指導であって，公理 トルが次元に関係なく同じ考えに基づいていることを理 的構成そのものの指導ではありえない。生徒の発達段階 解させ，統合的，発展的に考察処理する能力・態度を育 をふまえての教育的配慮から・かかる内容が由来したの 成する」ことをねらいとしている。ここでいう次元とは であろうが・直観・経験などの統一者として・それらか Euclid平面， Euclld空間における直観的2次元，3次 ら抽象した精髄を要素とする公理的構成自体の指導にす 元の意味であろうから，端的には数学1の平面ベクトル こしでも近接を意図するのであれば・あまりにも具体的 を，空間のベクトルにおきかえるだけのことであり，本 であり・身近である概念・法則を用いての公理化の指導 質的なベクトル空間の次元の問題を意味するものではな は・たんに仮定から結論をみちびくだけの・証明の過程 い。さらに内容の取り扱いにおいては「次の行列と密接
の指導を超えることができないのが現実黛ることを反な関連があるので詣導においてもそのための醜」を省して・他の対象・たとえば自然数の構成などに教材を することが望まれているが，「ベクトルの一次独立，一
変更して指導すべきであろう。もし無定義述語・公理系 次従属をとりあげることはしない」のであるから，ベク の具体的内容を指導要領解説のそれにとれば，無定義述 トルを行列と密接に関連させることは不可能であり，行 語は有定義の述語であり・公理系は具体的法則（定理） 列および嗣次変換との関連は，数学的内容をもつ真の意 に転換され・さらに次元を高めて無定義述語，公理系を 味の関連ではなく，たんに行列とベクトルとの表現の類 求めていかねばならないという論理的循環に陥いるおそ 似と，一次変換を表記するための，手段としてのベクト れがある。 ルの使用にとどまったものとなっている。
平面幾何以外の数学皿Bの内容・数学皿の内容の取り すなわち数学皿Bにおいても，数学1におけるベクト 扱いについても・公理的構成を配慮しつつ指導するよう ルからの本質的な発展はなく，ともに計量空間である2 に解説されているのであるが・ベクトル・行列・微分・ 次元，3次元のEuclid空間におけるベクトル解析の初 積分などの教材を・直観を避けて上記の配慮を意識して 歩の部分の指導であって，空間図形への応用のみを目指 指導しようとするならば・ただちに高等学校の数学教育 した極めて狭義のベクトルの指導に終始しているので，
の範囲を超えてしまうであろう・公理的構成をこれらの この意味からも次の行列・一次変換の数学的意味はほと 教材にも配慮する指導欄待するのであ杣ま詣導要領 んど甑してしまうといえ￡
自体が・それを可能にする内容をもったものに整備され まず，現行の教材に内在する問題点を考察しよう。べ ていなければならないであろう。 クトルの定義は数学1のそれとまったく同じで，大きさ
公理的構成における基本概念が・たとえ具体的，直観 と方向をもつ量，すなわち有向線分で表示できる対象を 的な背景をもつ概念であっても・それらを無定義述語， ベクトルと定義し，つづいてそれらの相等を，大きさと 公理系に位置づけすることができるとするのは，すでに 方向が等しいことを規準とする。したがってベクトルは
→ 一一も
2重の性格をもった概念であり，その1つは般有向線分 1αll 61co5θで導入される内積も，ベクトルの定義そ で表示される量 そのものであり，他の1つは娘相等な のものを用いているから，ベクトルの定義に不備なもの ものを区別しない概念，としてまとめた，大きさと方向 がある以上，明確な概念ではありえない。上の定義によ の等しい有向線分の全体を1つとみたもの である。数 れば，内積はベクトル類のなす集合の上で，ベクトルの 学的にいえば，空間における有向線分全体のなす集合を， 長さ，あるいはベクトル間の角を定義し，その結果，°
上記相等の概念で類別したとき，各同値類も，各類の代 クトル類の上で定義される二変数実関数の1っである。
7）
¥も，ともにベクトルと呼ぶわけである。このことは論 また内積をベクトルの成分で定義すれば，前述の成分表 理的には不合理であり，実際の指導の場でも，形式的に 示の一意性に加えて，座標軸の設定に内積が独立である はともかくとして，真の意味でベクトルの概念を生徒に ことを確認しなければならない。安易に「三角関数とべ 定着させえない大きな原因をなしていると考えられる。 クトルの関連などを考えることによって，その（内積の）
導入の時点ですでにこのような論理上の欠陥をもつべ 二つの表わし方が同値であることをわからせる」ために クトルは，それらの間の演算の定義が粗雑となるのは不 は，それ相当の論理を無視して，強引に指導するほかは 可避である。すなわちベクトル間の加減，スカラーとの ない。しかも特殊な計量ベクトルのみがもつ内積の概念 積のwell−definednessの検討はまったくなされないま も，図形の幾何学における論証の一手段としてだけに利 ま，それら演算のもつ線形空間の構造の条件である公式 用され，高々，関数的応用として，三角関数の加法定理 を，まったく形式的に，演算自体に含まれる具体的意味 を「導く程度」が考えられている現状では，数学教育全 から指導するようになっている。公理的立場からは，べ 体の立場から見ればその指導にどのような評価があたえ
クトルは無定義述語であり，たとえば加法についての結 られるのであろうか。
合律は，線形空間の公準であって，証明すべき，あるい
は論証を通して認められる法則ではない。したがって， （3）行 列
ベクトルを自然的存在とし，結合律はベクトル間に先験 指導要領数学五Bの目標（3）に「行列を通して，いくつ 的に成立する法則としてとらえさせることは，前節で述 かのものの組を1つのものとしてとらえ，数学的に表現 べた公理化を配慮しての指導とはいい難い。さらにそれ するしかたを理解させ，それを用いる能力を養う」とし，
ら線形空間の条件の形式性のみに着目して，それらを数 その内容では「行列の意味，行列の演算，連立一次方程 のもつ性質の延長として位置づけることは，ベクトルの 式，一次変換」が取り扱われることになっている。ここ 公準が線形構造への出発点としてではなく，数概念の発 で「行列による連立一次方程式や一次変換の取り扱い」
展の1つの終点として，閉じたものとすることを意味し が実際の指導内容をなしていることから見れば，ベクト よう。したがって，ベクトル指導の目的が線形構造への ルの内容が線形構造へまったく無指向であったこととよ 基礎づくりとなることはなく，ベクトルのもつ数学にお く符合して，行列での内容にも線形構造への指向は何も ける意味を，自らの手で断ち切っているといっても過言 なく，きわめて狭い意味での行列算と，連立一次方程式 ではない。計量的な意味での応用，つまり空間幾何への および一次変換の表現の問題だけの指導を事実上の目標 応用だけでは，他の方法も可能なのであるから，このま としているに過ぎない。換言すれば，小さなトピックの まではベクトルを数学教育の題材とする必要が，はたし みに限定することで発達段階によく対応させているかの て存在するといえるのであろうか。 ように見えるのであるが，さしあたり必要な項目を列挙 つぎに，空間座標を用いて，ベクトルの成分表示の指 して，本質とすこしも接触しない閉じた姿は，発展的な 導がなされるのであるが，たとえば空間における単位べ 数学能力の育成にはむしろ有害であろう。
クトルの独立性は指導しないことになっているから，原 「行列の導入には，できる限り具体的な例を使い，ま 点，座標軸をともに固定したとしても，任意ベクトルの ず行列を用いる意義を理解させる必要がある」とされて 成分表示の一意性を保証することはできない。成分表示 いるが，社会事象などにおける具体的例は高々多元的な の可能性のみを根拠に，ベクトルの相等をそれらの成分 数字のarrayのなす行列にとどまり，行列を用いる場の の相等におきかえたり，あるベクトルを，一次独立ない 存在は示しえても，それを用いる意義を正しく理解させ くつかのベクトルの線形結合として表現させることは， ることは困難である。したがって数学∬Bにおける行列 → →
̲理性を無視したものといえるであろう。α・6＝ は，線形数学における行列の意味とは大きなへだたりが
あるといえる。しかし過半数の教科善七の行列の導入は， 目標を達成することはできないであろう。ここで強調し 写像に関連した一次変換による表現を用いている。具体 ておきたいことは，「群」という言葉を知らなくとも初 的な数の配列による導入では，行列の加法，数と行列の 歩の群の概念は指導しうるということである。かかる発 スカラー積の意味づけは容易であるが，行列の積につい 想法による指導を通してこそ「統合的・発展的に考察」
ては問題があり，一方一次変換を用いての導入では，こ させる能力を育成することができるのではあるまいか。
の逆がいえる。演算に具体的な意味をもたせることは， 連立一次方程式の実際の取り扱いによれば・二元連立 初期の数学教育では必要であろうが，ある段階まできて 一次方程式
書あ纏鷺茎器：灘蒙貰驚驚 鵯：；・Cl）−4￠）−x・（1）−B
象の数学の中間に存在する概念であり，そのために各教 をオX置8と表現し，逆行列をこの表現を用いて指導す 科書の演算の意味づけには混乱といえる程度の多様性が るのではあるが，行列式を表面化しないで，本質的には みられる。あるものは演算に具体的意義をもたせ過ぎた 行列式の計算そのものを行なって逆行列を出す点から考 結果，演算の間に成り立つ性質を，論証することができ えれぽ，連立一次方程式の意味を，行列を介して指導す ないままに列挙する。いくぶん論理的に，一次変換を媒 ることにはならない。ただ連立一次方程式の解法の形式 介に導入したものでも，写像の和や，写像とスカラーと を行列を用いたものにしただけである。このことは連立 の積の指導が欠落しているために，それらに関連する性 一次方程式の解の具体的なものへの応用としての意味は 質の成立は，生徒に更更たしかめさせる という形で逃げ もつとしても，線形数学ではたす連立一次方程式の重要
ることが多い。このような状態では現場の教師の困惑は な役割を理解させることにはならない。しいていえば，
もとより，せっかく公理的構成の恰好の題材を提供する 行列の応用の例として連立一次方程式がとりあげられた 場を，指導要領自身が捨てている結果とみられよう。こ とみられなくもない。一次変換の指導も行なわれるので の原因は指導要領解説が内容ごとに独立し，各内容を科 あるから，鱒次写像の単射性と関連させる方向で，連立 学的に関連づけることをしないで，観念的に走りすぎて 一次方程式がとりあげられていくならば，ベクトル，行 いるからであるといえまいか。 列，｝次変換，一次の連立方程式の数学的意味がより深 これらとは別に，たとえば正則行列の逆行列の指導に く理解され，その上ではじめて線形の構造につないでい ついても逆行列の＿意性が保証されないまま，（ガ1ア1けるであろう『）
鑑」，（瓦Byl躍ガ1ガ1とされることが多いが，さら 一次変換については，「平面上で原点を動かさない一 にこれらを準備として，一次変換に関連し「群の考えに 次変換を扱う」とされているが，通常数学で用いる一次
ついて知らせることもさしつかえない」ことになってい 写像∫とは，同一の体F上の2つベクトル空間V，V を るため，多くの教科書でも，代数構造の1つである群の あたえたとき；
定義と，いくつかの具体的集合が，ある演算のもとに群 ア：V→V ，∫＠十ア）一∫（謬）十∫（γ），
構造をもつことを指導しているが，これも「数学的な構 ∫（傭）＝cメ＠），α・，γεV，oεK
造の公理的な定義の例」として知らせるだけで，「群論 である写像であり，一次変換はV−V佐なる場合の∫を についての理解をねらいとするめではない」とされてい 意味するから，必然的にノ（0）＝0であり，とくに2次 る。この段階での数学教育で，論理性の指導は大きな要 元Euclid空間の原点は不動である。したがって指導要 素であると判断する立場からすれぽ，かかる安易な指導 領のいう一次変換はAff ine変換で，その特殊な場合を 過程が，生徒の学習の中で習慣づけられ，それが許容さ 一次変換として取り扱うことにしている。一方すべての れる数学の推論の方法であるかのごとく固定されてしま 教科書では・指導要領のようには解釈しないで・通常の うという危惧がある。またいくつかの数学概念を統合し 数学におけるそれと定義していることは興味のあること て、つの代数系（群盤例示することが，まったく鰭 である．またベクトルを3次元のE・did空間で教させ 味であるとは考えないが，もしそれだけにとどまるので ておきながら，行列を基本的には2×2，2×1，1×2 あれぽ，入学試験などを背景として，生徒は，形式的に の型に制限する関係上・一次変換を2次元のEuclid空間 数学用語または概念を記憶していなけれぽならず，「事 のみで指導せざるをえない。2次元のEuclid空間におけ 象を数学的にとらえ，論理的に考え」させる数学教育の る考察は・そのほとんどが直観的に理解しうるものであ
り，したがって実際の内容も代表的変換の数例を，朔次 かれていて，数学的帰納法には僅かの頁数を割いている 連立方程式で表示するという意味でまとめただけのこと のが現状である。その原因は，代表的な簡単な数列とし であり，一次変換の本質（線形性）に触れることはない て等差数列，等比数列のほかに，それらを利用する数列，
といえる。 πの累乗和などを取り上げなければならず，これだけで なお，一次変換の行列による表現においては，その一 も相当の大いさの内容となること，伝統的な数列指導に 次変換が作用する空間で，基底を固定してはじめて，一 拘束された教材のみかた，一方では数学的帰納法，帰納 次変換と，行列とが全単射対応する。すべての教科書で 的定義をよく理解させるためには，ある程度複雑で高い の取り扱いでは，ベクトルの独立性の指導が禁ぜられて 内容の数列，二項定理にまで立ち入る必要があり，適用 いるので，この点を明示していない。したがって一次変 の場が他にも求められるとする考えなどがあると思われ 換の合成と，行列の積との対応，逆変換と逆行列との対 る。また現場での経験では二項定理の証明では必らずし 応の指導に，基底の役割が積極的に表面化できないこと もそれを数学的帰納法と関連させない方がよい結果がえ に注意する必要があろう。 られるという考えもあって，2，3の教材書ではこのよ
ベクトル，行列，一次連立方程式，一次変換の指導を うに判断しているようである。
通じて，いずれも各内容そのものの指導に綾小化され， 一般に数列の定義は古典的で，たとえばq更ある規則に これら相互の間の本来の意味でのつながり（線形構造） 従って並んでいる数の列 ，とか曳更何番目の数がいくら がまったくみられないことは残念であり，望ましい姿に であるかが定まっている数の列 とするものが大部分で 改革するためには，ベクトルを有向線分とする安易さか あり，㎎απが必ずしも褐の式で表わされなくともよい ら脱皮する必要が痛感される。数学1，数学皿Bの両者 とするものが僅かであることは，中学校および数学1で にベクトルを挿入している余裕を考えればなおのことで 強調された関数，写像の考えがここでは活かされていな ある。 いことを示すといえよう。さらに数列を有限数列に限定 する理由は，極限の概念が数学1πに予定され，それを数
（4） 二項定理・郁艮数列 学HBで取り扱うことに問題があることのほかに，ここ 数学皿Bの目標④に「二項定理や数列を通して，数学 での目標が数学的帰納法の指導であり，そのためには有 的帰納法や帰納的定義について理解させる」とあり，数 限数列で十分であるとするならば問題があるであろう。
学における重要な証明の方法の1つである数学的帰納法 数学的帰納法は可算集合をともなう概念に対応するもの を上記のように二項定理，有限数列を例として指導する であって，有限集合にともなう概念については，必ずし
ことになっている。またその具体的内容として，「簡単 も必要ではないからである。一方定積分のところで，区 な数列について，その特徴をとらえさせ，帰納的に定義 分求積法を指導しようとすれば，無限数列と収束の概念 するしかたとその意味を理解させる」ことを主眼として， を避けることはできない。これに類似のいわば積み残し 二項定理，簡単な数列，数学的帰納法，帰納的定義の順 はここ以外の，中学校，高等学校数学1，皿Bでも各所 に指導される。さらに「ここでは，二項定理や数列を扱 にみられるのであるが，このような指導を繰り返えして うとともに，それらを通して，数学的帰納法や帰納的定 いけば，論理的に考察する態度や能力を，次第に減殺す 義の方法と意義を理解させることをねらいとする」とい ることにつながりはしないかとおそれるものである。
う，目標④とややことなる意味をもつ解説が併記されて
B 解 析いる一方，「指導のねらいは，その（帰納的定義の）定
義のしかたと，その意義を理解させることにあるのであ （1） 微分法と積分法
って，帰納的に定義された数列の一般項を求めることは 数学皿Bの目標（5）に「微分法の基本的な概念，法則な きわめて簡単なものにとどめ，特殊な技巧を要するもの どを理解させ，簡単な整関数の範囲で，それらを用いる などには立ち入らぬよう」にしなけれぽならないともし 能力を養う。また，積分の意味について理解させる」と ているから，数列，二項定理はあくまで手段であり，第 し，その内容に「微分係数の意味，導関数とその計算 二義的な意義しかもたないのであろうが，すべての教科 （関数の和，差，積の導関数），導関数の応用，積分の 書での教材配置の考え方は，これと「致しているとはい 意味，積分の応用」が取り扱われることになっている。
い難い。すなわち逆に数列，二項定理に相当の重点がお しかも「ここでは関数の特徴を調べる新しい方法として，
できるだけ簡素な考え方で，微分法，積分法の大意を理 体的に引用されている例である∫（の富♂について，
解させること」をねらいとしている。数学1までで，す ∫ （1）を求める程度の計算であれば，あるいは，ある程 でに2次関数（整関数）以外の分数関数，指数関数，対 度直観的な極限の扱いによる指導も可能であろうが，積 数関数，三角関数の一部の特徴を指導しているのである の導関数，あるいはこれを用いた関数の微分の程度にな から，それらの基礎の上に，それらの延長としての関数 るとそれほど簡単にはいかない。たとえば∫＠），9＠）
の特徴をうわのせする新しい方法を導入するのであれば， を整関数であるとしても
警趨織し難穆11τ謬髪姿諜 （酬）・−1努∫（必＋ゐ）9（穿ゐ）綱鋼
関数を含ませるほうが原則的には自然であろう。一方整 ∫（x＋ゐ）一∫（の ＝η1 9＠＋ゐ）関数以外の関数，たとえぽ超越関数などの微分，積分で ん→・ ゐ
は，実際にはやや高度の極限の概念や技巧が必要であり，
ｳ育的配慮からこれらを避けていることを上記「簡素な ＋霧綱9（糾1）綱
考え方」と表現しているのであろうと思われる。すなわ
一∫勧）9（勾＋ヌ妨訊副ち極限の概念を本質的には用いないで，極限の概念であ
る微分・積分を指導しようとしているのであるが，2次， の計算では，
3次の整関数についても，他の複雑な関数についても，
微分積分の概念，たと燃齢係数∫・（。）には論理的に 幾（綱＋勅＝凱綱＋幽諺綱・
何の概念的差異も存在しないのであるから，元来微分，
積分の「大意」とか「簡勲考え方」などはありえな、、 鶴c綱＝σ飾綱・
はずである。もっとも「極限の概念の基本である数列の
極限を導入した，さらに詳し、微分法，積分灘つ、、て 親綱綱篇親綱無。綱
は数学皿にまかせる」とはなっている。ここで数学∬B などの極限の公式がある条件のもとに成り立つこと，お の内容の量的配慮から・微分・積分の粗雑な指導を課す よび関数の連続性の概念を用いる必要がある。すべての ることは論外としても，このような簡素，すなわち論理 教科書では，これらの必要な公式や概念を自明なことと 的には不完全な微分，積分の取り扱いが固定して，数学 して処理しているのであるが，このような基本を，自明 皿の微分，積分の基本的概念の理解の妨げとなる心配が とすることで見過すことが，数学教育における微分の大 ないとはいえないのである。このように段階的な教育上 意を理解させる簡素な方法といえるのであろうか。もし の配慮がかえって裏目にでる可能性については十分注意 そうであるならば微分，積分の教材は数学教育から除い する必要があろう。 てしまっても一伺に支障はなく，むしろ技術上の教育に 幾何学的な応用を期待しない，公理的構成のみを目指 移したほうがよいであろう。また数学1ですでに指導さ すものであれば，極限の概念を避けてある程度微分，積 れている諸関数の中で，分数関数は整関数でないという 分の概念を組み立てることもできようが，教育的，歴史 理由で，ここでは取り上げられていないけれども，たと 的あるいは実用的な配慮を重視する立場からは，何らか え非常に簡単な分数関数であっても，微分不能の点，接 の意味で幾何学的応用を期待せざるをえない。したがっ 線の非存在点などを整関数と対比させうる指導上のmerit て実際にはたとえ整関数のみに限定したとしても，厳格 を所有することを考えて．僅かな負担ですむ商の微分が な極限の理論をまず展開する必要がある。このことは指 避けられていることは理解し難い。もっとも分数関数の 導要領解説も認めざるをえないところで「微分法の意味 微分を取り上げれば，連続性，極限の概念，微分係数の
を理解させる。この際，関数の極限の概念が必要となる。 存在なども遥かに厳格に指導しなければならないので，
11）微分法，積分法を学ぶ上での困難の一つは正しい極限の 上記「大意」に抵触することにはなろう。
概念の理解であるが，数学皿Bでは扱う関数を整関数の 伝統的な導関数の応用の一つとして，関数の増減と，
範囲に限って微分法の大意を知ることをねらいとするの 微分係数の符号との関係の指導があるが，多くの教科書 で，極限の扱いも簡素にし，直観的に扱う程度とする」 での取り扱いは，指導要領解説のいう「直観的でよいか と苦しい弁明を余儀なくされている。さらに，ここで具 ら，接点の近くでは曲線と接線とがほとんど一致する」
という考えを採用している。低次の整関数ならまだしも， れているが，定積分の応用としての求積の指導の際には，
高次の整関数では，この事実はそれ程直観的にも自明で なんらかの意味で関数の連続性に触れなければならない。
はないであろうし，将来関数の増減を，無反省に安易に さらに求積における基本概念である面積，体積などを数 第一次導関数のみで判定したりする，好ましくない定着 学的に定義づけるためには区分求積の指導が必要となり，
を避ける意味からも，このようにしてまで直観のみを用 この際にはさらに前にも述べた無限級数と，その収束性 い，数学的にはほとんど無内容の指導を行なう意味がど が比較的高度の極限概念（Moore−Smithの意味の収束）
こに存在するのであろうか。極大，極小および最大，最 を伴って前面化する。この事実は積分を公理的構成の配 小の指導も同様に安易で，安全な区間の内部でのみ考察 慮のもとに指導することが困難であることを示す一つの させているけれども，すでに数学1の，たとえば二次関 尺度であるともいえよう。ましてや「曲線図形の面積の 数の場合は，区間の端点，とくに開区間での考察までさ 定義と計算法が定積分を用いて可能となることを理解さ せていることを忘れてはなるまい。 せる」ことは本質的には不可能であり，その意味は，論 積分の指導については「積分することは微分すること 理性を無視した上で単に指導を強いることと解釈する他 の逆の演算であること，および不定積分，積分定数の意 はない。
味を理解させ，微分することと積分することとによる関
ま と め数の対応関係を明らかにする」とされているが，ここで
の演算およびそれから誘導される関数の対応は，あまり 以上で現行の指導要領およびそれに基づく数学皿Bの 簡単なものではない。すなわち微分可能な実デ変数実数 教材に含まれる問題点を考察した。数学教育の現代化に 値関数のなすベクトル空関を稀，積分可能な実一変数実 ともない，「現代における数学の発展と社会に果たす数 数値関数のなすベクトル空関を協とすれば，微分Dは 学の役割を考慮して，新しい観点から内容を質的に改善
し，基本的な概念がじゅうぶん理解され，数学的な見方D：Vl→「＞i， ∫儲）→パ妨 や考え方がいっそう育成されるようにする」ことを主旨
である単純な線形写像なのであるがP積分は，橘におい として，現在の指導要領が生まれ，数学∬Bでは「新し て，2つの元（関数）の同値を い観点から内容を精選し，質的に改善し，改訂前の複素
平面，二次曲線などを省き，新しく平面幾何の公理的構∫㈲〜9＠う＃∫ゆ）−9￠）−c侃5
成，行列などを加え」その結果「一般に，計算技能的な 美
ﾅ定義して生ずるV、の商ベクトル空間稀を考えれば， 面が精選され，数学の基本的な概念の理解の面が充実さ
・・隅緬ψ幽 論Σ鵬島蒼査曽罐離二；あ野懸宅
である線形写像であり，逆対応とはいえるが，単純に微 いる。
分と積分を逆の演算とはいいきれない。したがって記号 しかるに上でみてきたように，各内容とも，基本とな
る概念が項目にあげられてはいるが，数学的にはあまり！徊面一｛F㈲1∬ 〈x）＝f（x）｝ にも不備で論理に欠けており，その上きわめて形式的な
は関数のなすある類を意味するから，これらの記号の間 展開のみの指導が多くみられることは「計算技能的な面 の加減，この記号と実数との積は類演算であり，その定 が精選されている」ともいえないし，「数学の基本的な 義可能性を論理的背景にもつ指導が必要である。これと 概念の理解の面が充実されている」こともなく，上記改 関連して・∫㈹の2つの不定積分F㈲，0国をとれば， 訂の主旨はまったく空文化されているともいえる。指導
F ＠）−0働であるから（F〔x）−Glr））ノー0となり，こ 要領を作成する側からみれば，基本的概念の理解はすで れからF働一〇岡＝coπ5 であることを，いずれの教科 に済んだものであり，それらはあまりにも自明であろう 書でも非常に粗雑に理由づける。もっとも理論を崩さず が，数学皿Bを指導する立場，あるいは学習する生徒の にこの事実を示すためには・微分法における平均値の定 立場からすれば，基本的概念を，論理を通して指導し，
理が必要であり・ここで微分の厳重な定義に還らなけれ あるいは習得していかなければならない。主旨と現実の ばならないという基本的な問題があるからである。 かかる組鱈は数学教育全般に見られるのであるが，これ 定積分の定義は多くの教科書で，不定積分の変分とさ を解消するためには一日も早く科学的数学教育法が樹立
されなければなるまい。 すことであろうが，論理をもたない形式のみの指導が，
数学皿Bの各内容の相互関連も，その意図は認めるこ 数学性の陶治に役立つとは考えられない。
とができるのであるが・現実には各内容を本質的に関連 現在の数学皿Bの内容を大別すれば，（a）数学の公理的 させるための準備が・その数学的な困難さのゆえに十分 構成，（b）線形の数学、（c）微分，積分，の三者であろうが，
なものとはなりえない。その結果記号上の形式的関連に 上述してきた観点から（c）は次回の指導要領の改訂では，
終ってしまうことは，数学∬Bを構成する各内容にふく （b）と対等の位置づけをするか，それが不可能なら数学皿1 まれるいくつかの主題が・数学皿Bを超えた数学的性格 に吸収させた方がよいと考える。また生徒の数学的 を内蔵しているためと考えられる。すなわち生徒の発達 maturityから考えて，（a）は高等学校の数学教材の全般 段階に適応しきれない難渋な概念を含んでいることも認 にうすめるか，あるいはまったく除外してもよいのでは めなければならないσしたがってそれらの取り扱いにあ あるまいか。このようにして生ずる損失は（b）の教材の再 たっては直観的・形式的あるいは特殊化した形のものの 編成で十分埋め合わせがつくであろう。したがって以下 指導になることは・現在の数学皿Bの組み立てからみれ （b）の教材の再編成を意識して考察してみることにする。
ぽやむをえない。 数学教育の現代化の主流である集合，対応の概念を基 平面幾何の公理的構成は・どのようにみてもそれだけ 礎とする代数構造，連続性の構造化である位相構造，お で閉じたものであり・他のベクトル，行列，微分積分な よび線形の構造は，純粋数学においてはもとより，数学 どの指導にその活用をみることはできない。事実ほとん 教育における基本的重要概念であることは言うまでもな どの教科書では平面幾何の公理的構成を最終の章におい い。これらの中で数学11Bの対象は主として線形の構造 ている。数学的には非常に密着しているベクトルと行列 に絞るべきであるといえよう。前々回の指導要領の改訂 のつながりも・ベクトルの独立性を避けているために， から，もともとは取り上げられていなかったという意味 一次変換の形式的表示だけにとどまり，それらの真の機 では新しいといえる線形教材，すなわちベクトル，行列 能的つながり・categorica1的にいえば，ベクトル空間 および一次変換が比較的強く表面に押し出されてきたが，
のなすcategoryにおいては・一次変換はobject（ベク 他の領域の取り扱いと同じく，この教材も，個々の対象 トル空間）を結ぶmorph ismであり，行列はm。rphism のもつ局所的性質の指導の中に埋もれ，それを線形構造 の表現とみられるのであろうが，すでに有向矢線のなす の指導に結ぶ姿勢がみられないことは，．再三指摘してき ベクトルに絞っているのであるから，一次変換の形式的 たことである。線形構造の構成員であるベクトル，行列，
指導は可能としても・一次写像の概念は入れにくい。す 一次変換を教材として使用できることは高等学校の数学 なわち進んでベクトルの線形性を放棄してしまっている。 教育に，線形構造を指導する可能性がもたらされたこと 微分・積分の内容は・さきに述べたようにその根抵が脆 であり，この英断だけは高く評価できよう。
弱であり・しかも数学皿Bの他の内容とまったく独立で 代数構造から見た線形構造は，（1）体Kと加群M，およ ある。一方数学皿Bの履修については，「（1）数学1，数 び（2）θ：K×M→Mが一淀の条件をみたす，という二 学皿Bの履修でもって・高等学校の数学の履修を終わる 重の概念の上にベクトル空間；③ベクトル空間の間の 場合と，（2）数学L数学皿Bの履修に引き続いて数学1∬ 一次写像などを総合した構造，であるといえよう。そし を履修する場合」の二通りの場合が考えられている。前 て行列は定義域，値域の基底を固定したときの一次写像 者の場合・微分・積分を学習する目的が「社会に果たす のスカラーによる表現である。逆に行列から一次写像が 数学の役割」を考慮することにあるとすれば，この程度 定まるのであるから，行列，一次写像はベクトル空間の の内容ではまったく不十分であり，少くとも簡単な微分 概念を動的にとらえたものであるといえよう。数学∬B 方程式までをその内容としなければなるまい。また後者 では，上のKとしてR（実数体）を，MとしてR3をとっ の場合には・数学皿で・やや数学的と思われる形で整っ ている。K，Mのかかる特殊化は十分配慮しさえすれば た内容の微分・積分が・問題点を多々含みながらも指導 線形構造の指導上の実害とはならない。すなわちR転容
されることとなっている。それ以前に・論理を崩してま 易に内積の定義できる計量空間で，ベクトル自体に長さ，
でも・微分・積分の概論を指導する必要があるのであろ 方向の概念が併存してしまうことは，線形構造の指導に うか。いずれの場合も微分，積分の指導理由を他に求め はむしろ障害となるであろう。これらの計量性は解析学 るならば・それらの指導内容を数学の教育の一環とみな または幾何学への応用をその延長線上におくものであり，
ちがった次元の指導の領域に入れたいと考える。もっと であるが，一次写像と行列との対応の基本がそれらでは も計量空間を，線形構造指導の初期段階に用いること自 あまり明確ではない。
体を否定するものではない。計量空間のもつ線形性を強 連立一次方程式の指導も行列による表示と，逆行列に 調した指導であれば，いっこうに差支えないが，もちろ よる解法の指導だけでは，連立一次方程式の枠の中での ん同時に，非計量的ベクトル空間を対比させることがい 指導である。これも一次写像と積極的に関連させるべき っそう望まれる。たとえば関数空間，行列のある集合な であろう。すなわち一次写像∫：V→Vノのκeげ，加ア ど，高等学校までに学んだいくつかの集合を考えること の問題として連立一次方程式を位置づけることが望まし ができよう。このことは副次的に関数の演算，行列の演 いと考える。
算などの公理的構成の指導にもつながり，さらに微分作
用子，積分作用子なども，よりひろく集合間の関数概念 一般に数学皿Bの指導が生徒に定着し難いといわれて
とみさせることも可能にするであろう。 いるが，数学皿Bの内容があまりにも多様であり，内容 層
このように，ベクトル空間を，線形構造を意識した方 相互の独立性が強いため，一つには，ある内容の指導が，
向で導入することは，ベクトル空間自身のもつ代数構造 他の内容の指導のための準備とはなりえず，また一つに と，ベクトル空間の相互の間に機能する一次写像の意味 は，内容のもつ位置づけが不明確である，たとえば行列 を，明確にすることを可能とはするであろうが，抽象的 そのものの理解をねらいすぎて，行列のもつ意味が指導 である，機能としての一次写像（あるいは一次変換）を し難いなど，のことが考えられる。もし内容を単純化し，
具体化するための表現としての行列を導入するためには， 少量の教材を深く掘り下げる配慮がなされれば，現代化 ベクトル空間における基底の概念の指導は不可避であろ の本質をつく指導も可能となろう。
う。すなわち，現在では回避されている有限個のベクト
ルの一次独立性，一次従属性をとりあげる必要がある。 注および参考文献 われわれの経験では，具体的な例を豊富に用意しさえす
れば，これらベクトルの独立に関する概念は，比較的容 1）宮田，宮田：高等学校数学教育の問題点①，
易に理解させることができるものである。基底の概念が 教育学部紀要，24（1974）。
えられれば，一次写像の行列による表現は容易であり， 宮田，宮田，小磯：高等学校数学教育の問題点（2），
一次写像の和，合成を介して行列の和，積を自然に定義 教育学部紀要，25（1975）。
することが可能となる。もちろんこれらの指導を通して， 2）高等学校指導要領解説，文部省，（1972）。
次元を一般のπとすることには問題があり，π≦4程度 3）高等学校指導要領の展開，数学科編，明治図書，（197軌 が望ましいと考える。あまりにも次元を小さくとること 4）ユークリッド幾何学の公理的構成については，たと は直観的な判断を誘発する危険があり，また行列の演算 えばD．HiIbert：Grundlagen der Geometrie，
の指導などを形式的にするおそれもあるからである。 （1930）。
単位行列，零行列，逆行列などの意味を，連立一次方 5）数の構成については，たとえば高木貞治：数の概念，
程式との連繋を考慮して明確にしておくことは重要であ 岩波書店（1970）あるいはE．Landau：Grundlagen ろう。このためこれらの行列のもつ個性を，行列全体の der Analysis，Akademische Verlagsgesellschaft，
作る代数系の中に反映さ骸ければならな、、．行列轟 （、93。）；ペア．：数の聡につ、鴫小野．梅沢訳 のものの指導には難点があるから，このための具体的方 （共立出版）（1969）。
法としては，さきに一次写像の表現としての行列を用い 6）宮田，宮田：高等学校数学科における線形教材につ ればよいであろう。すなわち加法，乗法にたいして，中 いて，数学教育学会紀要，X皿一3・4（1971／72）。
性的な一次写像の具体的意味は非常に容易に理解させら 7）宮田，佐藤，稲見，鈴木：算数・数学教育における れるから・これらにそれぞれ対応する行列として零行列， 記号について（皿），教育研究所紀要（印刷中）。
単位行列を，また全単射一次写像の逆写像に対応する行 8）①守屋他：数学皿B（帝国書院），②吉田他：高等 列として逆行列を指導すれば，これら特殊な行列のもつ 学校数学皿B（学校図書），③小松：新編数学五B 意味も自然に理解されてこよう。もっともこの意味での （旺文社），④正田他：数学皿B（啓林館），⑤寺田 行列の指導の一部は現在でも若干の教科書にみられるの 他：数学皿B（大日本図書），⑥石谷：新制数学HB
（大阪教育図書），⑦小平：新訂数学∬B（東京書籍），10）一次写像の一般論については，たとえぽWGreub
⑧大槻他：数学皿B（三省堂），⑨功力他：数学皿B ：Linear Algebra， Spri㎎er−Verlag，（1974），
（数研出版），⑩伊関他：数学皿B（数研出版），⑪ N．Jacobson：Lectures in Abstract Algebra，
福原：数学∬B（実教出版），⑫矢野：数学皿B（学 ∬，Linear Algebra， Springer−Verlag，（1975）。
習研究社），⑬鍋島他：高等学校数学皿B（池田書店），11）極限については，たとえば能代清：極限論と集合
⑭小林：数学皿B（教育出版），⑮植竹他：数学皿B 論，岩波書店，または高木貞治：解析概論，岩波書店。
（清水書院）。 12）環については，たとえば 宮田：環論入門，愼書店。
9）群については，たとえば 宮田，群論，愼書店。
Problems in Mathematics Teachi㎎in Upper Secondary Education（3）
Tatsuo Miyata， Kazuko Miyata and Teisuke Suzuki Abstract
賦 ，，
@The Revised Course of Study raised many questions in mathematics teaching in upper secondary sch ool educations． The purpose of this study is to survey and consider the contents
，， 叱更
盾?@the teaching materials particularly in Mathematics H B ．
