[1] 次の各問いに答えよ

平成30年度前期試験問題 微分積分学 解答例

2018.8.2 永野 解答はすべて解答用紙に記入せよ。解答は論理が分かるように整然と書くこと。特に答 は明示せよ。

[1] 次の各問いに答えよ。

  １． 対数方程式 log₃(2x+ 5) = 2 log₃x+ 1を解け。

(解)

真数条件より、2x+ 5>0, x > 0 よってx >0

log₃(2x+ 5) = log₃x²+ log₃3 = log₃3x² 両辺の底が等しいので、

2x+ 5 = 3x²

∴ (x+ 1)(3x−5) = 0 x >0から

x= 5

3 · · ·(答)

 ２． 関数y=f(x) =x³−x²−3x−2のグラフ上の点(2, f(2))での接線の方程式を 求めよ。

(解)

f(x) = x³−x²−3x−2 かつ f^′(x) = 3x²−2x−3 より

f(2) = 2³−2²−3×2−2 =−4 かつ f^′(2) = 3×2²−2×2−3 = 5 ゆえに求める接線の方程式は

y= 5(x−2)−4 = 5x−14 ・・・(答)

[2] 次の関数の導関数を求めよ。

  １．f(x) = x²−3x+ 1

−3x⁴+ 2x³−1 (解)

f^′(x) = (x²−3x+ 1)^′(−3x⁴ + 2x³−1)−(x²−3x+ 1)(−3x⁴+ 2x³−1)^′ (−3x⁴+ 2x³−1)²

= (2x−3)(−3x⁴+ 2x³−1)−(x²−3x+ 1)(−12x³+ 6x²) 9x⁸+ 4x⁶ + 1−12x⁷ −4x³+ 6x⁴

= −6x⁵+ 4x⁴−2x+ 9x⁴−6x³+ 3 + 12x⁵−6x⁴ −36x⁴+ 18x³+ 12x³−6x² 9x⁸−12x⁷+ 4x⁶+ 6x⁴−4x³ + 1

= 6x⁵−29x⁴+ 24x³ −6x²−2x+ 3

9x⁸−12x⁷+ 4x⁶+ 6x⁴−4x³+ 1 ・・・（答）

 ２．g(x) =e^2xcosx−logx (解)

f^′(x) = (e^2x)^′cosx+e^2x(cosx)^′−(logx)^′

= 2e^2xcosx−e^2xsinx− 1 x

=e^2x(2 cosx−sinx)− 1

x ・・・（答）

[3] 次の極限値を求めよ。

  １．lim

x→0

log(1 +x)−x x³ (解)

xlim→0(log(1 +x)−x) = 0 かつ lim

x→0x³ = 0 よりロピタルの定理を用いて

xlim→0

log(1 +x)−x

x³ = lim

x→0 1 1+x −1

3x²

= lim

x→0

−x 3x²(1 +x)

= lim

x→0

−1 3x(1 +x)

=−∞ ・・・(答)   ２．lim

x→∞

x² e^x (解)

xlim→0x² =∞ かつ lim

x→0e^x =∞ よりロピタルの定理を用いて

xlim→∞

x²

e^x = lim

x→∞

2x e^x

= lim

x→∞

2

e^x (∵ lim

x→∞2x=∞, lim

x→∞e^x =∞)

= 0 ・・・(答)

[4] 次の各問いに答えよ。

  １．e^xの5次近似式を求めよ。

(解)

f(x) = e^x とおく。

f(x) = e^x · · · f(0) =e⁰ = 1 f^′(x) = e^x · · · f^′(0) =e⁰ = 1 f^′′(x) = e^x · · · f^′′(0) =e⁰ = 1 f⁽³⁾(x) = e^x · · · f⁽³⁾(0) =e⁰ = 1 f⁽⁴⁾(x) = e^x · · · f⁽⁴⁾(0) =e⁰ = 1 f⁽⁵⁾(x) = e^x · · · f⁽⁵⁾(0) =e⁰ = 1 したがって、

f(x) = e^x ≃f(0) + f^′(0)

1! x+f^′′(0)

2! x²+f⁽³⁾(0)

3! x³+f⁽⁴⁾(0)

4! x⁴+ f⁽⁵⁾(0) 5! x⁵

= 1 +x+1

2x²+1

6x³+ 1

24x⁴ + 1

120x⁵ ・・・（答）

 ２．前問の結果を用いて、ネピアの数eの近似値を小数第3位を四捨五入して第2位 まで求めよ。

(解)

e=e¹より、前問の結果でx= 1として e≃1 + 1 +1

2 +1 6 + 1

24 + 1 120

= 326

120 = 2.71 ˙6≃2.72 ・・・（答）

[5] 次の不定積分と定積分を求めよ。

  １．

∫

xsin²xcosxdx (解)

∫

xsin²xcosxdx=

∫ x(1

3sin³x)^′dx= 1

3xsin³x− 1 3

∫

sin³xdx

= 1

3xsin³x− 1 3

∫ 1

4(3 sinx−sin 3x)dx

= 1

3xsin³x− 1

12(−3 cosx+1

3cos 3x) +C

= 1

3xsin³x+1

4cosx− 1

36cos 3x+C ・・・（答）

（参考）

∫

sin³xdx =

∫

sin²xsinxdx=

∫

(1−cos²x) sinxdx (t = cosx とおく dt =−sinxdx)

=−

∫

(1−t²)dt=

∫

(t²−1)dt= 1 3t³ −t

= 1

3cos³x−cosx よって以下も正解である。

∫

xsin²xcosxdx= 1

3xsin³x− 1

9cos³x+1

3cosx+C ・・・（答）

 ２．

∫ ^π

2

0

1 1 + sinxdx (解)

t= tan^x₂ とおくと sinx= sin 2^x₂ = 2 sin^x₂ cos^x₂  と t= tan^x₂ = ^sin

x 2

cos^x₂  から sinx= 2tcos^{2 x}₂ = 2t· _1+tan^{1 2x}

2

= _1+t^2t2, x: 0→ ^π₂ のときt: 0→1 dt= _{2 cos}¹2x

2

dx= ^1+tan2

x 2

2 dx= ^1+t₂²dx, ∴dx = _1+t²2dt

∫ ^π

2

0

1

1 + sinxdx=

∫ 1 0

2 1+t²

1 + _1+t^2t2

dt

=

∫ 1 0

2

(1 +t)²dt = 2

∫ 1 0

(

− 1 1 +t

)_′ dt

= 2

[− 1 1 +t

]1 0

= 2(−1

2 −(−1)) = 1 ・・・（答）

[6] 次の各問いに答えよ。

  １．f(x, y) = (x+ 1)²sin 2yの偏微分係数f_x(1,^π₄), f_y(1,^π₄)を求めよ。

(解) f_x = ∂f

∂x = 2(x+ 1) sin 2yより f_x(1,π

4) = 2(1 + 1) sinπ

2 = 4 ・・・(答) fy = ∂f

∂y = 2(x+ 1)²cos 2yより

 ２．g(x, y) = tan⁻¹xyの第2次偏導関数g_xyを求めよ。

(解)

g_x = ∂g

∂x = y 1 + (xy)² より

g_xy = ∂g_x

∂y = (1 + (xy)²)−y(2x²y) (1 + (xy)²)²

= 1−x²y²

(1 +x²y²)² ・・・（答）

以上