Hopf 写像の全射性について

早稲田大学　教育・総合科学学術院　学術研究（自然科学編）第 61 号　47 〜 56 ページ，2013 年 2 月 47

Hopf 写像の全射性について

岡　本　亮　彦　　

　 1　Introduction

 ^{写像の全射性について}

岡本亮彦

 

自然数m, n^に対して m^次元球面S^mとn^次元球面S^{nの間の写像}F S^m −→Sⁿ を考察する ^{球面の間の写像は} を満たす双線型写像によって組織的に 構成できる ^{双線型写像}f ^r×^s−→^nが

|fx, y||x||y|, x∈^r, y∈^s

を満たすときf^は双線型写像であると言う ^{双線型写像}f^に対して 

写像と呼ばれる球面間の写像HS^rs−−→S^nが

Hx, y  |x|^− |y|^,fx, y, x∈^r, y∈^s,|x|^|y|^ .

によって定義される ^{双線型写像}f^は実数体^上のr, s, n^{合成則を用いて構成} できる ^{一般に不定元}x,  xr, y  ysに対して

x^_  x^_ry_^  y^_s z_^  z_n^

なるxiとyjの^{双線型形式}zkが存在するとき^実数体^上でr, s, n^{合成則を持つ}

という ^上でr, s, n^{合成則を持つ事と} 双線型写像が存在する事は同値であ

る ^自然数r, s, n^に対して^上でr, s, n合成則を持つか否かという問題は ^年 に^{により提起された} の問題及びその周辺の話題については 例えば本^や論文^等を参照 ^は論文

において^上でn, n, n合成則を持つ必要十分条件はn  ,,,^{である事を示し} ている ^また ^と^は独立に^上でr, n, n合成則を持つ必要十分条件 は^関数ρn^を用いてr≤ρnと記述される事が示された 

^関数ρn^は^球面S^{n−上の非特異}次独立ベクトル場の個数の最大値である 事が知られている ^{このように}r, s, n^{合成則の存在問題は} ^{次形式論だけでなく位} 相幾何学の問題とも密接に関連する

また^自然数m, n^{に対して球面}S^mとSⁿの間の定数でない多項式写像S^m −→Sⁿ がいつ存在するか？という問題は^{らによって研究された}^{この周辺の話題} については^例えば本^や論文^を参照^{特に自然数}m≥n^に おいて定数でない^{次の多項式写像}S^m −→Sⁿは常に全射になるか？という問題が ある  ^参照 ^はm ,^m,^m^{合成則から生じる}^写像



 ^{写像の全射性について}

岡本亮彦

 

自然数m, n^に対してm^次元球面S^mとn^次元球面S^{nの間の写像}F S^m −→Sⁿ を考察する ^{球面の間の写像は} を満たす双線型写像によって組織的に 構成できる ^{双線型写像}f ^r×^s−→^nが

|fx, y||x||y|, x∈^r, y∈^s

を満たすときf^は双線型写像であると言う ^{双線型写像}f^に対して 

写像と呼ばれる球面間の写像HS^rs−−→S^nが

Hx, y  |x|^− |y|^,fx, y, x∈^r, y∈^s,|x|^|y|^ .

によって定義される ^{双線型写像}f^は実数体^上のr, s, n^{合成則を用いて構成} できる ^{一般に不定元}x,  xr, y  ysに対して

x^_  x^_ry_^  y_s^ z_^  z_n^

なるxiとyjの^{双線型形式}zkが存在するとき^実数体^上でr, s, n^{合成則を持つ} という ^上でr, s, n^{合成則を持つ事と} 双線型写像が存在する事は同値であ る ^自然数r, s, n^に対して^上でr, s, n合成則を持つか否かという問題は ^年 に^{により提起された} の問題及びその周辺の話題については 例えば本^や論文^等を参照 ^は論文

において^上でn, n, n合成則を持つ必要十分条件はn  ,,,^{である事を示し} ている ^また ^と^は独立に^上でr, n, n合成則を持つ必要十分条件 は^関数ρn^を用いてr≤ρnと記述される事が示された 

^関数ρn^は^球面S^{n−上の非特異}次独立ベクトル場の個数の最大値である 事が知られている ^{このように}r, s, n^{合成則の存在問題は} ^{次形式論だけでなく位} 相幾何学の問題とも密接に関連する

また^自然数m, n^{に対して球面}S^mとSⁿの間の定数でない多項式写像S^m −→Sⁿ がいつ存在するか？という問題は^{らによって研究された}^{この周辺の話題} については^例えば本^や論文^を参照^{特に自然数}m≥n^に おいて定数でない^{次の多項式写像}S^m −→ Sⁿは常に全射になるか？という問題が ある  ^参照 ^はm ,^m,^m^{合成則から生じる}^写像



 ^{写像の全射性について}

岡本亮彦

 

自然数m, n^に対して m^次元球面S^mとn^次元球面S^{nの間の写像}F S^m −→Sⁿ を考察する ^{球面の間の写像は} を満たす双線型写像によって組織的に 構成できる ^{双線型写像}f ^r×^s−→^nが

|fx, y||x||y|, x∈^r, y∈^s

を満たすときf^は双線型写像であると言う ^{双線型写像}f^に対して 

写像と呼ばれる球面間の写像H S^rs− −→S^nが

Hx, y  |x|^− |y|^,fx, y, x∈^r, y∈^s,|x|^|y|^ .

によって定義される ^{双線型写像}f^は実数体^上のr, s, n^{合成則を用いて構成} できる ^{一般に不定元}x,  xr, y  ysに対して

x^_  x^_ry^_  y_s^ z^_  z^_n

なるxiとyjの^{双線型形式}zkが存在するとき^実数体^上でr, s, n^{合成則を持つ} という ^上でr, s, n^{合成則を持つ事と} 双線型写像が存在する事は同値であ る ^自然数r, s, n^に対して^上でr, s, n合成則を持つか否かという問題は ^年 に^{により提起された} の問題及びその周辺の話題については 例えば本^や論文^等を参照 ^は論文

において^上でn, n, n合成則を持つ必要十分条件はn  ,,,^{である事を示し} ている ^また ^と^は独立に^上でr, n, n合成則を持つ必要十分条件 は^関数ρn^を用いてr≤ρnと記述される事が示された 

^関数ρn^は^球面S^{n−上の非特異}次独立ベクトル場の個数の最大値である 事が知られている ^{このように}r, s, n^{合成則の存在問題は} ^{次形式論だけでなく位} 相幾何学の問題とも密接に関連する

また^自然数m, n^{に対して球面}S^mとSⁿの間の定数でない多項式写像S^m −→Sⁿ がいつ存在するか？という問題は^{らによって研究された}^{この周辺の話題} については^例えば本^や論文^を参照^{特に自然数}m≥n^に おいて定数でない^{次の多項式写像}S^m −→Sⁿは常に全射になるか？という問題が ある  ^参照 ^はm ,^m,^m^{合成則から生じる}^写像



 ^{写像の全射性について}

岡本亮彦

 

自然数m, n^に対して m^次元球面S^mとn^次元球面S^{nの間の写像}F S^m −→Sⁿ を考察する ^{球面の間の写像は} を満たす双線型写像によって組織的に 構成できる ^{双線型写像}f ^r×^s−→^nが

|fx, y||x||y|, x∈^r, y∈^s

を満たすときf^は双線型写像であると言う ^{双線型写像}f^に対して 

写像と呼ばれる球面間の写像HS^rs−−→S^nが

Hx, y  |x|^− |y|^,fx, y, x∈^r, y∈^s,|x|^|y|^ .

によって定義される ^{双線型写像}f^は実数体^上のr, s, n^{合成則を用いて構成} できる ^{一般に不定元}x,  xr, y  ysに対して

x^_  x^_ry_^  y^_s z_^  z_n^

なるxiとyjの^{双線型形式}zkが存在するとき^実数体^上でr, s, n^{合成則を持つ} という ^上でr, s, n^{合成則を持つ事と} 双線型写像が存在する事は同値であ る ^自然数r, s, n^に対して^上でr, s, n合成則を持つか否かという問題は ^年 に^{により提起された} の問題及びその周辺の話題については 例えば本^や論文^等を参照 ^は論文

において^上でn, n, n合成則を持つ必要十分条件はn  ,,,^{である事を示し} ている ^また ^と^は独立に^上でr, n, n合成則を持つ必要十分条件 は^関数ρn^を用いてr≤ρnと記述される事が示された 

^関数ρn^は^球面S^{n−上の非特異}次独立ベクトル場の個数の最大値である 事が知られている ^{このように}r, s, n^{合成則の存在問題は} ^{次形式論だけでなく位} 相幾何学の問題とも密接に関連する

また^自然数m, n^{に対して球面}S^mとSⁿの間の定数でない多項式写像S^m −→Sⁿ がいつ存在するか？という問題は^{らによって研究された}^{この周辺の話題} については^例えば本^や論文^を参照^{特に自然数}m≥n^に おいて定数でない^{次の多項式写像}S^m −→Sⁿは常に全射になるか？という問題が ある  ^参照 ^はm ,^m,^m^{合成則から生じる}^写像



Hopf 写像の全射性について （岡本）

48

HS^m −→S^{に対して}m≥^{ならば実数体}^{及び有理数体}^{上で全射である事} を示した^本稿では^{の考察した}^とは別の^写像H S^rs− −→Sⁿ 及びその定義域を制限した写像に対し^実数体^{や有理数体}^{における全射性を考察} する本稿における主結果は以下である

定理 n^{を奇数とし}k^をk≥^{なる自然数とする}^{このとき定数でない}^次写像 FS^nk −→S^{nは全射ではない}^またF^は^的には^になる

定理 n^{を自然数とする}

^上でm  ,,^に対してm,n,n^{合成則を持つとする}^{このとき対応す} る^写像H  S^{nm−} −→ S^nは定数写像でないならば全射である^また H S^n−→S^nは^{上でも全射となる}

^上でm  ,,^に対してm,n ,n ^{合成則を持つとする} ^このと

き^写像H S^{nm}−→ S^nは定数写像でないならば全射である^また

H S^n−→S^{nは}^{上でも全射となる}

^上でm,ⁿ,ⁿ^{合成則を持つとする}^{このとき対応する}^写像H S^{m−}−→

S^は定数写像でないならば全射である^またm≥^ならば^{上でも全射となる} 定理 V  {x, x, x, y, y, y ∈ ^ ×^ | xy xy xy  }^とお く ,,^{合成則に対応する}^写像H S^ −→S^{に対して}H^のV ^{への制限を} H^′H |^S∩V とする^このとき^′^でH^′S^∩V −→S^{は全射となる}

主定理の証明は^{節において行う}^{準備として}^節ではr, s, n^合成則と^写像 の復習をし^{幾つかの例を調べる} 節では球面の間の多項式写像^特に^{次写像の性} 質について復習する^また写像の全射性の応用として ^節で^型の不 定方程式の一般解について考察する

  ^合成則と  ^写像

この節では^上のr, s, n^{合成則に付随する}双線型写像とその性質について 復習する^{参考文献は}

定義 ^{双線型写像}f ^r×^s−→^nに対し

|fx, y||x||y|, x∈^r, y∈^s^{を満たす時}f^は^{双線型写像であると} いう^ここで|x|^は^{距離を表す}

fx, y   ⇒x ^またはy ^{を満たす時}fは非特異双線型写像であると いう

定義よりf^が双線型写像ならば非特異双線型写像である事が直ちに分かる 非特異双線型写像が存在するための必要条件として^次の^{条件がある} ^自 然数r, s, n^に対してn−r < k < s^{を満たす任意の整数}k^{で二項係数}_n

k

が偶数の時

r, s, n^は^{条件を満たすと言う}

 2　[r,s,n] 合成則と Hopf 写像

F^とF^の任意の f^は^である

F^はある^{双線型写像}f^の ^と^である

 ^証明は^の   ^を参照

命題 F S^m−→S^{nを定数でない}^{次写像とする} ^このときk≤ρm −k

を満たす   f  ^k ×^m−k −→ ^{nが存在する}^ここでρ^は

^{関数である}

 ^証明は^の ^を参照

  写像の全射性

定理.^{の証明を行う}

 F ^{を全射と仮定する} ^このとき^{の定理より} S^{nの正則値}q^{でその逆像}

F^−q ^がS^nkのk次元部分多様体となっているものが存在する ^実際F^−q^は

^nkのk ^{次元部分空間}Wqを用いてF^−q  Wq∩S^{nkと書ける} ^この正則 値q^{に付随する}  ^はf  ^k×ⁿ −→ ^{n と書ける} ^{このとき命題}

.^より k ≤ρn^を満たす  ^{が存在する}^仮定よりn^は奇数 なのでρn  ^となる ^よってk  ^{となるがこれは仮定の}k ≥ ^に反する ^し たがってF^{は全射ではない} ^またF^は^群πnkSⁿ^{の元を定めるが} ^もし

F ∈πnkSⁿ^{であると仮定すると}Fは全射となってしまうのでF  ^すなわ ち^{群の元として}^である

次に定理.^{の証明を行う}

 まず定理の仮定にある合成則の^{条件を計算しておく}

補題 n^{を自然数とする}^このとき

m ,, ⇒m◦n n

m ,, ⇒m◦n   n 

m≤ρⁿ ⇒m◦ⁿ ⁿ

 n^{における帰納法で示す} n ^のときはm◦  ^{は成立する} n^のとき成 立すると仮定すると^命題.^の^よりm◦n  m◦n   m◦n   

n   n ^よりn ^{のときも成立する} ^{も同様である} ^はn≤^のと きにはm◦ⁿ ^{nは直接示せる} n≥^{に対しては}m≤ρⁿ≤^{n−に注意して命} 題.^の^を用いる^するとm◦ⁿ m◦^n− ^n−  m◦^n−  ^{n−を得る} 最後の式は帰納法よりm◦^n−  ^{n−となるので結局}m◦ⁿ  ^n− ^n− ⁿ を得る



命題 ^{定数でない}^次写像FS^m −→S^{nについて次が成立する}

F^とF^の任意の f^は^である

F^はある^{双線型写像}f^の ^と^である

 ^証明は^の   ^を参照

命題 F S^m−→S^{nを定数でない}^{次写像とする} ^このときk≤ρm −k

を満たす   f  ^k ×^m−k −→ ^{n が存在する}^ここでρ^は

^{関数である}

 ^証明は^の ^を参照

  ^{写像の全射性}

定理.^{の証明を行う}

 F^{を全射と仮定する} ^このとき^{の定理より} S^{nの正則値}q^{でその逆像}

F^−q ^がS^{nk の}k次元部分多様体となっているものが存在する ^実際F^−q^は

^nkのk ^{次元部分空間}Wqを用いてF^−q  Wq∩S^{nkと書ける} ^この正則 値q^{に付随する}  ^はf  ^k×ⁿ −→ ^{n と書ける} ^{このとき命題}

.^より k  ≤ρn^を満たす  ^{が存在する}^仮定よりn^は奇数 なのでρn  ^となる ^よってk  ^{となるがこれは仮定の}k ≥ ^に反する ^し たがってF^{は全射ではない} ^またF ^は^群πnkSⁿ^{の元を定めるが} ^もし

F ∈πnkSⁿ^{であると仮定すると}Fは全射となってしまうのでF  ^すなわ ち^{群の元として}^である

次に定理.^{の証明を行う}

 まず定理の仮定にある合成則の^{条件を計算しておく}

補題 n^{を自然数とする}^このとき

m ,, ⇒m◦n n

m ,, ⇒m◦n   n 

m≤ρⁿ ⇒m◦ⁿ  ⁿ

 n^{における帰納法で示す} n ^のときはm◦  ^{は成立する} n^のとき成 立すると仮定すると^命題.^の^よりm◦n  m◦n   m◦n   

n   n ^よりn ^{のときも成立する} ^{も同様である} ^はn≤^のと きにはm◦ⁿ ^{nは直接示せる} n≥^{に対しては}m≤ρⁿ≤^{n−に注意して命} 題.^の^を用いる^するとm◦ⁿm◦^n− ^n−  m◦^n−  ^{n−を得る} 最後の式は帰納法よりm◦^n−  ^{n−となるので結局}m◦ⁿ ^n− ^n−  ⁿ を得る



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