電子工学科鹿毛慶雄電子工学科（大学院）山内慎二

九州工業大学研究報告（工学）N。．551987年12月       45

インピーダンス板上の二つの不連続点による

      平面電磁波の散乱

（昭和62年6月30日 原稿受付）

電子工学科鹿毛慶雄

電子工学科（大学院）山内慎二

Scattering of A PIane Electromagnetic Wave by Two

by Yoshio KAGE   Shinli YAMAUCHI

      Abstract

  Thi・p・pe・d・・cHb…h・b・・k・・a・t・・i・g・f・pl…d・・…m・g…i・ …e（H…v・）ca・・，d b｝

two discon加uities of impedance pIanes which are approxim田ely con5idered in5tea〔I of lossy dielec−

tric slabs．

． The effect of multipIe scattering bet、veen the two discontinuities is numerically 5hown when lhe di・t・n・e b・twe・・th・m i・ab・・・…w…1・・gth・If・he di・・−i・sh…e・・h・・ah・If w・vel，ng・h，

th・・c・・t・・i・g P・tt・m i・…y・imiI・・…h…f・・i・gl・di・c…inuity． Th・・ff・・t。f muldpl。，，a，．

tering is dep〔三ndent upon the incidellt angle of the plane wave．

Lまえがき       綱数値計酬果砒蚊した1・文をすでに蹴た」）

       その結果，損失がかなり大きくσ∫ωε。≧ユ．0で，し  2種の半無限誘電体スラブの接合部に平面電磁波が入   かもスラブの厚さが誘電体の表皮厚さより大きければ，

射したとき，接合部によって惹き起こされる散乱波を解   インピーダンス板近似は祖失誘電体スラブのよい近似法 析的に厳密に求める問題は，問題の構成が比較的簡単で   であることがわかった。

あるにもかかわらず理論的な取扱いに面倒な手続きを要    本論文では上記の結論を踏まえ，図1ωに示す2つの し・また理詮的結果の故仙計P二も大変手間を必要とする。  不連続部をもつ諭E体スラブの接合を，同図（b｝に示すよ  この問題の取扱いを容易にするために，誘電体スラブ   うな2つの不連綻点をもつインピーダンス板の接合に置

を媒質の固有インピ・一ダンスで置き換えたインピーダン   き換え，これに平而電磁波が入射したときの散乱浪を求 ス板近似法によって境界条件を簡略化し，インピーダン   める問題を扱い，理論的な再刊斤および数他例を示すこと ス板の接合点による散乱波を求める問題に置き換えれ   にする。

ぱ・理違的な取扱いや数値計算の手続きが非常に簡略化    インピーダンス板上に不連続点が2つある場合には，

される。       それらの川の距離が小さ1ナれば，一方の不述続．点からの  インピーダンス板近似法の宥効性を検討するために，   肚乱波が再び他方の不連続点によって散乱される多頂散

2つの半無限損失誘電体スラブの接合部による平面波の   乱が起こることが考えられるが，誘rE体の損失があるこ

散乱について，厳密解とインピーダンス板近似法による   とや、llt一の不連続点による散1乱波パターンがかなり

46      鹿毛慶雄・山内恒二

シャープであることから，その効果はあまり顕著ではな      y

角に大きく依存するものと思われるので、散乱点川の距        

離および入射角の影響について考察することにする。      b  なお．ここでは入射平面波の磁界ベクトルが入射 面に         ／

剛なH波の胎について・艮扱うことにする白   力ε゜⑭日

2．問題の設定

 図1回に示すように2つの接合部を持つ誘電体スラブ

を考え，これを図1（b）のように2種のインピーダンス板

の接合に置き換えて，その不連続部に平而電磁波が入射      ㈲Two lunc†ions of†hree dieteclric 51cb5．

するときの散乱問題を解析する。それぞれの板は図に向 かって左からZ、，Zコ，Z，の表面インピーダンスを有し，

       ソ

∩c噛nい匂o肥  ガ

@        ●

@       H

b

／ ノ／／

力ε。εΨ。．σ・）

NZ〃

田・E2．P。・σ2） ^{［εoε1．μ。・σ）}

@      多

／多 ^{一a  o  a}_ﾆ

S［ロb

一b

X

，、  ， ．       →x

1

z・＝嚊e「      P（°n已       ＼

s

ここに・・購電イ…プの踊1臨ε・およびμ・は・

@ 、b、1。，，d。nce，、。＿，・・h＿・d…†・sy・…

それぞれ真空中の誘電率および透磁率である。

 入射波はH波であるから次のように表される。

      図一1 G白ometry ol the problem．

  ∬∫ ＝fよH β 副工鵠o−」ノ細0」

  E ＝＝・＿＿＿ユ＿＿πロ×1ヨ戸       _（2）

為一勘㌫卜。i。，，，）   ピ「蕊

こ二蕊界（訓を一次界（＿）と散乱界 厨一一謡芸   （71

｛E°，1∫つに分解する。すなわち       Eご＝Hご＝〃，ノ＝⑪

  （E「．〃1）＝（EP，∬つ＋G㌢，正」つ       （3）   次の境昇条件を満足するように式（6）の解を決定する。

  一次界はZ、＝Z、のときの電磁界で次式で与えられ    （B］）（E㌔ノrヨは外向放射条件を満足する。

る。       （B2）ぽ〃りはそれぞれのインピーダンス板上でイ

卿エ劔一f」・，一ぽ…（・−1・・＋R・一一） 川  ンピーダ以耕を糊互する・

Eこ（エ．、）一響H・。一一（・一一一R・−w   z・一一｛芸L。．  1エ1＞・

ただし噸射係数で獄で与えらオτる・ @  昂一吉一儲…、  1エk・

R−一d；藷卜／巨｝・・〕 すなわら

z方向には昇が一撫ある剖一れば．糊昇は次肪 H・「（エ・・＋）−yl酬エ・・÷）＝° 輪α〔8｝

程式によって与えられる．      典，囲一y捌エ・°＋）＝° 1水α

   富壽＋司肱◎ 

^（6｝（B

インピーダンス板上の二つの不連続点による平面電磁波の散乱       47

   靱∫馴・・ω一時゜）       国く・において一次界が境界酬・を齪すること酬     ・1ばyH±・・0）からの距離    らかなので散乱界に閲する項のみ残る。境界条件をフ＿

      リエ成分で表せば次式となる。

 3．散乱界のプーリ工成分

蹴の空1鵬一1周繊、1協ためにはの吉rレ蹴島鰍ζ〕1・一・・蜘1エk・ 。・

フーリエ変換を定義する・       1司くαであるから1｝内の閏数は整閏数となるの

   ∫（ζ）一∫二抽・噺     でこれを醐とおく・

      止

      〔9］      Aコ｛ζ）十｝㌔一A：（ζ〕＝Pコ（ζ）

   ∫ω一抽ζ）・一触    あ鋼、．輌

に灘篇：：慧鷲蕊；‡こヨll驚蒜  山ζ］一隠ア｛ζ〕   回

失を仮定し∫nκ・〈0とするが．Ii上終的にはこれを零とす    次に1司〉αにおいて境界条件（B2）を適用する。

る。また図2の領域UおよびLで正則な関数を．それぞ    まず聞数∫1°回，E°（エ）を次のように定義する。

れ符号＋および一で示すことにする。       O      l司くα 波動方程式｛6〕にフーリエ変換を施すと次のようになる。  H°ω＝ HC已，ω＝ff 日÷R〕e一幅田理    工＜一α

  ∫」ご（ζ・］ノ〕＝ゴ1・（ζ）ε 輌止μ      〔ll）      エ〉α

ただL』，（ζ）は未知閲故である。       式｛固をフーリエ変換すると次のようになる。

三1撒籔：：∵㈹llll韓；㌶∴∵1㍍

       これらを用いて1エ1＞ロにおける境界条件をフーリエ       成分で表せぱ次式となる。

       lmζ

       ±∬1〃吋ζ）鞠ζ）1一ド］E咋ζト☆・1、（ζ羽・一・古dζ一〇    介一・・

      1エ1＞ロ ｛切        エ＜一αのとき領域D 内の租分路Cを上半平而で無限       遠点に延ばして半無阻甜分路とすることができる。従っ       て［］内の閲・数は領域Uで正則であり，未知閏数甲1司｛ζ1

ｨReζ を用いて次のように；1：、ける。

．       」・（ζ）ll＋慧ト∫∫・｛ζ｝一王1E・〔ζ）＝・・（ζ｝エ＜一・〔1呂・

またエ〉αのとき領域D 内の描分路Cを下半平而で

・1  三。   半無酬頒とできるので日肋暇は鰍1一で正

L       則であ1，．細咽数。1−（ζ）を用いて次のように割†る。

固一2

48      鹿毛慶雄・山内慎二

ここで新た妹知閏数。，・（ζ〕を導入し    となる・これを式⑳を用いて云に剛二代入すると・

とする㌫瓢1はそオ＿〔域u，Lで正ll端一一（ζ禦蹴論

㌶㍍難‡｛㍗二代入Lさら醐の ＋（講｝ぎ撒（ζ）臨 ）蜘

      となり，散乱界のフーリエ成分は求まった。

器辛叢宇ジ（ζ聞〃°（ζ）−r1E°1引e ローP・＋｛ζ）召一佃

      エ＜＿ロ ω    4．還方散乱界

：i：聯・・ 蜘蜘一γ蜘1・ F』・rゆ｛° 散乱界蹴．ぷ｝佐乱界のフーリエ成分綱を

       ⇒°四 逆変換することに劫夢、のように求まる。

三㍑運㌫拓引r−，一⇒定ぼ・・）一訂［ζき蕊艦綜；1ピ

である．      一」≧−11・声噸1・研

 式四を核関数κ（ζ）を使って変．形する。      ここで次のような変数変換を行う。

臨（ζ｝＋杣＋

h壽薯テ酬1・   す㌶1㌶㌶㌫i蕊1㌶

一・一加gIW・・   … 散乱獅次のように表される゜

   κ（ζ）一：li§κ一｛ζ｝一κ・≒） ㈱ 一⊥ 副…・i・・）

従って式塒変形すれば次式がi！｝られる．   2π一…5i・（伊十θ 2）1（ ・＋y1・・si・・）

一（ζ｝＋ζ一蠕・S・ド芸÷一ξ  偏C°Sの ・∫e輪ぎ三ヂdξ 聞

一謬蜘＋蔑器ヒ｛ζ｝一κ一（・・C⇒  ・卿1紛を・。・》1の条件の下で鞍音隠法で話価す

≡φ｛ζ｝     加る；・禦乱界1まフレ訓撒用いて次のように｝E

ここでA・＝酬（ユ＋∫炉y孟（1一欄刷である。  めbれる・

L蕊鷲㌶竃鷺：㌶1 ∫一一、緯；欝蒜1−）

∵㌶㌫㌶㌶廻数である゜ @ ［｛e−÷1拳lle一コ：＋2疏

  lirnφ（ζ｝−0（ζ司｝       C2η

であ二；・らLi・u・ill・の定理よIL    ．。−1丁、一一一・／÷−C（・。…）一 （÷−5（・・…））1］

   φ｛ζ）≡o

∴；i；㌶；［鷲二＿ ⇒  一・≠籔『㌘

       コ 磯 ［le讐i還1ε／厩＋2海・

インピーダンス板上の二つの不辿続点による平面電磁波の散乱       49

・・一・÷・一⌒囲巳一α・ψ・ヨー∫（÷−5（⇒｝］臼3 。。；：蒜：㈹）  9卍       ε1＝4．O− 1．Oi

 ここに       ε2＝杜O−LOi

・一品・i・9]θ    1趾

C｛エ），S〔エ〕はフレネル閲数で次式のとお1｝である。

日＝30尊

日＝1び

c（エ）遠∬c芸￡d・    旧ぴ．． 日 一旧一12−・・び

       tCi3｝

      ｛39

8（エ）一

5．数値例および考察

 数仙計算を行うにあたって入射電磁波の周波数は

      f＝］．o民10・｛臣）        goo

∫＝10，｛Hz）とし，散乱界は瓦。ρ＝1000の遠方で観測す   κ。ρ・］00D．o

るものとした・また，インピーダンス板の鞭定数1ま複 篭蒜 ＼

素比誘電率をε1＝・4−1∫，εコニ8−1匡として計算した。

 以下数値例に従って考察を行う、

図3はκ。α＝0．8，つま1〕2つの不連続部の間隔が1／4    旧O°

60について示している。どの角度においても散乱パター

日弓0匂

       ロコ     ぽ   ロ  ドら    

波是程度の場合の散乱界のパターンを角度θが1げ，3ぱ，       κ゜ヨ已o       I品

 o       ＿

θ＝1げ

oo

図一4 Sca廿erθd l旧ld panθms by two dls一 ンが不迎続部がユつの場合とよく似・ている。すなわち2       eontinutles of lmp白danじe p【aneSI

つの不連続部のnij隔が．λ射波長に対して短いなら2点

問による多重散乱の影響はほとんどなく，1接合のとき

と驚㌫蕊蕊㌔：θ＿帆三熟 91ぴ、㌶1

6ぴについて示したのが図4である。2つの不連続部の    εド8 o−tDi 聞隔は約1波長である。図を見ると縦方向へのふくらみ

が各々の角度θについて見られるが，これが多垂散乱の

髭晋である。そしてそのふくらみは角度θが大きくなる    旧O°                 o°

      コヰ  ぼ 

につれて小さくなっている。これは角度θが増すにつれ        日吐卍      1己B1 て横方向（x軸方向）に進む散乱波が少なくなるためだ

      図一5  Scattered flold patterrls by h岸o dls一 と思われる。そのため散乱波がもうユつの散乱点で散乱       oontinutlos of imp日danoe planes，

されるという多重散乱の影桿が角度θが増すにつれて小

 図5は角度θを6ぱ一定にしたときに．2つの不連続   点からの散乱バターンの正：ね合わせと考えられる。そし 部の川隔を変えたときの肚乱パターンを示したものであ   てその散乱波の行路差のためと思われるサイドローブが

である。これを見るとユでは川隔が短いため1接合と似    以上の考察力・ら2つの不迎続部の川隔が訂4il呈長程度

たパターンになり．2では多∫n散乱の影響によリパター   だと多lin散乱の影響はほとんどないが．1波長程度にな

ンにふくらみがあるのがわかる。そして3においては1川   るとその影響が現れ．またその影響は角度θが小さい程

隔が遠いため多：屯散乱の影響があまりなく，2つの散乱   大きいことがわかった。

50      鹿毛慶雄・山内慎二

      付録

 6・むすび       A．1 爪要な定理の概略 2つの接舗を持つ誘電体スラブの不連続部による平  ωLb・・端の定理

面電磁波の散乱問題を．2腫のインピーダンス板の接合    もし∫（ζ）が整閏数で1引一゜°対して

による散乱問題に置き換えて解析したqそして数値計算     1∫｛ζ）1≦λflζ1」 （」、LPは定故）    （Al）

により散乱パターンを求め，2つの接合部の間隔および    ならば．∫（ζ）は高々［P］次の多項式である。ただし 角度θを変化させ散乱パターンの迫いを考察した。その    ［P］はPの整数部を表す。

詰果，2つの接合部の間隔が1／4波長と非常に短い場台    （2）Abdの定理 は狐散舌Lの影響はほとんどなく1つの接合部をもっ場  ∫回のフーリエ変換を

鑑二∵㌫㌶蕊蕊i呈蕊丁 ∫（ζ一）一∫：∫（一 （A2）

脚が小さい程大きいこともわかった。     と定義すると・もし一ユ＜・1＜°は「して

今後の縄としては．2つの齢昂を持つ誘電体スラ  鋼一肋n・認     （A3）

プによる平而電磁波の散乱問題を解オ斤し．インピーダン    ならば（止冗は定数）

ス概II／法と比1轍討することや，異なる媒質か靖る ∫｛ζ〕−Ar（・＋1）・・pl・↓（・1＋1）121・ζ 1・翻（A4）

周期髄を持つモデルからのli胤問題への応脆どが考  となる・（r（・）はガンマ閏数）

えられる。      ただし上式で極限過程は・すべて」・下剛頁である・

         参考文献      A．2核関数の因数分解

      核閲数を次のように変形する。

翼轍鋼蕊一罐lj驚61：二」蒜κ（ζ）一三烹1一聯一鵠（A・）

2）淋．内田・ 二つの・1三無阻誘電牌ラブによる平面1E融  。Fz。JZh。，−z。lz，     （A6）

｛…罐L ・f⊇（B）・」62 B Nu 12¶PP 1］3㍗1139 L1〔ζ）およびL雌それぞれL（ζ｝−L・（ζ〕IL−｛ζ）の形

3）倒己1・・インピーダンス板近似法によるn宝乱川題の研究 @   に分解すればよい。文献抽の方法を用いると．次のよ

、；L蕊士蕊漂バ，・・A岬＿輌，1−1・。 うに与えられる・

、r甑漂蒜㍍｝蕊＝：1謬rr L・｛ζ）一・疏｛1一為1≒。，11／2

 for the SoluIion of the 】コnロinl Diff亡r田t拍l E｛luauonS；

       ζ

@   …1÷エ1＝1・ ≡辱三ldω］〔A・）

      κ0 1−11z2