物性物理学I_2.pptx

The University of Tokyo, Komaba

Graduate School of Arts and Sciences

物性物理学 I

深津 晋

講義内容

０．はじめに 1) 物性物理学Iで何を学ぶか ー周期構造中を伝わる振動・波動ー １．自由電子モデルの効用と限界 1) 古典論（粒子）にもとづくモデル（電気伝導、熱的性質など） 2) 量子論（波動）にもとづくモデル ２．物質の構造 1) 結晶の構造 ー周期性と並進対称性ー     単位胞、基本並進ベクトル、結晶格子の分類 2) 結晶構造の判定法     逆格子、波動（Ｘ線、電子線、中性子線）の回折 3) 点群と空間群 ３．周期ポテンシャル中の「波」としての電子 1) 分子から固体へ（禁制帯の発生と電子系の安定化） 2) Bloch電子 (Kronig-Penneyモデル、Blochの定理、バンド構造） 3) 物質の分類 （金属、半導体、絶縁体） ４．格子振動（フォノン） 1) 結合振動子モデルと周期性（Bloch電子との相似性） 2) 結晶の熱的性質 （比熱、熱伝導） 3) 結晶の力学的性質（弾性、熱膨張）

使用しない （適宜、参考資料を配布。 講義ノートの代用にはならない？） C. Kittel  (ISSP) 固体物理学入門 （丸善） H. Ibach, H. Lüth     固体物理学 （Springer） N.W.Ashcroft,  N.D.Mermin 固体物理の基礎 吉岡書店） アドバンスト １）C. Kittel  (QTS) 固体の量子論 （丸善）場の理論。一見、難解そう。 レベルの本 ２）J. Callaway Quantum Theory of the Solid States (Academic Press)

世界標準：中身を全部 知っていれば大したもの 世界標準： 解説が平易。 _{好みによる。内容は厳選。} 欧米標準： 内容は豊富。 実験家のセンスに富む。 教科書 参考書

形而下 の 複雑な物理系 である「物質」(固体)

を系統的に理解し、未知の性質の解明や特殊な性

質をもつ物質群の予測・設計を行うための方法論

０．はじめに

◎ 実験的検証が重要

◎ 現象論から第一（基本）原理まで

◎ 経験則も少なくない

基本ツール（原理・法則と整理された体系）

● 古典力学

● 電磁気学

● 熱力学・統計力学

● 

量子力学

０．はじめに

原子・分子から多体系としての凝縮系（固体）へ

れば、そのまま固体を理解したことになるか？   固体は原子・分子の集合。したがって原子を理解す  NO. 固体にあって原子・分子にはない性質がある。      原子の種類がきまれば、固体の性質はきまるか？   NO. 原子の並び方、結合の様式で大きく変わる。  原子の種類と並び方が同じなら固体の性質は同じ？ NO. 固体の外形、サイズで大きく変化する。 

www.almaden.ibm.com/vis/stm/imagesstm15.jpg&imgrefurl=http://www.almaden.ibm.com/vis/ 銅(111)面上の鉄原子の「量子珊瑚礁」 IBM Almaden（許可を得て掲載）

凝縮系（固体）

をデザインする

原子、分子 バルク固体 0.1 nm 10-100µm Microscopic Macroscopic 1nm-1µm 電子の 大きさ の指標 d! λ = 2π mv d! 量子構造、ナノ構造 （量子）サイズ効果 Mesoscopic de Broglie 波長 d!

メゾスコピック領域

（物性は「形」から）

メゾスコピック領域では波動性が顕在化（ナノテクノロジー）

www.periodictable.com/Posters/Poster3.back.2000.JPG

「与えられた物質」の性質を調べるのが物性物理？    

物質の

デザインは自然まかせ

なのか？    

現代の錬金術

“An;Alchemist's;Dream:;; Superatoms;Mimic;Elements” phys.org/news199634925.html

ー周期構造中を伝わる振動・波動ー

物質の理論における重要な決断

  電子が「粒子」であることを忘れる

古典論 「粒子」である電子の電磁力学

量子論 「波動」としての電子の量子力学

半量子論  量子統計(フェルミディラック分布)

にしたがう「粒子」としての電子

電子の波長と結晶のピッチが合致すると散乱の抑制 イオンは不動の散乱体（伝導を促進しない）

「粒子」

「波動」

1) 古典論（粒子）にもとづくモデル

１．自由電子モデルの効用と限界（金属電子論）

Drudeモデル     電子を粒子とみなした現象論 Sommerfeldモデル  量子統計だけを取り込んだ半量子論 基本的な仮定 1. 格子イオンの効果は電子の散乱レートに対してのみ 2. 電子同士は独立（電子間相互作用を無視） 3. 緩和時間近似 （衝突時の電子の配置に非依存） 結晶内の電子のモデル 自由電子モデル

1)

古典論（粒子）にもとづくモデル

−  2 2m∇ 2

ψ

k

(

x, y,z

)

= Ek

ψ

(

x, y,z

)

− 

2

2m

∇

2

+ V(r)

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

ψ

k

(



r )

= E

_k

ψ

_k

(

r )



V (

r



+ a) = V(r)

V (

r )



= 0

ψ

k

(



r )

= e

i  k⋅r

u

_k

(

r )



ψ

_k

(

r )



= e

i  k⋅r

◎ 電子の動力学（Drudeモデル）

u

= −

e

τ

m

E

∴

µ

=

e

τ

m

輸送係数

移動度 （mobility) 抵抗率 DC電気伝導率 ρ =σ−1_{ρ =} m ne2τ

緩和時間近似

Ohmの法則 運動方程式 緩和時間 τ :

m

u

= −eE − m

u

τ

緩和時間 移動度 1 τ = 1 τx x

∑

= 1 τL + 1 τi …

J

= −neu =

σ

0

E

σ

0

=

ne

2

τ

m

散乱レート 排他的 AC電気伝導率

−i

ω

mu(

ω

)

= −eE(

ω

)

− m

u(

ω

)

τ

u

= u

₀

e

−iωt を運動方程式に代入

∴ J(

ω

)

=

ne

2

m

1

1

τ

− i

ω

E(

ω

)

σ

(

ω

)

=

σ

0

1

τ

− i

ω

ω→0

⎯

⎯⎯

→

σ

₀

=

ne

2

τ

m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Maxwell方程式 の虚数部に比例

ε

(

ω

)

−∇

2

_E(

_ω

₎

₌

_µ

0

J +

ε

0

µ

0

E(



ω

)

(Fourier変換)

∇

2

_E(

_ω

₎

₌

_µ

0

σ

(

ω

)i

ω

+

ε

0

µ

0

ω

2

⎡

⎣

⎤

⎦ E(

ω

)

≡

ω

2

c

2

ε

(

ω

)E(

ω

)

ε

(

ω

)

= 1+ i

σ

(

ω

)

ε

₀

ω

Hall係数

m du dt = −e E + u × B

(

)

− m u

τ

ux = −eτ m Ex − eB m τuy = −µEx −ωcτuy uy = −eτ m Ey + eB m τux = −µEy +ωcτux uz = −eτ m Ez = −µEz ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ∴ u_x = −

µ

1+ (

ω

_c

τ

)2 (Ex −

ω

c

τ

Ey) u_y = −

µ

1+ (

ω

_c

τ

)2 (Ey +

ω

c

τE

x), uz = −

µE

z ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪

ホール効果の配置

3 w [m], t [m] l [m] x y z x +x I_x [A] I_x +z B [T( )] ! y +y I_y[A] xz (y = 0) xz y = w !y I_y I_y E_H [V/m] y = 0 y = w V_H [V] +x V_x [V] I_x B(= 0.190 T) +z y V_H n p ! e = ! 1.6 10!19C

x

y

l

t

w

z

_B

u

x

-eu

x

B

I

x

(J

x

)

_E

x

E

_H

伝導率テンソル

J

= −eNu =

σ

⋅ E

σ = Neµ 1+ (ω_cτ)2 1 −ω_cτ 0 ω_cτ 1 0 0 0 1+ (ω_cτ)2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Ohmの法則 Hall 電場 Ey =

σ

_xy

σ

_xx2 ₊

σ

xy 2 Jx = RHJxBz Hall 係数 Hall 角 Hall 電圧 Hall 移動度 R_H = JxBz E_y = − 1 Ne ⇔ + 1 Pe V_H = E_yw = R_HJ_x wt t Bz = RH I_xB_z t µ_H = R_H σ₀ = R_H Ne2τ m* → eτ m* =µ tanθ_H = Ey E_x = −ωcτ = −µBz VH t J_x E_x − − − − − − 電子 n型半導体 -; V_H t J_x E_x + + + + + + + 正孔 p型半導体 +;

○ 熱伝導の１次元モデル

左からの エネルギー流

J

x

=

1

2

nu

x

⎡⎣

ε

{

T x

(

− u

x

τ

)

}

−

ε

{

T x

(

+ u

x

τ

)

}

⎤⎦

右からの エネルギー流 正味の 熱流速

J

_x

= nu

_x2

τ

d

ε

dT

−

dT

dx

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

← n dε dT = cV

=

1

3

u

2

τ

c

_V

(

−∇T

)

∴

κ

=

1

3

u

2

τ

c

_V

=

1

3

c

V

ul

熱伝導率

○ Widemann-Franz 則 (電気・熱伝導比例則）

熱伝導率 実験値(室温） 電気伝導率

σ

=

ne

2

τ

m

κ

=

1

3

u

2

τ

_c

V

κ

σ

T

=

3

2

k

_B

e

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 1.1×10

−8

WΩ / K

2

← c

_V

=

3

2

nk

B Lorenz数

= 2.2 ×10

−8

_{WΩ / K}

2 Drudeの議論（誤り）

= 2.3×10

−8

_W

_{Ω / K}

2 量子論の100倍! 量子論の100倍! 古典論の電子比熱

○ 熱電効果

Seebeck効果

E

= Q∇T

電場ドリフトによる平均速度 量子論の100倍! 熱起電力

Q :

u

Q

=

1

2

⎡⎣

u x

(

− u

x

τ

)

− u x + u

(

x

τ

)

⎤⎦

= −u

x

τ

du

x

dx

= −

τ

d

dx

u

2x

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

== −

τ

d

dT

u

2

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

dT

dx

u

_E

= −

e

τ

m

E

← u

Q

+ u

E

= 0

Q

= −

1

3e

d

dT

mu

2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −

c

_V

3ne

← c

_V

=

3

2

nk

B

∴ Q = −

k

B

2e

= 0.4 ×10

−4

_V/K

古典論の電子比熱 (全電子が寄与）

2)量子論によるSommerfeldの自由電子モデル

正しくは、量子統計しか使わない半古典（量子）論

電子のしたがう統計分布 f E,T,

(

µ

)

= 1 exp E⎡⎣

(

−µ

)

k_BT⎤⎦ +1 Fermi-Dirac統計 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 8 6 4 2 0 Maxwell-Boltzmann統計（高温極限） f E, T

(

)

= exp −E k

[

_BT

]

化学ポテンシャル  の定義式 N = f E, T,

(

µ

)

−∞ ∞

∫

D E

( )

dE 状態密度 µ k_BT µ > 1 k_BT µ = 0 Fermi-Dirac 統計 Bose-Einstein 統計 同じ箱に入る確率0 同じ箱に入る確率1/3

BE統計にしたがう粒子  FD統計にしたがう粒子  1 _A 1 _B = a_A†a_B† 0 _A 0 _B 1 _A 1 _B 2 _A 0 _B + 0 _A 2 _B r = t = 1 2 r = t = 1 2

パティショニング（分割）による粒子の統計性

NPBS (50:50) NPBS (50:50) 時間 boson は群れたがる バンチング  bunching fermion は孤独を好む 1 _A 1 _B = a_A†a_B† 0 _A 0 _B

状態密度 (DOS)

− 2 2m∇ 2ψ k

(

x, y, z

)

= Ekψk

(

x, y, z

)

I. 電子状態(モード）の指定法

ψ

_k

(

0, y, z

)

=

ψ

_k

(

L, y, z

)

ψ

_k

(

x, 0, z

)

=

ψ

_k

(

x, L, z

)

ψ

_k

(

x, y, 0

)

=

ψ

_k

(

x, y, L

)

(1) 箱の中の自由粒子

k

_x

= π

L

n

x

sink

_x

L

= 0

E =  2 2m π L ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ _⎠ ⎟ 2 n_x2 + n_y2 + n_z2

(

)

固定端境界条件 エネルギー固有値 (2)周期(的)境界条件(P.B.C.)を満たす平面波 ψk

(

x, y, z

)

=ψk

(

x+ L, y, z

)

=ψk

(

x, y + L, z

)

=ψk

(

x, y, z+ L

)

Density-of-states Particle-in-a-box

k

_x

=

2

π

L

n

x

e

ikxL

= 1

n

x

= 0, ±1, ± 2, ...

(

)

E =  2 2m 2

π

L ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 n_x2 + n_y2 + n_z2

(

)

エネルギー固有値 絶対零度近似 単位エネルギー幅 あたりのモード数

N

=

∫

_−∞∞

f E,0,

(

µ

= E

_F

)

D E

( )

dE

=

∫

₀∞

D E

( )

dE

∴ D E

( )

= dN dE 状態密度 L 2

π

⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 変換因子 体積   あたりに１モード d3k d3k E(k) E + dE (2) 周期(的）境界条件を満たす平面波 ∴ D E

( )

= dN dE = L3 2π 2 2m 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ _⎠ ⎟ 3 2 E1 2 N = 2 × L 2π ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 dk_xdk_ydk_z k E( )F

∫∫∫

N = L3 3π2 k E

( )

F 3 = L3 3π 2 2m 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 2 E_F3 2 3次元 課題１  2,1,0次元の状態密度のエネルギー依存性を図示せよ． (1) 箱の中の自由粒子 N = 2 × 1 nx,ny,nz

∑

= 2 × 1 8 L π ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 dk_xdk_ydk_z 0,k E( )F ⎡⎣ ⎤⎦

∫∫∫

= 2 ×1 8 L π ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 3 4πk2 0 k E( )F

∫

dk スピン スピン

【派生的に得られる結果】

3次元 フェルミ波数

N

= 2 ×

L

2

π

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

4

3

π

k

F 3

k

F 3

= 3

π

N

L

3

k

F

= 3

π

2

n

( )

1 3

u

F

=

k

F

m

=

3

π

2

n

( )

1 3

m

フェルミ速度 E_F =  2 2mkF 2 _{= }2 2m

( )

3

π

n 2 3 フェルミエネルギー フェルミ温度

T

_F

=

E

F

k

_B

= 

2

2mk

_B

( )

3

π

n

2 3 すべて電子密度 (n) だけで決まる ≈ 1010 m−1 ≈ 106 ms−1 ≈ 5 −10 eV ≈ 104 K 状態密度の別表現 N = L3 3π2 2m 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ _⎠ ⎟ 3 2 E_F3 2 ∴ dN dE = 3 2 N E_F ln N = ln L3 3π2 2m 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ _⎠ ⎟ 3 2 + 3 2ln EF Fermi 1022 /cm2 1010 m-1 1010 _{m/s eV 10}4 _K Li 4.70 1.11 1.29 4.72 5.48 Na 2.65 0.92 1.07 3.23 3.75 K 1.40 0.75 0.86 2.12 2.46 Rb 1.15 0.70 0.81 1.85 2.15 Cs 0.91 0.64 0.75 1.58 1.83 Au 5.90 1.20 1.39 5.51 6.39 Ag 5.85 1.20 1.39 5.48 6.36 Cu 8.45 1.36 1.57 7.00 8.12 金属元素データ

一電子あたりのエネルギー 化学ポテンシャル

dU

=

µ

dN

D E

( )

_F

=

L

3

2

π

2

2m



2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 2

E

_F1 2

=

3N

2E

_F

∴ D E

( )

=

L

3

2

π

2

2m



2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 2

E

1 2

=

3N

2E

_F

E

E

_F 全エネルギー U = dE E D E

( )

0 E_F

∫

= 3N 2E3/2_F dE E 3 2 0 E_F

∫

= 3N 5 EF U N = 3 5EF

∴

µ

= E

_F 圧力

p

= − ∂

U

∂V

=

2

3

U

V

@T

= 0

 U ∝ E

_F

∝ k

_F2

∝ n

2/3

∝V

−2/3 f E,T,

(

µ

)

= 1 exp E⎡⎣

(

−µ

)

k_BT⎤⎦ +1

○ Fermi-Dirac分布関数の性質(1)

− df dE = 1 k_BT e(E−µ) kBT (e(E−µ) kBT+1)2 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 k_BT k_BT E µ E µ

○ Fermi-Dirac分布関数の性質(2)

I

=

−

df

dE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

G E

( )

dE

≈ G

( )

µ

0 ∞

∫

G E

( )

:

=

g

( )

E

′

d

E

′

0 E

∫

I

=

f (E)g E

( )

dE

0 ∞

∫

= f (E)G(E)

[

]

₀∞

+

−

df

dE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

G E

( )

dE

0 ∞

∫

公式1

公式2

ゆるやかに変化

−

df

dE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

dE

= 1

0 ∞

∫

公式3

= G(

µ

)

+

π

2

6

( )

k

B

T

2

d

2

G

dE

2 _µ

≈ ∑

−

df

dE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

G

( )

µ

+

1

2

(

E

−

µ

)

2

d

2

G

dE

2 _µ

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

dE

0 ∞

∫

I

=

g E

( )

dE

0 µ

∫

+

π

2

6

( )

k

B

T

2

dg

dE

_µ

公式4 G E

( )

= G

( )

µ

+ E −

(

µ

)

dG

dE

_µ

+

1

2

(

E

−

µ

)

2

d

2

G

dE

2 _µ

+

I

=

−

df

dE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

G E

( )

dE

0 ∞

∫

○ 化学ポテンシャルの温度依存性

n

=

dE f (E, T )D E

( )

0 ∞

∫

≅

dE D E

( )

0 ∞

∫

+

π

2

6

( )

k

B

T

2

dD(E)

dE

_µ

n

=

dE D E

( )

0 ∞

∫

@T

= 0

両辺の差をとれば

0

=

dE D E

( )

µ E_F

∫

)

−

π

2

6

( )

k

B

T

2

dD(E)

dE

_EF

0

= E

(

_F

−

µ

)

D E

( )

_F

−

π

2

6

( )

k

B

T

2

dD(E)

dE

_EF

∴

µ

= E

_F

−

π

2

6

( )

k

B

T

2

1

D E

( )

_F

dD(E)

dE

_EF

○ 電子比熱

C

_V

=

3

2

nk

B 古典論 (全電子Nが寄与) 量子論

U(T )

=

dE E f (E)D E

( )

0 ∞

∫

=

dE E D E

( )

0 ∞

∫

+

π

2

6

( )

k

B

T

2

d

dE

[

ED(E)

]

_µ

= U(0) +

π

2

6

( )

k

B

T

2

D(E

_F

)

[ ]

*

課題2  [*]が成立することを示せ．

C(T )

=

d

dT

π

2

6

( )

k

B

T

2

D(E

_F

)

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

N,V

=

π

2

3

k

2 B

D(E

F

) T

1 絶対温度に比例 2 Fermi面近傍のみが寄与 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

○ Seebeck効果

古典論 (全電子が寄与) 量子論 Fermi面近傍のみが寄与

Q

=

π

2

6

k

_B

e

k

_B

T

E

_F

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −1.4 ×

k

B

T

E

_F

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

×10

−4

[

_V/K

]

Q

= −

1

3e

d

dT

mu

2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −

c

V

3ne

古典論は量子論の100倍!

∴ Q = −

k

B

2e

= 0.4 ×10

−4

V/K

[

]

k_BT E_F ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≈10 −2

A. 自由電子（Drudeモデル）による輸送係数

１．自由電子モデルの効用と限界

ホール係数: Alでは因子3以内の差が発生. 縦磁気抵抗：磁場に垂直な磁気抵抗はBに非依存. 熱起電力場： 大きさは妥当．符合が説明不能. Wiedemann-Franz則：中温度域で破綻． DC電気伝導率の温度依存性：τに押し込むことに. DC電気伝導率の方向依存性：ある種の試料では方位に依存 AC電気伝導率：金、銅の反射スペクトル

−

1

ne

B. 自由電子（Drudeモデル）による熱的効果

１．自由電子モデルの効用と限界

比熱のT項：アルカリ金属のみ，貴金属、鉄、 マンガン、ビスマス、アンチモン 比熱のT3_{項： Sommerfled 近似では符合反転} 比熱のT項の理由なし． 金属の圧縮率：電子電子相互作用、電子格子相互 作用を無視しても殆どの金属で奇跡的に一致がよい ? 伝導帯の電子数を決める要因 ? 絶縁体の発生：Bは絶縁体、Alは良導体．