２０１９年度 一般入学試験問題  数　学

２０１９年度 一般入学試験問題  数　学

始まりのブザーが鳴るまで問題冊子、解答用紙に手を触れずに、

下記の注意事項に目を通しておくこと。

◎　問題用紙は 1 ページから 7 ページまであるので、始まりのブザー が鳴ったらすぐに確認すること。

◎　最初に記名をしてから問題を解くこと。

◎　解答はすべて別紙の解答用紙に記入すること。

◎　とじてある問題用紙をばらばらにしたり、一部を切り取ったり しないこと。

◎　終了のブザーが鳴ったら筆記用具を置くこと。

◎　問題冊子は持ち帰ってもかまわない。

1

◎　解答は，すべて別紙解答用紙の解答欄に記入せよ．r， はそのままでよい．

次の問に答えよ．

（ ₁ ）　a=₆₅，b=₃₅ のとき，次の式の値を求めよ．

₂a^₂-₄a^₂b-（₄b^₄-₈a^₂b^₃）'₂b^₂

（ ₂ ）　 ₁ ， ₂ ， ₃ ， ₄ ， ₅ の数字を ₁ つずつ書いた ₅ 枚の カードが袋の中に入っている．このカードを ₁ 枚ずつ

₂ 回続けて取り出し，取り出した順に十の位，一の位 と並べて ₂ 桁の整数を作る．このとき，その整数が 素数となる確率を求めよ．ただし，取り出したカードは もとに戻さない．

1

2

y軸上の正の部分に点 C をとる．点 C を中心とし，原点 O を通る半径 ₁ の円と，

関数 y=ax^₂（a2₀）のグラフとの交点のうち，x座標が正である点をＡとする．

このとき，+OCA=₆₀°となった．

（ ₁ ）　点 A の座標を求めよ．

（ ₂ ）　aの値を求めよ．

（ ₃ ）　点 A において円と接する直線lの式を求めよ．

（ ₄ ）　直線lとy軸との交点を B とおく．9CBA を，点 C を中心としてこの平面上で 反時計まわりに一周させる．このとき，線分 AB が通過する部分の面積を求めよ．

2

y

O C

₆₀°

x A

l y=ax^₂

₁

3 関数 y x

3 1 ₂

= のグラフCと直線 y=₂x が原点 O と点 B で交わっており，y軸に 関して点 B と対称な点を A とする．また，点 P がグラフC上を点 A から点 B まで 動いている．点 P を通りy軸に平行な直線を引き，線分 AB との交点を Q とする．

（ ₁ ）　点 A の座標を求めよ．

（ ₂ ）　AQ=PQ であるとき，点 P の座標と，線分 AP とy軸との交点 R の座標を求めよ．

（ ₃ ）　（ ₂ ）のとき，9PQR と9PBA の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．

（ ₄ ）　（ ₂ ）のとき，線分 OB 上に点 S をとったところ，9BQS と9PQR の面積が等し くなった．点 S の座標を求めよ．

3

y

y x

3 1 2

=

y=₂x

x A

R

B

P Q

O

4

A，B ₂ つの容器に，それぞれa％の食塩水 ₉₀₀ g と，b％の食塩水 ₅₀₀ g が入ってい る．最初に A から ₁₀₀ g の食塩水を取り出し B に加えた．

（ ₁ ）　このとき，B の容器に含まれる食塩は何 g か．a，bを用いて表せ．

（ ₂ ）　その後，B から ₁₀₀ g の食塩水を取り出して A に加えたところ，A の濃度は

₈．₅₀％，B の濃度は ₂．₅₀％になった．a，bの値を求めよ．

4

5

半 径 ₉ cm の 円 O が あ る． 弦 AB の 長 さ を ₁₂ cm と し， 直 径 BC 上 に 点 D を BD：DC=₁：₂ となるようにとる．また，線分 AD を点 D の方へ延長した半直線と 円 O との交点を E とする．

（ ₁ ）　点 D から線分 AB に垂線を引き，線分 AB との交点を H とする．線分 DH の長 さを求めよ．

（ ₂ ）　線分 AE の長さを求めよ．

（ ₃ ）　9ABC と9BED の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．

5

O

A B

C

D E

6

図の9ABC において，+A の二等分線と辺 BC との交点を D，+C の二等分線と辺 AB との交点を E，線分 AD と線分 CE との交点を F とする．また，+ABC=+BCE，

AC=₅ cm，CD=₃ cm とする．

（ ₁ ）　AF：FD を最も簡単な整数の比で表せ．

（ ₂ ）　線分 BD の長さを求めよ．

6

₃ cm A

B C

E

D

F ₅ cm

7

底面が ₁ 辺2 2 cm の正方形 BCDE で，AB=AC=AD=AE=₄ cm の 正四角すい A－BCDE がある． ₂ 辺 AC，AE を ₂：₁ に分ける点をそれぞれ P，Q とし， ₃ 点 B，P，Q を通る平面と辺 AD との交点を R とする．

（ ₁ ）　線分 AR の長さを求めよ．

（ ₂ ）　9AQP の面積を求めよ．

（ ₃ ）　三角すい R－PDQ の体積を求めよ．

7

R A

B

C

D E

P Q

2019 年度 青山学院 数学 解答例

１

(1) 6000 (2)

10

3

２

(1) A(

2 3

2

1

3

2

3

1

３

(1) A( 6，12) (2) P(3，3)， R(0，6) (3) 1：4 (4) S(

2

3

４

(1)

 ^{a  5 b} 

4



37

a ，

20



23

５

(1)

2 5

7

21

26

６

(1) 5：3 (2)

5 24

７

(1) 2 ㎝ (2)

9

3

16

27

3 16

以上