加速器の基礎概念
田耕治
2002
年
7
月
10
日改訂
http:/acc-physics.kek.jp/soken/CORECURRICULUM.html
目次
1 加速器科学の黎明 2 2 静電場加速の問題点 4 3 高周波加速の始まり 5 4 相対論的高エネルギーへの加速：位相安定性原理の発見 7 5 初期のビーム収束技術：弱収束方式 8 6 強収束原理の発見 10 7 強収束シンクロトロンにおけるビーム軌道 11 8 衝突型リング 14 9 電子リングの特異性（シンクロトロン放射） 16 10線型加速器 17 11高電界 29 12クライストロン 31 13これからの加速器 34 13.1 リニアコライダー. . . 35 13.2 ミュー中間子・ミュー中間子衝突型加速器とニュートリノファクトリー . . . 36 13.3 高強度レーザーによる高加速電界発生 . . . 371
加速器科学の黎明
• 歴史的なことから説き起こしている参考書としては[1]や[2]がある。Telegdiのエッセイ[3]に書かれた 初期のエピソードも面白い。 • 現在における加速器科学の概要を知るにはハンドブック[4]が便利である。 • Livingston図 – Livingston-Blewettの教科書[2]に現れたものを図1に再現する。1930年から1960年まで、加速エ ネルギーが10年ごとに50倍強の割合で増大している様子がわかる。 – 一方、現在の状況を図2に示す[5]。 衝突型加速器の重心系エネルギーを静止標的の加速器のエネルギーに換算して表したもので、1930 年から1990年まで期間を拡げても10年当りの増加率が約50倍を維持していることがわかる。しか しこれは新しい型の加速器が生まれたせいであって、ひとつの型に限ると到達エネルギーは急速に飽 和している。また、近年は次の型が創出されるまでの期間が長くなっていることもこの図で示されて いる。 図1: Livingston図：Livingston-Blewettの教科書p.6にある元々の図Proton Synchrotron Collider (Equivalent Energy) Proton Linac Electrostatic Accelerator Betatron Electron Linac Electron Synchrotron Synchro-cyclotro Cyclotron DC Generator 1MeV 1GeV 1TeV 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106
Accelerator Energy (eV)
図2: Livingston図：現代のLivingston図 • Rutherfordの窒素原子核崩壊の発見（1917） 人工的に原子核崩壊を起こしたい→高エネルギー粒子加速への取組み、エネルギーの目安は実験事実と 理論的推測から≈ 1 MeVと考えられた。 • 初期の加速器（静電型） – N. Teslaのコイル（1925）：スパークギャップが放電した時に発生する衝撃波を利用する。
HV Outp ut Step -up Tran sfor me r
Sp ar k Ga p 図3: Teslaのコイル – J. D. CockroftとE. T. S. Waltonの整流型加速器（1925） 6V 0 3V± V V± V ±V AC 5V± V 4V 2V 0 図4: Cockroft - Waltonの整流回路
この型の整流回路はスイスのH. Greinacherの発明である。J. D. CockroftとE. T. S. Waltonはこれを 改良して陽子を≈ 800 kVまで加速し、はじめて人工的な核反応
p +3Li → 2 He4
を起こした。
– Van de Graafのベルト式加速器（1931）
エネルギー精度が良いので現在でもpelletronやtandem加速器として≈ 20 MeVまでのエネルギー 領域で使われている。
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静電場加速の問題点
• 放電限界
例えば間隙1 cmの金属平面間の最大印加電圧のおおまかな目安は次のようである[6]。ただしこれらの 数値は電極の形状、表面の滑らかさや汚れぐあい、間隙寸法などに依存する。
空気1気圧 ≈ 30 kV SF6 1気圧 ≈ 80 kV 絶縁油 ≈ 150 kV 高真空 ≈ 220 kV SF6 7気圧 ≈ 360 kV • ポテンシャル場の性質 上のように電圧限界があれば、何回も粒子を通せばよいのではないか。しかし静電場ではそれは不可能で ある。その証明はぎのようになる。静電場Eはポテンシャル場V (x, y, z)の勾配として導かれる。すな わちE = ∇V である。そうすると、任意の閉曲線Cに沿ってのEの接線成分Esの積分は0になる。な ぜなら、ベクトル公式CA · ds = S(∇ × A) · ndxdyおよび∇ × ∇V = 0を使えば C Esds = C E · ds = S (∇ × E) · ndxdy = S (∇ × ∇V ) · ndxdy = 0 となるからである。（ここでSはCで囲まれた任意の曲面で、nはその面上の単位法線ベクトルを表す。） • 高周波電場 上の制約から逃れるためには高周波電場を使わなければならない。マクスウェル方程式から時間的に変化 する電場Eと磁場Bは ∇ × E = −∂B ∂t という関係で結ばれている。この磁気誘導効果によって、閉曲線に沿っての一周積分は恒等的に0という ことはなくなる。それは C Esds = C E · ds = S (∇ × E) · ndxdy = −∂ ∂t S B · ndxdy = −∂ ∂tΦ からわかる。ここでΦはSを通る全磁束である。
これは変圧器と同じ原理である。この原理の最も素朴な応用がD. W. Kerst（Univ. Illinois）が発明した ベータトロンであって、1940年に電子を2.3 MeVまで加速した。なおこの加速器における電子軌道は大 変複雑でベータトロン振動、ベータトロン加速などの用語はここに始まる。
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高周波加速の始まり
• 線形加速法の提案 – スウェーデンのG. Isingの提案（1925） – ドイツのR. Wider¨oeによる具体化（1928） 2段の高周波間隙でK+やNa+イオンを数百keVまで加速した。– 米国UC BerkeleyのD. H. SloanとE. O. Lawrenceによる発展（1931）
Hg+イオンを1.25 MeVまで加速した。 • Cyclotronの着想：E. O. Lawrence（1930） 磁場による周回運動を利用し、小さい間隙電圧でも多重回加速で高エネルギーに到達する。荷電粒子の 運動方程式を解く。一般式は d dt(mv) = eE + ev × B
HF Beam Ion So urce 図5: Wider¨oeの線形加速器 D-Electrode D-Electrode
B
V ion r qE
HF 図6:サイクロトロン であるが、(r, θ, z)という円筒座標系で書くと d dt(m ˙r) − mr ˙θ 2= eE r+ er ˙θBz− e ˙zBθ と表せる。ここで磁場はBzのみの一様磁場で、粒子は加速を受けず(˙m = 0)、円軌道上(˙r = 0)を走る とすると、この式から ˙θ = eBz m ≡ ωc とという式 が得られる。このωcをサイクロトロン角周波数とよぶ。粒子の運動量pθは pθ= mvθ= mr ˙θ であるが、これを使えば円軌道の半径は r = pθ eBzと与えられる。 さてf = ωc/2πの周波数の高周波電圧をD電極の間隙にかければ粒子は同期して加速される。加 速されるにつれ、運動量pθ が増大すれば、それに比例して軌道半径も大きくなる。静止質量m0c2 = 938.3 MeVの陽子の場合、 f ( MHz) = 15.2Bz( Tesla) であり、10 MeVまで加速すると軌道半径は r(m) = 0.457/Bz( Tesla) となる。 ところでここまでの議論では相対論的質量増加の効果を無視してきた。しかしこれが無視できないエネ ルギーになると周回角周波数ωは質量に反比例するので、粒子は加速間隙に遅れて到着するようになる。 従って粒子が受ける加速電圧はピーク値からずれてきて、加速量が減少する。電圧ピーク値をどれだけ大 きくできるかにもよるが、実際上≈ 20 MeVが限界である。そこでBzをrの関数として変化させるな ど、いろいろな工夫がされてきた。
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相対論的高エネルギーへの加速：位相安定性原理の発見
上に述べたように、粒子エネルギーが変わると軌道半径だけでなく周回周期も変わるという相対論効果に より高周波位相と同期しなくなる問題の突破口となったのはE. C. McMillan（UC Berkeley）とV. I. Veksler（USSR）が1945年に独立に見いだした位相安定性原理である。それは、加速周波数f = ω/2πを粒子エネル ギーの関数として考えたとき、ある適切な高周波位相が存在し、エネルギーがばらついた粒子群がその位相の まわりに捕獲されて集群（bunching）し、安定に高エネルギーへ加速されるというものである。 まず集群の様子をもう少し詳しく述べてみる。一般の加速器では軌道は単純な円ではないので、軌道方向の 速度をv、1周の軌道長をLとし、それぞれエネルギーEの関数と考える。すると粒子の周回周波数は f (E) = v L と書ける。1周での加速電圧は極く小さいので、ある基準エネルギーをもつ粒子は、さしあたり加速されない として話を進める。すなわち基準粒子は図に示したようなV = V0sin ωtで変化する加速間隙電圧の位相ωt がnπ（nは任意の整数）の点に常に乗っているように、高周波周波数が設定されているとする。 ここで、あるエネルギー変化に対する粒子速度の変り方にくらべ軌道長のそれが小さい場合を考える。これ は粒子エネルギーが超相対論的領域に至らず、一方で軌道に沿っての収束磁場が十分に強い場合である。この とき、間隙で正の電圧を受けた粒子は基準粒子にくらべ早く一周する。すなわち図で位相が−方向へ移動す る。負の加速電圧を受ける粒子は逆に基準粒子より遅く一周するので位相が+方向へ移動する。そうすると、 例えば間隙通過位相が−πからπの間にある粒子は、0を中心にして行きつ戻りつすることになる。すなわち 安定位相φsは0（一般的には0 + 2nπ）である。逆に粒子速度がほとんど光速に近い場合、軌道長の変化が周 回周波数に利いてくる。この場合は正（負）の加速電圧を受けた粒子は基準粒子より遅く（早く）一周する。 従って、例えば位相が0から2πの間にある粒子はπを中心にして行きつ戻りつすることになる。従って安定 位相は(1 + 2n)πである。このように安定位相のまわりを行きつ戻りつする状態をシンクロトロン振動とい う。なお上述した単純なサイクロトロン模型では安定位相はπ（一般的には(1 + 2n)π）である。
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 wtêp -1 -0.5 0.5 1 VêV0 図7:加速間隙の高周波電圧V = V0cos ωt 加速を行う場合は安定位相を電圧が正の領域である0 < φs< πの範囲でえらぶ。しかし上の例で速度変化 が優勢な場合は0 < φs< π/2、軌道長変化が優勢な場合はπ/2 < φs< πでなければならない。いずれの場 合もφsのまわりにシンクロトロン振動する粒子の位相分布の幅は2πより小さく、φs→ π/2の極限で0で ある。 サイクロトロンについてこの原理を適用したのが周波数可変型サイクロトロン（frequency-modulated
cyclotron、synchrocyclotronともいう）であって陽子ビームを約600 MeVまで加速するものがつくられた。し
かし鉄磁極が巨大になり、たとえば0.17 Teslaの磁場で加速するロシアのDubna研究所の装置では磁極の直 径が6.0m、重量が7200tにも達した。 この欠点を解決したのがシンクロトロンである。粒子運動量に比例して磁場を換えることにより軌道を粒子 エネルギーに殆ど依らないようにできる。そうすれば軌道にそって細長く磁石を並べてゆけばよいので、鉄の 量が激減するわけである。現在使われてている高エネルギー用の円形加速器はすべてこの型である。 電子シンクロトロンの場合、電子速度は光速と考えてよいので加速周波数は一定である。しかし陽子シン クロトロンではかなりの高エネルギーまで周波数可変の加速を行わなければならない。たとえばKEKのPS ブースターリングでは40 MeVから500 MeVするので、β は0.28から0.76まで変わる。同じく主リングで は500 MeVから12 GeVまでの加速であるからβの範囲は0.76から0.997である。このβに比例した周波 数で加速を行わなければならない。
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初期のビーム収束技術：弱収束方式
磁場と加速周波数が決まれば粒子エネルギーに応じた基準軌道が決まる。上のシンクロトロン振動の例では この基準軌道上での粒子の運動（v成分のみを持つ）を考えたわけである。しかし同じエネルギーを持つ粒 子であっても、実際には運動方向がばらついている。すなわち基準軌道に垂直な速度であるv⊥成分が0では ない。これを放置すると粒子はいずれ真空壁に当たり、脱落する。 それには磁場を用いて基準軌道の方へ引戻す必要がある。磁場Bから速度vの粒子が受ける力は F = ev × Bである。これから大きな力を発生するためには、極めて低速度の場合を除き、進行方向に垂直な磁場をつくら なければならないことが分かる。 z 0 r 図8:弱収束磁石 さて基準軌道が水平面にあるとする。このとき、粒子の進行方向が水平面から外れようとする場合、すなわ ち垂直方向の速度成分を持つ場合を考えよう。少し前に述べたサイクロトロンのように一様な垂直磁場しか存 在しないと、上の式からその方向の力は0であることがわかる。従って、どうしても水平方向の磁場成分Br がなければならない。しかも上（下）に向かおうとする粒子には下（上）向きの力を発生する磁場でなければ ならない。それには図8のように軌道の外側へ向かうにつれ|Bz|が減るようなものでなければならない。そ れは真空中の静磁場の満たすべき条件 ∇ × B = 0 とくに ∂Br ∂z = ∂Bz ∂r から当然である。このように絶えず基準水平面に引戻す力が働くと上下に波打つ軌道になるが、その振幅が小 さいときは三角関数で近似される。その1周期に相当する弧長を（垂直方向の）ベータトロン波長λβと呼ぶ が、収束力の平方根に反比例する。 それでは水平面で軌道からそれようとする運動の収束はどうなるであろうか。これには再び一様な垂直磁場 を持つ単純なサイクロトロンに戻って考えよう。その場合、ある点で基準円軌道（半径r0とする）から小角 度を持って外側へ走る粒子は180度回ったところで合流し、今度は内側を走って1周したところで合流する。 なぜならこの粒子の軌道も半径が同じ円であるからである。この場合の（水平方向）ベータートロン波長は 2πr0である。 しかし、垂直方向の収束力を強くしようとして、rが大きくなるにつれてのBzの減り方を強くしすぎると、 水平方向の収束力が弱まる。実際、円筒対称性をもつ静磁場中を走る粒子の軌道は、基準円軌道および基準エ ネルギーからのずれが微小な場合、次のように書ける[7]。 d2x ds2 + 1 − n r02 x = 1 r0 ∆p p ∆p = const. d2z ds2 + n r20z = 0
ここでxは動徑方向のずれ、zは垂直方向のずれ、∆pは運動量のずれ（加速電場はないので一定値）、sは基 準軌道にそっての距離を表す。そしてBzはr0の近傍で Bz = B0 1 − nx r0 + · · · という形を仮定している。このnが（シンクロトロン振動の議論で使ったnとは別であることに注意）Bzの 減少の度合いを表すパラメーターである。 この式 からベータートロン波長は λβ,vertical= 2πr√ 0 n λβ,horizontal = 2πr0 √ 1 − n となることがわかる。従って垂直、水平ともに収束させるためには 0 < n < 1 でなければならない訳である。 ここまではサイクロトロンという円筒対称性をもつ磁場でベータートロン振動を考察してきたが、シンクロ トロンのように偏向磁石が離散的に置かれている場合も同様な条件が満たされなければならない。このような 収束方式を、次に述べる強収束に対比して弱収束（weak focusing）と呼ぶ。弱収束型シンクロトロンの磁石で は磁極の形や鉄芯の分布を工夫してn ≈ 0.75となるように設計された。 n値が1より小さいということは、ベータートロン波長が軌道1周分より長いことである。これは周長を延 ばし、高エネルギーを目指ざすためには大きな足かせである。なぜなら周長にに比例してベータートロン振 幅も大きくなり、磁極間隙の横幅と高さも大きくしなければならないからである。いいかえれば磁石の重量 が軌道長、あるいは到達エネルギーのほぼ2乗に比例して増大する。この方式で作られた世界最大のシンク ロトロンはロシアのDubna研究所にある。それはynchro-phasotronと呼ばれ1957年に完成した。平均半径 30.5 mのリングで陽子を10 GeVまで加速した。1.3 Teslaの磁場を発生する磁石の磁極間隙は横幅150 cm、 高さ40 cmもあり、総重量が35, 000 tにも達する巨大な装置である。
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強収束原理の発見
ベータートロン波長を軌道長に無関係に短くし、収束力を格段に高める強収束原理は1949年にギリシャの技師N. Christofilosおよび1952年に米国Brookheaven国立研究所のE. D. Courant、M. S. Livingston、H.
Snyderによって独立に発見された[8]。これは極性が交代する2種類の４極磁石を周期的に並べて、垂直、水 平方向の収束を互いに独立に行おうするものである。これによって磁極間隙の寸法が軌道長と無関係に小さく できるようになり、磁石総重量は軌道長に比例するだけになった。強収束方式は現在にいたるまでシンクロト ロンのみならず線型加速器などすべての高エネルギー加速器に使われている。 この原理は４極磁石磁場が基本であるので、まず２次元多極磁場の整理をしておく。サイクロトロンの場合 に相当し最も基本的な型である2極磁場から出発するが、その磁位と磁力線は複素関数 z = x + jy = rejφ で表される。以下では磁力線がx方向、磁位および磁極面はy方向に平行であるとする。すると一般の2m極 （mは自然数）磁場は次のような等角写像から導かれる。 Z ≡ X + jY = z1/m= (x + jy)1/m= r1/mejφ/m
この関数で2m極磁石の0◦から360◦/2mまでの１極分の磁場形が与えられる。 とくにm = 2とすれば4極磁場である。その磁位と磁力線は Z ≡ X + jY = z1/2= (x + jy)1/2= r1/2ejφ/2 となるが、これより XY = y X2− Y2= x が成立する。第1の関係式から等磁位線y =一定 は双曲線になることが分かる。従って4強磁石の磁極断面 もそういう曲線になるように作られる。またX軸上（Y = 0）で dx dX = 2X となるが、これはX 軸を直角に横切る単位長さあたりの磁力線の数dx、すなわち磁場Byが原点からの距離 Xに比例していることを示す。Y 軸を横切るBxについても同様なことが云える。 この式から計算した４極磁場を図9に示す。磁場の向きが磁石中心軸を含む水平面上で収束力（発散力）で あれば、90度回転した垂直面上では発散力（収束力）になる。磁石の軌道方向の長さが短く、磁石内でのビー ム軌道の位置の変化が無視でき、角度変化のみ注目してよいとすれば、中心軸からの距離に比例した収束力 （発散力）を持つ４極磁石は光学における薄肉の凸（凹）レンズに相当する。ただし図の様に90度回転すれば 凸、凹が入れ替わるレンズである。 さて４極磁石の最も基本的な配列は同じ強さの凸レンズと凹レンズが等間隔で交互に並ぶものである。これ によって垂直、水平両方向の収束が達成される。その理由は次のように説明される。ある点を出発する粒子の 水平方向の振幅と方向を変えると様々なベータートロン軌道をえがくが、その包絡線の様子をおおまかに云え ば、凸レンズの場所ではふくらみ、凹レンズではしぼむ。これは幾何光学で類推できる。すると平均として凸 レンズで受ける収束力が凹レンズで受ける発散力に勝ることになる。なぜなら上に述べたように軌道を曲げる 力は中心からの距離に比例するからである。このようにして水平とともに垂直方向も同時に収束できるように したのが強収束方式である。
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強収束シンクロトロンにおけるビーム軌道
軌道の各点sの関数である収束力をKx(s)、Ky(s)と書けば、軌道の方程式は d2x ds2 + Kx(s) = 0 d2y ds2 + Ky(s) = 0 となる。この解が基準軌道からのずれを表すが、その一般式は x(s) =hβh(s) cos (ψx(s) + δ) y(s) =vβv(s) cos (ψy(s) + δ)-2 -1 1 2 x -2 -1 1 2 y 図9: 4極磁石の磁場 beam 図10:４極磁石に対応する光学レンズ
のようにsに依存するやや複雑な形となる。ここでβh(s)（βv(s)）を水平（垂直）方向のベータ関数とよび、 磁石収束力の逆数に関係する量である。上に述べたベータートロン波長λβはこのベータ関数を使えば 2π = λβ+s0 s0 dψ = λβ+s0 s0 dψ dsds と表される（s0は軌道上の任意の点）。なおCourant-Snyder理論[9]によれば 2ββ− β2+ 4βK = 4 ψ= 1/β の関係にある。なお微分はsについてである。 リングをまわるひとつの粒子について、その軌道を何周分も追跡するとある包絡線の中に収まる。この二乗 がここで導入したベータ関数に比例する。また、軌道の振幅とその傾斜を位相面で同様に追跡するとある楕円 を描くことが証明される。この面積がここで導入したもうひとつのパラメーターh（v）であって、ビームの 水平（垂直）方向への広がりの目安となる量で、水平（垂直）方向エミッタンスと呼ばれる。ベータ関数、エ ミッタンスともに次元は[m]であり、点sでのビームの太さはhβh(s)（ vβh(s)）で与えられる。同じ 強さの薄肉凸レンズと薄肉凹レンズが等間隔で交互に並んだもっとも単純な場合のベータ関数を図11に示す。 レンズとレンズの間は磁場がないので軌道は直線であるが、包絡線であるベータ関数は放物線となる。 bv bh s 図11:等間隔薄肉レンズ近似でのベータ関数 運動量の異なる粒子に対する水平面上での基準軌道の差x(s)も収束力Kx(s)の関数である。その導出は別 の講義に譲るとして x(s) = D(s)∆p p0 で定義される比例係数は分散関数と呼ばれるが、おおよそ収束力Kx(s)に反比例する。∗1このように強収束方 式はベータトロン振動のみならず、エネルギー分散にたいしても強力な収束効果があるわけである。 ４極磁石の配列をビーム光学系というが。目的とする軌道包絡線の形状を実現するために、凹凸の焦点距 離、間隔、順列を様々に組合わせた基本光学系を設定し、この基本配列をリング一周にわたって周期的に並べ
∗1なおこの式から軌道長の運動量依存性∆L/L0= αp∆p/p0も計算できるが、momentum compaction factor と呼ばれる係数αpは
てゆく。ある与えられた光学系の周期長とベータートロン波長λβは独立である。磁場の強さを上下すること によりλβを変えることができる。大事なのはチューンνと呼ばれる軌道長Lとλβの比 νh, v ≡ L λβ, h, v である。これが整数に近いと、粒子が何周も回るうちに磁場の不揃いにより軌道から大きくずれてしまう。こ れを整数共鳴といい、運転上どうしてもさけなければならない。例えば４極以上の多極成分磁場が存在すれば ベータトロン振動は非線形になる。また偏向磁石や４極磁石が水平に置かれていないと、水平方向の振動が垂 直方向に転換されたり、その逆も起こる。従って共鳴はl、m、nを整数として lνh± mνv= n を満足しそうなときに起こる。 次に加速に関連した性質をまとめておく。運動量が基準より∆p（エネルギーで∆E）ずれた粒子が軌道を 一周する時間は、速度の変化とmomentum compactionによる軌道長の変化の両方を考慮して ∆τ τ = αp− 1 γ2 ∆p p で与えられる。γはローレンツ係数であるが、丁度∆τ が0になるエネルギーをtransition energy、そのロー レンツ係数γt≡ 1/√αpをtrannsition gammaという。この（）の中の量をスリップ係数といい、一周での高 周波加速位相φのずれはこの係数に比例する。これと一周での加速量の変化
∆E = eV0(sin φ − sin φs)
を組合わせるとφが φ ∝ sin (ωst + const) のようにシンクロトロン振動する。ここでシンクロトロン角振動数ωsはほぼ (スリップ係数)V0/E に比例する。加速角周波数ωRF は基準粒子の周回角周波数2πv/Lの整数倍にしなければならない。その整 数をハーモニック数といい、hで表す。 エミッタンスも加速とともに変化する。加速は軌道方向の運動量を増加させる。しかしエミッタンスは横 方向運動量の軌道方向運動量に対する比dxds に比例するから ∝ 1/p ∝ 1/γv となる。すでに述べたようにビームの太さは√βで表せるから、加速とともに1/γvで細くなってゆく。ま た1/γv項を除いたエネルギーに依存しないエミッタンスを規格化エミッタンスという。
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衝突型リング
Livingston Diagramで示されるように、より高エネルギーへ到達するにはもう一つの突破口があった。それ が衝突型加速器である。新しい素粒子の探求にはエネルギー最前線を押し上げることが要請される。その場 合、加速粒子と静止粒子の重心系エネルギーECM が素粒子発生を決める量である。ところが高エネルギー粒 子を静止粒子に当てる方式では、加速粒子のエネルギーを上げる割にはECMの上昇がだんだん鈍くなる。これを調べるために静止質量m0どうしの衝突を考える。一方はローレンツ係数γのエネルギーまで加速さ れ、他方は実験室系で静止しているとする。実験室系では、全運動量pLabは pLab= γm0v + 0 = γm0v 全エネルギーELabは ELab= γm0c2+ c = (γ + 1) (x) で与えられる。この2式から重心系での全エネルギーECM を求めよう。それには E2− cp2 がローレンツ不変量であることを利用する。重心系での全運動量は定義により0であるから ECM2= ELab2− c2pLab2 が成立する。すると、ECM ≡ γCMm0c2と置いて、上の式から γCM = (γ + 1)/2 ≈γ/2 が得られる。これから分かるように、いくら加速エネルギーγを頑張っても実効エネルギーγCM はその平方 根でしか上昇しない訳である。 そこで衝突現象が実験室系で起こる衝突型加速器が考えられるようになった。最初に考え出したのはローマ
のFrascati研究所にいたBruno Touschekであって1960年のことである。彼は電子、陽電子の衝突リングを提
案し、Frascati研究所は直径160cm、エネルギー200 MeVのAdAと呼ばれるリングの建設を開始し、翌年に
完成させた。以降、高エネルギー加速器の主流は衝突型リングとなる。 この型が従来の型に比べ特に問題となるのは衝突に関与する粒子密度が固定標的の場合より圧倒的に小さ いことである。その目安はルミノシティと呼ばれる量である。ある物理現象の反応断面積をσreactionおしよ う。＋ビームとービームの衝突点でのビーム断面積をSとし、それぞれのビームに粒子が1個ずつ含まれて いる時、反応の起こる確率は σreaction S である。従ってそれぞれのビームにN+、N+の粒子が含まれていると、全ての粒子がすれ違ったあとでの反 応の確率は σreaction S N+N+ になる。このような衝突が1秒間にfc回あるとすると、反応の確率は毎秒 σreaction S N+N+fc となる。この式で反応断面積σreactionの係数がルミノシティLと呼ばれるものである。すなわち L = N+N+fc S fc であってm−2s−1の次元をもつ量である。これをできる限り大きくするために、粒子数や衝突回数を増やす 以前に先ずやらなければならないことは、衝突点でのビーム断面積Sを可能なかぎり小さくすることである。 それには衝突点でのβ を小さくするように強い収束４極磁石を直前に置くこと、およびビームのエミッタン スを出来るだけ小さくすることが肝要なことはベータトロン振動での議論からわかる。
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電子リングの特異性（シンクロトロン放射）
この節では現代の加速器がもつ大きな特徴のひとつであるシンクロトロン放射について述べる。荷電粒子が 加速されると電磁波エネルギーを放出するが、特に磁場による偏向力を受けるとき、それによる電力損失をシ ンクロトロン放射損失といい、その大きさはγ4に比例する∗2。静止質量の小さい電子、陽電子では簡単にこ の量が無視できない領域に達する。 この現象を理解するには先ず電子の静止系に立つのがよい。電子は実験室系（x, y, z, t）ではz軸上を速 度vで進んでおり、それと垂直方向に極く短時間垂直方向の加速がかかるとする。静止系（x, y, z, t）で は、それは原点にある電子がある短い時間t= 0からt= ∆tまでx軸上を動いて再び原点に戻って静止す るということである。静止系では、その時間内に受けた加速度で放出された電磁波（双極子放射）は図のよう に厚さc∆tの球面上を伝搬し、t時間後の半径はr = ctである。双極子放射であるから電磁波エネルギー 分布は、x軸からの角度をθとして、cos2θに比例している。ここで実験室系（x, y, z, t）移ると、x軸は 図のようにz軸と小さい角度をなす直線に変換される。それはローレンツ変換 x= x y = y z= γ (z − vt) t= γt − vz/c2 から計算され、x − z面上でz軸と1/γの角度をもつ直線であることが分かる。これから放射エネルギーは角 度1/γの円錐のなかに集中することも分かる。 さて静止系での放射電力は Prest= 2r eme 3c dv dt 2 = 2re 3mec dp dt 2 である。ただし電子の古典半径 re= e 2 4π0mec2 を使っている。さてここでds ≡ dt/γとしたとき、ローレンツ変換で cdp ds 2 − dE ds 2 が不変量であることを考えると、磁場中で曲率半径ρの軌道を描く電子の放射電力は P = 23remec3 v c 4γ4 ρ2 である[10]。 この放射電力は電子にとって減速電場であるが、この式から半径ρのリングを一周するときにエネルギーE の電子が受ける減速電圧Vsは Vs(Volts) = 8.846 × 104E(GeV) 4 ρ(m) ∗2電場については、加速ではγ に依存せず、偏向では γ2に比例するだけで、いずれも無視してよい。となることが分かる。 放射光は大変短かい波長までの広いスぺクトルをもつが、その主成分の波長はおおよそ次のように見積もる ことができる。放射光は角度1/γの円錐状であるから、円軌道の接線方向で観測すると2πρ/γの弧長からの 寄与がある。この間の電子の横方向の動きは正弦波の1周期の半分である。そして光は1 − v/cだけのドップ ラーシフトをしている。従って観測される波長はおおよそ 22πρ γ 1 −v c ≈ 4πρ γ 1 2γ2 = 2πρ γ3 となることが分かる。詳しいに計算によれば、波長が短くなるにつれて、スぺクトル強度はこの波長の2倍程 度まで緩やかに大きくなってゆくが λc≡ 4πρ 3γ3 より短波長側では急激に減少することが示される。そして2πc/λcを遮断角周波数ωcと呼び、スぺクトルの 主要な目安として使われる。
放射光放出のもたらす大きな効果は放射減衰（radiation damping）と放射励起（radiation excitation）である
[11]。まず放射減衰についてまとめてみる。ここで加速によりビームエネルギーの平均値は基準エネルギーに 保たれているとする。エネルギーが高い粒子ほどより大きい放射損失があるので、ある時間後平均値に収束す る。横方向のベータトロン振動（水平、垂直）については、放射光放出の反動により運動量が方向は変わらず に縮まる。しかし加速は軌道方向のみであるから運動量の横方向成分は次第に0に収束する。それぞれの減衰 の時定数は通常τ、τx、τyであらわすが、ふつうの電子リングでは2τ≈ τx≈ τy ≈数msである。 次に放射励起について述べる。放射損失の平均値はリングのパラメーターで決まる定数であるが、個々の過 程は量子的で、様々なエネルギーと方向をもつ光子のランダムな放出である。したがって放射減衰による収束 は0まで縮まらずある大きさで止まる。エネルギーについては、高周波電圧のピーク値を越えるようなエネル ギーの光子放出が起こると粒子は高周波電圧捕捉（RF bucket）からこぼれ、脱落する。これにより電子リン グの貯蔵電流は次第に減少する。この減衰時間（量子寿命τq）を十分大きくするため、加速電圧のピーク値は Vsの数倍にする。水平方向のベータトロン振動については少し複雑な解析が必要であるが、簡単には次のよ うである。基準軌道にのっている粒子が光子を放出してエネルギーが下がると、新しいエネルギーの基準軌道 からはずれているいることになる。従ってベータトロン振動を始める。その振幅は放射減衰とつり合ったとこ ろに落ち着く。実際に観測される水平方向ビーム太さはこの効果と、0ではないエネルギー幅による軌道のず れη∆E/Eによる幅とを合成したものとなる。 放射光用リングをはじめ、多くの電子リングでは放射光束を鋭くするために、ベータトロン振動の振幅を極 小にするように光学系を工夫をするが、その最も極端な例がATFのダンピングリングである。
10
線型加速器
この節のさらに詳しいことは拙文[12]を参照ください。 • 単一セル円筒空洞 円筒空洞（ピルボックス空洞と俗称される）のT M010モードは最も低い共振周波数をもち、加速に使わ れる最も基本のモードである。円筒の半径をb、長さをdとしたときのT M010モードの電磁界は円筒座標系（r, θ, z）でつぎのようになる。 Er= 0 Eθ= 0 Ez= E0J0(χ01r/b) cos (ω010t) Hr= 0 Hθ= −H0J1(χ01r/b) sin (ω010t) Hz= 0 この解は金属表面上で、0でない電場は垂直、0でない磁場は平行という境界条件を満たしている。比 E0 H0 = ζ0= √ 0µ0= 376.73Ω は真空の固有インピーダンスである。またχ01は0次のベッセル関数の第1番目の根であって χ01= 2.40483 と与えられる。共振角周波数はcを光速度として ω010= χ01c b となり、空洞の長さdによらない。例えばSバンド（2856 MHz）ではb = 40.2mmである。 空洞中心軸を走る粒子が感じるのピーク電圧はE0dのように見えるが、通過中に正弦的に時間変化す るので実際は小さくなる。空洞中央で電場がピーク値になるように速度vの粒子を通過させたとき、粒子 の受ける電圧のE0dに対する比は簡単な計算で T = sin ω 010d 2v ω 010d 2v となることが分かり、加速電圧は Va = E0dT cos (ω010t + φ)
という形で与えられる。この補正係数T を走行時間係数（Transit Time Factor）という。
次に空洞で大事な量であるQ値を計算する。それは空洞中の電磁場エネルギーU、壁損Pwallで Q = ωU P である。詳しい計算を略し結果を書くと、T M010モードについては Q = ζ0 ζm χ01d d + b となる。ここでζmは金属の表皮抵抗値であり、電気伝導度をσ、誘磁率をµとすれば ζm= ωµ 2σ である。純度の高い銅では2856 MHzで1.39 × 10−2Ωという大きさであり、d = 35mm の空洞では Q ≈ 15, 200となる。
jωL Rsh= Ra/2 1/jωC 図12:加速空洞共振モードの等価回路 もう一つの必須の量はシャント・インピーダンスRshである。回路論から交流実効インピーダンスは Rsh≡ (V a)2 2Pwall で定義される。しかし加速器の人たちはピーク波高値に重点をおくので、伝統的に加速シャント・イン ピーダンス Ra = 2Rsh を使う。これらのパラメーターを使ったときの、ひとつの共振モードの等価回路表現は図12のようにな る。次にL、Cはこのシャント・インピーダンスを使って LC = ω010−2 Q = Ra ω010L から求められる。Lは磁場エネルギーが優勢な円筒周辺部をリアクタンスとして、またCは電場エネル ギーが優勢な中心軸付近を容量としてそれぞれ回路的に表現したものである。なお空洞には無数のの共振 モードがあるが、そのひとつひとつが図12の様なL C R回路で表現される。従って、あるひとつの空洞 の等価回路表現は、これら全てのL C R回路が集積した形になる∗3。 さて以上の諸関係から、光速で走る粒子については、シャント・インピーダンスが最も大きくなり、所 要電力が最小のピルボックス空洞は d = 0.44λ で与えられることが分かる。 実用空洞ではシャント・インピーダンスを上げるように形状を工夫する。例としてPFリングに使われ ている加速空洞を図14に示す。空洞外周部に丸みをつけて、表面積をへらし、Q値を上げること、中心 部にノーズコーンと呼ばれる突起を設け、電場を集中させること、などが工夫の主なものである。 ∗3高田耕治『高周波加速』OHO97 テキスト、KEK
0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T^2 RêRmax QêQmax pdêl 図13:ピルボックス空洞長dにたいするシャント・インピーダンス(光速度粒子の場合) 図14: PFリングの加速空洞 • 多セル空洞 – 2セル結合空洞 空洞で技術的に難しいところのひとつは、外部から高周波を供給する導波管など伝送線との結合部で あるである。反射を無くすように整合を取ったり、大電力に耐えるものでなければならない。当然、 費用も大きくなる。そこで、複数のセルをまとめて一つの入力結合器でまかなおうとするのが、多セ ル空洞である。この型の空洞ではセルどうしの高周波結合が大変重要な要素である。 最も簡単な2セル空洞で性質を調べよう。2個の振動子が結合した系での振動モードには、ともに 同じ位相で振動するもの（0モード）と180◦ずれた位相で振動する（πモード）があるのは力学など
の入門篇で習うところである。これを図12の等価回路で復習しよう。セルどうしは磁場で結合する か、電場で結合する。前者の場合、磁場が優勢な円筒周辺部に結合孔をもうける。後者では、電場の 優勢な中心軸付近に結合孔をつくる。これを等価回路で表現すると、前者では相互誘導、後者では相 互容量を追加することに相当する。ここでは後者の場合を例に話を進める。なお電子用加速管では殆 ど後者の型が用いらている。簡単のためにRを無くした（シャント・インピーダンスを無限大にし た）単セル回路で、相互容量を入れた2セル結合構造の等価回路を作ると図15のようになる。
L
L
C'
C
C
i
1
~
i
~
2
図15: 2セル結合空洞の等価回路 この図でC が相互容量であるが、結合孔が無限小の極限はC/C→ 0に相当する。セル1、2の 回路に右回りに流れる電流をそれぞれ ˜i1ejωt ˜i2ejωt と表そう。ここでtilde記号（˜i）は複素位相も含めた振幅を表すものとする。すなわちAを正の実 数として ˜i ≡ Aejφ である（なお、このような形式をフェーザー（phasor）表示という）。これらのフェーザー電流には次 の関係式が成立する。 jωL + 1 jωC˜i1+˜i1− ˜i2
jωC = 0
jωL + 1 jωC
˜i2+˜i2− ˜i1
jωC = 0 この方程式から0モードの解として ˜i1＝˜i2 ω = ω0≡ √1 LC が、またπモードの解として ˜i1＝− ˜i2 ω = ωπ≡ ω0 1 +2C C が得られる。特に結合度が小さい場合、すなわち
C C の場合は ωπ≈ ω0 1 + C C > ω0 となる。0モードの共振周波数は単セルのものに等しいが、これは相互容量を流れる全流が0であっ て、セル間結合をしていないからである。他方、πモードでは各セルの電流が重畳して相互容量に流 れる。これはそれぞれのセルで見れば、固有の容量CにC/2の容量が直列に追加されたことに相当 する。従って全容量は減少し、共振周波数が高くなる訳である。 これら2つのモードの電磁場分布を模式的に示したのが図16である。左側は0モードの場合で あって、結合孔を金属板でふさいでも電磁場分布に影響を与えない。穴面に電場は垂直、磁場は平行 であるからである。右側のπでは、対称性から電場が穴面に平行でなければならない。これが全容量 が減少することを表している訳である。なおr = 0での磁場は、同じく対称性から穴面で0でなけれ ばならず、結合孔に近づくにつれ連続的に減少する。
cell - 1 cell - 2
cell - 1 cell - 2
p
- mode
E
0 - mode
H
図16: 2セル結合空洞の電場分布 – 無限周期構造 リニアックなどの加速管では通常多数のセルが結合した構造である。そこで上の議論をセル数が無限 大になった周期構造の場合に拡張してみよう。すると等価回路は図15が図17のように変わる。 x軸にそって−∞から∞へ伝わる進行波は一般にAej(ωt−βx)という形で表される。これにな らって、この連結構造をn = −∞からn = ∞へ伝わる進行波の電流を ˜inejωt= i0e−jnφejωt と表そう。ここで˜inはセルnのフェーザー電流であり、φは隣接セルとの間の位相差である。この 電流形を回路方程式 jωL + 1 jωC ˜in+2˜in− ˜in−1− ˜in+1
C
C
C
C
C
C'
C'
C'
C'
L
L
L
L
L
i
0
exp (-2j
φ) i
0
exp (-j
φ)
i
0
i
0
exp (j
φ)
i
0
exp (2j
φ)
n = -2
-1
0
1
2
図17:周期構造の等価回路 に代入すれば ω = ω0[1 + k (1 − cos φ)]1/2≈ ω0 1 + k 2(1 − cos φ) ただし ω0≡ 1/ √ LC k ≡ 2C/C という解（分散式）がえられる。なお近似形は2セルでの議論と同様に結合度が小さい、すなわち C Cとした場合である。 多セル構造加速管ではこの進行波が管内を走行する荷電粒子と同期して進んでいなければならな い。そこで加速管内の波の性質を、この分散式をもとにして調べてみる。ω を任意のφについて図 示したものはいわゆるブリリアン帯図であるが、ここでは簡単にするため基本帯（の正半分）である 0 ≤ φ ≤ πに限って話を進めよう。単位セル長がdのとき管内波長は λg= 2πd φ であるので、進行波の位相速度vpは vp= ω 2πλg=ωd φ となる。従って加速される粒子の速度をvbとすれば同期の条件は vb= vpである。図18にこれらの関係を示す。φ = 0とφ = πに相当する（角）周波数をそれぞれω0、ωπ とすれば、加速に使うT M010モードの通過帯は両周波数の間にある。通過帯域幅 ωπ− ω0 ω0 ≈ k は普通、結合孔径aの３乗から4乗に比例している。なお管内波数βg= 2π/λgを使えば、加速管内 の群速度vg∗4は vg= ∂ω ∂βg = d ·∂ω ∂φ ≈ k 2ω0d · sin φ である。加速管の長さLの加速管の場合、上流から供給されるパルス高周波電力が下流まで伝わる にはL/vgだけ時間がかかる。これを充填時間（filling time）tsといい、ビーム加速はその間を待っ て行われる。なお群速度vgは通常光速度の数%程度である。 同期位相差として通常φ = 2π/3を選ぶ。いわゆる2π/3加速管である。周波数を固定して考えた 場合、φが小さいことはdも小さいことになる。これは単位長さ当たりのディスク数（セルの円板状 側壁の数）が大きくなることを意味し、電磁波の減衰が強くなるので不利である。しかしセル単位で の走行時間係数は1に近く、ビームが感じる電場はより一様になる利点がある。一方φを大きくす れば逆の状況になり、どこかで折り合うことになるが、少し詳しく計算するとφ = 2π/3あたりが良 いと結論される。 – πモード定在波加速管 進行波以外に、πモードを使う加速管も電子リングなどで加速に使われる。進行波型加速管では下流 から反射してくる電磁波は加速に役立たないので、最下流のセルに良く整合のとれた結合器（カプ ラー）をつけて高周波電力を外部に取り出す。ところが位相がπに近づくと右に進む波（φが正値と なる波）と左に進む波（φが負値となる波）の区別がつかなくなる、言い換えれば縮退し、πモード の極限では定在波になる。この場合、互いに逆進する進行波は平等に加速に寄与するので、取出し用 カプラーは不要になり構造が単純化される。ただしπモードでは群速度が0になるので、高周波電 力が入力カプラーから加速管全体に行きわりにくくなる。従って加速管を構成するセル数は数個程度 である。 群速度が 0 になる欠点を解決しようするのがトリスタンで使われたAPS(Alternating Periodic
Structure) [13]、[14]や米国Los Alamos研究所の陽子リニアックに使われているSCS(Side Coupled
Structure) [15]、ACS(Annular Coupled Structure) [16]、DAW(Disk-and-washer Structure) [17]などの
陪周期構造(bi-periodic structure)である。これらの構造では隣り合う２つの加速セルの電磁波結合を 結合セルと呼ばれる小さいセルを介して行う。その際、結合セルの共振周波数を加速セルのそれに合 致させると ∂ω ∂φ = 0 となり、従って0ではない群速度が得られるわけである。この原理はKEKBで使われているARES 空洞へも応用されている。 • 加速装置としての空洞-カプラーとビーム・ローディング -ここまでは加速空洞の原理なことがらを述べてきたが、実際の加速器に組み込まれた空洞では幾つかの装 置が付属として必要である。まず何はともあれ空洞に高周波電力を供給しなければならないので、高周波
0
φ
acc
π
ω
0ω
accω
pω
ω
= (
v
p/
d
)
φ
ω
= (
v
p/
d
)(2
π−φ
)
grad. = v
g/d
φ = 2πd/λ
図18:進行波型加速管の分散曲線曲線 を伝送する導波管や同軸ケーブルを空洞に結合するカプラー（結合器）という部分を取り付けなければ ならない。熱膨張や加速ビームの反作用による共振周波数のずれを補正するにはチューナーが使われる。 ビームが発生する加速モード以外の高調波はビーム軌道を乱すので、高調波減衰器を取り付けることもし ばしばある。イオンポンプは当然必要である。ビームが通過するとそれが誘起する電磁場（ビーム・ロー ディング）の影響も考慮しなければならない。 それぞれについては技術的に詳細すぎることが多いので割愛し、ここでは高周波回路の観点から原理的 に重要なカプラーおよびビーム・ローディングの性質に限ってあらましを述べる。 図19は電子リニアック進行波型加速管上流の高周波電力入力部付近を示す。下流端電力取出し部も同 なじ構造である。導波管はスリットを通して加速管セルと同様な円筒セルに磁場で結合する。この結合セ ルは加速セルとビーム孔を介して電場結合する。入力電波が反射しないように（いいかえれば、導波管か らみて加速管の整合が取れているために）結合セルの寸法とくにスリット幅を念入りに調整する。結合セ ルでの電磁場の軸対称度を上げるためにもう1本の導波管を180度反対側に取付けることもある。図19:電子リニアック加速管の入力部 図14のカプラーは電子貯蔵リングで使われるUHF帯加速空洞用の典型的な例である。波長が長いた め、電子リニアック加速管のような結合セルは大きくなって実用的ではない。むしろ、図のように同軸導 波管に変換し、その先端のループで空洞と磁場結合をさせる。∗5 同軸部には空洞を真空的に切り離すセ ラミック板（この場合は円筒）も取付けられる。整合をとるには、導波管から同軸への変換部の形状寸 法、ループの大きさや面方向などの修正を繰り返し行う。また放電および不均一な温度上昇によるセラ ミック板の破損を防ぐために、電磁場分布を最適化する設計も重要である。 導波管と空洞共振器からなる系の電磁場はカプラー断面での両側の電磁場が一致するという境界条件で 解くことができる。導波管に信号源からの入力高周波があるときは、カプラー断面での強制振動として空 洞の各共振モードの励起振幅が求まる。逆に、空洞にる電磁場エネルギーが貯蔵されているとき、導波管 を通じてそれが流失するわけであるが、導波管の各出力波モードの振幅はカプラー断面での強制振動とし て解くことができる。空洞、導波管それぞれの固有モードについての連立方程式をマクスウェル方程式に 従って解けば、図20と等価であることが示される。∗6 これは図12の拡張された形になっている。ここ で、カプラーは一種の昇圧トランスと考えられる。カプラー開口面積が小さい、すなわち殆どの部分が金 属面であることは、空洞側の比捲線数nが大きい場合に相当する。整合を取るということは、開口面積、 あるいは巻線比を調節して導波管の固有インピーダンスを加速管あるいは空洞のインピーダンスに合わせ ることである。 バンチされたビームが空洞を通過すると高周波が誘起される。この現象をビーム・ローディングとい う。ビームが受ける力は、導波管で誘起された電磁場とビーム・ローディングによる電磁場をベクトル的 ∗5超伝導空洞の場合は熱流入を防ぐためにループではなく、同軸内導体を中ぶらりんにしたアンテナ型にする。この場合の結合は電 場による。 ∗6厳密には共振周波数が 0 にある非循環場モード（irrotational mode）を表すリアクタンスも直列に入れなければならないが、ここで は簡単のために省略している。
L
1L
2L
3R
1R
2R
3C
1C
2C
31 : n
coupler cavity
waveguide
図20:外部導波管と結合した空洞の等価回路：L、C、Rの添字は共振モードの番号を示す。 に合成した電磁場によるものである。ビームの平均電流をI0とすれば、図20において2I0ejωtの外部駆 動電流源が外部導波管と並列に追加された形でビーム・ローディングが表現される。すなわち図21のよ うになるわけである。なおωはバンチの高周波成分を表す。またビームは十分に相対論的であって、空洞 通過における速度変化は無視できると仮定している。L
1L
2L
3R
1R
2R
3C
1C
2C
31 : n
waveguide
coupler cavity beam
2I
0e
jωt 図21:ビームローディングの効果も含めた空洞の等価回路 • 低γ陽子、イオン用加速管 電子と違ってなかなか光速度に近づかない陽子やイオンの加速には独特の方式が要求される。例えば始 めに述べたCockcroft-Walton型直流電圧発生器で750kVに陽子を加速してもβ = v/c = 0.040である。 従って高周波加速間隙は波長の2%以下にしなければならず、電子リニアックで使う円筒セルを積重ねた 構造は実用的でない。しかも加速に応じてβ が変化することにも対応しなければならない。そこで比較 的長波長(≈ 1m)で働くRFQやDTLと呼ばれるリニアック加速管が使用される。すなわち、イオン源か ら出た直後のビームはRFQで数MeVまで加速し、その後DTLで≈ 100MeV、すなわち光速の半分ぐ らいまで加速する。シンクロトロン用加速空洞も電子の場合と異なり、加速周波数を大幅に変えられる構 造をとる。 (1) RFQが1970年に提案した[18]。RFQ加速管は金属円筒に4枚の羽（vane）が突出した構造である。高周波 をかけると羽の先端が交互に正、負に帯電し、中心を通る粒子に４極電場が働くようになる。こうしてイ オン源から出たビームが空間電荷力によって発散するのを防ぐ。磁場による偏向力は速度に比例するの で、低エネルギーイオンでは電場による収束が有効である。ただしRFQの特徴は、羽の先端が直線では なく波状にうねって加工されていることである。こうして軸方向電場成分が発生し、ビーム加速も可能に する。当然、うねり波長に高周波の周波数を乗じたもにが粒子速度に等しくなるように設計されている。 イオン源からの直流ビームが十分な収束力と加速力を受けつつ効率良く集群（bunching）されるように、 細心な軌道計算がおこなわれる。４極電場を発生するには、円筒空洞であればT E211モードを使う。た だしビーム軌道付近に電場を集中させるために
B
A A'
B'
A'
A
B B'
図22: RFQ加速管の模式図 図22のように4枚の羽を突き出す。そうすると図9と同様な電場の模様が形成される。4枚羽の先端は 図23のようにうねらせる。 (2) DTLDTLはDrift Tube Linacの略称で、発明者に因んでアルバレ(Alvarez)型加速管とも呼ばれる[19]。
この加速管はT M010モードで働く長い円筒空洞である。ただ、図24のように、軸方向電場が最適の加 速位相にあるとき以外はビームを電場から遮蔽するためのDrift Tubeが中心軸にそって並べられている。
Drift Tube間隙の周期は（規格化）ビーム速度βと高周波の波長λの積にほぼ等しい。従って下流に向か
うにつれてDrift Tubeは図のように細長くなってゆく。なお各Drift Tubeにはビームを横方向に収束する ためのQ磁石が収められている。 この方式が有効なのはβが0.5 (陽子では約200 MeV)程度までである。それ以上になると加速間隙に 電場が集中せず、シャント・インピーダンスが急激に低下するからである。そこで電子加速器と同様な定 在波型加速管が使われる。 (3)周波数可変加速空洞
11
高電界
対向する金属電極の間にかけられる最大電圧がいくらかということは、加速器にとってはなはだ大切な問題 である。これは昔から詳しく調べられていて、直流および200 MHz程度の連続あるいは殆ど連続に近い高周 波について耐圧限界をまとめたのがKilpatrick基準[20]と呼ばれる経験則である。 これによれば平行平板間の電圧W (Volts)と電界E (Volts/Centimeters)には W E2e−1.7×105E = 1.8 × 1014 という境界線があり、安定な電界を実現するには、これを越ない領域に加速機器を設計しなければならないと いうことである。電圧と電極間隙についてグラフにすると図25のようになる。これがまとめられてから半世 紀たった今日では、真空技術や電極表面処理法の進歩により数十%ほど限界が上昇しているようである。 電子リニアックでは数µ秒程度の短い高周波パルスを印加するので、放電限界はもっと高くなる。デー タ は 多くはな いが、SLAC のP. Wilson は 1 GHz か ら 10 GHz の リニアッ ク加速 管の表面 電界の 上限 Esurf acebreakdown(MV/m)を周波数f (GHz)の関数としてβ1λ β2λ β3λ
Coupling Loop Coupling Loop RF Input: f
RF Input: fRF RF = c/= c/λ
βnc = average beam velocity at the n-th drift tubec = average beam velocity at the n-th drift tube
Stem Stem Drift Tube Drift Tube Beam Beam 図24:アルバレ(Alvarez)型加速管
10
010
210
410
610
-810
-610
-410
-210
010
2gap = W/E (cm)
W (Volts)
spark region
non-spark region
図25: Kilpatrick基準則Esurf acebreakdown≈ 60f7/8 のように推定している[21]。 これによれば、よく使われる2856 MHzでは約160 MV/mになる。ビームが受ける平均の加速電界は加速 管表面の一番電界が高いところのほぼ1/2.5である。従って平均加速電界の上限は64 MV/mとなる。実際の データは、2856 MHzの加速管で約40 MV/m、11.4 GHzの加速管で約75 MV/mの平均加速電界が得られて いる。 さて、放電は電磁場エネルギーが荷電粒子群によって大きく消費される現象である。加速管は高真空に保た れているので、元になる荷電粒子は高電界によって電極から引出されるいわゆる電界放出電子である。この電 子が対向電極か高周波の場合もとの電極をも叩いて２次電子を作るとともに壁の原子も遊離させる。これらが 電磁場エネルギーを吸収してプラズマを形成し、それが成長するのが放電現象と考えられている。ここでは、 このもとになる電界放出電子について簡単に述べておく。電界放出電子による電流は電界放出電流あるいは暗 電流と呼ばれ、R. H. FowlerとL. Nordheimによってすでに1928年に理論が作られている[22]。金属表面の 電位が周囲に比べ低いと、金属のポテンシャル障壁の厚さは有限になり、フェルミ面の伝導電子はトンネル効 果で外部に引出される。これを計算したのがFowler-Nordheim理論であって、それによると電界放出電流の 電流密度jF は jF = 1.54 × 10 −6× 104.52φ−0.5 E2 φ exp −6.53 × 109φ1.5 E Amp/cm2 で与えられる。ここでEは金属表面のミクロな電界で単位はV/m、φは金属の仕事関数で単位はeVである。 この公式は直流電圧を印加した場合のものであって、高周波電場では1周期についての平均を取らなければな らない。結果は jF = 6.02 × 10−12× 104.52φ−0.5 E2.5 φ1.75 exp −6.53 × 109φ1.5 E Amp/cm2 となる[23]。 Eは金属表面のミクロな突起や汚れに左右される。実際の測定ではマクロに見た電界Emacroに対しEが β倍になっている、すなわち E = βEmacro として整理すると良く理論に合う。このβを電界増倍係数と呼び、綺麗で滑らかなな表面ほど小さい。また同 じ表面でも電圧をかけて馴らす（conditioning）することにより低減する。良質な無酸素銅表面について2856 MHzの空洞で測定すると、初めのβは300から400に達するが高電圧馴らしが進むと最善の場合20前後ま で下がる。しかしこれ以下にはどうしても到達しないようである。
