物性物理学入門

物性物理学入門

（放送大学 教材）

藤原毅夫

平成

20

8

19

i

目 次

第

1

1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 1

1.3

. . . . 3

1.4

. . . . 7

1.5

. . . . 8

第

2

11 2.1

. . . . 11

2.1.1

. . . . 11

2.1.2

. . . . 14

2.2

. . . . 15

2.3

. . . . 16

2.3.1

. . . . 16

2.3.2

. . . . 17

2.3.3

. . . . 17

2.3.4

. . . . 18

2.3.5

. . . . 20

2.4

. . . . 20

2.5

. . . . 21

第

3

X

23 3.1

. . . . 23

3.2

. . . . 24

3.3

. . . . 26

3.3.1

. . . . 26

3.3.2

. . . . 28

3.3.3

. . . . 29

3.3.4

. . . . 30

3.4

. . . . 31

3.4.1

. . . . 31

3.4.2

(ディスロケーション) . . . . 32

ii

3.5

. . . . 34

第

4

35 4.1

. . . . 35

4.1.1

. . . . 35

4.1.2

. . . . 38

4.2

. . . . 39

4.3

. . . . 40

4.4

. . . . 41

第

5

43 5.1

. . . . 43

5.1.1

1

. . . . 43

5.1.2 2

1

. . . . 45

5.2

. . . . 48

5.2.1

. . . . 48

5.2.2

. . . . 49

5.2.3

. . 50

5.3

. . . . 52

5.4

. . . . 53

第

6

I.

55 6.1

. . . . 55

6.2

. . . . 55

6.2.1

. . . . 55

6.2.2

. . . . 57

6.2.3

. . . . 57

6.2.4

. . . . 58

6.3

. . . . 58

6.3.1

. . . . 58

6.3.2

. . . . 59

6.3.3

. . . . 61

6.4

. . . . 61

6.5

. . . . 62

6.6

. . . . 64

6.7

. . . . 65

第

7

II.

67 7.1

. . . . 67

7.2

. . . . 67

7.2.1

. . . . 67

iii

7.2.2

. . . . 69

7.2.3

. . . . 72

7.3

. . . . 73

7.4

. . . . 75

7.5

. . . . 76

第

8

77 8.1

. . . . 77

8.2

. . . . 79

8.3

. . . . 80

8.4

. . . . 82

8.5

. . . . 83

8.6

. . . . 84

8.7

. . . . 86

第

9

87 9.1

. . . . 87

9.2

. . . . 87

9.3

. . . . 88

9.4

. . . . 91

9.5

. . . . 94

9.6

. . . . 95

9.7

. . . . 96

第

10

97 10.1

. . . . 97

10.2

. . . . 97

10.3

. . . . 99

10.4

. . . . 101

10.5

. . . . 103

10.6 pn

. . . . 105

10.7

. . . . 107

10.8

. . . . 108

第

11

109 11.1

. . . . 109

11.1.1

. . . . 109

11.1.2

. . . . . 110

11.2

. . . . 112

11.2.1

. . . . 112

11.2.2

(磁化率) . . . . 113

iv

11.3

. . . . 115

11.3.1

. . . . 116

11.3.2

. . . . 118

11.4

. . . . 120

第

12

123 12.1

. . . . 123

12.2

. . . . 125

12.3

. . . . 127

12.3.1 2

. . . . 127

12.3.2 1

. . . . 129

12.3.3

. . . . 129

12.4

. . . . 130

第

13

131 13.1

. . . . 131

13.2

1

2

. . . . 132

13.3

. . . . 134

13.4

. . . . 136

13.5

. . . . 137

13.6

. . . . 140

13.7

. 142 13.8

. . . . 143

13.9

. . . . 143

第

14

145 14.1

. . . . 145

14.2

. . . . 145

14.2.1 1

2

. . . . 145

14.2.2

. . . . 147

14.3

. . . . 149

14.3.1

. . . . 149

14.3.2

. . . . 149

14.3.3

. . . . 150

14.3.4

. . . . 150

14.4

. . . . 151

14.4.1

. . . . 152

14.4.2

. . . . 153

14.5

. . . . 153

v

第

15

155

15.1 1

. . . . 155

15.1.1

. . . . 155

15.1.2

. . . . 155

15.2

. . . . 156

15.2.1

. . . . 156

15.2.2

. . . . 157

15.2.3

. . . . 158

15.3

. . . . 159

15.3.1

. . . . 159

15.3.2

. . . . 160

15.4

(レオロジー) . . . . 161

15.5

. . . . 164

第

16

165 16.1

. . . . 165

16.1.1

. . . . 165

16.1.2

. . . . 166

16.2

. . . . 166

16.2.1

. . . . 166

16.2.2

. . . . 167

第

17

171

1

第 1 _{章 物性物理学とは}

1.1 物性物理学で何を学ぶか

物性物理学という名前はあまり聴きなれないかも知れない. 物理学と言え ばこれまでは力学,電磁気学,熱力学,統計力学,量子力学, 相対性理論

· · · ·

量子力学が打ち立てられた後, 高名な物理学者が「もはや物理学の対象と する自然はすべて理解し尽くされた.あとは化学の問題である.」といったこ とがある. しかし幸いなことに事実はそうはならなかった. 物質を小さく分 けていけば原子

1

1

1

1

10

1

この物性物理学入門では, 20世紀の後半になって生まれた物性物理学とい う学問を紹介しながら, 現在のわれわれ自身がどのように物質とその性質を 理解しているのかを学ぶことにしよう.

1.2 _原子 , _分子 , _固体

万物の変化・流転はそれぞれの文明において一大命題として扱われ、多く の哲学者によって根源的構成要素が探求された。古代ギリシャ、インド、中

2

1

17

atom

原子は

10

m (メートル)

10

∼ 10

m

m = 9.1095 × 10

kg (キログラム)

に比べて約

1800

20

分子には水素分子や水分子のように数個の原子が集まってできた簡単な構造 のものからたくさんの原子集団からなる高分子やさらに大きな蛋白質分子ま であり, 全体としてたいへん変化に富んでいる. 現在知られている最も大きな 単独の高分子は肺魚のＤＮＡで分子量が

6.9 × 10

(69

34.7m),

3 × 10

,

0.027mm (ミリメートル)

固体については最初にその構造を学ぶ. 現実の固体の多くは原子が乱雑に 並んだものであるが, われわれが学ぶ対象はまず結晶である. 結晶は原子が 周期的に配列して構成されている. 結晶というと宝石が頭に浮かぶ. しかし そればかりでなく,食塩,氷や雪, クオーツ時計の振動子, さまざまな電子機 器に使われている固体素子などわれわれの身のまわりの至るところにある.

結晶のように原子が周期的に配列するのがなぜ安定なのかということは大 変難しい問題であるが, 現在ではある程度これに対して定量的にも答えるこ とができる. ダイヤモンドは炭素原子がダイヤモンド構造という周期的な構 造に並んだもので, 透明で美しい光の輝きを見せる屈折率を持っている. 一 方炭素が別の結晶構造であるグラファイト構造を作ったものが黒鉛であり,黒 くて不透明な物質である.

電子デバイスの材料として用いられるシリコンの結晶はシリコン原子がダ イヤモンド構造に配列したもので, 不透明で灰色の金属光沢を示す. シリコ ンには黒鉛のような構造はない. 炭素もシリコンも周期律表では第

IV

1.3.

3

原子が周期的に並んでいるのを実際に見ることもできる. たとえば構造を 見るには

X

1.3 大きさと単位

原子の配列を見るといっても私たちが机の上に置いてある茶碗を手にとり あるいは形やその肌合いや色を自分の目で見るようなわけにはいかない. 最 高の倍率の光学顕微鏡を使っても原子を見ることはできない. 可視光の波長

領域は

400 ∼ 750nm

= 10

m）である.

さはすでに述べたとおり

10

m

10

∼ 50nm

X

(図 1.1).

には, X線を用いる. あるいは次に述べる量子力学的粒子を用いる.

図

1.1:

電子や中性子などは量子力学的な粒子である. 量子力学的な粒子は波とし ての性質すなわち波長が定義され干渉という現象を示す. 運動量

p

v）

の量子力学的粒子は波長

λ

λ = h p = h

mv (1.1)

の量子力学的波でもある. ここで

h

h = 6.62559 × 10

J s (ジュール・秒) (1.2)

λ

¯

h = h/2π = 1.05457 × 10

J s

4

1

E = mv

2 (1.3)

であるからド・ブロイ波長は

λ = h

√ 2mE (1.4)

である.

E

m

λ = 12.3

√ E × 10

m (1.5)

となる.したがって数

100

m

原子配列の長さのスケールがわれわれの日常のスケールであるメートルや センチメートルに比べて

10

E = mv

/2

J = M L

T

(kg · m

· s

) (1.6)

SI

M

(kg),

L

(m),

T

(s)

(J)

J

1

1

1kcal，

4.19 × 10

J

物質中で問題にする電子のエネルギーや熱エネルギーはどのぐらいの大き さであろうか. 電子を

1

を

1eV (1

系があり, それぞれで基本単位の選び方が異なるところにある. ここでは国 際単位系（SI=Syst`

eme International d’Unit´ es）に従う.

C (クーロン),

V (ボルト)

C

A (アンペア)

1C

1A

1

1C (クーロン) = 1A (アンペア) · s (秒)

1近代科学には単位系の確立が重要であった.メートル法を確立したナポレオンは近代科学に 重要な貢献をしたといえる.

1.3.

5

− e

e = 1.6021 × 10

C (1.7)

という大変に小さい量になる. 電位の単位

(ボルト)

1V (ボルト) = 1J (ジュール)/C (クーロン) = 1m

· kg · s

· A

1

1A

1J

電場の強さ

= [力]/[電荷] = [力]/([電流] · [時間]) = N · A

· s

1 V

1 V/m

1m

行な導線に同じ電流が流れるとき, 導線間に働く力が導線

1m

2 × 10

N (ニュートン)

1A

電場

E

q

F

F = qE

1.6021 × 10

N

1m

1V

× 10

N・m

1.6021 × 10

J

1eV

= 1.6021 × 10

J (1.8)

1s

13.6 eV

eV

物質と電磁場との相互作用が重要であると述べた. これについては電磁場 に関係した粒子である光子

(フォトン)

(周波数)

ν,

(角周波数)

を

ω（こちらを単に振動数,

λ

速を

c

E

E = hν = h

2π ω = h c

λ (1.9)

である. (1.9)式を使ってエネルギーを光の波長,温度

(K,

(図 1.2

1eV (エネルギー E) = 8.07 × 10

m

(波長 λ

= 1.16 × 10

K (温度 T ) = 2.42 × 10

cycle/s (振動数 ν ) (1.10)

1 cm

cm

ν

cycle/s

Hz (ヘルツ)

6

1

図

1.2:

原子の熱エネルギーはどのくらいであろうか. 今度はこれについて考えて みよう. 質量

m (kg)

v (m/s)

ギーは

mv

/2 (J)

の

3

k

T /2

m 2 v

= 3

2 k

T (1.11)

である.

k

k

= 1.3805 × 10

J K

である. すなわち温度

1

(または分子)1

10

J

1

1.4.

7 (O

32) 1

32g/(6.02252 × 10

) = 5.313 × 10

kg,

300K

v =

√ 3 × 1.3805 × 10

× 300

5.313 × 10

= 484, (1.12)

484m/s

いるから, 分子の拡散速度はこの値より遅いが大きさとしてはこのオーダー

である. 音速が

300m/s

固体中の電子あるいは原子に関係する現象に特徴的な時間のスケールを考え てみよう. 固体中の原子の振動の周期を考えるには原子に働く力の大きさの程 度について知っていなくてはならないが, それについてはこれから学ぶことで ある. しかし実際に原子の振動的運動は赤外線と相互作用することを考えれば およそ

10

∼ 10

s

(1

(ps) = 1.0 × 10

s).

∼ 10

s

(1

(f s) = 1.0 × 10

s).

1 fs

2.9979 × 10

m

6.5 × 10

m

1 fs

1/2

1.4 _{集団運動と協力現象}

これまで考えたのは,自由粒子の運動,気体分子の衝突がない場合の運動に ついてである. 実際には,固体は原子が平均距離

1.0 × 10

∼ 10

m

1

図

1.3:

8

1

eV

1

1

1

1

(図 1.3).

密波

(音波の伝播)

体中ではこのように, 原子数個あるいは分子数個の系には存在しない集団運 動の励起状態が存在する.

図

1.4: AB

もう一つ重要な概念は協力現象である. 強い粒子間相互作用の場合, 全系 が温度に依存してある種の秩序を形成することがある. ここに

A, B 2

AB

e

, e

, e

e

< e

, e

A,B

1

A,B

(図 1.4).

1

1.5 問 題

[1]

1.5.

9 [2]

1

[3]

300 K

[4]

11

第 2 _{章 物質の構造と結合}

2.1 原子の配列

固体を電気伝導に関する性質から見れば,絶縁体,半導体,金属に分類され る. 固体を作っている原子相互の結合の仕方によって, イオン結合, 共有結 合,金属結合,水素結合,ファンデルワールス（Van der Waals）結合などに分 けられる. 電気伝導に関する性質や結合のしくみは, その原子配置と複雑に からみあっている. たとえば半導体は硬くかつ結合に方向性があって原子間 の空隙が広い. これは一般に共有結合からくる構造の特徴である. 一方金属 は軟らかくまた稠密な構造をとる. これは金属結合の特徴である. シリコン

Si

Ge

2.1.1

固体を構造の対称性という点から分類すれば, 原子が周期的に配列してい

る結晶

(crystal),

(規則性)

(qua-

sicrystal),

(アモルファス)

図

2.1:

12

2

3

3

a

(i = 1, 2, 3)

(並進ベクトル)

t

= n

a

+ n

a

+ n

a

(n

= 0, ± 1, ± 2, · · · ) (2.1)

(lattice)

a

, a

, a

3

6

{ x

a

+ x

a

+ x

a

| 0 ≤ x

≤ 1 } (2.2)

(primitive cell)

(2.1)

1

2.1

基本単位格子を複数個組み合せて単位とすることもある.これを単位格子と いう. 単位格子はその中に

2

3

7

2.1

2.2

(P:格子点が隅にだけある),

格子

(C:底面と上面の中心にも格子点がある),

(F :すべての面の中心

にも格子点がある), 体心格子

(I:体心にも格子点がある)

14

(Bravais)

1

(unit cell)

3

1

90

180

120

(r → − r) , 1

(たとえば y − z

x → − x, y → y, z → z )

表

2.1: 7

14

晶系 ブラベー格子 基本ベクトルの長さと角度 立方 単純,面心,体心 a=b=c, α=β=γ= 90゜ 正方 単純,体心 a=b6=c, α=β=γ= 90゜ 直方 単純,底心,面心,体心 a6=b6=c, α=β=γ= 90゜ 六方 単純 a=b6=c, α=β= 90゜, γ= 120゜ 三方 単純 a=b=c, α=β=γ <120゜,6= 90゜ 単斜 単純,底心 a6=b6=c, α=β= 90゜6=γ

三斜 単純 a6=b6=c, α6=β6=γ

1周期的な模様は古代から多くの人を魅了し絵画や彫刻などに表されてきた. オランダのエッ シャー(M. C. Escher)は結晶の対称性を絵画のモチーフとしてたくさんの作品を生み出したこ とで知られている.

物質の原子配列およびそれの基底状態との関連について一言付け加えておこう. 並進対称性 がない構造は,必然的に長距離秩序がなく乱れた構造であると長い間信じられてきた.しかし実

2.1.

13

図

2.2:

回転対称性は,結晶格子の並進対称性と両立するものでなければならない. 2 次元格子を考えてみよう

(図 2.3).

P

2π/n

Q

Q

− 2π/n

P

際には非周期的な決定論的タイル貼りが存在し, たとえば平面を2種類の菱形で非周期的におお いつくすことのできるペンローズのタイル貼りがよく知られている. 1984年に発見された「準 結晶」と呼ばれる平衡相にある物質群はそのような並進周期性のない秩序構造であり, 5回回転 対称性, 8回回転対称性, 10回回転対称性,あるいは正20面体対称性(正20面体が持つ対称性 で, 5回軸, 3回軸, 2回軸がある. )という非結晶的回転対称性を持っている.

14

2

図

2.3:

P

Q

(n = 6)

P

Q

PQ

(n = 2, 3, 4)

2π/n

n = 1, 2, 3, 4, 6 (2.3)

だけであることが分かる. この回転対称性を

n

n

2.1.2

原子を単純な剛体球と仮定したときに全体積に原子剛体球が占める割合を 体積充填率（packing fraction）という. 前節の各格子に対する充填率は格 子の特徴を表している.

1

sc,

bcc,

fcc,

hcp

π/6 ' 0.52, π √

3/8 ' 0.68, π √ 2/6 ' 0.74, π √

2/6 ' 0.74

fcc, hcp

み上げ方に関しても共通している. 1種類の球を平面上に並べると球の中心 は

3

A

3

3

2

B

2

A

1

A

B

1

C

fcc

ABCABC · · ·

hcp

ABAB · · ·

(図

2.4).

2.2.

15

図

2.4: fcc (a)

hcp (b)

ABCABC · · ·

ABAB · · ·

2.2 結晶軸と結晶面

結晶格子は

3

a

(j = 1, 2, 3)

h, k, l

R

= ha

+ ka

+ la

(2.4)

と表される. 結晶格子の中での方向や面もこの基本ベクトルを用いて定義さ れる. 原点から格子点

R

[hkl]

また

R

, R

h : k : l = 1 m

: 1

m

: 1 m

である互いに素である整数の組

hkl

(hkl)

h, k, l

(Miller)

(421)

3

R

, R

, R

2.5

図

2.5:

16

2

2.3 結 合

結晶構造は原子, イオンの結合様式により決まっている. 以下に代表的な 結合を説明しよう. イオン同士の結合機構には以下に示すようないろいろな ものがある. 固体の構造は引力だけで決まるのではなく斥力と引力のつりあ いでイオン間の平衡位置が定まる. イオン間の力には原子核同士の静電的斥 力のほかに, 内殻電子同士の静電的な斥力,原子核と内殻電子の間の静電的 な引力も働いている.

2.3.1

食塩

NaCl

NaCl

Na

Cl

(図 2.6a). NaCl

fcc

Na

Cl

fcc

2

(000)a, (1/2, 0, 0)a

fcc

a

1

Cl

Cl

+1

− 1

CsCl, CsBr, CsI

NaCl

図

2.6:

(fcc), (b) CsCl

(sc).

2.3.

17 CsCl

(図 2.6b).

2.3.2

金属では,イオン芯の周りの外殻電子は比較的緩やかにイオン芯と相互作 用し系の中を自由に動き回ることができる. この電子がイオン間を動き回る ことで電子の波動関数が広がり,電子が近接原子にとび移ることで運動エネ ルギーを得し全体として結合に寄与する. したがって結合には方向性はなく また構造はイオンの稠密な充填が一般的である. 金属は軟らかくて展延性に 富むほか, 金属光沢や大きな電気伝導や熱伝導を示すことが特徴である. こ れらはすべて特定の原子に束縛されずに結晶中を動き回ることのできる金属 電子による.このような結合を金属結合という.

2.3.3

ゲルマニウム

(Ge),

(Si)

(炭素)

IV

4

4

ns

np

4

4

sp

4

(図 2.7a).

図

2.7:

共有結合は結合に方向性がありかつ硬い. そのため結晶格子も稠密ではな く空隙が多い. ダイヤモンド構造の剛体球の充填率は

π √

3/16 ' 0.34

GaAs

III-V

18

2

図

2.8:

C

H

(b) π

(a)

で, それぞれの元素が原子位置を交互に占めたものである. こちらは閃亜鉛

鉱

(ZnS)

共有結合で重要な例として炭素の

2

(C

H

)

2

2

1

sp

3

1

σ

2

2

2

(図 2.8a).

1

C

H

p

p

1

π

(図 2.8b). σ

π

2

C

H

C − C

H − C ≡ C − H

3

σ

1

π

2

2.3.4

常圧下での氷は水分子

H

O

H

O

H

O

H

O

H

O

2

2.3.

19

図

2.9:

(α

イオンの間にプロトン

(水素イオン)

2

(図 2.9a).

プロトン

H