学習塾･家庭教師の先生方へ
よく受ける質問内容をもとに、この教材の効果的な使い方をお伝えいたします。 特に中学３年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります。 中学１･２年生の学年では、１年間で数学の教科書１冊を終えればよいのですが、３年生の場合はそういうわ けにはいきません。３年生の１年間で、３年生の教科書１冊と受験対策（１年～３年）を塾の講座で実施しな ければなりません。 学習塾におきましては、３年生の年間カリキュラムを以下のＡ．Ｂのように、大きく２つに分類できました。 Ａ．３年生の教科書内容の日々の学習指導と並行して受験対策をされている学習塾 Ｂ．３年生の教科書を前倒し（１１～１２月位）で終えて、それ以降受験対策をされる学習塾 Ａ．３年の教科書と並行して受験対策を実施されている場合 ① ３年生の教科書のある単元が終了した後にその単元から出題されている公立高校入試の過去問を 生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方。 ② ①と並行して１年生で学習した内容の各単元の重要事項を説明した上で、その単元から出題されて いる公立高校入試の過去問を生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方。 Ｂ．３年生の教科書を前倒し（１１～１２月位）で終えて、それ以降受験対策をされる ① 前倒しで３年生の教科書を終え、その後に受験対策として受験する都道府県の出題傾向に沿った単 元の過去問及びその類似問題を大量に解かせて高校入試レベルに引き上げる使い方。 ② 点数が取れない単元や不得意分野の過去問及び類似問題を大量に解かせて苦手を克服し得点につ なげる使い方 いずれの場合でも数学の受験対策は受験する都道府県の入試問題の出題傾向を分析した上で、その傾向に沿っ た問題（類似問題）の過去問演習をやらないわけにはいきません。（３年生対象の実力テスト・模試は、その 都道府県の傾向に沿った出題形式・出題内容である場合が多いようです。） また、例えば公立高校入試に出題される関数の問題はミックス問題が出題される都道府県が多くあります。 ３年で学習する放物線（二次関数）と１年比例･２年一次関数との組み合わせ問題が出題される都道府県では ３年生で学習する内容を終えなければ高校入試の過去問に手をつけられない事も起こりうる場合があります。 中学１･２年生の講座でも単元終了時点で、あるいは、その日に学習した内容の練習問題として、徐々に高校 入試レベルの問題に触れさせることも可能です。高校入試の問題が解けることによって生徒各自のモチベーシ ョンが上がるようです。 学習塾や家庭教師の先生方は年間カリキュラムの中でアレンジしてお使い下さい。中学生各自で利用される場合
公立高校入試の受験対策学習は各自が受験する都道府県の公立高校入試の出題傾向に沿った問題を数多く演 習して下さい。まずは自分が受験する公立高校入試問題の出題傾向を一覧表で確認し、出題可能性の高い単元 からの問題を確実に解けるようにして下さい。 この教材は ■ 数学の成績を短期間に伸ばせる・定期テスト・実力テスト・公立高校入試のための実践力・得点力を付け られる！ ■ 点数が取れない分野・単元を克服できる！ ■ 不得意・苦手を克服できる！ ■ 中学１年生でも２年生でも学校で習った内容が高校入試でどのように出題されるのか、どんな問題が出る のか、早い段階から受験対策を進めることができる！ ■ 自分が受験する公立入試の傾向をつかんだ効率よい学習ができる！ ■ 自宅で自分のペースで学習を進めることができる！ この様な中学生に最適な教材です。３－２．平面図形 合同の証明
複合問題ほか ２００３年度出題
【問１】 図の長方形ABCDで，対角線ACに点B，Dから垂線をひき，その交点をそれぞれ点E，Fとする。 このとき，△ADF≡△CBEとなることを証明しなさい。 （青森県 2003年度） 解答欄 証明 解答 解説【問２】 図のように，∠BADが鈍角である平行四辺形ABCDがあり，辺CDの中点をEとし，辺ADの延長と線分BEの延長 との交点をFとします。また，点Aから線分BFに垂線をひき，線分BFとの交点をHとします。 このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。 （岩手県 2003年度） (1) △EBC≡△EFDであることを証明しなさい。 (2) AD＝AH＝BH＝2 cmのとき，平行四辺形ABCDの 面積を求めなさい。 解答欄 (1) 証明 (2) cm2 解答 解説
【問３】 図で，四角形ABCDは平行四辺形である。線分BCの中点をE，線分AEとDCを延長した直線の交点をFとする。 次の(1)，(2)の問いに答えなさい。 （秋田県 2003年度） (1) 平行四辺形ABCDの面積が20 cm2のとき，△ABEの面 積を求めなさい。 (2) △ABE≡△FCEとなることを下のように証明した。 にあてはまる記号またはことばを書きなさい。 ［証明］ △ABEと△FCEにおいて 仮定から，BE＝ は等しいことから， ∠AEB＝∠FEC は等しいことから， ∠ABE＝∠FCE したがって， がそれぞれ等しいから， △ABE≡△FCE 解答欄 (1) cm2 (2) ［証明］ △ABE と△FCE において 仮定から，BE＝ は等しいことから， ∠AEB＝∠FEC は等しいことから， ∠ABE＝∠FCE したがって， がそれぞれ等しいから， △ABE≡△FCE
解答 解説
【問４】 図で，合同な三角形はどれとどれか。記号≡を使って表しなさい。 （福島県 2003年度） 解答欄 解答 解説
【問５】 図のように，∠BAC＝45°の△ABCがある。頂点Aから辺BCに垂線をひき，辺BCとの交点をPとする。また，頂点 Bから辺ACに垂線をひき，辺ACとの交点をQとし，線分APと線分BQの交点をRとする。 このとき，△ARQ≡△BCQであることを証明しなさい。 （茨城県 2003年度） 解答欄 証明 解答 解説
【問６】 次の会話文を読んで，後の(1)，(2)の問いに答えなさい。 （群馬県 2003年度） 黒板にかかれた図と条件 田中先生：黒板の図で，HとB，B′，C，C′とをそれぞれ直線で結 ぶと∠BHB′＝∠CHC′となります。このことを証明す るには，どの三角形とどの三角形の合同をいえばよいと 思いますか。 春彦さん：三角形 ア と三角形 イ との合同をいえばよいと 思います。 田中先生：そうですね。では，∠BHB′＝∠CHC′であることを証 明してみてください。 ①△ABC≡△A′B′C′ ②Hは，線分BB′，CC′の垂直二等 分線の交点 春彦さんの黒板での証明 Hが，線分BB′，CC′の垂直二等分線の交点より， HB＝HB′，HC＝HC′…① ウ ＝ エ (△ABC≡△A′B′C′より)…② よって，①，②より， オ から，△ ア ≡△ イ さらに，[ カ ] よって，∠BHB′＝∠CHC′ 田中先生： そのとおりです ! この図から，他に何か気づくことはありませんか。 夏子さん： Hは線分AA′の垂直二等分線上の点ですか ? そうだとすれば，HA＝HA′となると思います。 田中先生： よいところに気づきましたね。HA＝HA′であることを証明してみてください。 (1) 会話と春彦さんの証明において， ア ～ エ にはそれぞれ適する記号を入れなさい。 オ には三角形 の合同条件をそれぞれ入れなさい。また，[ カ ] に適する式やことばを入れなさい。 (2) HA＝HA′であることを証明しなさい。
解答欄 ア イ ウ エ オ (1) カ (2) 証明 解答 解説
【問７】
図のように，線分ABを直径とする半円Oの⌒ABを５等分します。そのうち，⌒ABを1：4に分ける点をC，3：2に分ける 点をDとします。線分BCとADとの交点をEとし，点Eから直径ABに垂線をひき，その交点をFとします。 このとき，次の各問に答えなさい。 （埼玉県 2003年度） (1) ∠DEBの大きさxを求めなさい。 (2) △AEFと△AECが合同であることを証明しなさい。 解答欄 (1) 度 (2) 証明 解答 解説
【問８】 図１で，四角形ABCDは，AB＜ADの平行四辺形である。 点Pは平行四辺形ABCDの辺AD上にある点で，頂点A，Dのいずれにも一致しない。 点Qは平行四辺形ABCDの辺BC上にある点で，頂点B，Cのいずれにも一致しない。 頂点Aと点Qを結んだ線分と，頂点Bと点Pを結んだ線分との交点をEとする。 次の各問に答えよ。 （東京都 2003年度） 問１．図１において，∠ABC＝70°，AB＝AP＝AQのとき，∠AEPの大きさ は何度か。 問２．図２は，図１において，AP＝BQの場合を表している。 次の①，②に答えよ。 ① △AEP≡△QEBであることを証明せよ。 ② 図３は，図２において，頂点Cと点Pを結んだ線分と，頂点Dと点Q を結んだ線分との交点をFとした場合を表している。 四角形PEQFの面積は，平行四辺形ABCDの面積の何分のいく つか。 図３ 図２ 図１
解答欄 問１ 度 ① 証明 △AEP と△QEB において， △AEP ≡△QEB 問２ ② 解答 解説
【問９】 図のように，１辺の長さが2 3cmの正方形ABCDがあり，辺ABの中点をOとし，Oを中心としてOAを半径とする半 円をつくる。弧AB上に線分AEの長さが 3cmとなる点Eをとり，線分AEの延長と辺CDとの交点をF，線分BEの延 長と辺ADとの交点をGとするとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。 （新潟県 2003年度） (1) ∠BAEの大きさと∠ABEの大きさの和は何度か答えなさい。 (2) △ABG≡△DAFであることを証明しなさい。 (3) 弧AEと線分EG，GAで囲まれた斜線部分の面積を求めなさい。ただ し，円周率はπとする。 解答欄 (1) 度 (2) 証明 (3) cm2 解答 解説
【問10】 AB＝6 cm，BC＝8 cmの平行四辺形ABCDがある。この平行四辺形の辺BC上に点Eをとり，AとEを結ぶ。 Eのとり方を(1)～(3)のように変えたとき，次の問いに答えなさい。 （富山県 2003年度） (1) 図Ⅰのように，AEが∠BADの二等分線となるようにEをとるとき， ECの長さを求めなさい。 (2) 図Ⅱのように，AE＝ABとなるようにEをとり，AとC，DとEをそれぞ れ結ぶ。 ① △AEDと合同な三角形を２つあげなさい。 ② ①であげた２つの三角形のどちらかを選び，△AEDと合同で あることを証明しなさい。 (3) AEが∠BADの二等分線で，AE＝ABであるEがとれるとき，平行 四辺形ABCDの面積を求めなさい。 解答欄 (1) cm ① △AED ≡ △AED ≡ (2) ② 証明 △AEDと において (3) cm2 解答 解説 図Ⅰ 図Ⅱ
【問11】 図のように，点Oを中心とし，線分ABを直径とする半円と，その外部に点Cがある。線分BCと半円の交点をD，線 分ACの中点をEとする。 このとき，次の問いに答えよ。 （福井県 2003年度） (1) △OAE≡△ODEであることを証明せよ。
(2) AB＝8 cm，AC＝6 cm，∠ABC＝30°とする。 ア CDの長さを求めよ。 イ 四角形ODEAの面積を求めよ。 解答欄 (1) 証明 ア cm (2) イ cm2 解答
【問12】 図で，△ABCはAB＝ACの二等辺三角形である。辺AB，ACの中点をそれぞれD，Eとし，線分BEとCDの交点を Fとする。 このとき，下の図の中には，△BDFと△CEFのように合同な三角形の組がいくつかある。△BDFと△CEF以外の 合同な２つの三角形を１組見つけ，合同であることを証明しなさい。 （山梨県 2003年度） 解答欄 合同な三角形… △ と△ 証明 解答 解説
【問13】
図のように，AB＝3 cm，AC＝4 cmの△ABCがある。∠Aの二等分線をひき，BCとの交点をDとする。また，辺 AC上に点EをAE＝3 cmとなるようにとる。 このとき，次の問１，問２に答えなさい。 （和歌山県 2003年度） 問１．△ABDと△AEDが合同であることを証明しなさい。 問２．△ABCと△EDCの面積の比を求め，最も簡単な整数の比 で表しなさい。 解答欄 問１ 証明 問２ △ABC：△EDC＝ ： 解答 解説
【問14】 図Ⅰの△ABCは，AC＝1 cm，BC＝2 cm，∠A＝90°の直角三角形である。この△ABCの内部に点Pをとり， PA＋PB＋PCの長さについて考える。 このとき，次の各問いに答えなさい。 （鳥取県 2003年度） 問１．辺ABの長さを求めなさい。 問２．図Ⅱのように，図Ⅰで辺BCと線分PCをそれぞれ１辺とする２つの正 三角形△BDC，△PECをつくるとき△PBC≡△EDCであることを証 明したい。 解答欄の に，必要なことを述べて，証明を完成させなさい。 問３．問２からPB＝EDであることがいえる。またPC＝PEであるから，PA＋ PB＋PC＝AP＋PE＋EDである。 PA＋PB＋PCの長さが最も短くなるとき， (1) PA＋PB＋PCの長さを求めなさい。 (2) また，そのときの∠APBの大きさを求めなさい。 図Ⅰ 図Ⅱ 解答欄 問１ AB＝ cm 問２ 証明 △PBC と△EDC で， △PBC≡△EDC (1) cm 問３ (2) ∠APB＝ 度
解答 解説
【問15】
図１のように，円周上の点Aから，⌒AB＝⌒ACとなる円周上の異なる２点B，Cをとり，二等辺三角形ABCをつくった。 辺ACについてBと反対側の⌒AC上に点Pをとり，辺ACとBPの交点をQとする。Pが⌒AC上を動くとき，次の問１～問４に 答えなさい。 （島根県 2003年度） 問１．解答用紙の図において，△ACPの面積が最大となる点Pを作図して示しなさ い。ただし，作図に用いた線を消さないこと。 問２．図２のように，AB∥PCのとき，面積の等しい三角形の組は下の例のほかにい くつか考えられる。そのうち，１組だけ書きなさい。 例 △ABCと△ABP 問３．図３のように，⌒BC＝⌒CPのとき，△ABQ≡△ACPであることを証明しなさい。 問４．図４のように，BPがこの円の中心Oを通る。OB＝2 cm，BC＝3 cmとすると き，次の１，２に答えなさい。 １．CPの長さを求めなさい。 ２．△ABPの面積を求めなさい。 図１ 図２ 図３ 図４
解答欄 問１ 問２ と 問３ 証明 １ cm 問４ ２ cm2 解答 解説
【問16】 図のように，１辺が4 cmの正三角形ABCがあり，辺ACの中点をMとする。正三角形ABCの外側に正三角形DBA と正三角形MCEをつくる。 このとき，次の(1)～(4)の各問いに答えなさい。 （佐賀県 2003年度） (1) △ADM≡△CBEであることを証明しなさい。 (2) △EMBにおいて∠EMBの大きさを求めなさい。 (3) DMの長さを求めなさい。 (4) △ADMの面積を求めなさい。 解答欄 (1) (2) 度 (3) cm (4) cm2 解答 解説
【問17】 図１，図２のように，平行四辺形ABCDがあり，AB＝8 cm，BC＝10 cm，∠BAD＝120°である。辺ADの中点を Mとするとき，次の問いに答えなさい。 （長崎県 2003年度） 問１．∠ABCの大きさは何度か。 問２．図２のように，線分BMの延長と辺CDの延長との交点をEとす る。このとき，△ABM≡△DEMであることを証明せよ。 問３．図３，図４のように，図１の平行四辺形ABCDを点Bが点Mに重 なるように折り返すと，折り目は辺AB上の点Fと辺BC上の点G とを結ぶ線分FGとなった。このとき，次の(1)～(3)に答えよ。 (1) 折り目となる線分FGを定規とコンパスを用いて作図せよ。 ただし，定規は直線や線分をひくときに使い，長さを測った り角度を利用したりしてはならない。なお，作図に用いた線 は消さずに残しておくこと。 (2) 図４のように，点Mから線分GCにひいた垂線と線分GCとの 交点をHとするとき，線分MHの長さは何cmか。 (3) 図４において，線分MGの長さは何cmか。 図１ 図２ 図３ 図４
解答欄 問１ ° 問２ 証明 (1) (2) cm 問３ (3) cm 解答 解説
【問18】 図Ⅰのように，長方形ABCDの対角線の交点をO，交点Oを通る直線ℓ と辺AD，BCの交点をそれぞれE，Fとす る。図Ⅰについて，ひろ子さんは次のことに気づいた。 の中を読んで，①，②の問いに答えなさい。 （大分県 2003年度） 図Ⅰにおいて，△AOE≡△COF，△AOB≡△COD，△BOF≡△DOEであるから，四角形ABFE と四角形EFCDの面積は等しい。したがって，長方形ABCDの対角線の交点を通る直線ℓ は，長方形 ABCDの面積を二等分する。 ① 図Ⅰにおいて，△BOF≡△DOEであることを，次のように証明した。次の( ア )，( イ )をうめて，証明を完成し なさい。 【証明】 △BOFと△DOEにおいて， 長方形は平行四辺形で，その対角線はそれぞれの( ア )で交わるから， OB＝OD 対頂角は等しいから，∠BOF＝∠DOE 平行線の錯角は等しいから，∠OBF＝∠ODE ( イ )がそれぞれ等しいから， △BOF≡△DOE ② 次の( ウ )，( エ )には適する記号を，また，( オ )には適する数を記入しなさい。 ひろ子さんが気づいたことを用いると，図Ⅱのような土地の 面積は，長方形( ウ )の対角線の交点と長方形( エ )の 対角線の交点を通る直線で二等分できる。また，この２つの 交点を結ぶ線分の長さは( オ )mになる。 解答欄 ア ① イ ウ エ ② オ m (図Ⅱ) (図Ⅰ) (ひろ子さんが気づいたこと)
解答 解説
