2 階の偏導関数と極値

第

3

2 _{階の偏導関数と極値}

3.1 2

3.1.1 2階の偏導関数

2変数の関数z=f(x, y)に対して，xとyに関する 偏導関数

∂f(x, y)

∂x =f_x(x, y) (3.1)

∂f(x, y)

∂y =fy(x, y) (3.2) は2変数の関数になります．

例3.1.1

(1) f(x, y) =x²−xy+y⁴のとき

fx(x, y) = 2x−y, fy(x, y) =−x+ 4y³ は2変数の関数．

(2) f(x, y) =x³yのとき

fx(x, y) = 3x²y, fy(x, y) =x³

f_y(x, y)はxだけの関数であるが，

fy(x, y) =x³+ 0×y

のようにみなして，yのみの変化に対して定数と なっている関数と考えればよい．

fx(x, y), fy(x, y)がxとyの関数なので，それぞれに ついてxに関する偏導関数とyに関する偏導関数を考 えることができる．

fx(x, y)にたいして，xに関する偏導関数を

fxx(x, y) (3.3)

または

∂²f(x, y)

∂x² = ∂

∂x

(∂f(x, y)

∂x )

(3.4)

とかく．

f_x(x, y)にたいして，yに関する偏導関数を

fxy(x, y) (3.5)

または

∂²f(x, y)

∂y∂x = ∂

∂y

(∂f(x, y)

∂x )

(3.6) とかく．

f_y(x, y)にたいして，xに関する偏導関数を

fyx(x, y) (3.7)

または

∂²f(x, y)

∂x∂y = ∂

∂x

(∂f(x, y)

∂y )

(3.8) とかく．

fy(x, y)にたいして，yに関する偏導関数を

fyy(x, y) (3.9)

または

∂²f(x, y)

∂y² = ∂

∂y

(∂f(x, y)

∂y )

(3.10) とかく．

fxx(x, y), fxy(x, y), fyx(x, y), fyy(x, y)をf(x, y)の 2階の偏導関数という．

例3.1.2

(1) f(x, y) =x²−xy+y⁴のとき

f_x(x, y) = 2x−y, f_y(x, y) =−x+ 4y³ である．fx(x, y)のxとyについての偏導関数を もとめて

fxx(x, y) = 2, fxy(x, y) =−1

f_y(x, y)のxとyについての偏導関数をもとめて fyx(x, y) =−1, fyy(x, y) = 12y² (2) f(x, y) =x³yのとき

f_x(x, y) = 3x²y, f_y(x, y) =x³

fx(x, y)のxとyについての偏導関数をもとめて f_xx(x, y) = 6xy, f_xy(x, y) = 3x² f_y(x, y)のxとyについての偏導関数をもとめて

fyx(x, y) = 3x², fyy(x, y) = 0

fxy(x, y)は最初にxで偏微分し，それからyで偏微 分したものであり，fyx(x, y)は最初にyで偏微分し，そ れからxで偏微分したものであるので，定義上は異なる ものである．しかし一般には（普通に思いつく関数に対 しては），このふたつは一致する．これはヤングの定理 として知られています．

定理3.1.1 (ヤングの定理)

点(x0, y0)の近くで，f(x, y)が連続で，fx(x, y), fy(x, y) が存在し連続であるとする．fxy(x, y)とfyx(x, y)が存 在し，少なくともいずれか一方が(x0, y0)で連続であ れば

fxy(x0, y0) =fyx(x0, y0) が成り立つ．

例3.1.2 では，fxy(x, y) = fyx(x, y)が成り立って いる．

3.1.2 高階の偏導関数

2階の偏導関数

f_xx(x, y), f_xy(x, y)f_yx(x, y), f_yy(x, y)

に対して，xについての偏導関数，y についての偏導 関数を求めることもできる．その結果えられる関数は

f(x, y)の3回の偏導関数である．このとき通常考えれ

る関数に対して

fxxy(x, y) =fxyx(x, y) =fyxx(x, y)

などとなる．つまり，偏微分する順序は問題でなく，x とyに関して何回ずつ偏微分したのかだけを考慮すれば よい．そのようなとき，f(x, y)を，xについてr回，y について(n−r)回偏微分した結果を

∂ⁿf(x, y)

∂x^r∂y^n−r (r= 0,1,2, . . . , n) とかいて，f(x, y)のn階の偏導関数という．

例3.1.3 (計算練習)

f(x, y) =x⁵y²+ 2x⁴y−x³y⁴とする．

∂f(x, y)

∂x = 5x⁴y²+ 8x³y−3x²y⁴

∂f(x, y)

∂y = 2x⁵y+ 2x⁴−4x³y³

∂²f(x, y)

∂x² = 20x³y²+ 24x²y−6xy⁴

∂²f(x, y)

∂y∂x = 10x⁴y+ 8x³−12x²y³

∂²f(x, y)

∂x∂y = 10x⁴y+ 8x³−12x²y³

∂²f(x, y)

∂y² = 2x⁵−12x³y²

∂³f(x, y)

∂y∂y∂x = 10x⁴−36x²y²

∂²f(x, y)

∂y∂x∂y = 10x⁴−36x²y²

∂²f(x, y)

∂x∂y² = 10x⁴−36x²y² だから，

fxyy(x, y) =fyxy(x, y) =fxyy(x, y)

であり，偏微分の順序によらず，xで1回，yで2回微 分したということだけに依存して結果が同じになって いる．

3.2

3.2.1 極大と極小

極値は局所的な最大値，最小値のことであった．局所 的な最大値を極大値，局所的な最小値を極小値といっ て，両方をまとめて極値とよんだ．

1変数関数f(x)について極値を判定する条件は必要 条件と十分条件があった．

定理3.2.1 (1変数関数の極値の必要条件と十分条件)

(1) 1変数関数f(x)がx=x₀で極値をとるならば f^′(x0) = 0

である．これは必要条件です．

(2) 1変数関数f(x)はx=x₀で

f^′(x0) = 0かつf^′′(x0)>0 ならば，x=x0で極小値をとる．

f^′(x₀) = 0かつf^′′(x₀)<0 ならば，x=x0で極大値をとる．

これは十分条件です．

2変数関数の場合の極値は以下のように約束されま す．

定義3.2.1 (極大値と極小値)

2変数の関数f(x, y)について，(x₀, y₀)とその十分近く の(x, y)̸= (x0, y0)に対して

(1) f(x0, y0)> f(x, y)となるとき，f は(x0, y0)で 極大値をとるという．

(2) f(x0, y0)< f(x, y)となるとき，f は(x0, y0)で 極小値をとるという．

(x0, y0)とその十分近くの(x, y)に対して

(1) f(x₀, y₀)≥f(x, y)となるとき，f は(x₀, y₀)で 広義の極大値をとるという．

(2) f(x₀, y₀)≤f(x, y)となるとき，f は(x₀, y₀)で 広義の極小値をとるという．¥

極大値と極小値をあわせて極値という．

3.2.2 パラメーター表示による直線

tの関数，x(t), y(t)を

x=x(t) =x₀+ht  (3.11)

y=y(t) =y0+kt (3.12)

ただしh̸= 0またはk̸= 0

とする．

P(t) = (x(t), y(t)) と お く と ，P(t) は 平 面 上 の (x₀, y₀)をとおる直線になる．

実際t= 0のとき(x₀, y₀) P(0) = (x0, y0) であるから，かならず(x₀, y₀)をとおる．

h̸= 0, k̸= 0ならば，(3.11)と(3.12)から，tを消去 すれば

y=y₀+k

h(x−x₀) (3.13)

となり，(x₀, y₀)をとおる傾きk/hの直線の式がえら れる．

h= 0, k̸= 0のときはxはx₀で一定なのでy軸に平 行な直線になり，h̸= 0, k= 0のときはyはy₀で一定 なのでx軸に平行な直線になる．

以上のことからhとkを適切に定めれば，(x0, y0)を とおるすべての直線が(3.11)と(3.12)によって表され ることがわかる．

3.2.3 2変数関数が極値をとる必要条件

2変数関数z=f(x, y)について

x=x(t) =x0+ht  (3.14)

y=y(t) =y₀+kt (3.15)

ただしh̸= 0またはk̸= 0

として，合成関数z(t)

z(t) =f(x(t), y(t)) (3.16) を考える．

変数tは0を含む範囲を動くとする．このとき z(0) =f(x(0), y(0)) =f(x₀, y₀) (3.17) である．

2変数関数f(x, y)が(x₀, y₀)で極大値をとるならば，

十分小さなtに対して

f(x₀, y₀)> f(x₀+ht, y₀+kt)

極小値をとるならば

f(x0, y0)< f(x0+ht, y0+kt)

が任意のh, kに対して成り立つ．

z(0) =f(x₀, y₀)

z(t) =f(x0+ht, y0+kt)

であるから

z(0)> z(t)

あるいは

z(0)< z(t)

である．このことはtの関数z(t)がt = 0で極値をと ることを意味する．よって

z^′(0) = 0

である．ここで合成関数の微分から

z^′(t) =fx(x(t), y(t))x^′(t)+fy(x(t), y(t))y^′(t). (3.18) x^′(t) =h, y^′(t) =kであるから

z^′(t) =fx(x(t), y(t))h+fy(x(t), y(t))k (3.19) t= 0とおくと，x(0) =x0, y(0) =y0より

z^′(0) =f_x(x₀, y₀)h+f_y(x₀, y₀)k (3.20) をえる．

2変数関数 f(x, y)が(x0, y0)で極値をとるならば，

z^′(0) = 0であったから，任意のh, kに対して

z^′(0) =fx(x0, y0)h+fy(x0, y0)k= 0 (3.21) とが成り立つ．とくにh̸= 0, k= 0およびh= 0, k̸= 0とすれば

f_x(x₀, y₀) = 0, f_y(x₀, y₀) = 0 (3.22) がえられる．

以上のことから次のことがわかる．

定理3.2.2 (2変数関数が極値をとるための必要条件)

2変数関数f(x, y)が(x₀, y₀)で極値をとるならば fx(x0, y0) = 0, fy(x0, y0) = 0 (3.23) である．

例題3.2.1

(1) f(x, y) =x²+ 2y²とする．

fx(x, y) = 2x= 0

f_y(x, y) = 4y= 0. (3.24) (3.24)から，(x, y) = (0,0)．

(x, y) = (0,0)で極値をとる可能性がある．

(2) f(x, y) = 2x²−y²とする．

f_x(x, y) = 4x= 0

f_y(x, y) =−2y= 0. (3.25) (3.25)から，(x, y) = (0,0)．

(x, y) = (0,0)で極値をとる可能性がある．

(3) f(x, y) =x²+ 2xy+ 2y²+ 2x−2yとする．

f_x(x, y) = 2x+ 2y+ 2 = 0

fy(x, y) = 2x+ 4y−2 = 0. (3.26) (3.26)から，(x, y) = (−3,2)．

(x, y) = (−3,2)で極値をとる可能性がある．

(4) f(x, y) =x³+y³−12x−3yとする．

fx(x, y) = 3x²−12 = 0

fy(x, y) = 3y²−3 = 0. (3.27) (3.27)から，

(x, y) = (−2,−1),(−2,1),(2,−1),(2,1)． (x, y) = (−2,−1),(−2,1),(2,−1),(2,1)で極値 をとる可能性がある．

3.2.4 極値をとるための十分条件

2変数関数z=f(x, y)について

x=x(t) =x₀+ht  (3.28)

y=y(t) =y0+kt (3.29)

ただしh̸= 0またはk̸= 0

|h|<1,|k|<1 (3.30)

として，合成関数z(t)

z(t) =f(x(t), y(t)) (3.31)

を考える．

まず，z(t)がどのようなh, kをとっても，t= 0で極 値をとっていれば，f(x, y)が(x0, y0)で極値をとるこ とを説明する．

いま任意のh, kに対して，z(t)がt = 0で極大値を とるとする．このときt= 0の十分近くのすべてのt（ϵ を十分小さくとって，−ϵ < t < ϵとする）について

z(0)> z(t)

である．

z(0) =f(x0, y0)

z(t) =f(x0+ht, y0+kt)

よって

f(x0, y0)> f(x0+ht, y0+kt) (3.32) いま，f(x, y)が(x0, y0 で極大値をとらないとすると, δx, δyを十分小さくとっても

f(x0, y0)≥f(x0+δx, y0+δy) (3.33)

となる．

(3.32)において，ht = δx，kt = δy となるように，

h, k, tを決めると，これは3.33と矛盾する．

よってz(t)がt = 0で極大値をとるときf(x, y)が (x₀, y₀)で極大値をとっている．z(t)がt= 0で極小値 であるときも同じように考えることができる．

以上のことからz(t)がt= 0で極値をとる十分条件 がわかれば，それがf(x, y)が(x0, y0)で極値をとる十 分条件になる．極大値をとる十分条件を考える．z(t)は 1変数の関数なので十分条件は

z^′(0) = 0 (3.34)

z^′′(0)<0 (3.35)

である．

(3.34)については必要条件のところで

z^′(0) = 0⇔fx(x0, y0) =fy(x0, y0) = 0

がわかっている．

(3.35)のz^′′(0)<0となる条件をもとめる．そのため にはまずz^′′(t)を計算しなければならない．

z^′(t) =f_x(x(t), y(t))h+f_y(x(t), y(t))k (3.36) で あ っ た ．こ れ を t で 微 分 し な け れ ば な ら な い ．h と k は 定 数 で t と 無 関 係 な の で ，fx(x(t), y(t)) と fy(x(t), y(t))のtに関する微分をおこなう．

z^′′(t) = d(fx(x(t), y(t)))

dt h+d(fy(x(t), y(t)))

dt k

(3.37) fx(x(t), y(t))をtで微分すると，合成関数の公式をも ちいて

d(f_x(x(t), y(t))) dt

=fxx(x(t), y(t))x^′(t) +fxy(x(t), y(t))y^′(t)

=fxx(x(t), y(t))h+fxy(x(t), y(t))k  (3.38)

となる．

fy(x(t), y(t))をtで微分すると，合成関数の公式をも ちいて

d(f_y(x(t), y(t))) dt

=fyx(x(t), y(t))x^′(t) +fyy(x(t), y(t))y^′(t)

=fyx(x(t), y(t))h+fxy(x(t), y(t))k  (3.39) となる．

(3.38)と(3.39)を(3.37)に代入すると z^′′(t) =fxx(x(t), y(t))h²+fxy(x(t), y(t))kh

+fyx(x(t), y(t))hk+fxy(x(t), y(t))k²  (3.40) 一般にfxy(x, y) =fyx(x, y)が成り立つとすれば

z^′′(t) =fxx(x(t), y(t))h²+ 2fxy(x(t), y(t))hk +fxy(x(t), y(t))k²  (3.41) (3.41)の方で考える．t= 0とすれば

z^′′(0) =f_xx(x₀, y₀)h²+ 2f_xy(x₀, y₀)hk

+f_yy(x₀, y₀)k²  (3.42) (3.42)の右辺は

a=fxx(x0, y0) b=fxy(x0, y0)

c=f_yy(x₀, y₀) (3.43) とおくと

ah²+ 2bhk+ck² となる．a̸= 0として

ah²+ 2bhk+ck²

=a (

h+bk a

)2

+ (

c−b² a

) k²

とできる．このことから

a <0 かつ c−b² a <0 つまり

a <0 かつ ac−b²>0 であれば，任意のh, kにたいして

z^′′(0) =ah²+ 2bhk+ck²<0 a= 0であれば，任意のh, kにたいして

z^′′(0) = 2bhk+ck²<0

とはできない．

a, b, cは(3.43)のように決めていたので f_xx(x₀, y₀)<0

f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀)− {f_xy(x₀, y₀)}²>0 のとき，z^′′(0)<0がわかった．

以上から

定理3.2.3 (極大値をとる十分条件) 関数f(x, y)は(x0, y0)において

f_x(x₀, y₀) =f_y(x₀, y₀) = 0 f_xx(x₀, y₀)<0

fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)− {fxy(x0, y0)}²>0 となるとき，(x0, y0)で極大値をとる．

極小値をとる十分条件については，z^′′(0)>0となる ことを考慮して，同じように考える．

fxx(x0, y0)>0

f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀)− {f_xy(x₀, y₀)}²>0

のとき，z^′′(0)>0となるから

定理3.2.4 (極小値をとる十分条件)

関数f(x, y)は(x0, y0)において fx(x0, y0) =fy(x0, y0) = 0 f_xx(x₀, y₀)>0

f_xx(x₀, y₀)f_yy(x₀, y₀)− {f_xy(x₀, y₀)}²>0 となるとき，(x0, y0)で極小値をとる．

極大値と極小値の十分条件では，fxx(x0, y0)の符号が 異なるだけであることに注意する必要がある．

例題3.2.2 (例題3.2.1の続き)

(1) f(x, y) =x²+ 2y²とする．(x, y) = (0,0)で極 値をとる可能性があった．

f_x(0,0) =f_y(x, y) = 0．

f_xx(x, y) = 2, f_xy(x, y) = 0 fyx(x, y) = 0, fyy(x, y) = 4 なので

f_xx(0,0) = 2, f_xy(0,0) = 0 fyx(0,0) = 0, fyy(0,0) = 4

f_xx(0,0)>0

fxx(0,0)fyy(0,0)− {fxy(0,0)}²= 8>0 なので，(0,0) で極小値f(0,0) = 0をとる(図 3.1）．

(2) f(x, y) = 2x²−y²とする．(x, y) = (0,0)で極値 をとる可能性があった．fx(0,0) =fy(x, y) = 0．

f_xx(x, y) = 4, f_xy(x, y) = 0 fyx(x, y) = 0, fyy(x, y) =−2

-2 -1

0 1

2 x

-2 -1

0 1 y 2

0 5 10

-2 -1

0 x 1 -2

-1 0

1 y 2

図3.1 例題3.2.2(1)

なので

fxx(0,0) = 4, fxy(0,0) = 0 fyx(0,0) = 0, fyy(0,0) =−2

fxx(0,0)>0

fxx(0,0)fyy(0,0)− {fxy(0,0)}²=−8<0

なので，(0,0)では極値をとらない(図3.2）．

-2 -1

0 1

2 x

-2 -1

0 1 y 2

0 5

-2 -1

0 x 1 -2

-1 0

1 y 2

図3.2 例題3.2.2(2)

(3) f(x, y) = x² + 2xy + 2y² + 2x−2y とする．

(x, y) = (−3,2) で極値をとる可能性があった．

fx(−3,2) =fy(−3,2) = 0．

f_xx(x, y) = 2, f_xy(x, y) = 2 fyx(x, y) = 2, fyy(x, y) = 4

なので

f_xx(−3,2) = 2, f_xy(−3,2) = 2 fyx(−3,2) = 2, fyy(−3,2) = 4

fxx(0,0)>0

fxx(0,0)fyy(0,0)− {fxy(0,0)}²= 4>0 なので，(−3,2)では極小値f(−3,2) =−5をと る(図3.3）．

-5 -4 -3 -2 -1 0 x

1 2 3 54

y

0 10 20 30 40 -5 -4 -3 -2 -1 0

図3.3 例題3.2.2(3)

(4) f(x, y) = x³+y³−12x−3yとする．(x, y) = (−2,−1),(−2,1),(2,−1),(2,1)で極値をとる可 能性があった．

f_x(−2,−1) =f_y(−2,−1) = 0 fx(−2,1) =fy(−2,1) = 0 fx(2,−1) =fy(2,−1) = 0 f_x(2,1) =f_y(2,1) = 0

fxx(x, y) = 6x, fxy(x, y) = 0 fyx(x, y) = 0, fyy(x, y) = 6y D(x, y) =fxx(x, y)fyy(x, y)− {fxy(x, y)}² とおくと

D(x, y) =f_xx(x, y)f_yy(x, y)− {f_xy(x, y)}²

= 6x×6y− {0}²

= 36xy (3.44)

(x, y) = (−2,−1)で

f_xx(−2,−1) =−12 D(−2,−1) = 72

し た が っ て ，(x, y) = (−2,−1) で 極 大 値 f(−2,−1) = 18をとる．

(x, y) = (−2,1)で

f_xx(−2,1) =−12 D(−2,1) =−72

したがって，(x, y) = (−2,1) では極値をとら ない．

(x, y) = (2,−1)で

fxx(2,−1) = 12 D(2,−1) =−72

したがって，(x, y) = (2,−1) では極値をとら ない．

(x, y) = (2,1)で

fxx(2,1) = 12 D(2,1) = 72

したがって，(x, y) = (2,1)で

極小値f(2,1) =−18をとる．図3.4を参照．

-4 -2

0 2

4 x

-4 -2

0 2 y 4

-50 0 50

-4 -2

0 x 2 -4

-2 0

2 y 4

図3.4 例題3.2.2(4)