数学
2・数学演習 2 No.5 2005.10.27
1.2.2 逆関数の微分（解答）
担当：市原問題
11
次の関数を微分しなさい.
(1) y = arcsin(x + 5) y 0 = 1
√ 1 − (x + 5) 2
(2) y = x arccos(3x − 2) y 0 = arccos(3x − 2) + x × − 3
√ 1 − (3x − 2) 2
= arccos(3x − 2) − 3x
√ 1 − (3x − 2) 2
(3) y = arctan 2 (7x + 3) y 0 = 2 arctan(7x + 3) × (arctan(7x + 3)) 0
= 2 arctan(7x + 3) × 1
1 + (7x + 3) 2 × (7x + 3) 0
= 2 arctan(7x + 3) × 1
1 + (7x + 3) 2 × 7 = 14 arctan(7x + 3) 1 + (7x + 3) 2
(4) y = x
arctan x y 0 = arctan x − x × 1+x 1
2arctan 2 x = 1
arctan x − x
(1 + x 2 ) arctan 2 x
(5) y = arcsin(x 2 ) y 0 = 1
√ 1 − (x 2 ) 2 × (x 2 ) 0 = 2x
√ 1 − x 4
(6) y = (x arcsin x) 2 y 0 = 2x arcsin x × (
arcsin x + x × 1
√ 1 − x 2 )
= 2x arcsin 2 x + 2x 2 arcsin x
√ 1 − x 2
問題
12
次の各問に答えなさい. (1) arccos 1
2 = x
のとき, sin x
を求めなさい.
arccos 1 2 = π
3
より, x = π
3 .
よって, sin x = sin π 3 =
√ 3 2 .
(2) arcsin 1
4 = x
のとき, cos x
を求めなさい.
arcsin 1
4 = x
より, sin x = 1
4 .
ただし, 0 < x < π
2 .
このとき, cos x > 0
なので, cos x = √
1 − sin 2 x =
√ 1 −
( 1 4
) 2
=
√ 15 16 =
√ 15 4
(3) arcsin x = arccos 1
2
となるx
を求めなさい.
arccos 1 2 = π
3
より, arcsin x = π
3 .
よって, x = sin π 3 =
√ 3 2 .
(4) arctan 1
2 = α, arctan 1
3 = β
のときtan(α + β)
を求めなさい.
tan α = 1
2 , tan β = 1
3
より, tan(α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β =
1 2 + 1 3 1 − 1 2 × 1 3 = 1
(5) arcsin x = arccos 1
3 + arccos 2
3
となるx
を求めなさい.
arccos 1
3 = α, arccos 2
3 = β
とすると, arcsin x = α + β
より, x = sin(α + β).
ここで
