九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository
使える！統計検定・機械学習 : II : 3群以上の場合
の有意差検定
高木, 英行
九州大学大学院芸術工学研究院
http://hdl.handle.net/2324/1467639
出版情報：システム/制御/情報 : システム制御情報学会誌. 58 (10), pp.432-438, 2014-10. システム
制御情報学会
バージョン：
権利関係：
1.
はじめに
「使える！統計検定」講座は，統計検定の数学的側面 の解説ではなく，ユーザとしての利用ノウハウを説明す るシリーズで，読者が「どのような場合に，どの検定手 法を，どのように使えばよいのか」を理解して実際に使 えるようになっていただくことを目的としている．残念 なことに，実験結果のグラフを見て「視覚的に」差があ りそうだというだけで，自分の提案手法が有効であると 主張する発表がいまだにあるのが現状である．この状況 下，統計検定ユーザとしての筆者の利用ノウハウを書く だけでも多少はお役に立つであろうと考えたことが本解 説をお引き受けした背景である． 本解説の対象者は，「統計検定をしなくちゃならないの で，小難しいことはどうでもいいから，すぐ使えるよう にちょちょっと教えてほしい．高価な商用の統計解析ソ フトは持っていないし，フリーでも統計解析用プログラ ミング言語Rをインストールしたり覚えたりするのは面 倒だ．Excelなら少しは使える」，という読者を想定し ている． 連載第1回目の解説[1]では第1 図の左半分の2群の 場合を扱った．第2回目の本解説では図の右半分，すな わち，三つ以上のデータグループ（標本，群）の各平均 値の差が統計的な意味を持った差なのか，それとも，誤 差の範疇なのかを判定する検定手法について説明する．k 個のパターン認識手法や最適探索手法やニューラルネッ ト学習手法などの性能比較をし，他手法に比較して有意 に優れた手法がありうるかどうかを判定するような場合 がその応用事例である．なお，本連載の内容のスライド はダウンロード可能である[2]．2.
検定手法選定のための 3 条件
本連載のハイライトである「どの検定手法をどのよう に選ぶか」の解答が第1 表の3点をチェックすることで ある．この結果，第1図の23通りの場合分けができ，読 者が選択すべき統計検定手法が確定する． 連載第2回目の本解説では，三つ以上の手法の平均性 能値の間に有意な性能差があるかどうかを判定する場合 を扱うので，第1表の第1判定条件はもちろん3群以上 ∗ 九州大学大学院 芸術工学研究院Key Words: statistical tests, analysis of variance, ANOVA, Kruskal-Wallis test，Friedman test，multiple comparison.
第1図 本連載講座で扱う平均値間の差を検定する手法一覧 第1表 検定手法選択のための三つの判定条件 (1) 比較対象数が2群か3群以上か？ (2) 各群のデータが正規分布をしているか否か？ (3) 各群のデータに対応関係があるか否か？ である． 第2の判定条件は，各群のデータが正規分布をしてい ると見なせるかどうかである．第 2 図は三つの進化計 算手法の探索性能を複数の試行の平均収束曲線で比較す る例で，第g世代で3手法間に有意な性能差があるかど うかを示すには，第g世代での3手法の性能値データが おのおの正規分布をしているかどうかを検定（正規性の 検定）することから始める．講座連載第1回目で紹介し たように，正規性の検定手法にはいろいろあり，フリー のExcel用のアドイン1もあるので，この正規性検定を 行い，すべてのデータグループのデータが正規分布をし ていると判断できれば3.の分散分析を適用する2．そう でなければ4.のKruskal-Wallis検定かFriedman検定 を選択する． 第3の判定条件は，群間にデータの対応関係があるか どうかである．たとえば，日本人，米国人，北欧人の身 長データの場合は，同じ人のデータではないので対応 関係がないといえる．食前，食中，食後の血糖値を調べ 1たとえば，執筆時現在，http://www.vector.co.jp/に フリーの正規性検定ツールがある． 23.1で述べるが，Excelの分散分析には正規性だけで なく等分散性も要求される．
高木：使える！統計検定・機械学習— II 433 第2図 第g世代で性能差に有意な差があるかどうかを調べ たい収束曲線の例 第3図 Excel2013で用意されているデータ分析ツール たデータでは，同じ人の食前，食中，食後の血糖値がわ かっているので，対応関係があるといえる．データに対 応関係がある場合の方が，情報量が多いため有意差の検 出力が高い．本連載第1回目の解説[1]で述べたように， 実験計画の段階でデータに対応関係をもたせるようにす れば，提案手法の優位性を統計的に示すことができるか もしれない．
3.
データに正規性がある場合
3.1
データに対応関係がない場合： 一元配置の分散分析 Excelメニューで「データ」→「データ分析」1を選択 すると，3種類の分散分析が見つかる（第 3図）．デー タが正規分布をしておりデータに群間の対応関係がない 場合は「分散分析：一元配置」を選択する． 第 4図左のように，データグループ2間のデータに対 応関係がない場合の要素はデータグループだけで，同図 右のように対応関係がある場合はデータグループとデー タの二つの要素がある，と考えて，前者をsingle factor （一元配置），後者をtwo-factor（二元配置）とよぶ．3.1 と3.2のようにデータグループ間のデータに対応関係が 1初めて利用する場合は，Excelの「ファイル」「オプ ション」「アドイン」から「分析ツール」を有効にする こと． 2統計の分野では「群」「標本」の用語が使われるが， 第2表(b),(c)のように，Excelの分散分析表出力で は「列」と表現される． 第4図 一元配置（要素が一つ）と二元配置（要素が二つ） あるかないかの違いが，一元配置か二元配置の違いにな る．第 2 図の例でいえば，第n世代での収束性能値を 第5図(a)のように集めて検定する場合，要因は比較す るアルゴリズムだけなので一元配置である． つぎに3 群以上の場合の等分散性検定手法である Bartlettの検定3をしてすべてのデータグループの分散が 等しいといえるかどうかを調べる．講座連載第1回目で は，F検定を用いて正規分布するデータの等分散性を調 べ，分散が等しい場合のt-検定，または，等しくない場 合のWelchのt-検定を選んだ[1]．分散分析でも同様に等 分散性がある場合の分散分析と成り立たない場合の分散 分析（Welchの分散分析）がある．最近の統計解析パッ ケージやR言語には両者が用意されているが，Excelの 分析ツールにはWelchの分散分析が用意されていない （第3 図）ので，正規性はあるが等分散性が成り立たな い場合は，Excelを諦めてWelchの分散分析の入った統 計パッケージを持っている人にお願いをしよう． Excel分析ツールから「分散分析：一元配置」を実行 すると，第2表(a)のような分散分析表が得られる4．こ の中のp値が0.05あるいは0.01以下であれば，危険率 5%あるいは1%でデータグループの平均間のどこかに有 意な差があると結論付ける．「どこか」では困る，という 検定ユーザは5.の多重比較を行う．3.2
データに対応関係がある場合： 二元配置の分散分析 データが正規分布をしておりデータに対応関係があ る場合は二元配置の分散分析を選択する．前節同様， Bartlettの検定で等分散性が成り立たない場合はExcel での二元配置分散分析を諦めて4.2のFriedman検定を 選択するか，Welchの分散分析の入った統計パッケージ を持っている人にお願いをしよう． 二元配置には「繰り返しのない二元配置」と「繰り返 しのある二元配置」がある．第5図(b)のように同じ初 3執 筆 現 在 ，http://www.vector.co.jp/に フ リ ー の Bartlett検定ツールがある． 4第2表は分散分析表の形式を示すためにダミーデータ で作成したものである．第5図 分散分析のためのデータ形式．(a)一元配置．比較 するアルゴリズムだけが要素．(b)繰り返しのない 二元配置．比較するアルゴリズムと初期探索点が要 素．(c)繰り返しのある二元配置．比較するアルゴ リズムとベンチマーク関数が要素で，各関数でいろ いろな初期探索点からの収束性能値を調べる．(d) 繰り返しのない三元配置． 期探索点同士でアルゴリズムを比較する場合，初期探索 点が第2の要素に加わる．同じ条件で比較するという情 報量が増えたぶん第5 図(a)の一元配置よりも有意差の 検定力が上がる．しかし，繰り返しのない二元配置では， あるアルゴリズムのある初期探索点でのデータが一つし かないため，二つの要素について解析しようにも，平均 値も分散も計算できない．初期探索点の代わりにベンチ マーク関数を第2の要素としても同じことである．二つ の要因間の交互作用がないと仮定できる場合にのみ正規 性の検定や等分散性の検定などができるが，交互作用の 有無についての検定もできないので，得られた分散分析 結果も近似と割り切ったほうが無難である．これらのこ とから，各条件で複数のデータをとって繰り返しのある 二元配置分散分析を行うことが望ましい． 列 30.5005 2 15.2503 3.67503 0.04052 3.40283 誤差 99.5928 24 4.14970 合計 218.963 38 (c)「分散分析：繰り返しのある二元配置」 変動要因 変動 自由度 分散 観測された P-値 F境界値 分散比 標本 26.8750 5 5.3750 1.21172 0.36121 3.10588 列 16.6667 1 16.6667 3.75728 0.07646 4.74723 交互作用 17.2483 5 3.44967 0.77768 0.58429 3.10588 繰り返し 53.2300 12 4.43583 誤差 合計 114.020 23 第5 図(c)は，アルゴリズムとベンチマーク関数の2 要素に対して，ベンチマーク関数で複数の初期探索点で 性能評価した場合で，繰り返しのある二元配置という． 上述の繰り返しのない二元配置の問題が解決できる．ま た，第 2表(c)のように交互作用も検定できるので，た とえば，ある特性のベンチマーク関数には強いが別の特 性の関数には弱いようなアルゴリズムが含まれるかどう かの情報が得られる．さらに情報量を増やして第5 図 (d)のデータ配列にすると，アルゴリズム，ベンチマー ク関数，初期探索点という三つの要素を解析する三元配 置になる． Excelでは第3 図の2種類の二元配置分散分析（「分 散分析：繰り返しのない二元配置」と「分散分析：繰り 返しのある二元配置」）が用意されており，これらを選 択して実行すると，第 2 表(b)(c)のような分散分析表 が得られる1．データグループの各平均値間に有意な差 があるかどうかを判定するには，分散分析表に複数ある p値の中から「列」のp値に注目し，0.05あるいは0.01 以下かどうかで有意差判定をする． 3.1で述べたように，この分散分析でデータグループ 間に有意な差があることがわかっても，「どこか」に有意 な差があること以上はわからない．「どこに」有意な差が あるかを知るには5.の多重比較をする必要がある． 1第2表(c)の中で「標本」とあるのは，データグルー プ（群）ではなくおのおののデータサンプルを意味し ている．統計分野では標本＝群とすることが多いので， このExcel表現は紛らわしい．
高木：使える！統計検定・機械学習— II 435
4.
データに正規性がない場合
4.1
データに対応関係がない場合：Kruskal-Wallis
検定 講座連載第1回目の2群間の有意差検定[1]と同様， データが正規分布しているとはいえない場合はノンパラ メトリックな検定方法を選択する．ノンパラメトリック 検定方法はデータ値の大小の順位関係を利用して有意に 偏っているかどうかを判定する． データに対応関係がない場合は，第1表から Kruskal-Wallis検定を選択する．検定手順は以下のとおりである． (step 1) 全データに順位（rank）を付ける1． (step 2) 4種類の数値（N , k, ni, Ri）を求める. (step 3) 検定のためのH値を計算する． H = 12 N (N + 1) k ∑ i=1 R2 i ni −3(N +1) (1) (step 4) Hを付録第A1表のKruskal-Wallis検定表に 照らし合わせて有意差判定を行う．データ規模が大 きくて付録第A1表が使えない場合は，Hが自由度 k− 1のχ2に従うものとしてχ2検定表で有意差判 定を行う． データ数が6個，5個，6個から成る三つのデータグ ループ（群数＝3）の第6 図の例を使って検定方法を見 てみよう． （step 1）まず図のように全データに第1位～第17位ま での順位を付ける． （step 2）つぎに4種類の数値を求める．データ総数 N = 17個，グループ数k = 3，各データ数(n1,n2,n3) = (6,5,6)個，順位の累積数(R1,R2,R3) = (38,69,46)，を 求める． （step 3）これらの数値を(1)式に代入すると H = 12 N (N + 1) k ∑ i=1 R2 i ni −3(N +1) = 12 17(17 + 1) (382 6 + 692 5 + 462 6 ) −3(17+1) = 6.609 （step 4）H = 6.609を付録第A1表と比較する．表の (n2,n1,n3) = (5,6,6)の危険率5%と1%のH の有意 点（H = 5.765およびH = 8.124）と比較する．すると， 第7図のような関係がある．この図の斜線部分は，全体 面積のうちの1%を占める領域であり，H = 6.609はこ のわずかな領域に入るような危険率で有意な差があると はいえないが，危険率5%の領域（有意点の右側の領域） には入っているので，少なくとも危険率5%では三つの データグループ間のどこかに有意な差があるといえる． 1Excelにはデータ値から順位を求めるRANK()関数が 用意されている．順位は昇べき順でも降べき順でもよ い．同順位には平均順位を割り振る． 第6図 Kruskal-Wallis検定の例題．計算にはまず，N：全 データ個数，k：データグループ数（群数），ni：第 i番目のデータグループのデータ数，Ri：第i番目 のデータグループの各データに割り振られた順位の 総和，を求める． 第7図 H = 6.609を危険率5%と1%の有意点と比較する． 「どこに」有意な差があるかを調べるには5.の多重比較 を行う． データ総数N が17を超えたり，四つ以上のデータ グループ間の比較をする場合は，付録第A1表が使え ない．この場合は，Hが自由度k− 1のχ2分布に従う ものとして，統計の教科書などにあるχ2検定表で有意 差判定を行う．ExcelにはCHISQ.INV.RT（確率，自 由度）関数が用意されているので，χ2分布での危険率 1%と5%の有意水準をCHISQ.INV.RT(0.01, k− 1)と CHISQ.INV.RT(0.05, k− 1)から求め，Hをこれらと 比較した方が簡単であろう．4.2
データに対応関係がある場合：Friedman
検定 データグループ間のデータに対応関係がある場合は， 第1表からFriedman検定を選択する．この検定方法は， 対応するデータ間の順位を求め，データグループごとの 順位に偏りがないかを調べる．検定手順は以下のとおり である． (step 1) データグループ間の対応のあるデータの間で 順位（rank）を付ける． (step 2) 3種類の数値（データグループ数（群数）k， 各グループのデータ数（群サイズ）n，第i番目の データグループの順位の合計Ri）を求める. (step 3) 検定のためのχ2 r値を計算する．第4表 第3表を変換した性能の順位表 評価 手法 問題 a b c d A 4 2 1 3 B 3 2 1 4 C 4 1 2 3 評価問題数 D 4 1 3 2 (n = 4) 合計順位 15 6 7 12 � �� � 手法（a,b,c,d）の数(k = 4) 第8図 第3 表を図的化し，対応する4データ内で第1位 から第4位の順位を付けたもの χ2r= 12 nk(k + 1) k ∑ i=1 R2i−3n(k +1) (2) (step 4) χ2 rを付録第A2表のFriedman検定表に照ら し合わせて有意差判定を行う．群数や総データ数が 多い場合は，χ2 rが自由度k− 1のχ2分布に従うも のとしてχ2検定表で有意差判定を行う． Friedman検定の演習をしてみよう．第3 表は4種類 の手法（a,b,c,d）を評価問題（A,B,C,D）に適用し，4 種類の手法の間に有意な性能差があるかどうかを検定す る例である． (step 1)同じ評価問題で4手法（a,b,c,d）の性能競争が できるので（すなわち，データに対応関係があるので）， 第8図のように評価問題ごとに性能順位を求め，順位表 （第4 表）に書き直す． (step 2)この順位表から3種類の数値を求めると，k = 4 グループ，n = 4データ，(R1,R2,R3,R4) =(15, 6, 7, 12)． 8.1 <危険率1%の有意点(9.6)」なので，危険率1%で有 意な差があるとはいえないが，危険率5%で四つのデータ グループの間のどこかに有意な差があるといえる．デー タグループ数がk = 5以上の場合は，4.1で述べたよう にχ2検定表かExcelのCHISQ.INV.RT()関数を使って 有意差判定を行う． 「どこに」有意な差があるかを調べ るには次節の多重比較を行う．
5.
多重比較
本解説で紹介したすべての検定方法で，有意差があり と判定された場合は多群間のどこかに有意な差がある， という表現をした．これは，「多群間に有意な差はない」 という帰無仮説が否定されても「どこに」有意な差があ ることを示すことにはならないためである．しかし現実 問題として，自分の提案手法が従来法よりも優れている ことを実験的に示したいがために統計検定をする読者に とって，「どこかに有意差がある」といわれても困る． 連載第1回目の解説[1]で2群の平均値の差の検定方 法を学んだのだから，それぞれの平均値間にこの検定法 を適用すれば「どこに」有意な差があるのかが簡単にわ かるではないか，との声が聞こえてきそうである．しか し，単純に2群の検定手法を複数回適用して3群以上の 場合の検定の代用としてはいけない．m回適用して1回 でも有意差を検出したら本解説の3群以上の場合の検定 方法1回で有意差検出をしたことに相当するので，この 場合の信頼水準は（2群の差の検定の信頼水準）mになっ てしまう．たとえば，三つの平均値間に危険率5%の t-検定を3回適用すれば，危険率14%（= 1−(1−0.05)3） の分散分析をしたことに相当するので，甘い検定をして いることになる1． では，2群の判定を厳しくして複数回適用し，全体と してちょうどよい有意水準になるようにすればよいので はないか，という考えが生まれよう．これが多重比較で ある． これまで多くの多重比較法が提案されており，どの手 法を使うべきか迷ってしまう．まずは全体像が見えるよ うに，すべての群間の対比較（データグループのすべて 1有意というべきでない状況を有意と判断してしまう誤 りを第1種の過り（または偽陽性，α過誤）という．そ の逆に有意というべき状況を有意ではないという誤り を第2種の過り（または偽陰性，β過誤）という．高木：使える！統計検定・機械学習— II 437 第5表 文献[4]の表1.3の一部を抜き出し加筆した多重比 較法．*は等分散性／非等分散性にかかわらず適用 可能な手法で，そのほかは等分散性データへの適用 手法．◎○□△の記号は有意差の検出力の高い順を 示す． 比較1：すべての群間の対比較への適用， 比較2：対照群との対比較への適用， 分布1：データが正規分布している場合への適用， 分布2：データが正規分布以外の分布をしている場 合への適用． 手法 比較 1 比較 2 分布 1 分布 2 Tukey-Kramer法 □ ○ Dunnett法 □ ○ Sheff´e法 △ △ ○ Steel-Dwass法 □ ○ Steel法 □ ○ Bonferroni法∗ △ △ ○ ○ Holm法∗ □ □ ○ ○ Shaffer法∗ ○ ○ ○ Holland-Copenhaver法 ○ ○ ○ Tukey-Welsch法 ○ ○ ○ Peritz法 ◎ ○ ○ Dunnettの ◎ ○ ○ 逐次既客型検定法 の二つの平均値間の差の検定）をする場合の代表的な多 重比較法と，対照群との対比較（一つのデータグループ とその他すべてのデータグループとの平均値間の差の検 定）をする代表的な多重比較法を第5表に示す．文献[5] にも同様に多重比較法の選択フローチャートがある． 第 5 表を眺めると，Bonferroni法とその改良版であ るHolm法が使えるようになれば，オールマイティに利 用できそうである．ほかの手法を使いたい場合は，統計 パッケージに各検定方法に合った多重比較法がセットに されていることが多いので，その中から使えばよい．フ リーのソフト1もある． Bonferroni法の計算は非常に簡単なので統計ソフトを 探す必要はない．データグループ（群）数をkとしよう． 連載第1回目[1]の2群の検定手法を適用する回数（す べての群間対比較ならkC2回，対照群との対比較なら k−1回）で有意水準を割って検定を厳しく補正するだけ である（逆にp値にこの回数を掛けても同じこと）．た とえば，4群の検定を行うために6回の2群の検定手法 を適用して6個のp値を求めた場合は，これらのp値を 0.05/6および0.01/6と比較することで，危険率5%およ び1%で有意差があるかどうかを検定する．Bonferroni の補正は簡単であるが，検定結果が厳しくなる傾向に ある． Holmの方法はBonferroni法のこの点を改良したもの で，Excelや電卓で簡単に計算できる．データグループ 1たとえば，執筆時現在，http://www.vector.co.jp/に フリーの多重検定ツールがある． 第6表 4群にHolm法を適用した例 2群間 p値 補正p値式 補正p値 群1–群2 0.0076 =p値*6 0.0456 群2–群4 0.0095 =p値*5 0.0475 群2–群3 0.0280 =p値*4 0.1120 群1–群3 0.0320 =p値*3 0.0960 群3–群4 0.0380 =p値*2 0.0760 群1–群4 0.0410 =p値*1 0.0410 （群）数をk，2群用の検定を適用する回数をrとしよう． (step 1) データグループ（群）のすべての群間に， 第 1 図の2群の検定手法を適用しp値を求める． 適用する検定手法は連載第1回目[1]を参照のこと． (step 2) 得られたp値を昇べき順に並べ替える． (step 3) iを並べ替えた順とすると，補正p値= p値 ×(r +1−i)を求める． (step 4) 並び替えた順に補正p値が危険率5%，また は，1%で有意差判定を行う．有意水準を超えた段 階で判定をやめ，それ以降の群間には有意差なしと する． k = 4群の場合の適用例を示す．(step 2)の状態が 第 6 表の第1列，第2列であるとしよう．第3列が， r =kC2= 6とする(step 3)の 計算式で，第4列がその 結果である．危険率5%の場合，（群1–群2）と（群2–群 4）のみが有意差ありと判断する．（群1–群4）の補正p 値は0.05未満であるが，(step 4)にしたがって補正p値 上位第2位までのみを有意な差と判断する．
6.
おわりに
講座連載第2回目の本解説は，3群以上の場合の平均 値間に有意な差があるかどうかを検定する手法の選択方 法と使い方について説明した．連載第1回目と第2回目 をご覧いただければ，まずはどの検定手法を使えばよい かの判断がつき，具体的に計算ができると思う．講座連 載第3回目は，主観評価実験によく使われる検定手法に ついて解説する予定である． 謝 辞 本解説は数理統計学がご専門の永田靖教授（早稲田大 学創造理工学部）に監修をいただいた．御礼申し上げる． また九大大学院芸術工学研究院の大草孝介助教には資料 提供とコメントをいただいた．御礼申し上げる． (2014年6月2日受付) 参 考 文 献 [1] 高木: 使える！統計検定・機械学習— I —2群間の有 意差検定; システム／制御／情報, Vol. 58, No. 8, pp. 345–351 (2014) [2] http://www.design.kyushu-u.ac.jp/˜takagi/ TAKAGI/downloadablefileJ.htmlの有意点．n1, n2, n3 は群数3の場合のデータ個 数（[3]のデータをもとに本表を作成）． データ数 危険率 データ数 危険率 n1 n2 n3 5% 1% n1 n2 n3 5% 1% 2 2 2 – – 3 3 3 5.606 7.2 2 2 3 4.714 – 3 3 4 5.791 6.746 2 2 4 5.333 – 3 3 5 6.649 7.079 2 2 5 5.16 6.533 3 3 6 5.615 7.41 2 2 6 5.346 6.655 3 3 7 5.62 7.228 2 2 7 5.143 7 3 3 8 5.617 7.35 2 2 8 5.356 6.664 3 3 9 5.589 7.422 2 2 9 5.26 6.897 3 3 10 5.588 7.372 2 2 10 5.12 6.537 3 3 11 5.583 7.418 2 2 11 5.164 6.766 3 4 4 5.599 7.144 2 2 12 5.173 6.761 3 4 5 5.656 7.445 2 2 13 5.199 6.792 3 4 6 5.61 7.5 2 3 3 5.361 - 3 4 7 5.623 7.55 2 3 4 5.444 6.444 3 4 8 5.623 7.585 2 3 5 5.251 6.909 3 4 9 5.652 7.614 2 3 6 5.349 6.97 3 4 10 5.661 7.617 2 3 7 5.357 6.839 3 5 5 5.706 7.578 2 3 8 5.316 7.022 3 5 6 5.602 7.591 2 3 9 5.34 7.006 3 5 7 5.607 7.697 2 3 10 5.362 7.042 3 5 8 5.614 7.706 2 3 11 5.374 7.094 3 5 9 5.67 7.733 2 3 12 5.35 7.134 3 6 6 5.625 7.725 2 4 4 5.455 7.036 3 6 7 5.689 7.756 2 4 5 5.273 7.205 3 6 8 5.678 7.796 2 4 6 5.34 7.34 3 7 7 5.688 7.81 2 4 7 5.376 7.321 4 4 4 5.692 7.654 2 4 8 5.393 7.35 4 4 5 5.657 7.76 2 4 9 5.4 7.364 4 4 6 6.681 7.795 2 4 10 5.345 7.357 4 4 7 5.65 7.814 2 4 11 5.365 7.396 4 4 8 5.779 7.853 2 5 5 5.339 7.339 4 4 9 5.704 7.91 2 5 6 5.339 7.376 4 5 5 5.666 7.823 2 5 7 5.393 7.45 4 5 6 5.661 7.936 2 5 8 5.415 7.44 4 5 7 5.733 7.931 2 5 9 5.396 7.447 4 5 8 5.718 7.992 2 5 10 5.42 7.514 4 6 6 5.724 8 2 6 6 5.41 7.467 4 6 7 5.706 8.039 2 6 7 5.357 7.491 5 5 5 5.78 8 2 6 8 5.404 7.522 5 5 6 5.729 8.028 2 6 9 5.392 7.566 5 5 7 5.708 8.108 2 7 7 5.398 7.491 5 6 6 5.765 8.124 2 7 8 5.403 7.571 8 6.25 9.0 9 6.22 9.56 ∞ 5.99 9.21 3 7.4 9.0 4 4 7.8 9.6 5 7.8 9.96 ∞ 7.81 11.34 著 者 略 歴 たか 高 木ぎ ひで英 ゆき行 1956年7月生. 1981年九州芸術工科大 学修士課程修了．1981～1995年松下電器 産業（株），1991～1993年UC Berkeley 客員研究員，1995年九州芸術工科大学助 教授，2003年統合により九州大学助教授， 現在九州大学教授．人間要素を取り込む計 算知能等の研究に従事．博士（工学）．信学会篠原記念学術奨 励賞(1989)，知能情報ファジィ学会論文賞(2003)，最優秀論
文賞(KES’97, IIZUKA’98, ICOIN-15, ICGEC’12)，功労
賞(スロバキア人工知能学会2002，IEEE SMC学会2003)， IEEE SMC学会 Best Associate Editor賞 (2005)，2009 IEEE Most Active SMC Technical Committee賞(2010)，
各受賞．日本ファジィ学会理事・監事 (1999–2003)，IEEE SMC学会Vice-President (2006–2009)，進化計算学会理事 (2010–2012)，IEEE SMC学会日本支部長(2014–2015)．
