2 テキストについて 1 はじめに 1 年セミナー参考資料

(1)

1 ^{年セミナー参考資料} 2021

^年度第

1

^ターム

学芸学部数学科

1

^年

(

^水曜

3

^限

/

^{ハイブリッド講義}

7

^号館

7303

^教室

)

担当

:

^{原隆}

(

学芸学部数学科・准教授

)

1 はじめに

数学に於けるセミナー

seminar

とは、参加者が分担し、協力しながら（難しい）数学書を精読する勉強方法です。発表者は担当部分をしっかり理解した上で聴講者に分かりやすく解説し、聴講者は分からないところや疑問点を積極的に質問、コメントすることで議論を活発に行い、最終的に参加者全体がテキストの内容の理解を深めることを目的としています。

1

年生から毎年少人数セミナーの授業が（しかも必修科目として）課されているのは津田塾大学数学科の最大の特徴の

1

^{つで} す。

1

年セミナーはその華々しい最初のセミナーになりますが、まだ入学したての皆さんは大学数学の知識も儘ならないでしょうし、

1

^{年セミナーは}

1

^ターム

9

^{コマのみの開講} なので、「テキストを精読する」といってもそれ程大したことは出来ません。そこで、この

1

年セミナーでは、趣向を換えて（頑張れば「高校生でも解法が理解出来る^*1」）

3

^{つの問題を提示} し、グループに分かれてその解法を学習してプレゼンテーションしてもらう形式でセミナーを進めていきたいと思います。

2 ^{テキストについて}

テキストとして

Martin Aigner and G"unter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer (

^邦訳

: M.

^{アイグナー}

, G. M.

^{ツィーグラー著}

,

^{蟹江幸博訳}

,

^{『天書の証明』}

,

^丸善出版

)

ポール・エルデシュ^*2 を用います。

THE BOOK (

^{「あの本」}^、天書

)

^{とは、生涯に渡り}

1500

本もの論文を書き上げた流浪の数学者ポール・エルデシュがその存在を頑なに信じていた想像上の本で、そこにはすべての定理や理論の完全な証明が記されていると言います^*3。特に卓越したアイデアに裏打ちされた「美しい証明」に遭遇したときには、エルデシュは「これは「あの本」

から来たものだ

!!

」と言ったとも伝えられています。上記のテキストは、

そんなエルデシュの哲学を継承し、様々な数学の問題に対して「あの本」から来ているに違いない「美しい証明」を記した極めて異色な数学書です。セミナーではその中から

3

つの題材を選んで、その証明の卓越

したアイデアを理解するとともに、その「美しさ」を鑑賞することを目指します。

*1このような謳い文句の数学書は数多く存在しますが、まぁ鵜呑みにするのは危険ですね、大体そういう本を書いているのは数学が得意な人ですから(^^;

*2Paul Erdős (1913–1996) ©Topsy Kretts, CC BY 3.0 , via Wikimedia Commons

*3SFやオカルトが好きな人は、所謂「アカシック・レコードakashic records」のようなものと考えると分かりやすいかもしれません

(2)

3 セミナーの進め方

初回のセミナーで

3

つの問題の内容について簡単に解説します。その後、アンケートを取って問題ごとにグループ分けします。その後のセミナーは、暫くグループに分かれ、グループ内でテキストを分担して発表し合いながら読み進めていきます。最後に発表会形式で、各グループで勉強した内容を分かりやすくプレゼンテーションしてもらいます。グループワークの際には

Zoom

^のブレイクアウト・ルーム機能を用います。

また、各グループでの

(1

^{年セミナーの時間外の}

)

コミュニケーション手段として

Slack

^を用いる予定です。

4 本セミナーで扱う問題について

以下、本セミナーで扱う問題を簡単に紹介します。

4.0 Six proofs of inﬁnity of primes — ^{素数は無限} : 6 ^つの証明

素数

prime number

^{は自分自身と}

1

^{以外に約数を持たない}

(

^正の

)

整数のことである、ということは良くご存知だと思います。ユークリッドの原論にも掲載されている

ユークリッド

(

^{エウクレイデース}

)

^*4 素数は無限に存在する。

『原論』第

9

^{巻命題}

20

という事実もあまりにも有名ですが、テキスト

Proofs of THE BOOK

の冒頭では、素数の無限性について『原論』の証明と合わせて

6

つもの異なる証明を紹介しています

(

もちろん他にも幾つもの証明が知られています

)

。このセミナーでは、発表のデモンストレーションとして、

2

^{回目のセミナーで} この

6

つの証明のうち幾つかを実際にプレゼンテーションしてみます。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, ...

「素数は無限に存在する」

*4Euclid of Alexandria (300BC^頃)「幾何学の父」とも称されるギリシアの数学者

(3)

4.1 Binomial coeﬃcients are (almost) never powers: 2 ^項係数は ( ^ほとんど ) ^決してベキにならない

2

^項係数

binomial coeﬃcient ( n

k )

=

n

C

k

= n!

k!(n − k)!

^は、

2

^項定理

(x + y)

ⁿ

=

∑

n

k=0

( n k )

x

ⁿ⁻^k

y

^k

= ( n

0 )

x

ⁿ

+ ( n

1 )

x

ⁿ⁻¹

y

¹

+ ( n

2 )

x

ⁿ⁻²

y

²

+ . . . + ( n

n − 1 )

x

¹

y

ⁿ⁻¹

+ ( n

n )

y

ⁿ の係数に現れる

(

^{高校でもお馴染みの}

)

組み合わせ的数で、それを並べたものはパスカルの三角形

Pascal’s triangle

と呼ばれるとても面白い図形となります。そんなパスカルの三角形を眺めつつ、そ

の中から

平方数

1

²

= 1, 2

²

= 4, 3

²

= 9, 4

²

= 16, 5

²

= 25,...

立法数

1

³

= 1, 2

³

= 8, 3

³

= 27, 4

³

= 64, 5

³

= 125,...

4

^乗数

1

⁴

= 1, 2

⁴

= 16, 3

⁴

= 81, 4

⁴

= 256, 5

⁴

= 625,...

5

^乗数

1

⁵

= 1, 2

⁵

= 32, 3

⁵

= 243, 4

⁵

= 1024, 5

⁵

= 3125,...

を探してみると、どうもパスカルの三角形の「外側の部分」に集中しているように見えます。

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

ブレーズ・パスカル^*5

「

2

^項係数は

(

^ほとんど

)

決してベキにならない」

*5Blaise Pascal (1623–1662)「人間は考える葦である」のフレーズでも有名なフランスの数学者・哲学者

(4)

実際に、エルデシュは次のような興味深い定理を証明しています

;

2

^項係数

( n k )

は、

4 ≤ k ≤ n − 4

のときにはどんなベキ乗数にもならない^*6。

エルデシュは、シルヴェスターの定理を用いた

4

^{ステップの巧妙な}^背理法

reductio ad absurdum

によりこの不思議な性質を証明しています。果たしてエルデシュの辿り着いた「美しい証明」はどのようなものだったのでしょうか

?

少し込みいった議論の証明ですが、しっかり整理しながら読み解いていけば、その面白さにきっと辿り着けるはずです。背理法の醍醐味をたっぷり味わいたい人向け。

4.2 Slope problem: 勾配問題

勾配

slope

とは所謂「直線の傾き」のことであり、勾配問題とは大雑把に言えば「平面上に

n

個

の点が与えられたときに異なる傾きの直線が何本引けるか

?

^」を問う問題です。勿論点を

“

^ばらばらに

”

^{配置すればするほど、}「傾きの種類」もどんどん多くなるだろうことは直観的にも明らかでしょうが、それでは「傾きの種類」がなるべく少なくなるようにするにはどう配置すれば良いのでしょうか

?

^或いは^点を

n

個配置したときの「傾きの種類」の最小値は何個でしょうか

?

^{例えば、左下の} 図では

8

つの点が正八角形の頂点となるように配置されており、

8

本の異なる傾きの直線が描かれています。ちょっと実験してみれば、ほかのどの

2

点を結んでも、既に描かれている直線のいずれかと平行になってしまうことが分かりますので

(

試しにやってみましょう

!! )

この配置のときには「傾きの種類」の総数は

8

となります。それではこれが、

8

点を配置したときの「傾きの種類」の最小値なのでしょうか

?

それとも、もっと「巧妙に」点を配置すれば、「傾きの種類」をもっと減らすことが出来るのでしょうか……

?

闇雲に点を配置して調べようとしても、ちょっとお手上げですよね

?

^実はこの勾配問題には、次のような「美しい解答」が与えられているのです

;

勾配問題

*6つまり、前のページのパスカルの三角形のピンクの部分には、平方数、立方数、……といったベキ乗数が決して現れないということです。10段しか描かれていないのであまり凄そうに見えないかもしれませんが、パスカルの三角形が無限に続くことを考えると、この「大きな三角形」の中にベキ乗数が絶対に出て来ないことが証明出来るなんて、何だか不思議な気がしませんか?

(5)

n

^を

3

以上の整数とする。平面上の

n

個の点が同一直線上にないとき、それらの定める相異なる勾配の数の最小値は

⋆ n = 3

^または

n

^が

4

^{以上の偶数のときは}

n,

⋆ n

^が

5

^{以上の奇数のときは}

n − 1

である。

というわけで、前のページの図は異なる勾配数の最小値を与える点の配置の例となっています

(

^左側が

n = 8,

^右側が

n = 13

^{のときの例です}

)

。証明のポイントは、点の配置そのものをあれこれ考えるのではなく、その直線への射影を考えて、図が

180

^◦ 回転するときにその直線への点の射影がどう入れ換わるかを調べることにあります。このように「分かりやすいモデル」を巧く見つけることで、どう手をつけたら良いのかさっぱり分からない問題に筋道が立つことは、数学では実に良くあることなのです^*7。操作の説明がちょっと長く、文章だけではなかなか理解しづらいとは思いますが、

大切なことは実際に自分で図を描きながら、どんな操作を考えているのかを

1

^つ

1

^{つ理解すること} です。ルールさえ把握してしまえば、何ともすっきりと問題が解決出来ることにきっと驚くことと思います。高校数学ではあまり味わえないモデル化

modeling

の考え方に興味のある人にお薦めです。

4.3 Buﬀon’s needle problem: ^{ビュフォンの針の問題}

18

世紀のフランスの博物学者ジョルジュ

=

ルイ・ルクレールが提唱した

床に多数の平行線を引き、そこに針を落とすとき、どれかの線と針が交差する確率はどうなるか

?

を問う問題です。

ビュフォン伯ジョルジュ

=

^{ルイ・ルクレール}^*8 ビュフォンの針の問題

*7さながら、難解な図形の問題で巧い補助線を引くとたちどころに問題が解けてしまうようなものでしょうか?

*8Georges-Louis Leclerc, Comte de Buﬀon (1707–1788) 確率の分野に微分積分学の概念を導入した人物としても知られる

(6)

驚くべきことに、その解答は非常にシンプルで、しかも何故か円周率

π

^{が登場する}^のです

!!

幅

d

の平行線が描かれた床に、長さ

ℓ( ≤ d)

の短い針を落としたときに、どれかの線と針が交差する確率は

2ℓ

πd

^となる。

この結果を用いれば、平行線を引いた紙に針を落として線と交わる確率を計算すれば、円周率

π

の近似値が計算出来るということにもなります。実際にイタリアの数学者マリオ・ラザリニは、ビュフォンの針の実験を行って円周率の近似値を計算しており、モンテカルロ法

Monte Carlo method

^*9 の原型となったとも言われています。円周率

π

^{やネーピア数}

e

^{は、代表的な超越数}

(“

^{良く分からな} い数

”)

として高校でも学習したと思いますが、大学の数学では思いもよらない場面で円周率

π

^やネーピア数

e

^{のような数が現れる} ことがしばしば起こります。「床に針を落とす」という、どこにも円が登場し得ないような設定の確率の問題で、何故円周率

π

が現れるのでしょうか……

?

^興味を持った人は是非この問題にチャレンジしてみてください

!!

確率の問題なので、簡単な確率の基礎知識

(

確率の積の法則や期待値など

)

^{は前提とされますが、}「天書の証明」は微分積分も用いず、非常にすっきりしたものとなっています。

5 ^{評価のポイント}

1

^{年セミナーの成績は} ^平常点に基づいてつけますが、特に以下の点を重視します。

⋆

グループワークへの取り組みの積極性

⋆

発表会でのプレゼンテーションの仕方

(

説明の仕方の分かりやすさなど

)

⋆

発表会への取り組みの姿勢

(

積極的に質問をしているか、質問に明解に答えられているか

)

6 今後の予定

第

1

^回

(4/21)

ガイダンス、グループ分けのためのアンケート

第

2

^回

(4/28)

数学科フレッシュマン・キャンプ

(

^{セミナーはなし}

)

第

3

^回〜第

6

^回 ^{グループワーク} ^※

5/5

^{はこどもの日でお休み} 第

7

回〜第

9

回発表会

7 ^{その他の情報}

授業用

Web

ページ

: https://ex.tsuda.ac.jp/˜t-hara/Lectures/2021/seminar1.html

担当教員メールアドレス

: [email protected]

ハイブリッド授業期間中は、質問は主にメールで受け付けます。もちろんセミナー前後の時間、或いはグループワークのときに質問してもらっても構いません。

*9乱数を用いてシミュレーションや数値計算を実行する方法。

2 テキストについて 1 はじめに 1 年セミナー参考資料

1 年セミナー 参考資料 2021

1

1

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3

/

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)

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1 はじめに

seminar

1

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