ii
目 次
目 次 ii ギリシャ文字一覧 iii 第3章 微分 1 9 微分の基礎. . . . 1 関数. . . . 1 いくつかの基本的な関数 . . . 1 逆関数、合成関数および陰関数 . . . . 3 極限値・連続 . . . . 5 微分係数 . . . . 10 導関数. . . 11 10 接線・増減・極限 . . . . 13 接線. . . . 13 増減・極値 . . . 14 最大値・最小値. . . . 15 平均値の定理 . . . . 16 11 初等関数の微分 . . . . 20 合成関数の微分. . . 20 対数関数・指数関数の微分. . . 22 三角関数の微分. . . 25 12 偏導関数とその応用 . . . . 28 二変数の関数 . . . . 28 偏導関数 . . . . 31 極値・最大値・極小値 . . . . 32 条件付き極値 . . . . 34 第4章 積分 35 13 不定積分 . . . 35 置換積分法 . . . 36 部分積分法 . . . . 37 分数関数の積分. . . . 38 14 定積分 . . . . 39 定積分. . . . 39 置換積分法・部分積分法 . . . . 42 偶関数・奇関数の積分 . . . . 44 15 定積分の意味、応用、拡張 . . . 45 和の極限値としての定積分. . . . 45 立体の体積 . . . . 47 広義積分 . . . . 48 16 簡単な微分方程式 . . . . 51 微分方程式と解. . . . 51 変数分離形 . . . . 53 線形微分方程式. . . 55ギリシャ文字一覧
ギリシア文字 読み方 大文字 小文字 読み方 大文字 小文字 alpha A α beta B β gamma Γ γ delta ∆ δ epsilon E ϵ, ε zeta Z ζ eta H η theta Θ θ, ϑ iota I ι kappa K κ lambda Λ λ mu M µ nu N ν omicron O o xi Ξ ξ pi Π π, ϖ rho P ρ, ϱ sigma Σ σ, ς tau T τ upsilon Υ υ phi Φ ϕ, φ chi X χ psi Ψ ψ omega Ω ω1
第
3
章 微分
9.
微分の基礎
関数 取り扱う数はすべて実数 とする。 区間 a, b∈ , a < b とする。 [a, b] ={x ∈ | a ≤ x ≤ b} : 有界閉区間 (a, b) ={x ∈ | a < x < b} : 有界開区間 [a, b) ={x ∈ | a ≤ x < b} : 半開区間 (a, b] ={x ∈ | a < x ≤ b} : 半開区間 点 a、b を端点という。 さらに [a, +∞) = {x ∈ | a ≤ x} : 無限閉区間 (a, +∞) = {x ∈ | a < x} : 無限開区間 (−∞, b) = {x ∈ | x < b} : 無限開区間 (−∞, b] = {x ∈ | x ≤ b} : 無限閉区間 この記号を用いると = (−∞, ∞) と書ける。 関数の変数が動くと考える範囲 D をその関数の定義域（domain）という。 x∈ D に対して、実数 y ∈ を対応させる規則が与えられているとき、この対応規則を集合 D 上で定義された 関数という。x：独立変数（independent variable）、説明変数（explanatory variable）
y：従属変数（dependent variable）、被説明変数（explained variable）
対応関係を f とするとき、x と y の関係を y = f (x) と表す。 D：定義域（domain） { y| y = f(x), x ∈ D } ：関数 f の値域（range） この章では、D⊆ 、値域 ⊆ の場合のみ考える。 いくつかの基本的な関数 ① 多項式関数 a0, a1, a2,· · · , an∈ 、 n：自然数 x∈ に対して、関数 f (x) = a0+ a1x + a2x2+· · · + anxn を n 次多項式関数、または n 次関数という。 ② 有理関数と無理関数 P (x)、Q(x)：多項式関数（Q(x) は恒等的にゼロでない） ⋄ x ∈ に対して、関数 f (x) =P (x) Q(x)
を有理関数という。 ⋄ 有理関数の開方演算を含む関数を無理関数という。 ③ 指数関数、対数関数 ⋄ 正数 a > 0 に対して、 f (x) = ax によって定義される関数を指数関数（exponential function）という。 この指数関数の定義域は実数全体 となり、このとき、値域 R は、半開区間 (0, +∞) である。とくに、a とし て、自然対数の底e を用いた f (x) =ex がよく用いられる。 ここで、 e = limn→+∞ ( 1 + 1 n )n + 2.71828 · · · となり、この極限値は自然対数の底、Napier's constant （ネイピア定数）とよばれる無理数で、円周率 π と並んで 重要な定数である。 an= (1 + 1 n) n について計算すると右のような表になる。 n anの値 1 2 2 2.25 4 2.44140625 8 2.565784514 16 2.637928497 32 2.676990129 64 2.697344953 128 2.70773902 256 2.712991624 512 2.715632 1) a = 1 のとき f (x) = ax≡ 1 である。 2) a > 1 のとき、単調増加関数。 3) a < 1 のとき、単調減少関数。 関数の単調増加性と単調減少性については、教科書75（14）ページにおいて定義されている。 0 x y y 0 x 0 x y a = 1 a > 1 a < 1 なお、指数関数 f (x) = axは自然対数 log を用いて f (x) =ekx, k = log a とかける。 ⋄ a > 0 に対して、 f (x) = logax によって定義される関数を対数関数（logarithmic function）という。指数と対数の関係は y = ax ⇐⇒ x = logay である。
9 微分の基礎 3
この対数関数の定義域は半開区間 (0, +∞) となり、このとき、値域 R は、実数の集合 = (−∞, +∞) である。
とくに、a として、自然対数の底e を用いた
f (x) = logex = ln x = log x
がよく用いられる。
log10 ：常用対数（common logarithm）
ln = loge= log ：自然対数（natural logarithm） 1) 0 < a < 1 のとき、単調減少関数。 2) a > 1 のとき、単調増加関数。 なお、対数関数 f (x) = logax は logax = log x log a であるから f (x) = k log x, k = 1 logea とかける。 ④ 三角関数 角度 θ を弧度法（ラジアン）で測る。 角度 0◦ · · · 30◦ · · · 60◦ · · · 90◦ · · · 180◦ · · · 360◦ ラジアン 0 · · · π 6 · · · π 3 · · · π 2 · · · π · · · 2π 0 1 x −1 y 1 −1 sin θ cos θ tan θ = sin θ cos θ 半径1 の円 θ 逆関数、合成関数および陰関数 ① 逆関数 y と x の間に y = f (x) という関数関係が成立している。このとき、y から x を決定する式、つまり、x = g(y) という形の式を導くことができるとき、この関数 g を f の逆関数という。通常、 f−1 と表す。 【例題】 関数 f (x) = 3x + 2 の逆関数を求めよ。 【解】 y = 3x + 2 とおき、x について解くと、 x =y− 2 3 よって、y から x を決定づける関数 g(y) は、 g(y) = y− 2 3 基礎数学I & II 3
よって、逆関数は f−1(x) = x− 2 3 となる。 // 【例題】 指数関数 f (x) =exの逆関数をもとめよ。 【解】y =exとして、x について解くと、 y = ax ⇐⇒ x = logay という指数関数と対数関数の関係より、 x = logey よって、逆関数は f−1(x) = log x = ln x となる。 // 【例】三角関数に対して、次のような逆関数が定義される。
⋄ Sin−1(x)：sin x が角度から値（正弦比）を求めるのに対し、sin−1x は値から角度を求める関数で、定義域は、
[−1, 1] である。sin x は周期関数であるので、区間 [−π/2, π/2] に対する逆関数は主値とよばれ、Sin−1(x) であら
わす。
cos x、tan x の逆関数の主値をそれぞれ、Cos−1(x)、Tan−1(x) で表す。
一般に、関数 y = f (x) のグラフとその逆関数 y = f−1(x) のグラフは直線 y = x に対して、線対称となって いる。 三角関数 対応する逆関数 sin x Sin−1(x) cos x Cos−1(x) tan x Tan−1(x) ② 合成関数 x と y の間に y = f (x) という関数関係が成立。 y と z の間に z = g(y) という関数関係が成立。 このとき、関数 f (x) の値域が関数 g(y) の値域に含まれるとき z = g(f (x)) という関数関係が成立する。これを合成関数といい、(g◦ f)(x) で表す。よって、 z = g(f (x)) = (g◦ f)(x) x y = f (x) y z = g(y) z z = (g◦ f)(x)
9 微分の基礎 5 【例】 f (x) =ex, g(y) = sin y 定義域はともに とする。このとき、 (g◦ f)(x) = g(f(x)) = g(ex) = sin(ex) (f◦ g)(x) = f(g(x)) = f(sin x) = esin x ここで、esin xを exp(sin x) と書くこともある。 ③ 陰関数 x：独立変数、y：従属変数 y = f (x)：陽関数（explicit function） F (x, y) = 0：陰関数（implicit function） y = f (x) のとき、 y− f(x) = F (x, y) = 0 であるから、陽関数は常に陰関数で表現できる。 【問題9.1】 略 極限値・連続 定義9.1 極限値、収束 関数 y = f (x) について変数 x の値をある値 a に限りなく近づけるとき関数 f (x) の値が一定値 A に限りなく 近づくならば、x が a に近づくとき f (x) は値 A に収束するといい、A を極限値という。これを f (x)→ A （x → a） または lim x→af (x) = A と書く。 ⋄ x = a + h とおくと、x → a と h → 0 は同じであるから、 lim h→0f (a + h) = A と書くこともできる。 ⋄ 関数 y = x2について、x→ 2 のとき極限値 4 が x = 2 における関数 x2の値と同じである。しかし、一般的 には極限値は x→ a のとき関数 f(x) の近づいていく値であって、x = a における関数の値であるとは限らない。 極限値を考えるとき、関数 f (x) は x = a で定義されていなくてもよいし、定義されていても極限値 A が関数の値 f (a) に一致するとは限らない。 【関数の極限】（ε− δ 論法） ⋄ 任意の正数 ε > 0 に対して、ある δ > 0 が存在して、0 < x − a < δ となるすべての x について |f(x) − R| < ε が成り立つとき、関数 f (x) は x を点 a に右から近づけるとき、右極限値R が存在するといい、 lim
x→a+f (x) = limx↓af (x) = R
とかく。
⋄ 任意の正数 ε > 0 に対して、ある δ > 0 が存在して、0 < a − x < δ となるすべての x について |f(x) − L| < ε
が成り立つとき、関数 f (x) は x を点 a に左から近づけるとき、左極限値L が存在するといい、 lim
x→a−f (x) = limx↑af (x) = L
とかく。 ⋄ 任意の正数 ε > 0 に対して、ある δ > 0 が存在して、0 < |x − a| < δ となるすべての x について |f(x) − M| < ε が成り立つとき、関数 f (x) は x を点 a に近づけるとき、極限値M が存在するといい、 lim x→af (x) = M とかく。 【例】 (i) lim x→ax = a であるから、 lim x→ax n = ( lim x→ax ) · · · ( lim x→ax ) = ( lim x→ax )n = an (ii) n 次多項式関数 f(x) = c0+ c1x + c2x2+· · · + cnxnに対して、 lim
x→af (x) = limx→a
{
c0+ c1x + c2x2+· · · + cnxn
} = c0+ c1 lim
x→ax + c2xlim→ax
2 +· · · + cnlim x→ax n = c0+ c1a + c2a2+· · · + cnan= f (a) (iii) lim x→2 x2+ 4x− 5 x2+ 2x− 3 = lim x→2(x 2 + 4x− 5) lim x→2(x 2+ 2x− 3) =2 2+ 4× 2 − 5 22+ 2× 2 − 3= 7 5 (iv) lim x→1 x2+ 4x− 5 x2+ 2x− 3 = limx→1 (x− 1)(x + 5) (x− 1)(x + 3) = lim x→1 x + 5 x + 3 =1 + 5 1 + 3= 3 2 【例題9.1】 x → 1 のとき、次の関数の極限値を求めよ。 (1) f(x) =x3− 1 x− 1 (2) g(x) = { x2+ x + 1 （x̸= 1） 1 （x = 1） 【解】 (1) f(x) は x = 1 のとき、分母がゼロとなるので、定義されていないが、x ̸= 1 のとき、分子・分母に共通の 因子 (x− 1) をもつので、 f (x) = x2+ x + 1
9 微分の基礎 7 である。したがって、 lim x→1f (x) = limx→1 x3− 1 x− 1 = lim x→1(x 2 + x + 1) = 3 0 x y 1 3 x = 1でのf (x)の値は 定義されていない。 f (x) 0 x y 1 3 x = 1でf (x) = 1 g(x) (2) 関数：f (x) = x 3− 1 x− 1 関数：g(x) = { x2+ x + 1 （x̸= 1） 1 （x = 1） であるから、関数は点 x = 1 の値のみで異なっている。関数 g(x) について、x の値を1 に近づけると関数 g(x) の値は3 に近づく。よって、 lim x→1g(x) = 3, g(1) = 1 ということが得られる。 // 【問題9.2】 略 定義9.2 極限値、収束 関数 y = f (x) について変数 x の値を限りなく大きくするとき関数 f (x) の値が一定値 A に限りなく近づくな らば、x を無限大にするとき f (x) は極限値A に収束するといい、これを f (x)→ A （x → +∞） または lim x→+∞f (x) = A と書く。 【x→ +∞、x → −∞ についての極限】 任意の正数 ε > 0 に対してある数 N を適当に選び、x > N である任意の x について|f(x) − L| < ε が成立す るようにできるとき、極限 lim x→+∞f (x) が存在するといい、これを lim x→+∞f (x) = L とかく。ε− δ 論法で書くと、 ∀ε > 0, ∃N such that x ≥ N =⇒ |f(x) − L| < ε 同様に ∀ε > 0, ∃N such that x ≤ N =⇒ |f(x) − L| < ε 基礎数学I & II 7
によって、 lim x→−∞f (x) = L を定義する。 【例】 (i) lim x→+∞ 1 x= 0 (ii) lim x→+∞ 3x2+ 2x + 1 2x2+ x− 5 =x→+∞lim 3 + 21 x+ 1 x2 2 + 1 x− 5 1 x2 （∵ 分子・分母を最大次数 x2で割った） = lim x→+∞ 3 + 0 + 0 2 + 0− 0 （∵ limx→+∞ 1 x= 0） =3 2 (iii) lim x→+∞( √ x2+ x− x) = lim x→+∞ (√x2+ x− x)(√x2+ x + x) √ x2+ x + x （∵ 分子の有理化） = lim x→+∞ x2+ x− x2 √ x2+ x + x = lim x→+∞ x √ x2+ x + x = lim x→+∞ 1 √ 1 + 1 x+ 1 （∵ 分子分母を最大次数 x で割った） = 1 1 + 1 = 1 2 自然対数の底 lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x = lim x→−∞ ( 1 +1 x )x =e ここで、e は教科書 84（2）ページで定義されている自然対数の底（Napier 定数） e = limn→+∞ ( 1 +1 n )n 定義9.3 正の無限大に発散する 変数 x の値をある値 a に限りなく近づけるとき、どのような近づき方に対しても関数 f (x) の値が限りなく大 きくなれば、f (x) は正の無限大に発散するといい、これを f (x)→ +∞ （x → a） または lim x→af (x) = +∞ と書く。
9 微分の基礎 9 【+∞ に定発散】 x→ a とするとき関数 f(x) の値が限りなく大きくなるとき、f(x) は x → a のとき +∞ に定発散するといい、 lim x→af (x) = +∞ とかく。 ε− δ 論法で書くと ∀M > 0, ∃δsuch that 0 < |x − a| < δ =⇒ f(x) > M 同様に lim
x→a−f (x) = +∞, xlim→a+f (x) = +∞
が定義される。 【−∞ に定発散】 x→ a とするとき関数 f(x) の値が限りなく小さくなるとき、f(x) は x → a のとき −∞ に定発散するといい、 lim x→af (x) =−∞ とかく。 ε− δ 論法で書くと ∀M > 0, ∃δsuch that 0 < |x − a| < δ =⇒ f(x) < −M 同様に lim
x→a−f (x) =−∞, x→a+lim f (x) =−∞
が定義される。 【例】 (i) f(x) = 1 xは、x→ 0+ のとき +∞ に定発散し、x → 0− のとき −∞ に定発散する。 (ii) f(x) = 1 x2 は、x→ 0 のとき +∞ に定発散する。
(iii) f(x) = log x は、x → 0+ のとき −∞ に定発散する。log x の定義域は (0, +∞)
(iv) f(x) = sin(x1) は、x→ 0 とするとき、+∞ へも、−∞ へも発散しない。−1 ≤ f(x) ≤ 1 の範囲で振動する。
点 x をある値 a に近づけたとき、収束もしなく、発散もしないとき、振動するという。
定理9.1 f(x)、g(x)：関数
lim
x→af (x) = A, xlim→ag(x) = B
(1) limx→a (
f (x)± g(x)
) = lim
x→af (x)± limx→ag(x) （復号同順）
(2) limx→a ( k· f(x) ) = k· lim x→af (x) （k：定数） (3) limx→a ( f (x)· g(x) ) = lim
x→af (x)· limx→ag(x)
(4) limx→af (x)g(x) = lim x→af (x) lim x→ag(x) （B̸= 0） 教科書86（25）ページの事柄として以下のことが成り立つ。 基礎数学I & II 9
角度 θ を弧度法（ラジアン）で測るとき、 lim θ→0 sin θ θ = 1 定義9.4 連続性 関数 f (x) について定義域 D の一点 x = a で lim x→af (x) = f (a) であるとき、f (x) は x = a で連続であるという。f (x) が定義域 D の各点で連続ならば、f (x) は D で連続で あるという。 【関数の点連続性】
関数 f (x) が区間 (a, b) で定義されており、a < c < b である点 c に対して lim
x→cf (x) が存在し、かつ limx→cf (x) = f (c) が成り立つとき、関数 f (x) は点 x = c において点連続であるという。 ε− δ 論法で書くと、 ∀ε > 0, ∃δsuch that |x − c| < δ =⇒ |f(x) − f(c)| < ε 【関数の区間連続性】 ⋄ 関数 f(x) が区間 (a, b) で定義されており、この区間内の任意の点で点連続であるとき、f(x) はこの区間で連 続であるという。
⋄ f(x) が区間 [a, b] で定義されており、区間 (a, b) で連続、かつ lim
x↓af (x) = f (a)、limx↑bf (x) = f (b) であるとき、 f (x) は区間 [a, b] で連続であるという。ここで、lim x↓af (x) = f (a)、limx↑bf (x) = f (b) については5ページ参照。 【例】関数 xn（n は自然数）、ex、sin x は、区間 (−∞, +∞) で連続である。 【例】 不連続な関数の例 (i) f(x) =|x|x は x = 0 において不連続。 (ii) f(x) = 1 x− 2 は x = 2 において不連続。 【例題9.2】f(x) = x2は実数の全区間 で連続であることを証明せよ。 微分係数 y = f (x)：開区間 D で定義された関数。 a、∆x：a∈ D、a + ∆x ∈ D とする。 ∆y = f (a + ∆x)− f(a) を点 a における増分∆x に対する y = f (x) の増分とよぶ。 ∆x̸= 0 のとき、 ∆y ∆x= f (a + ∆x)− f(a) (a + ∆x)− a = f (a + ∆x)− f(a) ∆x
9 微分の基礎 11 を点 a における増分 ∆x に対する平均変化率とよぶ。 定義9.5 微分の定義 極限 lim ∆x→0 ∆y ∆x= lim∆x→0 f (a + ∆x)− f(a) ∆x が存在し、有限な値となるならば、関数 f (x) は点 x = a において微分可能であるといい、 f′(a) = lim ∆x→0 f (a + ∆x)− f(a) ∆x で表し、f′(a) を点 x = a における f (x) の微分係数という。 【例題9.3】次の関数 y = f(x) の x = a における微分係数を求めよ。 (1) x (2) x2 (3) x3 (4) k （定数） (5) 1 x 導関数 定義9.6 微分の定義 区間 D の任意の点で微分可能ならば、f (x) は区間 D で微分可能であるという。また、各点 x における微分係 数 f′(x) を x の関数と考えて、f (x) の導関数といい、 f′(x), y′, dy dx, df(x) dx とかくこともある。
∀ε > 0, ∃δsuch that |∆x| < δ =⇒ |f (a + ∆x)− f(a)
∆x − f ′(a)| < ε 導関数を求めることを、関数を微分するという。 定理9.2 関数 f(x) は微分可能な点 x = a で連続である。したがって、f(x) が区間 D で微分可能ならば、D で連続である。 【証明】 x = a における x の増分 h に対して (9.1) f (a + h)− f(a) h = f ′(a) + ε とおくと、h→ 0 のときの左辺の極限値が f′(a) であるから ε→ 0 （h → 0） である。式(9.1) で分母を払って、h → 0 とすれば、 f (a + h)− f(a) = h × (f′(a) + ε)→ 0 基礎数学I & II 11
であるから、 lim h→0 { f (a + h)− f(a) } = 0 ∴ lim h→0f (a + h) = f (a) よって、f (x) は x = a で連続である。 // 定理9.3 微分公式 f(x)、g(x)：開区間 D で微分可能な関数 (1) dxd { f (x)± g(x) } = d dx { f (x) } ±dxd { g(x) } （復号同順） (2) dxd { k× f(x) } = k× d dx { f (x) } （k：定数） (3) dxd { f (x)× g(x) } = d dx { f (x) } × g(x) + f(x) ×dxd { g(x) } (4) dxd { f (x) g(x) } =f ′(x)g(x)− f(x)g′(x) g2(x) （ただし、g(x)̸= 0 の範囲） 【例題9.4】 定理 9.3 の公式を用いて、次の関数を微分せよ。 (1) f(x) = x3 − 2x2 + 3 (2) f(x) = (x + 1)(x2− 3) (3) f(x) =x 2+ 1 x− 2 定理9.4 任意の整数 n について (xn)′= nxn−1 【証明】 ⋄ n ≥ 0 の場合 n についての数学的帰納法を用いる。 n = 0 のとき x0= 1 であるから、f (x) = 1 に対して、 (9.2) f (a + h)− f(a) h = 1− 1 h = 0 であるから、平均増加率は常にゼロで、よって、 d dx { x0 } = d dx { 1 } = 0 よって、定理の命題は成立する。 n = k のとき成立したと仮定。このとき、 d dx { xk } = k· xk−1 が成立している。よって、 d dx { xk+1 } = d dx { xk× x } （∵ 定理 9.3 (3)） = d dx { xk } × x + xk× d dx { x } （∵ 帰納法の仮定） = k· xk−1× x + xk× 1 = (k + 1)xk よって、数学的帰納法より、n≥ 0 に対して、 d dx { xn } = nxn−1
10 接線・増減・極限 13 が成立する。 ⋄ n < 0 の場合 n は整数であるので、n = −m となる正の整数 m が存在するので、 d dx { xn } = d dx { x−m } = d dx { 1 xm } =(1) ′× xm− 1 × (xm)′ (xm)2 （∵ 定理 9.3 (4)） =−mx m−1 (xm)2 =−mxm−1−2m=−mx−m−1 = nxn−1 （∵ n = −m） 従って、 d dx { xn } = nxn−1（n は整数） が成立する。 // 教科書74（20）ページの合成関数の微分により、上の定理は n が有理数の場合に拡張される。つまり、 xnの微分 n：有理数。このとき、 xn：微分可能, d dx { xn } = nxn−1 が成り立つ。 また、教科書84（24）ページの例題11.3 において、n が任意の実数の場合に成立することが示される。
