弦理論と非摂動的取り扱い， 関係あること，ないこと。

集中講義

弦理論と非摂動的取り扱い，

関係あること，ないこと。

白石 清（山口大学理学部）

平成

年

月

日

概 要

内容的には，いろんな人の reviewのパクリである。というか，

完全に切り張りとなっている！参考文献参照。

目 次

1 Introduction 3

2 Duality 3

2.1

調和振動子

2.2 2 dimensional Ising model . . . . 4

2.3 Sine-Gordon model

と

2.4

電磁場

2.5

電荷と磁荷

2.5.1

点磁荷のまわりの電荷の運動

2.5.2 Dirac monopole . . . . 9

2.5.3 ’tHooft-Polyakov monopole . . . . 10

2.6

双対性の傾向と対策

3 Born-Infeld theory 14 3.1 action . . . . 14

3.2 duality . . . . 15

3.3 point charge

のつくる電場

4 Branes 19 4.1 p-branes . . . . 19

4.2 p-branes as soluton of SUGRA. . . . 19

4.3 p-branes in 10 dimensions . . . . 20

5 D-branes 21 5.1 T-duality

と開弦

5.1.1

閉弦と

5.1.2

開弦と

5.2 Dirichletp-branes . . . . 23

5.3

開弦と

5.4 N

枚の

5.5 M(atrix) theory . . . . 28

6 String理論におけるduality 30 6.1 superstring theories . . . . 30

6.2 S-duality . . . . 30

6.2.1 I ⇔HO . . . . 31

6.2.2 IIB ⇔IIB . . . . 31

6.3 T-duality . . . . 33

6.4 U-duality . . . . 33

7 M -theory 34 8 BPS状態 37 8.1

中心荷電

8.2

例：２次元超対称模型

8.2.1 free theory . . . . 37

8.2.2 interaction . . . . 40

8.2.3 soliton

と

8.3

例：

8.4 IIA

と

9 ブラックホール 46 9.1

ブラックホールの熱力学

9.2 string

とブラックホール

9.3

例：

次元ブラックホール

10 AdS/CFT 52 10.1 AdS/CFT

とは？

10.2 brane . . . . 52

10.2.1

概論

10.2.2 Dpbrane in 10 dim. . . . . 53

10.3 AdS . . . . 56

10.3.1 AdS

の構成

10.3.2 AdS

の対称性

10.4 superconformal symmetry . . . . 59

10.4.1 conformal symmetry . . . . 59

10.4.2 superconformal algebra . . . . 60

10.4.3 brane

と

10.5 Black holes and (super)conformal mechanics . . . . 61

10.6

場の理論と弦理論の関係

10.6.1 Maldacena’s conjecture . . . . 63

10.6.2 Holographic principle . . . . 64

10.7

応用例

10.7.1 q-¯q

ポテンシャル

10.7.2

有限温度系

10.7.3 glue ball mass . . . . 67

11 その他 70 12 Appendix 70 12.1

曲率

12.2 p-brane

解

12.3 string frame

と

12.4 string-frame action . . . . 76

12.5

楕円テータ関数

12.6

超対称性のおもちゃ

12.7 soliton solutions in 1 + 1 dimensions . . . . 77

12.8 Bogomol’nyi equation for vortices . . . . 78

1 Introduction

弦理論の非摂動的取り扱いに大きな進展があった。

それは

（双対性）の発見によってもたらされた。

また，それは，古典的な結果と量子論的な結果を結びつける。

ここ２，３年の間に，古典的弦理論と場の量子論を結びつける双対性 が理解されてきた。これが

である。

2 Duality

2.1

調和振動子

一次元調和振動子のハミルトニアンは

2 + 1 2ω²x²

= ωaa^†+a^†a (1)

ここで

a =

ω 2x+i

1

2ωp (2)

a^† =

ω 2x−i

1

2ωp (3)

とした。

次の変換を考える。

D: x → p/ω

p → −ωx (4)

この変換の下で

a → −ia

a^† → +ia^† (5)

となり，

H →H (6)

ハミルトニアンは不変。

exercise

D² =P

（パリティ変換）

を示せ。

exercise

a → e^−iϕa

a^† → e^+iϕa^† (8)

となるような変換をつくれ。

2.2 2 dimensional Ising model

２次元（正方格子

）イジングモデルの「エネルギー」

H =−J

(i,j)

σ_iσ_j (9)

スピンの値は

，

は最近接スピンの対を表す。

分配関数は

Z(K) =

{σ}

exp



K

(i,j)

σ_iσ_j



 (10) K =J/T

。

lattice

と

を考えると，

sinh 2K^∗ = 1

sinh 2K (11)

を満たすとき

Z^∗(K^∗) =Z(K) (12)

(Kramers-Wannier duality)

ぼくの講義ノートを参照。

弱結合

強結合

2.3 Sine-Gordon model

と

2

次元の

と

は同じ理論を記 述していることが知られている。

それぞれのモデルに含まれる結合定数には関係がついている。

1実は他の格子でもdual ityが・・・

Sine-Gordon model

の

S_SG =

d²x

−1

2∂^µφ∂_µφ+ 2π

β² (cosβφ−1)

(13) Massive Thirring model

の

S_{M T} =

d²x

iψγ^µ∂_µψ−mψψ− g

2ψγ^µψψγ_µψ

(14)

exercise

，

は無次元であることを確かめよ。

結合定数の関係

β²

4π = 1

1 +g/π (15)

Bosonization²

では，

∂_µφ ≈ ψγ^νψ"_µν (16)

cosβφ ≈ ψψ¯ (17)

という関係から

SG model

の

のフェルミオン

を明らかにする。

すなわち次の対応。

kink ↔ elementary ψ (19) antikink ↔ elementary ψ¯ (20) elementary φ ↔ ψ¯−ψ bound state (21) topological charge ↔ f erm ion num ber (22)

また別の機会に勉強しましょう。

exercise

Sine-Gordon

理論のソリトン解と，ソリトンの質量を求めよ。

2論文集：M. Stone, “Bosonizati on” (World Scienti fic)には，Col emanの論文等，重 要な論文が集めてある。

2.4

電磁場

真空中の

方程式は

∇ ·E = 0 (23)

∇ ×B = ∂E

∂t (24)

∇ ·B = 0 (25)

∇ ×E = −∂B

∂t (26)

であるが，これらは次の変換で不変。

D: E → B

B → −E (27)

exercise

D² =C

（荷電共役変換）

を示せ。

exercise

Maxwell

方程式を不変に保つ，連続な変数を含む変換をつくれ。

ヒント？ ： 

の結合を考えよ。

F˜^µν = 1

2"^µνλσF_λσ (29)

を定義すると，双対変換は

D: F_µν → F˜_µν

F˜_µν → −F_µν (30)

と書ける。

exercise

 これを確かめよ。ただし

もっと対称性は？

action

を次のように書く。

S=

τ

32πi(F +i∗F)∧(F +i∗F) +h.c. (31)

ここで

τ = θ

2π +i4π

g² (32)

∗F ∧ ∗F =−F ∧F (33)

などに気をつけると

(F +i∗F)∧(F +i∗F) = 2i∗F ∧F + 2F ∧F (34)

経路積分は

DA_µ e^iS (35)

のように書くが，恒等式

を

として，未定常数

を用 い次のようにも書ける。

DFDAˆ_µ e^iS (36)

ここで

S =S+ 1 8π

d⁴xAˆ∧dF (37)

先に

について積分してしまうと，次の

を用いた表式が得ら れる。

Sˆ=

d⁴x 1 32πi

−1

τ Fˆ+i∗Fˆ²+h.c. (38)

ここでは

である。

等価な理論を得るための変換は

S : τ → −1/τ, T : τ →τ + 1 (39 ) exercise

はどこからわかる？

にする・ ・ ・ ？

S

と

によって生成される群は

である。

τ → aτ +b cτ +d,

a b c d

∈SL(2, Z) (40)

exercise

と

を表す行列を書け。

2.5

電荷と磁荷

2.5.1 点磁荷のまわりの電荷の運動

原点に「点磁荷」をおく。

B=∇ ×A= g

4πr³r (41)

ここで

^。

質量

，電荷

の粒子の運動方程式は

4πr˙ × r

r³ (42)

左から

を外積すると

r×m¨r = eg

4πr×r˙ × r r³

= eg

4πr˙ˆ (43)

ここで

。 したがって

d dt

r×mr˙− eg 4πˆr

= 0 (44)

これが角運動量の保存を表しているはずである。付加している項は何か？

電磁場の角運動量を計算してみよう。

J^(em) =

d³r r×(E×B)

=

d³r g 4πr

E−rr·E r²

=

d³r E· ∇

gˆr 4π

= −eg

4πˆr_p (45)

したがって，付加項は電磁場の角運動量であった。

量子力学に移行すれば，粒子の角運動量は，ある任意の方向の成分が 量子化されているはずである。

ˆr·J =−eg 4π = 1

2¯hn (46)

ここで，

は整数。

2.5.2 Dirac monopole

ベクトルポテンシャル

A_x = g 4π

−y

r(r+z), A_y = g 4π

x

r(r+z), A_z = 0 (47)

あるいは

A_r =A_θ = 0, A_ϕ = g 4πr

1−cosθ

sinθ (48)

を考える。ただし，負の

軸上を除く。

これから導かれる磁場は

B=∇ ×A= g

4πr³r (49)

これは，原点に「点磁荷」の存在を表す！

放射状の磁束密度を積分して求めた磁束は

Φ =g (50)

負の

軸上を通って， （無限に細く絞られた）磁束が原点に流れ込んで いるに違いない。

電荷

を持つ物質の波動関数による，

効果をつかって，

この磁束を観測しようとする。波動関数の位相差は

¯

h = ge

¯

h (51)

位相差が

（

は整数）のとき，この絞られた磁束は全く観測でき ない！

Dirac monopole

の磁荷

電荷

の存在する場合

eg = 2π¯hn (52)

（

の量子化条件）

exercise

ベクトルポテンシャル

A_r=A_θ = 0, A_ϕ =− g 4πr

1 + cosθ

sinθ (53)

は，同じ

の磁場を与える。

Dirac

の量子化条件の成り立つときには，

と

はゲー ジ変換で互いに移り変わることを示せ。

もしひとつのモノポールが存在すれば，電荷の値は「量子化」される。

duality transf.

e →g = 2π

e (54)

duality conjecture:

e→ 2π

e (55)

の変換で等価な理論が得られる。

強結合と弱結合を結びつける。

量子論を考慮した場合，くりこみに対して関係を保護するために，

が必要。

•

^{電場は摂動的な励起}

•

磁気単極子は非摂動的（古典的）物体

2.5.3 ’tHooft-Polyakov monopole

SO(3)

対称性を持つ理論

L =−1

4G^a_µνG^aµν− 1

2(D_µφ^a)(D^µφ^a)−1

4λφ^aφ^a−v²² (56)

を考える。

ここで

G^a_µν ≡∂_µA^a_ν−∂_νA^a_µ+g"^abcA_µ^bA^c_ν (57) D_µφ^a ≡∂_µφ^a+g"^abcA^b_µφ^c (58)

とする。

ここでは，具体的な静的球対称解を考えてみよう。

そのため，次のような

をおく。

φ^a = δ_ia xⁱ

gr²H(r) (59 )

A^a_i = "_aij x^j

gr² (1−K(r)) (60)

そうすると運動方程式は次のようになる。

r²K = K(K² −1) +H²K (61) r²H = 2HK²+λH

H²

g² −r²v²

(62)

ここで

は

微分。

これを適当な境界条件で解けばよいのだが，

のときは，もっと簡 単な方程式系に帰着する：

rK = −KH (63)

rH = H−K²+ 1 (64)

このときの解として

K(r) = gvr

sinhgvr, H(r) = gvr

tanhgvr −1 (65)

この解は

で

，

で

，

（

解）

・自発的対称性の破れ

場の真空期待値のおおきさ 

Mmonopole=

d³x

1

4G^a_ijG^a_ij +1

2(Diφ^a)(Diφ^a)

= 4π

g v (66)

Mmassive gauge boson=gv (67)

双対性！

結合定数の値が大きい（強結合）だとモノポール（ソリトン）の質量

は軽くなる。

exercise

（

のとき）場のエネルギーは

E =

d³r

1

2(B_i^a)²+ 1

2(D_iφ^a)²

=

d³r

1

2(B_i^a∓D_iφ^a)²±B_i^aD_iφ^a

(68)

と書ける。

BPS monopole

は極小のエネルギーを持つことを示せ。

Note

ansatze

を代入すると

∂kφ^a = 1 g

δ_ka

r² − 2x^kx^a r⁴

H+ x^kx^a r³ H

, (69)

g"^abcA^b_kφ^c =−1 g

δ_ka

r² − x^kx^a r⁴

H(1−K). (70)

ここで使ったのは，

，

，そして

。 したがって

D_kφ^a = 1 g

δ_ka

r² − x^kx^a r⁴

KH+ x^kx^a r³

H − 1 rH

. (71)

よって

(D_µφ^a)(D^µφ^a) = 1 g²

1 r²

H −1 rH

2

+ 2 r⁴K²H²

, (72)

を得る。

また，

gG^a_ij = −2"_aij1−K r² +

"_aikx^kx^j

r³ −"_ajkx^kxⁱ

r³ K+2(1−K) r

+"_{ij k}x^kx^a

r⁴ (1−K)², (73)

となるので，ちょっと計算すると

r²(K)²+ 2

r⁴(1−K²)² (74)

とまとめられる。

以上を用いて，作用積分は（ただし，定常だから時間積分は省き，球 対称性をつかうと）

4π g²

dr

−(K)²− 1

2r²(1−K²)²− 1 2

H− 1 rH

2

− 1

r²K²H²

− λg²r² 4

H² g²r² −v²

2

 (75)

となる。ちなみに，解を変分で求める際は表面項は落として良いので（ま ともな解について），作用積分は次と等価。

4π g²

dr

−(K)² − 1

2r²(1−K²)²− 1

2(H)²− 1 r²K²H²

− λg²r² 4

H² g²r² −v²

2

 . (76)

2.6

双対性の傾向と対策

•

傾向

粒子

ソリトン 弱結合

強結合 量子論的

古典的

•

対策

超対称性が必要

非摂動的な理論の対称性

3 Born-Infeld theory

まずは，

の話から。

3.1 action

通常の

の理論では，

は

µ₀

d⁴x

−1

4F_µνF^µν

(77)

（

のない場合）である。

Born-Infeld theory

では

はパラメータ

に依存する。

S_BI = 1 µ₀b²

d⁴x

1−−det (η_µν+bF_µν)

(78) exercise

の次元は？

適当な慣性系をとれば，電磁場の強さは

F_µν =









0 −E 0 0

E 0 0 0

0 0 0 B

0 0 −B 0









(79)

となる。

このとき

F˜^µν = 1

2"^µνλσF_λσ =









0 B 0 0

−B 0 0 0

0 0 0 −E

0 0 E 0









(80)

F_µνF^µν = 2B²−E² (81)

F_µνF˜^µν = −4EB (82)

である。

この慣性系で計算すれば

µ₀b²

d⁴x

1−−(−1 +b²E²) (1 +b²B²)

= 1

µ₀b²

d⁴x1−√

1−b²E²+b²B²−b⁴E²B² (83)

となるが，ローレンツ変換の不変量

および

であらわせば，

一般の座標系で成立する。

すなわち

µ₀b²

d⁴x



1−

1 + 1

2b²F_µνF^µν− 1

16b⁴F_µνF˜^µν2



 (84)

を得た。

b →0

の極限では，明らかにこれは

理論の

に帰着する。

3.2 duality

BI action

から，場の方程式を求めると

∂_µG^µν = 0 (85)

exercise

G^µν

を求めよ。ただし

の極限で

とする。

エネルギー運動量テンソルは

GµλF_νλ+η_µνL (86)

となる。ここで

L= 1 b²

1−−det (η_µν +bF_µν)

(87) b →0

の極限では，

T_µν = 1 µ₀

F_µ^λF_νλ− 1

4η_µνF_µνF^µν

(88)

となる。

双対変換は

D: Fµν → G˜µν

Gµν → −F˜_µν (89)

ただし

G˜^µν = 1

2"^µνλσGλσ (90)

exercise

この双対変換の下で

と

が不変であることを確かめ よ。

3.3 point charge

のつくる電場

静電場を考える。

のつくる電場は球対称性から，

E_r =−∂_rφ (91)

で記述される。ここで

A0 =−φ (92)

である。

このとき

は

r²drsinθdθ dϕ

1−1−b²(∂_rφ)²

(93)

となり，変分から次がわかる。

r²∂_rφ

1−b²(∂_rφ)²

=const.=−a (94)

これを電場について解くと

E_r = a

√r⁴+a²b² (95)

十分遠方では，

となる。 （

とすればクーロン場）

一方，

の極限では，電場は発散せず，有限である。（

）

エネルギー密度は



 E_r²

1−b²E_r² − 1 b²

1−1−b²E_r²



= 1

µ0b²



 1

1−b²E_r² −1





= 1

µ0b²

1 + b²Q² 16π²"²₀r⁴ −1

(96) b = 0

のとき，これを全空間で積分して得られる電場のエネルギーは以 下のように有限の値となる。

4π

_∞

0

1 µ₀b²

1 + b²Q² 16π²"²₀r⁴ −1

r²dr

= 4π

µ₀√ b

Q 4π"₀

3/2 _∞

0

dx√

1 +x⁴−x²

= 4π

3√

"₀√ b

1 Γ³₄²

Q 4

3/2

(97)

I =

_∞

0

dx√

1 +x⁴−x² (98)

において

sinhθ

とおくと

_∞

0

dθ coshθ 2√

sinhθe^−θ (99)

さらに

とおくと

√2

₁

0

dt 1 +t⁴

√1−t⁴ (100)

1 0

dt 1

√1−t⁴ = 1 4

Γ¹₄Γ¹₂

Γ³₄ (101)

₁

0

dt√

1−t⁴ = 1 4

Γ¹₄Γ³₂

Γ⁷₄ (102)

なので

I =

√π 3√

2 Γ¹₄

Γ³₄ (103)

公式

Γ (2z) = 2^2z 2√

πΓ (z) Γ

z+1 2

(104)

を用いて整理すると

I = π^3/2 3

1 Γ³₄²

(105)

ちなみに，岩波数学公式

，

によれば，

₁

0

√ dx

1−x⁴ = 1

√2K

1

√2

= 1

4√ 2πΓ

1 4

2

(106)