曲線と曲面の幾何学

(1)

曲線と曲面の幾何学

第 7 回追加資料 (11 月 18 日 )

曲線と曲面の幾何学第７回ですどうぞよろしくお願い致します

(2)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

速度ベクトル＝単位接ベクトル

� (� )

主法線単位ベクトル

接触平面従法線単位ベクトル

�

^′

( � ) =− τ ( � ) � ( � )

: 捩率が０

捩率が常に０になるような曲線とはどんな曲線なのでしょうか？パワーポイントでは前回予習しておきました

� ( � )

(3)

従法線単位ベクトルも接触平面も動かないので

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

従法線単位ベクトル

→

¿

− σ ( � ) � ′ ( � )

: 捩率が０

: 曲率

捩率が常に０ならば従法線単位ベクトルが一定でさらに接触平面が動かないことも示せて

接触平面が一定

一定 ←

: 捩率が０

←

: 捩率が０

(4)

実は平面曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面が一定

一定

表

実はこの曲線はその平面から出られないつまり平面曲線だと言うことがわかりました

(5)

弧長パラメーター表示された曲率・捩率一定の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

�

^′

( � ) =− τ ( � ) � ( � )

σ

( � ) � ( � )= � ′ ′ ( � )

: 曲率が一定

: 捩率が一定

それでは今度は捩率が０ではないけれども一定でさらに曲率も０ではないけれども一定と言うような条件をみたす空間曲線とは一体どのような曲線でしょうか？

(6)

弧長パラメーター表示された曲率・捩率一定の空間曲線

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

接触平面

� ( � )

←

: 捩率が一定

→ : 曲率が一定

この問題が今回の本題です

(7)

弧長パラメーター表示された捩率０の空間曲線では

捩率

→→ 一定

がポイント！

捩率０の曲線では従法線単位ベクトルが変化しないことが重要なポイントでした

(8)

弧長パラメーター表示された曲率・捩率一定の空間曲線では

変わらないものは何？

曲率一定捩率一定 →→ 一定

そこで曲率・捩率共に一定の曲線でも変化しないのはどのようなベクトルかそれを探すことから始めてみましょう

(9)

変わらないものは何？

曲率一定捩率一定

→

→ 一定

使えるのはフルネ・セレの公式の次の三つの等式ですが今は係数が皆定数なことがポイントです

(10)

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

そこで図のようなベクトルＶを考えます

展直平面

τ

� ′ (� ) σ

� ( � )

=

(11)

微分が常に０は

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

するとこのＶの微分が消えるので

展直平面

τ

� ′ (� )

=

==0

=

σ

� ( � )

(12)

つまりは一定

� ( � )

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

Ｖは一定になります

展直平面

τ

� ′ (� )

�

( � )= 一定

σ

� ( � )

(13)

その動かないから単位ベクトルを作ると

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

このＶ方向の単位ベクトルをＶチルダとおきますもちろんこのベクトルも一定です

展直平面

~ � = � (� )

¿ ∨� ( _� ) _∨ _¿ ⁼

^一定

τ

√

^σ²⁺^τ² ^� ^′ ⁽^�⁾

σ

√

^σ²⁺^τ² ^� ⁽^�⁾

� ( � )

�

( � )= 一定

(14)

との内積も一定

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

Ｖチルダの速度ベクトル方向の成分も一定なので

展直平面

~ � = 一定

� ( � )

σ

√

^σ²⁺^τ² ^� ⁽^�⁾

τ

√

^σ²⁺^τ² ^� ^′ ⁽^�⁾

(15)

� ′ (� )

� (� )

� ( � )

逆に速度ベクトルのＶチルダ方向の成分も一定になりますつまり曲線ＸはＶチルダ方向には一定の速さで進むと言うことです

展直平面

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =一定

� ( � )

~ � = 一定

つまりの

方向の速さが一定

(16)

次にと直交する方向の動きを見ると

� ′ (� )

そこで今度はＸからＶチルダ方向へ進む動きを引き算してＶチルダと直交する方向への動きだけを取り出した曲線Ｙを考えます

� ( � )

�

( � )

� ^′(� )= �^′(� )− τ

√

^σ²⁺^τ²

~�

直交する平面

� (� )

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =一定

~

� = 一定

(17)

こちらも速さ一定で

するとこのＹも弧長パラメーターではないものの速さ一定で

�

( � )

¿ 一定

� (� )

直交する平面

� ^′(� )= �^′(� )− τ

√

^σ²⁺^τ²

~�

¿

|

� ^′ (� )

|

∨¿ σ

√

^σ ²⁺^τ²

(18)

さらに曲率も一定

平面曲線としての曲率が一定となるので

�

( � )

¿ 一定

� (� )

直交する平面

� ^′(� )= �^′(� )− τ

√

^σ²⁺^τ²

~�

¿

|

� ^′ (� )

|

∨¿ σ

√

^σ ²⁺^τ²

σ

� ( � )= � ′ ′ (� )= � ′ ′ ( � )

(19)

つまり円を描く

Ｙは円を描くこともわかります

�

( � )

¿ 一定

� (� )

直交する平面

� ^′(� )= �^′(� )− τ

√

^σ²⁺^τ²

~�

¿

|

� ^′ (� )

|

∨¿ σ

√

^σ ²⁺^τ²

σ

� ( � )= � ′ ′ (� )= � ′ ′ ( � )

(20)

方向に速さ一定で進みつつ直交する方向には円を描く

Ｖチルダ方向に一定の速さで進みつつＶチルダと直交する方向に円を描くと言うことは

�

( � )

� ^′(� )= �^′(� )− τ

√

^σ²⁺^τ²

~�

� ′ (� )

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =一定

(21)

常らせん

実はトイレットペーパーやラップの芯に見られるあの曲線で常らせんと呼ばれています

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =一定

� (� )

(22)

捩率がマイナスなら逆ひねりの常らせん

捩率の符号が変わると逆方向に進みます

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =一定

� (� )

(23)

展開図では直線

円柱に巻き付いているので平面に展開してやると何と直線になってしまいます

(24)

捩率が０なら

ちなみに捩率が０なら同じところで回り続けます

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =0

� (� )

(25)

本当に円

つまり平面曲線である円周と言うことになります

τ

√

^σ²⁺^τ²

~� =0

� (� )

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