連続型確率変数

(1)

.

... 連続型確率変数

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習II L08(2013-05-29 Wed) 今日の目標

. ..

1 連続型確率変数と確率密度関数の意味を説明できる

. ..

2 連続型確率変数の(母)確率を計算できる .

..

3 連続型確率変数が区分的に定数であるとき,^それに従う擬似乱数を返す関数double

getrandom(double y),g(y)を書ける http://hig3.net

(2)

偏微分方程式とP(x, t)の数値計算 Quiz解説

ここまで来たよ

1... 偏微分方程式とP(x, t)^{の数値計算} Quiz^解説

2... 連続型確率変数連続的な確率変数

連続的な確率変数の擬似乱数

樋口さぶろお (数理情報学科) L08連続型確率変数計算科学☆演習II(2013) 2 / 24

(3)

Quiz解答:生成関数

. ..

1 P(x, t+ 1) = ³₉P(x−1, t) +¹₉P(x, t) +⁵₉P(x+ 1, t). P(x,0) =δx0. .

2.. 漸化式は,Z(λ, t+ 1) = (³₉e^λ+¹₉ +⁵₉e⁻^λ)Z(λ, t),初項は Z(λ,0) = 1より,一般項は,Z(λ, t) = (³₉e^λ+¹₉ +⁵₉e⁻^λ)^t. .

..

3 Z(λ,2)^の,e^λ ^{の係数を考えて},

P(1,3) = 3(³₉e^λ)^{2 5}₉e⁻^λ+ 3(¹₉e^0λ)²(³₉e^λ|λ=0 = ¹⁶₈₁ .

..

4 E(Xt)) = _∂λ^∂ Z(λ, t)|_λ=0= ²₉ ×t

Quiz解答:生成関数

E(Xt) = ∂

∂λ(¹₃e^λ+ ²₃e⁻^λ)^t|λ=0=· · ·=−¹₃t.

講評期待値を求めろって問題なんだから,数学の問題の当然の答え方として,できるだけ単純化された式で答えようよ. (1)^t⁻¹ なんて最後の答に残したら,指数法則知らない人間か,高解像度カメラかと疑われちゃうよ.

(4)

Quiz解答:偏微分方程式未知関数が2変数関数であるもの探してね.

Quiz^解答:P(x, t) ^{の数値計算}

t\x −1 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0.5 0 0.5 0 0 0

1 0 0.4 0 0.5 0 0.1 0 0

2 0 0 0.48 0 0.18 0 0.02 0

講評スペシャルルール(固定境界条件とも言う)によりP(−1, t) = 0であることにご注意.

(5)

連続型確率変数連続的な確率変数

(6)

あるプレイヤーのダーツの得点確率 得点: ^{的の真ん中から順に}4,3,2,1,0^点

0 1 2 3 4

k

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

4 3 2 1 0

Probability

Score

離散的な(^母)^確率分布得点 k 確率

0 0.0667

1 0.2

2 0.3333

3 0.3

4 0.1

(7)

中心から r cmにあてる確率的の真ん中からの距離 r cm. ^点数 4−r ^点

x

0 1 4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0 1 2 3 4 5 6

Probability

Distance from center

0.5cm と0.9 cmへの当たりやすさは違う. 1cmを境に急に変わるわけ

じゃない. ^{これを表現したい}.

⇝ ^{当たりやすさは距離}r の関数p(r) で表される! 連続的な確率分布

確率密度関数

p(r)

(8)

確率密度関数の意味

離散的連続的

得点 r 確率 0 0.0667

1 0.2

2 0.3333

3 0.3

4 0.1

p(r)が大きいほど,その値 r が

でやすい

0≤p(r).

1 を超えることもある.

(9)

.確率密度関数の意味 ..

...

a≤r < bとなる確率=p(r)のグラフの下の面積=

∫ _b

a

p(r) dr.

全確率= 1 =p(r)のグラフの下全体の面積=

∫ ₊_∞

−∞ p(r) dr.

じゃあ,^{ちょうど距離} r=acm ^{となる確率は}? ⇝

0

.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0 1 2 3 4 5 6

Probability

Distance from center

(10)

連続的な確率変数の母期待値

.期待値

..

...

離散的 E(f(R)) =∑

i

f(ri)·pi

連続的 E(f(R)) = lim

分割→細かく

∑

i

f(r_i)·p(r_i)∆r

=

∫ ₊_∞

−∞ f(r)p(r)dr

(11)

.Quiz(連続的な値をとる確率変数)

..

...

次の確率密度関数を持つ確率変数Sを考える.

p(s) = {

1/5 (−3≤s <2) 0 (それ以外)

.

1.. −4≤s <−2 ^{となる確率を求めよう}. .

..

2 平均値 E(S) を求めよう. .

..

3 分散 V(S)^{を求めよう}. .

..

4 期待値E(e^S) ^{を求めよう}.

(12)

連続型確率変数連続的な確率変数の擬似乱数

(13)

連続的な確率変数の擬似乱数 double getuniform() はその一例.

[0, 1)

^一様乱数

という. 一様 ⇔p(y) ^が定数. ^{同様に確か}

らしい.

p(y) = {

1 (0≤y <1)

0 (それ以外) ^0.5 ^1.0 ^1.5 ^2.0^y

0.5 1.0 1.5 2.0 p

今までは,^これを int getrandom(double y) ^で,^{離散的な擬似乱数}r^に‘^変換’していた.

(14)

離散的な乱数の復習

R ^確率

0 1/2 1 1/6 2 1/3

1 i n t g e t r a n d o m (d o u b l e y ){

2 i n t r ;

3 i f( y<3 / 6 . 0 ){

4 r =0;

5 }e l s e i f( y<( 3 + 1 ) / 6 . 0 ){

6 r =1;

7 }e l s e{

8 r =2;

9 }

10 r e t u r n r ;

11 }

0.5 1.0 1.5 2.0

y 1

2 r

g(y) =







0 (0≤y <1/2) 1 (1/2≤y <2/3) 2 (2/3≤y <1)

y^の標本(^サイズ5)0.31 0.82 0.49 0.04 0.40

rの標本(サイズ5)0 2 0 0 0

(15)

[0,2) 一様乱数を作るには?

p(r) = {

? (0≤r <2) 0 (^それ以外)

1 d o u b l e g e t r a n d o m (d o u b l e y ){

2 d o u b l e r ;

3 r =??? ;

4 r e t u r n r ;

5 }

6 r=g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

1 2 3 4 5r

1 2 3 4 5 p

r=g(y) = ???

y^の標本(^サイズ5)0.31 0.82 0.49 0.04 0.40 r^の標本(^サイズ5)0.62 1.64 0.98 0.08 0.80

(16)

[3,4) 一様乱数を作るには?

p(r) = {

? (3≤r <4) 0 (^それ以外)

1 d o u b l e g e t r a n d o m (d o u b l e y ){

2 d o u b l e r ;

3 r =??? ;

4 r e t u r n r ;

5 }

6 r=g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

1 2 3 4 5r

1 2 3 4 5 p

r=g(y) = ??? .

y^の標本(^サイズ5)0.31 0.82 0.49 0.04 0.40 r^の標本(^サイズ5)3.31 3.82 3.49 3.04 3.40

(17)

じゃあこんな場合?

p(r) = {1

2 (3≤r <5) 0 (それ以外)

1 2 3 4 5r

1 2 3 4 5 p

r =g(y) =???

(18)

解釈

1 2 3 4 5

y 1

2 r

1 2 3 4 5

y 1

2 r

1 2 3 4 5

y 1

2 3 4 5 r

1 2 3 4 5

y 1

2 3 4 5 r

自分の言葉でどうぞ

(19)

一様でないときは? まず p(r) が区分的に定数なときをやろう

.Quiz(連続的な値をとる疑似乱数) ..

...

次の確率密度関数を持つ確率変数R^を考える.

p(r) =







4/3 (1/4≤r <1/2) 8/3 (1/2≤r <3/4) 0 (^それ以外)

Rに対応する疑似乱数を返す関数double getrandom(double y) ^を書こう.

.区分的に定数なp(r)に対する g(y) =getrandom の求め方 ..

...

rの区間ごとの確率を求める

y^の[0,1)区間をその確率で分割して場合分けする

yのその区間が,r の区間に写るような1次関数 r=g(y) =Ay+B を求める

g(y)は

区分的に線形

(20)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0s

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 p

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r

(21)

実験本当にこの式でうまくいくの?

手順1 [0,1)一様乱数 y をサイコロで作ります.

1つの数字 nを決めるのに,サイコロを2回(以上)投げます.

1^回めの目\ 2^回めの目 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 1 1

2 2 2 2 3 3 3

3 4 4 4 5 5 5

4 6 6 6 7 7 7

5 8 8 8 9 9 9

6 ふり直し

y を小数点以下第2位0.n₁n₂ まで決めるのに,サイコロを2×2回投げます.

手順2 ^式から r=g(y) ^{を求めます}. 手順3 y ^と r ^をWeb^{で登録します}.

(22)

.Quiz(連続的な値をとる疑似乱数)

..

...

次の確率密度関数を持つ確率変数Sを考える.

p(s) = {

1/5 (−3≤s <2) 0 (それ以外)

Sに対応する疑似乱数を返す関数 double getrandom(double y) ^を書こう.

.Quiz(連続的な値をとる疑似乱数) ..

...

次の確率密度関数を持つ確率変数Rを考える.

p(r) =







1/10 (0≤r <2) 4 (2≤r <11/5)

0 それ以外

Rに対応する疑似乱数を返すためのg(y)を書こう.

(23)

予習復習問題これからは毎週

金11:05^{締切の予習復習問題は} RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle→^計算科学II(講義) でやってね.

水13:35^{締切の予習復習問題は} RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle→^{計算科学演習}II^でやってね.

RaMMoodle にはスマートフォンからもアクセスできます.

http://hig3.net> Links>RaMMoodle.

自宅で演習の課題をやろうVisual Studioには Express Editionという‘無料版’^{があります}. ^{数理情報学科の学生は}DreamSpark ^経由で Visual

Studio ^{製品を自宅で使えます}.

https://www.a.math.ryukoku.ac.jp/dreamspark/

演習の休講/補講計画

2013-07-26^金2^を予備日(^休講候補), 2013-07-05^金3(^{ここは休講する総} 合演習の裏)に補講の予定. インフルエンザや台風が来て全学休講が発生したら再変更あり.

(24)

..

講義のプチテストやります!

2013-06-05水3, 90分, 30ピーナツ,参照相談なし. 紙のテスト.

過去問は公開してるけど,今年のQuizや下の出題計画のほうがまだ参考になるかも. 出題計画

▶ 離散的な確率変数が与えられたとき母平均値,母分散,母標準偏差,母期待値の計算

▶ 標本が与えられたとき標本平均値,標本分散,標本標準偏差,標本期待値の計算

▶ ランダムウォークのE(XT),V(XT)の性質

▶ ラグランジュ表示とオイラー表示

▶ ランダムウォークのルールから,確率P(x, t)の初期条件と漸化式を求める

▶ P(x, t)の初期条件と漸化式から,生成関数Z(λ, t)の初期条件と漸化式を求める

▶ 生成関数Z(λ, t)から,確率,平均値を求める

▶ 連続的な確率変数が与えられたとき母平均値,母分散,母標準偏差,母期待値の計算(L08)

▶ 連続的な確率変数のp(r)が与えられたときa≤r < bとなる確率を求める

▶ 連続的な確率変数のp(r)が与えられたときdouble getrandom(double y)またはg(y)を求める.

▶ ワイルドカード