本日話す内容

材料モデルの

材料モデルの

_VV

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山梨大学　工学部　土木環境工学科 山梨大学　工学部　土木環境工学科 　吉田純司 　吉田純司 第6期非線形CAE勉強会 ∼ゴム材料の構成則と破壊基準の構築∼

本日話す内容

高減衰ゴムの構成則の構築とその検証

天然ゴムの破断特性とモデル化

1.

積層ゴム支承とは

水平方向 鉛直方向 柔 剛

ゴムと鋼板を積層状に剛結

加速度の低減 構造物の支持 ゴムが非圧縮に近い性質を積極的に利用 

⇒　ゴム層の体積変形を制限

層数が少ない支承 層数が多い支承 はらみ出し大⇒鉛直剛性小 はらみ出し小⇒鉛直剛性大 水平剛性は，概ね同一

土木における免震

土木における免震

・1995年兵庫県南部地震以後，積層ゴム支承を採用する橋  梁が増加 ・構造物の損傷を局在化  過度に長周期化しない． ・減衰性能を付与  変位応答を低減 構造系全体の挙動に大きく影響 ・ゴムの圧縮性を利用して  構造物を支持． 構造系の応答予測精度 ⇒ 積層ゴム支承のモデルの精度 ⇒ 桁間衝突，ジョイント部の損傷を回避 動力学的効果＋損傷の戦略的な制御

２．高減衰積層ゴム支承の

２．高減衰積層ゴム支承の

力学特性の概要

-150 -100 -50 0 50 100 150 -300 -200 -100 0 100 200 300 荷重 [k N] せん断ひずみ [%] -150 -100 -50 0 50 100 150 -300 -200 -100 0 100 200 300 荷重 [kN] (水平変位/ ゴム層の総厚)×100 ハードニング 剛性劣化 水平1方向  に変形 鉛直荷重 力学特性 ・大きな履歴減衰を有し  ている ・剛性劣化やハードニングが  が顕著に表れている． ・全体的な荷重が進展する方向  は似通っている．

高減衰ゴムを用いた支承の復元力特性

支承の力学特性の温度依存性

-100 -50 0 50 100 -60 -40 -20 0 20 40 60 0.005[Hz],10℃ 0.005[Hz],20℃ load [k N ] displacement[mm] ゴムによっては，同一の載荷速度で，試験温度が異なる と異なる力学特性を示す．

３．高減衰ゴムの材料試験

ゴムの材料試験

ゴムの材料試験

①単軸引張り試験 ②2軸引張り試験 ③繰り返しせん断試験 ④リラクゼーション試験 応力方向の決定 ハードニング特性の把握 ⇒ エネルギー吸収性能の評価 ⇒ 粘性の把握 高減衰ゴム： 応力進展に関する部分＋エネルギー吸収の部分 ４種類の高減衰ゴム，２種類の天然ゴム 温度の影響を小さくするため，常温（20∼24）で実施

単軸引張り試験

0 10 20 30 40 1 2 3 4 5 6 Cauchy 応力 [ MPa] 伸び比 0 10 20 30 40 1 2 3 4 5 6 Cauchy応力 [MPa] 伸び比 天然ゴム 高減衰ゴム ・応力進展の傾向は同じ ・残留ひずみやエネルギ  ー吸収性能が異なる

一軸固定二軸引張り試験

のび比一定 のび比一定 0 5 10 15 20 25 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 引張り方向 拘束方向 Ca u ch y応 力 [M P a] 伸び比 0 2 4 6 8 10 1 1.5 2 2.5 3 引張り方向 拘束方向 Cau chy応 力 [MP a] 伸び比 天然ゴム 高減衰ゴム

繰り返し単純せん断試験（高減衰のみ）

-3 -2 -1 0 1 2 3 -300 -200 -100 0 100 200 300 1[Hz] 0.1[Hz] 0.01[Hz] Cauchy応力[MPa] せん断ひずみ[%] 常温において 0.01～1Hzでは 速度依存性が少ない 入力変位 固定 試験体 試験体

リラクゼーション試験（高減衰のみ）

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 500 1000 1500 2000 Cauch y stre ss [MPa] time [sec] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 500 1000 1500 2000 Cauch y stre ss [MPa] time [sec] どの高減衰ゴムも 確実に粘性は存在． 10分間計測 250 150 50 速度:1000 [%/sec] せん断ひずみ[%] 時間[min]

４．高減衰ゴムの構成則

４．高減衰ゴムの構成則

ゴム材料の構成則

ゴム材料の構成則

仮定 ・初期等方性材料である． ・材料試験を等温で実施 ⇒ 等温過程である ・速度依存性が少ない ⇒ 粘性を塑性で置換 超弾性部 弾塑性部 等方効果 弾塑性体と超弾性体を組み合わせた構成則を提案 エネルギー吸収性能 応力進展方向＋剛性劣化

T

D

C D D

p ( )J

=

:

l

−

q

T T I c y y C b =

L

+

RS

_T

−

UV

_W

N

MM

O

_Q

PP

0 ₁ 3 弾塑性部 弾塑性部 Dp = D D

F

T T T

HG

I

KJ

− 3 2 3 2 2 1 2 ': ' ': ' ( ) ' T_y T N y Grasser(1991)のモデル (2) 等方硬化でハードニングを表現 (1) 大変形に適用するための拡張 等方硬化でハードニングを表現 ・弾性-塑性間の遷移を滑らかに再現 ・微分方程式型 ⇒ 弾性, 塑性を自動判定 微小変形を前提とした弾塑性体 微分方程式で記述 される完全弾塑性体

弾塑性部の詳細な式

弾塑性部の詳細な式

TD C D Dp ( )J = :

m

−

r

T T I c y y B b =

L

+

RS

_T

−

UV

_W

N

MM

O

_Q

PP

0 ₁ 3 Dp ₌ D D

F

T T T

HG

I

KJ

− 3 2 2 2 1 ': ' ': ' ( ) ' T_y T N y

C

J

F F F F C

T

T

T

pqrs pi qj rk sl ijkl pr sp H qs pr H rs _pq H

=

1

+

δ

( )

+

δ

( )

−

δ

( ) :速度型方程式 (Jaumann速度を使用) :塑性ひずみ速度 ：等方硬化 C E E = ∂ ∂ ∂ 2_W 1 4 4 5 3 ( 3) ( 3) 1 m C C C I c c W c I c II m c +  ₋  = − + − + _{ } + _{ } :弾性テンソル

c c c m

₄

, , ,

_{5 +}

N T b

,

_y0

,

材料定数:

超弾性部 超弾性部 ハードニング 川端ら(1992)のモデルをベース 1 1( C 3) 2( C 3) W = c I − + c II − 1 3 2 3 1 n C c c I W n c +  ₋  = _{ } + _{ }

G H

,

_{：最大経験ひずみの関数} 線形に近い弾性挙動 ・物理的意味が明確． ・簡便で精度が高い． 1 1 2 2 ( ) ( ) W = G Ξ W + H Ξ W 偏差応力分のひずみエネルギー密度関数 ダメージモデルで剛性の劣化を表現

超弾性部の詳細な式

2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 v W = G Ξ W + H Ξ W + χ W 1

, , , ,

2 3

, ,

H

,

H

c c c n

χ

+

α β

a b

1 1( C 3) 2( C 3) W = c I − + c II − 1 3 2 3 1 n C c c I W n c +  ₋  = _{ } + _{ } ひずみエネルギー密度関数

,

C C

I II

の第1,第2不変量

: C

1 2 v v W W W W G ∂ H ∂ χW ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ S E E E E 応力ひずみ関係 G( ) ( ) exp( / ) / Ξ Ξ Ξ = + −β β

RS

_T

− − α

UV

_W

α 1 1 H( )Ξ = −1 1 1/ [ + exp{−a_H (Ξm₂ −b_H )}] 材料定数 の低減不変量 ダメージ関数

Ξ

i t s t

W s

i

=

−∞< ≤

max

2

( )

2( 1) v C W = III −

構成則の再現性①

構成則の再現性①

-10 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 6 材料試験 モデル 真応力 [MPa] 伸び比 単軸引張り試験 繰り返しせん断試験 -2 -1 0 1 2 3 -300 -200 -100 0 100 200 300 材料試験 モデル 真応力[MPa] せん断ひずみ[%] 高減衰ゴム ゴム材料の力学特性を精度よく再現

-5 0 5 10 15 20 25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 材料試験引張り モデル引張り 材料試験拘束 モデル拘束 真応力 [MPa] 伸び比 本構成則により材料の力学特性を 精度よく再現することができた

モデルの再現性①の続き

一軸固定二軸引張り試験

構成則の再現性②

構成則の再現性②

-4 -2 0 2 4 6 -400-300-200-100 0 100 200 300 400 材料試験 モデル 真応力 [MPa] せん断ひずみ[%] -5 0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 6 材料試験 モデル 真応力 [MPa] 伸び比 繰り返しせん断試験 単軸引張り試験 ハードニング特性が大きい高減衰ゴムの場合 本構成則で力学特性を精緻に再現できた

構成則の再現性③

天然ゴム 天然ゴム -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 2 2.5 3 材料試験 材料試験 モデル モデル Ca u ch y応 力 [M P a] 伸び比 -10 0 10 20 30 40 50 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 材料試験 モデル Ca uc hy 応 力 [M Pa ] 伸び比 一軸固定二軸引張り試験 単軸引張り試験 天然ゴムの力学特性を精度よく再現

積層ゴム支承の３軸載荷実験

積層ゴム支承の３軸載荷実験

支承に鉛直荷重＋水平２方向の変形を付与 210 実橋に用いられ ている支承の1/3 ゴム層：5[mm]×7層 鋼鈑：2.3[mm]×6枚

FEMと水平2方向載荷実験結果との比較

鉛直荷重 変形 変形 -50 0 50 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 載荷実験 FEM 荷重[kN] せん断ひずみ[%] -60 -40 -20 0 20 40 60 -200 -100 0 100 200 載荷実験 FEM 荷重[kN] せん断ひずみ[%] -70 -35 0 35 70 -70 -35 0 35 70 Y方向の変位 [m m] X方向の変位 [mm]

鉛直方向の変位-荷重関係 鉛直に面圧0∼7.92[MPa] を繰り返し載荷 概ね実験結果とよく一致している． -100 0 100 200 300 400 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 載荷実験 FEM 荷重 [ kN ] 変位[mm] 1/4 モデル 鉛直荷重 圧力場[MPa]

FEMと鉛直載荷実験結果との比較

～ゴム材料の破断特性の把握とモデル化～

研究の流れ

画像処理 ゴムの破壊試験（画像計測）　 ・ 単軸引張試験 ・ 一軸固定二軸引張試験 ・ 均等二軸引張試験 破断特性の把握 歪から検討 破壊基準の構築

ゴムの材料実験よりゴムの破断特性を把握し，

破壊基準を構築する

研究の目的

試験片形状

単軸引張試験用試験片

二軸引張試験用試験片

天然ゴム　　　　 　　　せん断弾性係数　_{G = 98 [N/cm}2_] ４種類 1.3 3.9 3.9 9.0 25 2.6 2.6 10 10 3.0 3.0 単位 [mm] 60 10 10 60 10 10 円形部分の厚さ：0.5

破断実験の概要

2軸引張試験機 デジタル CCDカメラ データ入出力用パソコン 画像保存用パソコン 　・ 引張開始から破壊までを画像で撮影 　・ 外部で載荷速度を制御　　　　　　　　 　・ 変位，荷重をデータとして取得 CCDカメラ 画像による歪場の 算出が必要 変位場が一様ではない チャック間変位からでは　　 内部の変形が導出できない

伸長比一定 単軸引張破壊試験 一軸固定二軸引張破壊試験 均等二軸引張破壊試験 載荷速度　　　　　　　 0.2 , 2.0 , 20.0 [mm/sec] _載荷速度 0.2 , 2.0 , 20.0 [mm/sec] 載荷速度　2.0 [mm/sec]

材料試験の種類

実験の条件

温度　　　　 ：

_20℃

試験片個数 ：

各試験において

_3～5個

白点

の位置を座標データとして取得

引張前

破壊直前

画像処理方法

画像計測 ２値化 ラベリング 点の重心算出 座標データ　[pixel] 座標データ　[mm] 座標変換 点を分類

歪場について

すべての点の変位を内挿 ４点で作られる領域の 伸長比を計算 破断部分の伸長比 座標データを比較 引張前 破壊直前 x 2 [mm] x₁ [mm] i ij j x F X ∂ = ∂

X

_x

_i j ： 無変形状態での位置 ： 変形後の位置 1 j = （_x１方向は , x₂方向は j = 2のとき） （_x1方向は i =1 , x₂方向は i = 2 のとき） 変形勾配テンソル λ₁ 伸長比 λ₁ λ₂ 変形勾配テンソルのx₁方向の固有値 変形勾配テンソルのx₂方向の固有値

歪速度と破断時伸長比の関係　　　　　　　　

　　・・・

単軸引張試験

，

均等二軸引張試験

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 単軸 均等二軸 λ １ 歪速度 [1/sec] 5.45 _5.52 5.29 3.58 3.72 _3.55 •　歪速度の影響は小さい •　均等二軸のλ₁は単軸のλ₁ より小さい 単軸引張破壊試験 均等二軸引張破壊試験

x

₁

x

₂ 1 λ ： _x1方向の伸長比

3.5 4 4.5 5 0.001 0.01 x₂方向の伸長比：1 x₂方向の伸長比：2 歪速度 [1/sec] λ １

歪速度と破断値の関係　　　　　　　

　　・・・

一軸固定二軸引張破壊（

_x

₂

の伸長比：

_1，2）

伸長比：1 伸長比：2 3.90 4.05 •　x₂方向の伸長比が_{1,2のときで破断時のλ1} 　　に大きな差はない x₂の伸長比：₁ x₂の伸長比：₂

x

₁

x

₂ 1 λ ： _x1方向の伸長比

主軸伸長比の関係

x

₁

x

₂ ＞ λ₁orλ₂ λ_B 最大伸長比基準 既往の実験結果 本実験結果 最大伸長比基準が成り立つ 最大伸長比基準の関係は 成り立たない 他のゴムも同様の結果 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 単軸 均等二軸 λ_B λ 2 λ₁ 本実験結果 既往の実験結果 B

λ

B

λ

0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 単軸 一軸固定x₂の伸長比：1 一軸固定x₂の伸長比：2 均等二軸 λ ２ λ_１ 2 B

λ

2 B

λ

1 B

λ

1 B

λ

λ1： x1方向の 　　　伸長比 2 λ ： x₂方向の 　　　伸長比

破壊基準の構築

・・・基準化した主軸伸長比から　　　　　　 　　　　　　　ゴム材料の破壊基準を構築　 1 1 min , 2 2 min

λ λ λ

=   

λ λ λ

= 基準化 min

λ

：主軸伸長比の最小値 1, 2

λ λ

：その他の主軸伸長比 破壊基準式 2 ( )1 B A

λ

=

λ

A B, ：パラメータ ゴムの種類によって主軸 伸長比は異なる ゴムの種類ごとの最適な パラメータを算出する 2.4 2

0.003

1

λ

=

λ

 

λ

₁ 2 λ 0.1 1 10 100 0.1 1 10 100 単軸 一軸固定x 2の伸長比：1 一軸固定x₂の伸長比：2 均等二軸 破壊基準

・耐久性、耐候性に優れている ・高いエネルギー吸収性 構造物の防振・制振装置に広く利用 高粘性流体 制震壁 　 最近の研究：CAEを用いた制震壁の性能予測システムの構築