集合に群構造が入ることと選択公理
alg-d
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2014
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8
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9
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定理. 選択公理⇐⇒任意の非空集合X に群構造を入れることができる． 証明. (=⇒) X が有限集合の時は自明(Z/nZを考えればよい)だから，X は無限集合と する．Pfin(X) :={x ⊂ X | xは有限集合}とする．選択公理より，|X| = |Pfin(X)|，即 ち全単射X −→ Pfin(X)が存在する． ※ 実は「任意の無限集合Xに対し|X| = |Pfin(X)|」は選択公理と同値である．証明 は基数の性質の定理9を参照． よってPfin(X)に群構造を入れられることを示せばよい． 自然な同一視P(X) = 2X で考えると Pfin(X) ={ f ∈ 2X |有限個のx∈ X を除いてf (x) = 0} である．2 = {0, 1} = Z/2Zは体だから，それの直積である2X は自然に環となる．この とき明らかにPfin(X) ⊂ 2X は(加法についての)部分群である．故にP fin(X)に群構造 を入れることができた． ※ 同じことだが，直接演算を定義しても証明できる．Pfin(X)上の二項演算を対称差 △で定義する．(これが2X での加法に対応する．) 即ち x△y := (x ∪ y) \ (x ∩ y) = (x ∪ y) ∩ (xc∪ yc) である．すると(Pfin(X),△)は群になる． . ..) x△∅ = ∅△x = xより ∅ ∈ Pfin(X) が単位元．x△x = ∅より x−1 = x．故 1に結合律を示せばよい．x, y, z ∈ Pfin(X)に対し (x△y)△z = [(x ∪ y) ∩ (xc∪ yc)]△z = ([(x∪ y) ∩ (xc∪ yc)]∪ z) ∩ ([(x ∪ y) ∩ (xc∪ yc)]c∪ zc) = ([(x∪ y) ∪ z] ∩ [(xc∪ yc)∪ z]) ∩ ([(xc∩ yc)∪ (x ∩ y)] ∪ zc) = ([x∪ y ∪ z] ∩ [xc∪ yc ∪ z]) ∩ ((xc∩ yc)∪ (x ∩ y) ∪ zc) = (x∪ y ∪ z) ∩ (xc∪ yc ∪ z) ∩ (xc∪ y ∪ zc)∩ (yc ∪ x ∪ zc) = (x∪ y ∪ z) ∩ (x ∪ yc∪ zc)∩ (xc∪ yc∪ z) ∩ (xc∪ y ∪ zc) = (x∪ [(y ∪ z) ∩ (yc∪ zc)])∩ (xc∪ (yc ∩ zc)∪ (y ∩ z)) = (x∪ [(y ∪ z) ∩ (yc∪ zc)])∩ (xc∪ [(yc ∩ zc)∪ (y ∩ z)]) = (x∪ [(y ∪ z) ∩ (yc∪ zc)])∩ (xc∪ [(y ∪ z) ∩ (yc∪ zc)]c) = (x∪ (y△z)) ∩ (xc∪ (y△z)c) = x△(y△z). 故に結合律が成り立つ． (⇐=) 整列可能定理を示す．X ̸= ∅を任意の集合とする．単射λ −→ X が存在しない ような順序数λが存在するので，そのようなλを1つ取っておく． ※λ := {β :順序数|単射β −→ X が存在する}と置けばよい．順序数・濃度の簡単 なまとめを参照． 仮定によりX∪ λを群にすることができる．(その積を·とする．)このとき 任意のx∈ X に対して，あるα∈ λが存在してx· α ∈ λ が成立する． . ..) x ∈ X とする．写像f : λ −→ X ∪ λをf (α) := x· αで定義すれば，これは積 ·の性質により単射となる．よって，λ の取り方からIm f ̸⊂ X でなければならない． 故にあるα∈ λが存在してx· α = f(α) /∈ X，即ちx· α ∈ λである． さて，直積 λ × λ に辞書式順序を入れる．するとこれは整列順序になる．そこで g : X −→ λ × λを g(x) := min{⟨α, β⟩ ∈ λ × λ | x · α = β} と定義すると，gは単射であり，よってX は整列可能である． この定理を見てすぐに思いつくのは，「群」の部分を環や体などの別の構造にしたらど うなるか，という問題である．まず次の2点に注意する． 2
(1) Pfin(X)⊂ 2X は積についても閉じている．故にPfin(X)は(単位元を持たない)可 換環になる． ※P(X)の∩が2X の積に対応している．勿論，先ほどと同様に直接(Pfin(X),△, ∩) が環になることを示すこともできる． (2) ⇐=の証明には積 ·から得られる写像が単射であることしか使っていない．特に， 積·が 任意のx, y, z に対してx· y = x · z =⇒ y = z 任意のx, y, z に対してx· z = y · z =⇒ x = y という性質を満たしていれば先の証明は実行できる．(この条件を満たすことを消約 (cancellative)と言うことにする．) (1)(2)より次の系が分かる． 系. 次の命題は(ZF上)同値． 1. 選択公理 2. 任意の非空集合に消約亜群(亜群=magma=二項演算を持つ集合)の構造を入れる ことができる． 3. 任意の非空集合に消約半群の構造を入れることができる． 4. 任意の非空集合に消約アーベル半群の構造を入れることができる．
5. 任意の非空集合にquasigroup (∀a, b∃x, y(a · x = b, y · a = b)を満たす消約亜群)
の構造を入れることができる． 6. 任意の非空集合にloop (単位元を持つquasigroup)の構造を入れることができる． 7. 任意の非空集合にアーベル群の構造を入れることができる． 8. 任意の非空集合に(単位元の存在を仮定しない)可換環の構造を入れることができ る． 更に，次のことも分かる． 定理. 次の命題は(ZF上)同値． 1. 選択公理 2. 任意の集合に単位的可換環の構造を入れることができる． 3. 任意の無限集合に整域の構造を入れることができる． 4. 任意の無限集合に体の構造を入れることができる． 3
証明. 4=⇒3と3=⇒2と2=⇒1は明らかだから，1=⇒4を示せばよい．その為には無限 集合X に対して|X| = |Q(X)|を示せばよい． まず明らかに|X| ≤ |Q(X)|である．α ∈ Qに対して Aα :={αx1· · · xn | n ∈ N, xi ∈ X} ⊂ Q(X) と置けば |Q(X)| ≤ Pfin ( ∪ α∈Q Aα) = ∪ α∈Q Aα ≤ ℵ0· |A1| = |A1| だから|A1| ≤ |X|を示せばよい． 有限集合Y ={x1, . . . , xn} ⊂ X に対してBY :={x1e1· · · xenn | ei > 0}と書く．この ときA1 = ∪ Y∈Pfin(X) BY である．今，|BY| = ℵ|Y |0 =ℵ0だから |A1| = ∑ Y∈Pfin(X) |BY| = ∑ Y∈Pfin(X) ℵ0 =|Pfin(X)| · ℵ0 =|X| · ℵ0 =|X| である．
参考文献
[1] Does every non-empty set admit a group structure (in ZF)? - MathOverflow [2] H. Rubin and J. Rubin, Equivalents of the axiom of choice, II, North Holland,
1985.
