カヴァリエリの原理、面積・体積の学習、17世紀の数学

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(1)Title. カヴァリエリの原理、面積・体積の学習、17世紀の数学. Author(s). 齋藤, 幸子. Citation. 北海道教育大学紀要. 教育科学編, 66(1): 365-374. Issue Date. 2015-08. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/7828. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) 北海道教育大学紀要（教育科学編）第66巻第１号 Journal of Hokkaido University of Education（Education）Vol. 66, No.1. 平成 27 年８月 August, 2015. カヴァリエリの原理，面積・体積の学習，17世紀の数学. カヴァリエリの原理，面積・体積の学習，17 世紀の数学齋藤幸子. 齋藤幸子. . 北海道教育大学教育学部旭川校数学教育専攻. 北海道教育大学教育学部旭川校数学教育専攻. Cavalieri’s principle, learning areas and volumes, Cavalieri’sand principle, learning areas and volumes, mathematics in the 17th century. and mathematics in the 17th century . SAITO Sachiko. SAITO Sachiko. . Department of Mathematics Education, Asahikawa Campus, Hokkaido University of Education. Department of Mathematics Education, Asahikawa Campus, Hokkaido University of Education. . 概要概要この小論では，高等学校で学ぶ区分求積法の考え方，特に，カヴァリエリの原理に焦点をあて，これを，小学校および中学校での面積や体積を求める学習において積極的に用いることを提案する。同時に，教員養成課程数学教育専攻のカリキュラムにおいても，この原理を意識的に授業の中に取り入れることで，例えば，代数的計算が主になってしまう線型代数学の幾何学的意味を学ぶことができ，将来の数学教育に役立てられると主張する。大学で 19∼. 20 世紀流の厳密な数学を学ぶことは，高等学校までの数学の曖昧さを解消して１から組み立て直すという意義があるゆえ，教員養成課程数学教育専攻の学生もそれを理解すべきである。しかし，自然で自由な発想に富む 17 世紀の数学は，高等学校までの数学に通ずるものがあり，これらを学ぶことで，厳密な数学だけでは学べないものを補うことができる。 . １カヴァリエリの原理 1 カヴァリエリの原理. 用するなどである。しかし，真っ直ぐでない図形，例えば，円の面. 図形の面積の公式を導く際，小学校では，切り. 積を求めるとなると，小学校の教科書においても，. 貼り（元の図形を有限個の図形に分割して並べ替. 「細かく切り分けてから総和して近似する方法」を. え）し，元の図形に「分割合同」な図形に変形し. 採用している。よく知られているのは，円を細い. て既存の公式に当てはめる事が多い。例えば，三. （つまり中心角の小さい）扇形に切り分け，それ. 角形を長方形に，平行四辺形を長方形に，台形を. らを並べ直して長方形とみなす（近似する）方法. 平行四辺形に変形し，それぞれの面積の公式を適. 1. 365.

(3) 齋藤幸子. である（矢野健太郎著「お母さまのさんすう」[8],. p.206 なども参照）。ほかには，沢山の同心円環領域 (annuli) に切り分け，それらを引き伸ばして長方形とみなし（この時点で近似），それらを並べて三角形とみなす（近似する）方法もある。この方法は，ケプラー (1571–1630) の著書 (1615 年) に既に現れている ([1], p.69 図 4.12 参照)。立体図形について言えば，小学校高学年∼中学校で，錐体や球の体積の公式を学ぶが，その証明には触れない。証明は，高等学校（数学 III レベル）で，区分求積法あるいは積分法を用いて可能となる。ところで，高等学校で学ぶ区分求積法も，易しく言えば，「細かく切り分けてから総和して近似する方法」であるから，小学校高学年児童∼中学生も，この方法で面積・体積の公式を理解することが可能ではないだろうか（ただし，発展的な学習という位置づけになるだろう）。例えば，小学生向けの事典「算数おもしろ大事典」[6] には，「底面積 S 高さ h の三角錐の体積は 13 Sh である」. という事実が，その「根拠」を解説したうえで紹介されている。これは小学生対象の書物としては珍しい。区分求積法や積分を使わずにどうやって. 説明するのか？どこかに論理の飛躍があるはずである。分析してみたところ，次の原理を暗黙のうちに認めていることがわかる：原理 1.1 「底面が合同で，高さの等しい錐体の体. 積は（頂点がどこにあっても）すべて等しい」. [6] の解説は以下のとおりである：底面積 S 高さ h の三角柱（体積は Sh）を，図 1.1 のように，合同な底面と等しい高さを持つ 3 つの三角錐に切り分ける。すると，原理 1.1 より，各三角錐の体積は 13 Sh ということになる。同時に，底面積 S. 高さ h の三角錐の体積は，頂点がどこにあっても， 1 3 Sh. であることがわかる。（[6] ではそこまで言及. していないが。）. 366. 図 1.1: 三角柱を体積の等しい 3 つの三角錐に切り分けるところで，原理 1.1 は，次のカヴァリエリ1 の. 原理」（[9] など参照）の特別な場合である。. 原理 1.2 (カヴァリエリ (Cavalieri), 1635 年). (1) 2 つの平面図形 A, B が平行な 2 直線に挟まれているとする。この 2 直線に平行な任意の直線に対して，図形 A との交わり部分の長さと図形. B との交わり部分の長さが等しいならば，A の面積と B の面積は等しい。. (2) 2 つの立体図形 A, B が平行な 2 平面に挟まれているとする。この 2 平面に平行な任意の平面に対して，図形 A との交わり部分の面積と図形 B との交わりの部分の面積が等しいならば，A の体積と B の体積は等しい。カヴァリエリの原理 1.2 の statement は正確さにおいて不十分であり，小学生から中学生向けに 1 B.Cavalieri, 1598–1647，ミラノ公国，ミラノに生まれ，ボローニャで没した。ボローニャ大学教授。「幾何学においてアルキメデス以来の深さに到達」した（ガリレイ評）（[1] より引用）。カヴァリエリの原理の系譜については，[7] などで研究されている。.

(4) カヴァリエリの原理，面積・体積の学習，17世紀の数学. 述べられていると言える。図形を定義する方程式. でも，動画を見せたり，工作のような作業も取り. や関数の連続性に関する設定がないうえ，図形の. 入れることにより，理解できる児童が多いと考え. 「長さ」，「面積」，「体積」をどう定義するのか，ま. られる。また，既知の平面図形（三角形，平行四. たそれらは測定可能なのかについて認識されてい. 辺形，台形など）の面積の公式を，カヴァリエリ. ない。そこで，高等学校（数学 III）レベルで述べ. の原理から導くことも，自由研究教材として面白. 直すならば，次のようになる（平面図形の場合で. いであろう。. 述べる）：「閉区間 [a, b] 上の連続関数 f (x), g(x) (任意の x に対し f (x) ≥ g(x) だとする) に対し，x = a, x = b, y = f (x), y = g(x) で囲まれる領域 A の面積は. である」. ∫. b a. (f (x) − g(x))dx. すなわち，連続関数 f (x), g(x) がどのようであれ，領域 A の面積は，直線 x = a に平行な直線と. A との交わり部分の長さ f (x) − g(x) で決まる。. しかし，さらに，大学で微分積分学を学べばわ ∫b かるように，そもそも，リーマン積分2 a (f (x) −. g(x))dx の定義の仕方から，これが x = a, x =. b, y = f (x), y = g(x) で囲まれる領域 A の面積だと解釈してよいとするのであって，「面積」の定 ∫b 義が別にあって，それが積分 a (f (x) − g(x))dx と一致するという意味ではない。3. さて，小学校や中学校では，そのような厳密さ. を要求していないが，カヴァリエリの原理を視覚. 2２線形代数学を幾何学的に線形代数学を幾何学的にカヴァリエリの原理 1.2 の教育的応用は多く，教員養成系の「大学」の授業においても，意義のある応用ができる。筆者は，北海道教育大学教育学部（旭川校）数学教育専攻１年生向け「幾何学 I」の授業で，行列の行列式に関する次の命題を指導している：命題 2.1 R3 のベクトル a = t (a1 , a2 , a3 ), b =. (b1 , b2 , b3 ), c = t (c1 , c2 , c3 ) に対し，実 3 次正方行列 A = [a, b, c] を考える。写像 fA : R3 → R3 t. を，x ∈ R3 に対し fA (x) = Ax と定める。R3 において，基本単位ベクトル e1 = t (1, 0, 0), e2 =. (0, 1, 0), e3 = t (0, 0, 1) を 3 辺とする単位立方体を U とする。U の fA による像 fA (U )（平行 6 面体）の “体積”は A の行列式の絶対値 | det A| で t. ある。. 的に捉えることは可能であり，求積の学習に良い教材を提供すると考えられる。実際，中学生用の. z. 教科書である「体系数学１（幾何学編）」（数研出版）[5] では，原理 1.1 に言及し (第 2 章空間図形，. 2 節立体の表面積と体積，p.60)，底面に平行な平面で細かくスライスする方法によって，その根拠を説明している。この方法は，難易度的には，円の面積の公式を細かい扇形に切り分けて導く方法. y. b. c a. x. とほぼ同レベルであろう。従って，小学校高学年 2 Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826–1866, ゲッティンゲン大学で，1851 年にガウス (1777–1855) のもとで論文「1 複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得。1854 年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得。リーマン幾何学，リーマン積分，リーマン予想，リーマン面。[1], [9] など参照。 3 このことを知っておくことは，大学で積分を学び直す意義のひとつであろう。. 図 2.1: 平行 6 面体１年生は，入学直後から線形代数学を学んでいるが，ベクトルや行列の計算が主になってしまう. 367.

(5) 齋藤幸子. ため，後期開講の「幾何学 I」という授業の中で，行列式の幾何学的意味について考えようというねらいであった。そして，そこでも，カヴァリエリの原理 1.2 が役に立った。例えば，長谷川浩司著「線型代数」[2] における命題 2.1 の証明の概要は以下のとおりである：まず，a, b, c は線形独立であるとしてよい（線. の絶対値である。この底面の面積は， ] [ a1 + rc1 b1 + sc1 | | det a2 + rc2 b2 + sc2 [ ] [ ] a b c b = | det a1 b1 + r det c1 b1 2 2 2 [ 2 ] a c +s det a1 c1 | 2. =. 形独立でない場合の体積は 0 である）。したがって，c3 ̸= 0 と仮定してよい。. a と c で決まる平行四辺形を底面（その面積を S. とする）と見做したときのこの平行 6 面体 fA (U ). |(a1 b2 − a2 b1 ) −. なので，求める平行 6 面体の体積は，それに |c3 | を掛けて，A の行列式 det A の絶対値. の高さを h とすれば，fA (U ) の “体積”は，カヴァリエリの原理 1.2（立体図形の場合）により，底面. 積 S ，高さ h の柱体の体積と等しいので，Sh であ. | det A| であることがわかる。 [命題 2.1 の証明終]. る。次に，a と c で決まる平行四辺形の “面積”は，これも，カヴァリエリの原理 1.2（平面図形の場合）により，a を a+rc (r は任意の実数) に変えて. a の第も変化しない。r を適切にとることにより，   a1 + rc1   3 成分は 0 となる。実際，a+rc =  a2 + rc2 . a3 + rc3 a3 であるから，r = − とすればよい。 c3 このとき，a と c で決まる平面は変化しないの. で高さ h も変化しないことに注意する。同様に，b を b + sc (s は任意の実数) に変えて b3 もよいので，s = − とすれば，b の第 3 成分は c3 0 となる。このようにして，体積を変えないまま，a, b をともに xy 平面 {z = 0} 上のベクトル. a−. a3 b3 c, b − c c3 c3. に変えた。これらで決まる平行四辺形を底面と見做したときの平行 6 面体の高さは c の第 3 成分 c3. この証明からわかるように，カヴァリエリの原理は，「ある列に別の列の実数倍を加える」という行列の基本変形により行列式の値が変化しないことに対応している（[4]，p.83，系 3.15）。平行 6 面体の体積については，[4]，p.76，例題 3.7 も参照。. 3. 高等学校で学ぶ定積分とリー. ３高等学校で学ぶ定積分とリーマン積分マン積分. a > 0, h > 0 を実定数とし，底辺 a，高さ h の三角形の面積を区分求積法により計算してみる。r r を任意の実数とし，関数 y = f (x) = x + a のグ h (a + r) x のグラフラフの下方，関数 y = g(x) = h の上方，x = 0 から x = h まで（図 3.1 参照）の面積として，小長方形の面積の総和で近似する。高さ h を n 等分する。f (x) − g(x) = −( ha )x + a =. ( ha )(h − x) であることから， lim. n→∞. 368. 2. a3 c3 (c1 b2 − c2 b1 ) − cb33 (a1 c2 − a2 c1 )|. n−1 ∑ k=0. k h a ( )(h − h) · h n n.

(6) カヴァリエリの原理，面積・体積の学習，17世紀の数学. = =. lim. n→∞. lim. n→∞. n−1 ∑ k=0 n−1 ∑ k=0 n ∑. a(1 −. 定義 3.1 閉区間 [a, b] に対し，. k h )· n n. △ : a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn−1 ≤ xn = b. n−k h · a n n. を，閉区間 [a, b] の分割と呼ぶ。閉区間 [a, b] 上の. k h · n→∞ n n k=1 n ah ∑ 1 n = lim 2 ( k) = ah lim 2 (1 + n) n→∞ n n→∞ n 2 k=1 1 1 1 = ah lim ( + 1) = ah n→∞ 2 n 2 と求められる。このようにして，底辺 a，高さ h =. lim. a. 関数 f (x) に対し， n ∑ i=1. (ここで，xi−1 ≤ ξi ≤ xi ). f (ξi )(xi − xi−1 ). をリーマン和4 と呼ぶ。関数 f (x) が閉区間 [a, b] でリーマン積分可能であるとは，ある実数 S が存在し，任意の ε > 0 が与えられ. y=((a+r)/h)x a+r. y=(r/h)x+a. a. たとき，適当な δ > 0 をとると，. < δ ならばつねに分割 △ の幅 |△| n ∑ | f (ξi )(xi − xi−1 ) − S| < ε i=1. が成り立つことである。この値 S を ∫ b f (x)dx a. と書き，関数 f (x) の閉区間 [a, b] での（リーマン） h. 0. 積分と呼ぶ。このような. 図 3.1: 底辺 a，高さ h の三角形の面積の三角形であれば，どこに頂点があっても，同じ n ∑ 値 12 ah が得られる（ lim で計算しても同じ値 n→∞. a. f (x)dx の定義であれば，任意の. x ∈ [a, b] に対し f (x) ≥ 0 である場合には，積分 ∫b の値 a f (x)dx が関数 f (x) のグラフの下方 x = a から x = b までの “面積”であると解釈できる。. 定理 3.2 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f (x) はリーマン積分可能である。. k=1. が得られる）ので，三角形の面積に対するカヴァリエリの原理 1.2 を，高等学校で学ぶ区分求積法により「証明」できたことになる。さて，大学では，区分求積法よりも一般的で厳密なリーマン (Riemann) 積分を学ぶ。現在，中学校・高等学校の数学教員を目指す人々は，大部分，大学でこれを学んでいるだろう。定義を振り返っておく：. ∫b. 高等学校で扱う関数は連続関数がほとんどであるから，この定理により，大抵の関数が積分可能であることが保障されている。指導者はそのことを知っているべきであろう。定理 3.3 (微分積分学の基本定理) 関数 f (x) が閉区間 [a, b] 上でリーマン積分可能であるとき， ∫ x G(x) := f (t)dt (a ≤ x ≤ b) 4 ここで，ξ i. a. を小区間 [xi−1 , xi ] のどこにとってもよいことは画期的である。. 369.

(7) 齋藤幸子. おくと，閉区間 [a, b] 上で. が現れる以前の数学もそうであったことがわかる。その意味で，17 世紀の数学は，高等学校の数学と. G′ (x) = f (x). 共通する特徴がある。以下に，ニュートンやライプニッツの得た数学. が成り立つ。この定理により，関数 f (x) が閉区間 [a, b] 上でリーマン積分可能であるとき，G(x) は f (x) の原始関数の１つであることがわかる。そして，関数. f (x) (a ≤ x ≤ b) の任意の原始関数 F (x) に対し，F (x) = G(x) + C (a ≤ x ≤ b, C はある定. 数) と表せることから，. ∫. その当時の証明方法を，E. ハイラー，G. ヴァンナー著，蟹江幸博訳「解析教程（上）」[1]（丸善出版）5 から引用して紹介する。. 4.1 逆正弦関数 arcsin x の級数展開 4.1 逆正弦関数 arcsin x の級数展開. 時代背景 ([1] より引用) log(1+x) の級数が記載され. b a. 的成果のうち，逆三角関数の級数展開について，. f (t)dt = F (b) − F (a). (3.1). が成り立つことがわかる。一方，高等学校の教科書においては，. f (x) の任意の原始関数 F (x) をとったとき，等式 (3.1) により，関数 f (x) の a から b までの定 ∫b 積分 a f (t)dt 定義する。しかし，この定義 (3.1). では，「定積分が面積を表す」ということが見えにくくなっている。リーマン積分の定義のほう. たメルカトール (1619?–1687) の本が 1668 年末に出版されると，ニュートン (1642–1727) は急いで原稿（「解析について」(1669)）を何人かの友人に見せましたが出版することは許しませんでした。最終的には，それは. W. ジョーンズによって出版された「量の解析」（ニュートン,1711）の第１章に入れられることになりました —. ニュートンは，逆正弦関数 arcsin x の級数展開. が，厳密性のために定式化が煩雑になってはいる. arcsin x. ものの，面積を求める自然な流れに従っている。. =x+. また，積分の考え方は，歴史的にそのように発展してきた。. ４数学史と高等学校の数学 4 数学史と高等学校の数学北海道教育大学（旭川校）教員養成課程数学教育専攻では，３年生向けの授業科目として，「数学史」を設けている（5 人の教員で分担）。その中で筆者は，ニュートン (1642–1727) やライプニッツ (1646–1716) の時代（微分積分学の黎明期）の数学をテーマに，３回の授業を担当している。高等学校の数学は，厳密さに拘らずに直観的に学ぶ部分も多いのだが，オイラー (1707–1783)，ガウス (1777–1855)，コーシー (1789–1857)，リーマン. (1826–1866) と言った数学者（例えば，[9] 参照）. 370. 1 2. ·. x3 3. +. 1 2. ·. 3 4. ·. x5 5. +. 1 2. ·. 3 4. ·. 5 6. ·. x7 7. + ··· (4.1). や，sin x, cos x の級数展開を発見した。級数展開 (4.1) のニュートンによる証明 (1669 年) は，[1] によれば，以下のようなものである：実数 0 ≤ x ≤ 1 が与えられたとし，sin y = x. となる角度 y を計算したい。図 4.1 のように半径 1 の円を考えると，弧長 y が角度を表す。x が. ∆x 増えるとき弧長 y は ∆y 増えるとする。増量 ∆y は x に依存する。∆y は弧であるが，∆x が微小のときには弦とみなし（ここで近似してい 5 [1] によれば，1968 年にヴァンナー (Wanner) がオーストリアの大学で初めて解析学の講義をしたとき，ハイラー (Hairer) はその講義を受講する 1 年生であった。以来ヴァンナーはハイラーとともに，解析学の講義法を模索し，いくつもの大学で講義を実践しながら，スイスで教科書を作り，毎年改訂・修正を繰り返した。 2014 年，Ernst Hairer の子息である Martin Hairer (1975–) がフィールズ賞を受賞した。.

(8) カヴァリエリの原理，面積・体積の学習，17世紀の数学. る），∆x を底辺とし ∆y を斜辺とする小さい直. y. 1. 角三角形を考える。さらに，∆y を接線とみなす. y. （ここでも近似）と，これは円の半径に垂直であることになり，相似な 2 つの直角三角形が得られ √ て，∆x : ∆y = 1 − x2 : 1 より，. ∆y = √. 1. 1 ∆x. 1 − x2. -1. 1. x. 0. x. 1. したがって，与えられた x に対し，求める弧長 y 1 は，t = 0 から t = x までの √ ∆t の総和 1 − t2. ∑. √. 1 ∆t 1 − t2. -1. である（これは，「リーマン和」の形になっていることに注意）。. 1 の長方形の面積の 1 − t2 総和とみなし（y は弧長を表していたが，式の形これを，横 ∆t，縦 √. により，面積だとみなすという発想の転換），分割の幅 ∆t を限りなく細かくする（極限をとる操作）と，y は，関数 y =. √ 1 1−x2. のグラフの下方. x = 0 から x = x までの面積 ∫ x 1 √ y= dx 1 − x2 0. により，. ·. 3 4. ·. 5 6 6x. + ···. =x+. ·. +. 1 2. ·. 3 4. ·. x 5. 展開 (4.2) は，1671 年に J. グレゴリーによって発見されました。その後，1674 年にライプニッツにより再発. とによりようやく発見されました —. 逆正接関数 arctan x の級数展開. x5 5. −. x7 7. +. x9 9. −. x11 11. + ···. (4.2). +. 1 2. ·. 3 4. ·. 5 6. ·. 7. x 7. が得られる。 [級数展開 (4.1) の証明終]. ：ある（これも [1] から引用）実数 0 ≤ x < 1 が与えられたとし，y = arctan x. とおく。すなわち，x = tan y となる角度 y （図. 4.2 の右図の弧 AD の長さ）を求めたい。ここで， ∠AOD は. arcsin x = y x 3. 時代背景 ([1] より引用) 逆正接関数 arctan x の級数. のライプニッツによる証明は以下のようなもので 1 2. 性」については論じていない）と，級数展開 (4.1). 1 2. 逆正接関数 arctan x の級数展開. 4.2 逆正接関数 arctan x の級数展開. arctan x 3 = x − x3 +. と級数展開され，項別積分する（「項別積分可能. 5. 4.2. イプニッツの方法は，彼の個人的なノートを調べるこ. ていた「一般化された二項定理」（1665∼1666 頃）. 3. 開の方法 (1669 年). 見され，1682 年の「学術論叢」に発表されました。ラ. だということになる。次に，ニュートン自身が得. 1 √ 1 − x2 = (1 − x2 )−1/2 = 1 + 12 x2 + 12 · 34 x4 +. 図 4.1: ニュートンによる y = arcsin x の級数展. + ···. π 4. より小さいことに注意し，∠AOC を. ∠AOD の 2 倍にとり，扇形 OADCO の面積を G とすると，π : G = 2π : 2y なので，G = y. 底. 辺 1 高さ x の 2 つの合同な三角形からなる四角形. OABCO の面積を F とすると F = x である。三. 371.

(9) 齋藤幸子. 日月形の領域 ABCDA の面積を L とすると，. となる。これを，ニュートンの方法と同様に，小長方形の面積とみなすと，三日月形 ABCDA の面. y =G=F −L. 積 L は，関数 y =. なので，L を求めたい。ライプニッツは，領域 ABCDA の面積 L を小さな三角形の面積の総和で近似した。（長方形で. x2 1+x2. のグラフの下方 x = 0 か. ら x = x までの面積，すなわち， ∫ x x2 dx 2 0 1+x. はなく三角形であるところに，この時代の発想の. ということになる。ヴィエート (1593) の結果を用. 自由さがある）. いて，. x2 = x2 − x4 + x6 − x8 + x10 + · · · 1 + x2 1. C. B D x. となり，したがって，. y. 0. O. と級数展開されるので，項別積分することにより， ∫x ∫x ∫x L = 0 x2 dx − 0 x4 dx + 0 x6 dx ∫x ∫x − 0 x8 dx + 0 x10 dx + · · · x5 x7 x9 x11 x3 − + − + − ··· = 3 5 7 9 11. A. y = G = F −L = x−. x3 x5 x7 x9 x11 + − + − +· · · 3 5 7 9 11. を得る。 [級数展開 (4.2) の証明終] 図 4.2: ライプニッツによる y = arctan x の級数展開の方法 (1674 年). arctan x が奇関数であることから，級数展開 (4.2) は −1 < x < 1 でも成立する。. このように，ニュートンやライプニッツの時代. の数学者（天文学者，物理学者・・・）たちは，厳密さこそ欠くものの，自然で自由な発想により，既. h. 知の結果を駆使して画期的な成果を得ていたこと x+ x x. がわかる。そして，それらの結果が正しいことが，次の時代の厳密な議論の下でも証明されたことは驚くべきである。大学で数学を学ぶことにより，高等学校の数学が厳密でないことに気づくのはもちろん大切なこ. 図 4.3: ライプニッツの方法図 4.3 で，h =. 2x2 x2 +1. であることがわかるので，. 小さな三角形の面積は，. 1 x2 ∆x · h = ∆x 2 1 + x2. 372. とであるが，一方で，17 世紀以前の数学の多様な発想を学べば，新鮮な驚きがあり，数学教育上の意義もあると考えられる。ところで，級数展開 (4.2) が x = ±1 でも成立. することについては，次の時代の厳密な証明を要した。それについては次節で述べる。.

(10) カヴァリエリの原理，面積・体積の学習，17世紀の数学. 4.3. アーベルの定理. 4.3 アーベルの定理. この節では，級数展開 (4.2) において x = 1 とした場合の等式：. 定理 4.3 (アーベル) x を実数とする。上の (2) の ∑ an xn が x = r（ある場合のべき級数 f (x) :=. いは x = −r）でも収束するならば，関数 f (x) は. そこで連続である。すなわち，（x = r の場合で説. π 1 1 1 1 = 1 − + − + − ··· 4 3 5 7 9. (4.3). 明すると）. lim f (x) = f (r),. の厳密な証明を見てみよう。笠原晧司著「微分積分学」[3] を参考にする。. x→r−0. すなわち，. 定理 4.1 (コーシー・アダマール) べき級数. lim. x→r−0 ∞ ∑. an z. n. n=0. (an ∈ C). に関して，次のいずれかが成り立つ。. が成り立つ。. 数 z に対して収束し，|z| > r に対して発散する。. また，. r= である。6. 1 1. lim supn→∞ |an | n. (3) すべての複素数 z に対して収束する。このコーシー・アダマールの定理より，(4.2) 7. an x =. n=0. ∞ ∑. an rn .. n=0. x5 x7 x9 x3 + − + − ···) 3 5 7 9 − 17 + 19 − · · · . (4.4). lim (x −. =. x→1−0 1 1 3 + 5. 1−. ところで，arctan x の級数展開 (4.2) が |x| < 1. で成立することにより， 3. =. limx→1−0 (x − x3 + limx→1−0 arctan x.. x5 5. −. x7 7. x5 x7 x9 x3 + − + − ··· 3 5 7 9. の収束半径は 1 である。ところが，次の定理により，このべき級数は x = 1 でも収束する：定理 4.2 (ライプニッツの交項級数). an > 0, (n = 0, 1, 2, . . . ) のとき， ∞ ∑. (−1)n an. を交項級数という。交項級数は，an が単調に減少して 0 に収束するならば，収束する。う。. 7 Augustin. 者。. ∑. − ···). さて，関数 y = arctan x 自体は，狭義単調増 π 2 )（その値. 域は実数全体）の逆関数であるから，実数全体上で定義された狭義単調増加連続関数である。したがって，. lim arctan x = arctan 1 =. π . 4. (4.6). (4.4)，(4.5)，(4.6) より，級数 (4.3) π 1 1 1 1 = 1 − + − + − ··· 4 3 5 7 9 が得られる。 [証明終]. n=0. r をべき級数. x9 9. (4.5). x→1−0. 6 このとき，正の数. +. 加連続関数 x = tan y (− π2 < y <. の右辺のべき級数. x−. n. アーベル8 の定理より，. (1) z = 0 のときだけ収束する。 (2) ある正の数 r に対し，|z| < r なる任意の複素. ∞ ∑. an z n の収束半径とい. Louis Cauchy，1789–1857，フランスの数学. −1 < x < 1 で成立する級数展開 (4.2) が x =. ±1 でも成立するということを証明するにも，上. のような厳密な議論を要するということを，大学で学んで知っておくべきである。. 8 Niels Henrik Abel，1802–1829，ノルウェーの数学者。 5 次方程式の代数的不可解性の証明。楕円関数に関する業績。. 373.

(11) 齋藤幸子. ５終わりに 5 終わりに教員養成課程数学教育専攻の専門科目の題材の選定およびそれらの履修順序は重要である。筆者が現在勤務する北海道教育大学教育学部旭川校数学教育専攻では，1 年次前期に集合と論理，高等学校の数学 III の補習も兼ねた微分積分学の演習，ベクトル・行列の計算演習，そして，1 年次後期に，イプシロン・デルタ論法に基づく微分積分学（実数の連続性，リーマン積分を含む），同後期「代数学 I」で行列式とベクトル空間の理論，同後（第 2 章で述べたように）幾何期「幾何学 I」で，学的な線型代数（およびアフィン幾何）を学んでいる。よく言われるように，大学新入生は，集合論やイプシロン・デルタ論法に対し，苦手意識を持ち易い。しかし，その後のカリキュラムを考えると，これらをはずすことは出来ない。第 4 章の最後にコーシー・アダマールの定理 4.1 に言及したが，2 年次前期には，半期をかけて複素関数論の基礎を学ばせている。さらに，高校の範囲を超えた多様な幾何学的対象（多様体など）を学ぶには，距離空間・位相空間による基礎付けが不可欠であり，2 年次後期の「幾何学 III」で，これらを学ばせている（1 年次の集合論は，そのための基. を体感することになる。そこで，教育実習直後の. 3 年次後期に，「数学史」という科目を設定してい「数学史」の授業内容る。第 4 章で述べたことは，の一部である。このようなカリキュラムが，学生の卒業後，実践的な意味でどのように役に立っているのか（立っていないのか），その分析と検証も，今後の課題である。. 参考文献. 参考文献. [1] E. ハイラー，G. ヴァンナー著，蟹江幸博訳，「解析教程（上，下）」，丸善出版，初版 1997．. [2] 長谷川浩司著，「線型代数」，日本評論社，2004． [3] 笠原晧司著，「微分積分学」，サイエンス社， 1974． [4] 木村達雄，竹内光弘，宮本雅彦，森田純著，明解「線形代数」，日本評論社，2005．. [5] 岡部恒治編，中高一貫教育をサポートする「体系数学１」（中学 1,2 年生用）幾何学編，数研出版，初版 2003．. [6] 志村隆ほか編，特装版「算数おもしろ大事. 礎知識となる）。距離・位相は，言うまでもなく，. 典–IQ（いっきゅう）」，学研，特装版第 1 刷. 微分積分学，解析学との関連が強いので，科目間. 2007．. の連携にも注意を払っている。以上のような科目の体系的学習は，北海道教育大学教育学部旭川校数学教育専攻のカリキュラム（特に，教科の内容）の根幹部分となっており，「ゆとり教育」と呼ばれた時代を経て，現在に至るまで維持し，効果を挙げている。同時に，われわれ教員は，教育実習の研究授業参観，あるいは，教員同士の対話などを通して，数学教育専攻としてあるべき授業内容の改善に取り組んで来た。学生たちは，3 年次の 8 月から 9 月にかけて，5 週間の教育実習を経験し，大学で学んだ知識と教育現場の状態とのギャップ. 374. [7] 上垣渉著，「カヴァリエリの原理とその系譜」，数学セミナー 9 月号（日本評論社, 2003），. 40–43． [8] 矢野健太郎著，「お母さまのさんすう」，暮しの手帖社，第 7 刷 1991．. [9] 矢野健太郎著，茂木勇増補，改訂版「数学史」，科学振興新社，初版 1967，改訂版 1989．（旭川校准教授）（齋藤幸子旭川校准教授）.

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