p 進簡約群の構造 (handout タブレットやPC表示用)

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群

p

進簡約群 構造

今野 拓也 [email protected] http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/konno/ 九州大学大学院数理学研究院 第 21 回整数論 「p 進簡約群 表現論入門」

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群

線型代数群

F ; 標数 0 体 G ; 線型代数群 /F def ⇐⇒ ∃ F [G] ; 被約有限生成可換 F 代数

G : Alg_{F $ R %−→ HomF-alg}(F [G], R) _{∈ Gp 関手} F ; 標数 0 体

G ; 線型代数群 /F

def

⇐⇒ ∃F [G] ; 被約有限生成可換 F 代数 & Hopf 代数

G : Alg_{F $ R %−→ HomF-alg}(F [G], R) _{∈ Gp 関手}

f : G _{→ H ; 線型代数群 /F} 準同型 _{⇐⇒ 自然変換 ←→ f}def ! : F [H] _{→ F [G] ;} Hopf 射 f : G !_{→ H ;} 埋 込 _{⇐⇒ f}def ! ; 全射

f : G ! H ; 全射 _{⇐⇒ f}def ! ; 単射

例 1

1 GLn : Alg_F $ R %−→ Mn(R)× ∈ Gp, F [GLn] = F [(xi,j), y]/(det(xi,j)y − 1). 2 det : GLn → Gm := GL1 全射．

(det! _{: F [G}

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群

係数 操作

E/F ; 体拡大，G ; 線型代数群 /F E 係数拡大 GE : Alg_E $ R %−→ G(R) ∈ Gp E/F ; 有限次拡大，G ; 線型代数群 /E Weil 係数制限

R_E/FG : Alg_{F $ R %−→ G(E ⊗F} R) _{∈ Gp}

例 2

E/F ; 二次拡大，Gal(E/F ) = +σ,, G ; 線型代数群 /F, G˜ := R_E/F(G_E). σG : ˜G(R) = G(E ⊗F R) G(σ⊗idR) −→ G(R)˜ F 自己同型 α : E _⊗F E → E∼ ⊕2 s.t. [E = E ⊗F F !→ E ⊗F E α → E⊕2] = [z _{%→ (z, σ(z))]} !=⇒ α_G : ˜G_E(R) = G(E _⊗F R) = G(E _⊗F E _⊗E R) G(α⊗idR) ∼ −→ G(E⊕2 _⊗E R) = (G_{E × GE})(R) E 同型 αG(σG)(g1, g2) =(g2, g1)

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群

連結成分

G ; F 線型代数群． ∃ π0(F [G]) ⊂ F [G] ; 最大 F 代数 部分 Hopf 代数 ． π0(G) ; 有限線型代数群 s.t. F [π0(G)] = π0(F [G]) (連結成分 群) G _{−→ π}全射 0(G) ←→ π0(F [G]) !→ F [G]. G0 := ker[G ! π0(G)] ; 連結線型代数群 (G 単位成分)

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群

Jordan

分解

(ρ, V ) ; G 有理表現 _{⇐⇒ V ; 有限次元 F}def 空間，ρ : G → GL_V ; 準同型 命題 1 (Jordan 分解) (i) ∀g ∈ GLn(F ), ∃!gs, gu ∈ GLn(F ) s.t. gs ; 半単純 gu ; 冪単 (⇔ gu − 1n 冪零); g = gsgu = gugs. (ii) G ; 線型代数群 /F . ∀g ∈ G(F ), ∃!gs, gu ∈ G(F ) s.t. g = gsgu = gugs; ∀ρ : G → GLV 有理表現, ρ(gs) = ρ(g)s, ρ(gu) = ρ(g)u. g _{∈ G(F )} 半単純 _{⇐⇒ g = g}def s. g _{∈ G(F )} 冪単 _{⇐⇒ g = g}def u.

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群

Lie

環

f _{∈ F [G], x ∈ G(F ) = HomF-alg}(F [G], F ), f (x) := x(f ) _{∈ F .} L(g)f (x) := f (g−1x), R(g)f (x) := f (xg), g _{∈ G(F ), f ∈ F [G].} Der_F(F [G]) := _{{X ∈ EndF}(F [G]) _{| X(fg) = X(f)g + fX(g)},} [X, Y ] := X _{◦ Y − Y ◦ X} F-Lie 環 g(F ) := _{{X ∈ Der}F(F [G]) | L(g) ◦ X ◦ L(g−1) = X, g ∈ G(F )}, Ad : G _{−→ GL(g)} 随伴表現，defined by Ad(g)X = R(g) ◦ X ◦ R(g−1). 例 3 G = GLn ， Mn(F ) $ X %−→

Ä

f ((xi,j)) %→ d dtf ((xi,j)(1 + tX))

!!

!

t=0

ä

∈ DerF(F [GLn]) Mn(F ) → gl∼ _n(F ) 与 ． [X, Y ] = XY _{− Y X, Ad(g)X = gXg}−1.

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群 X(G) := Hom(G,Gm) ; 指標群，有限生成 群． 例 4 Z $ n " %−→ [g %→ (det g)n] _{∈ X(GL}n) ; 同型． G 対角化可能 _{⇐⇒ X(G)}def F [G] 生成 ⇐⇒ X(G) 2 Z⊕r _⊕

"

s_i=1 Z/diZ G(R) _{2 Hom(X(G), R}×) _{2 G}m(R)r × s

#

i=1 µ_di(R). G 乗法型 _{⇐⇒ G}def _F¯ 対角化可能 X∗(G) := X(G_F¯) Γ := Gal( ¯F /F ) ! X∗(G) 決 ． T _{⇐⇒ 乗法型 連結 i.e., G}def _F¯ 2 Gr_m. ˆ T = X∗(T ) _{⊗ C}× Γ ρ! ˆT T 決 ． ∃! AT ⊂ T ; 部分 s.t. X(AT) = X∗(AT) = X∗(T )Γ,free. (分裂成分)

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 基本概念 Lie 環 冪単群 可解群

冪単群 可解群

U ; 線型代数群 /F 冪単 _{⇐⇒ 任意 有理表現 (ρ, V )}def 単位表現 含 ． ⇐⇒ GL(V ) ∃ ∼ → GLn s.t. ρ(U) ⊂







Ñ

1 _∗ ... 1

é





命題 2 1 G ; 線型代数群 /F 最大 正規冪単部分群 U_G 持 (G 冪単根基)． G 簡約 _{⇐⇒ U}def _G = 1. 2 ∃L ⊂ G ; 簡約部分群 (Levi 成分) s.t. G = L " U_G (Levi 分解). ∃ D(G) = G_der := G/N 最小 N & G. (G 導来群) G 可解 _{⇐⇒ D}def n(G) = 1, ∃n 5 0. D1(G) := D(G), Dn(G) := D(Dn−1(G)), n > 1.

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 Borel 部分群 分裂

Borel

部分群

F = ¯F 代数閉体 ． G ; 線型代数群 /F = ¯F B _{⊂ G} Borel 部分群 _{⇐⇒ 極大連結可解部分群}def 定理 3 1 ∀B, B' ⊂ G ; Borel 部分群 !=⇒ B' = Ad(g)B := gBg−1, ∃g ∈ G( ¯F ), N_G(B) = B. 2 G =

*

B; Borel 部分群 B. 3 ∀T ⊂ G ; 極大 ，T ⊂ ∃B ⊂ G ; Borel 部分群．N_B(T ) = T, B = T " U_B. 4 Ω(T ) = ΩG(T ) := N_G(T )/T ; T Weyl 群 (有限鏡映群) Ω(T ) _{$ w %−→ w(B) := Ad( ˙}w)B _{∈ {B}' ; Borel 部分群 | B' _{⊃ T }} ˙ w _{∈ N}G(T ) w 代表元．

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 Borel 部分群 分裂 G ; 連結 簡約線型代数群 /F = ¯F

(B, T ) ; Borel 対 i.e., B ⊂ G Borel 部分群，T ⊂ B 極大 ．

R(G, T ) := _{{α 7= 0, ∈ X}∗(T ) _{| α !→ (Ad|}T, g)} ; T 集合 gα := {X ∈ g | Ad(t)X = α(t)X, t ∈ T }, α ∈ R(G, T ). R(B, T ) := _{{α ∈ R(G, T ) | g}α ⊂ b := LieB)} ; B 正 集合 ∆(B, T ) := _{{α ∈ R(B, T ) | R(B, T )} 複数 元 和 書 _{} ;} B 単純 集合 spl = (B, T,_{Xα}α∈∆(B,T )) G 分裂 def ⇐⇒ Xα 7= 0, ∈ gα( ¯F ). 命題 4 G 随伴群 Gad( ¯F ) := (G/ZG)( ¯F ) 2 Int(G)( ¯F ) G 分裂 集合 単純推移 的 作用 ．

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 Borel 部分群 分裂 α _{∈ R(G, T ).} Gα := [Z_G(kerα)0 導来群 ] !=⇒ gα _{2 sl}2 ∃! α∨_∈ X_∗(T ) := Hom(Gm, T ) (α ) s.t. +α, α∨, = 2, i.e., α ◦ α∨(x) = x2; imα∨ _{⊂ T ∩ G}α. ∆∨(B, T ) := _{α∨ _{| α ∈ ∆(B, T )}} RD(spl) := (X∗(T ), ∆(B, T ), X_∗(T ), ∆∨(B, T )), RD(G) = (X∗, ∆, X_∗, ∆∨) := lim ←− spl RD(spl). 命題 4 補題 5 RD(G) 基底付 ． _{+ , , : X}∗ _{⊗ X∗ → Z} 標準双対性 1 span_R∆, span_R∆∨ + , , 互 双対空間． 2 (∆, ∆∨) + , , 被約 系 生成 ．

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 Borel 部分群 分裂

Chevalley

定理

定理 6 (Chevalley) 次 全単射：

+

_{連結簡約線型代数群 / ¯F} 同型類

,

$ G %−→ RD(G) ∈

+

_基底付 同型類

,

∃! Gˆ = ˆG(C) ; 連結簡約線型代数群 /C s.t. RD( ˆG) = RD(G)∨ := (X_∗, ∆∨, X∗, ∆). (G Langlands 双対群)

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 Borel 部分群 分裂 例 5 Bn ⊂ GLn ; 上三角元 Borel 部分群，Tn ⊂ Bn ; 対角元 極大 ，

Ä

X∗(Tn) = n

-i=1 Z'i, X∗(Tn) = n

-i=1 Z'∨ i

ä

# Sn = Ω(Tn) 'i(diag(t1, . . . , tn)) = ti, '∨_i (t) = diag(1, . . . , i ∨ t , . . . , 1).

Ad(diag(t1, . . . , tn)) (xi,j)_i,j =

.

t_it−1_j x_i,j

/

i,j R(GLn, Tn) = {'i − 'j | 1 ≤ i 7= j ≤ n}, ('i − 'j)∨ = '∨_i − '∨_j , R(Bn, Tn) = {'i − 'j | 1 ≤ i < j ≤ n}, ∆(Bn, Tn) = {αi := 'i − 'i+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1}.

特 RD(GLn) =

Ä"

n_i=1 Z'i,{'i − 'i+1},

"

n_i=1 Z'∨_i ,{'∨_i − '∨_i+1}

ä

0

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

放物型部分群

G ; 連結簡約線型代数群 /F ; 標数 0 非 局所体 P _{⊂ G} 放物型部分群 _{⇐⇒ G/P}def 射影多様体 ⇐⇒ P_F¯ ⊃ ∃B ; G_F¯ Borel 部分群

M _{⊂ G} Levi 部分群 _⇐⇒def 放物型部分群 Levi 成分

命題 7 1 P ⊂ G ; 放物型部分群 !=⇒ N_G(P ) = P. 2 P₀, P₀' ⊂ G ; 極小放物型部分群 !=⇒ P₀' = Ad(g)P₀, ∃g ∈ G(F ). 注意 P0 ∈ P(M0) 取 ， F(P0) := {P ∈ F | P ⊃ P0} 放物型部分群 G(F ) 共役類 代表系 M0 ⊂ G ; 極小 Levi 部分群 固定． F = F(M0) := {P ⊂ G 放物型部分群 | P ⊃ M0} L = L(M0) := {M ⊂ G Levi 部分群 | M ⊃ M0}

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

例：準分裂

群

例 6 E/F ; 二次拡大，Gal(E/F ) = +σ,. ˜ G = ˜Gn := RE/F(GLn,E). σGL_n 例 2 例 2 通 ，ε = εn := RE/F(θn)◦ σGL_n ∈ Aut( ˜G). θn : GLn $ g %−→ Ad(In)tg−1 ∈ GLn, In :=

Ö

₁ −1 ... (₋₁₎n−1

è

. G(R) = Gn(R) := ˜Gε(R) =_{{g ∈ GL}n(E ⊗F R) | gIntσ(g) = In}, R ∈ Alg_F. ( 形式 (v, v'_{) := vIn}t_σ(v'_{) 群)}

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理 例 6 (続 ) l := [n/2] ． 極大放物型部分群 Pr = MrUr ⊂ G (1 ≤ r < l, n0 := n − 2r) G(F ) 共役． Mr =

®

mr(a; g) :=

Ç

_a g εr(a)

å!!

!!

!

a ∈ ˜Gr, g ∈ Gn0

´

, Ur =







1

1r b c − (−1) n_−r 2 bIn0tσ(b)Ir 1n₀ (−1)n−rIn₀tσ(b)Ir 1r

2!!

!!

!!

b _{∈ RE/F}Mr,n₀ c = (₋₁₎n−r+1Ad(Ir)tσ(c) ∈ RE/FMr







極小放物型部分群 上三角 Borel 部分群 B0 = T0U0 G(F ) 共役． T0 n 奇数 d(a1, . . . , al; t) := diag(a1, . . . , al, t, σGm(al)−1, . . . , σGm(a1)−1), 偶数 d(a1, . . . , al) := diag(a1, . . . , al, σGm(al)−1, . . . , σGm(a1)−1) (a _{∈ R G} , t ∈ G ) ．

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

分裂成分

A_G ; Z_G0 分裂成分 分裂成分 (G 分裂成分)

X(G) _{$ χ %−→ χ|}A_G ∈ X(AG) gives X(G)⊗ Q ∼= X(AG)⊗ Q,

aG := Hom(X(G),R), a∗_G := X(G) ⊗ R (互 双対) M _{∈ L} 対 次 可換: X(G) _{−−−−−→ X(A}制限 _G) 制限





4

5





制限 X(M ) _{−−−−−→ X(A}制限 _M) !=⇒ a∗ G ⊂ a∗M, aG " aM 直和因子: aM = aG ⊕ aG_M, a∗_M = a∗_G ⊕ aG,_M∗, (互 双対), aG_M := (a∗_G)⊥ _{⊂ a}M, aG,_M∗ := (aG)⊥ ⊂ a∗_M.

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

制限

M _{∈ L,} Σ_M := _{{α 7= 0, ∈ X(AM}) _{| α !→ (Ad|AM}, g)_}

P = M U _{∈ P(M),} ΣP := {α ∈ X(AM) | α !→ (Ad|A_M, u)}, u := Lie U.

命題 8 1 Σ₀ := Σ_M0 ⊂ X(A₀) (被約 限 ) 系 ．特 集合 Σ∨₀ = _{α∨ _{| α ∈ Σ}0} ⊂ X∗(A0) 定 ． 2 P₀ ∈ P(M₀) 関 Σ_P0 内 単純 集合 ∆_P0 ∆∨_P 0 := _{α∨ _{| α ∈ ∆}P₀} aG,₀ ∗ = a_MG,₀∗ aG₀ := aG_M0 基底 ． P = M U _{⊃ P}0 = M0U0 対 ∆P := {(α0|A_M) | α0 ∈ ∆P₀ $ ∆P_0∩M} ⊂ ΣP “単純 ” 集合 α∨ := [α∨_{0 ∈ a}M_{0 ⊕ a}G_M aG_M 成分]， (α = (α0|A_M) ∈ ΣM, α0 ∈ Σ0 := ΣM₀) a+_P := _{{X ∈ aM | α(X) > 0, α ∈ ∆P},} +aP := aG ⊕

6

α∈∆P R>0α∨, a∗,+_P := _{{λ ∈ a}∗_{M | α}∨(λ) > 0, α∨ _{∈ ∆}∨_P}, +a∗_P := aG ⊕

6

R>0α

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理 例 7 G = GL3. (P0, M0) := (B3, T3). ∆P0 = {α1 = '1 − '2, α2 = '2 − '3}. ( , ) ; a0 = aT₃ 上 Ω(T3) 不変内積 (i.e., ('i, 'j) = δi,j) ;αi; = √ 2, (α1, α2) = −1 ，aG 0 右 図 ． 例 分 a+_P 0 =

7

P0⊂P ⊂G a+_P 一般 a+_P =

7

P_⊂Q⊂G a+_Q +_a P ⊃ a+_P 成 立 ． Figure : GL3

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理 例 8 例 6 記号 G = G3 例 6 ．δ ∈ E× s.t. TrE/F(δ) = 0 固定 ．

M0 = T0 = {diag(a, t, σ(a)−1) | a ∈ RE/FGm,E, t ∈ G1},

A0 = {diag(a, 1, a−1) | a ∈ Gm}, X(A0) = Z', g(F ) =

®Ç

z b cδ b' uδ σ(b) c'δ σ(b') _−σ(z)

å!!

!!

!

z, b, b' _{∈ E,} c, c', u _{∈ F}

´

!=⇒ Σ0 = {2α, α, −α, −2α}, α := ' BC 型 (非被約) 系 gα(F ) 2 E, g2α = δF.

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

L

群

仮定 G 準分裂， (F 上定義 ) Borel 対 (B0, T0) 持 ． !=⇒ ∃splG = (B0, T0,{Xα}α∈∆(B0,T0)) ; F 分裂 (Γ := Gal( ¯F /F ) 安定分裂) Γ ! X∗(T0) !=⇒ ρG : Γ → Aut(RD(spl_G)) = Aut(RD(G)) ; 作用 ˆ G ; Langlands 双対群，spl_Gˆ = (_{B, T , {Xα}∨}_α∨_{∈∆(B,T )}) ; 分裂 固定 !=⇒

ρ_G : Γ _{−→ Aut(RD(G)) = Aut(RD( ˆ}G)) _{−→ Stab(spl}∼ _Gˆ, Aut( ˆG)) L 作用

L_{G := ˆG%} ρ_G WF G L 群, ρG : WF !→ Γ ρ_G → Aut( ˆG) 注意 9 ( 局所 Langlands 対応) T ; _{!=⇒ ˆ}T = X∗(T )_{⊗ C}× 作用 ρ_T 位相的 W_F 加群． H1_cont(WF, ˆT ) ∃!自然 同型 ∼ −→ Irr T (F )

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理 例 9 例 6 _{G = Gn.} 例 2 同型 例 2 α_GLn : ˜G_{E −→ GL}∼ _n,E2 , α_GLn(R_E/Fθ) = θ _{× θ} GE = ˜Gε_E !→ ˜GE 合成 β : GE −→ {(g, θ∼ n(g)) | g ∈ GLn,E} pr₁ ∼ −→ GLn,E. ˆ G = GLn(C), spl_Gˆ = (Bn(C), Tn(C), {Ei,i+1}1≤i≤n−1). 次 αGLn(σ)(g1, g2) = (σ(g2), σ(g1)) ，β(σ)(g) = θn(σ(g)), g ∈ GLn(E). σ('i)(diag(t1, . . . , tn)) = σ ◦ 'i ◦ β(σ−1)(diag(t1, . . . , tn))

=σ

.

'i(diag(σ(tn)−1, . . . , σ(t1)−1))

/

= 'n+1_−i(diag(t1, . . . , tn))

∴ L_{G = GL}

n(C) %ρ_G WF, ρG(w) =

ß

id w _{∈ WE}

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

複素

A

_Gˆ H_G : G(F ) _{→ aG} ; 準同型 次 定 : +χ, HG(g), = log |χ(g)|F, χ ∈ X(G), g ∈ G(F ). G(F )1 := kerH_{G ⊂ G(F ),} a_G,F := imH_{G ⊂ aG} ; Z 格子 a∗_G,F := _{{λ ∈ a}∗_{G | λ(aG,F}) _{⊂ Z} 双対格子} !=⇒ A_Gˆ := a∗_G,C/2πia∗_{G,F $ λ %−→ e}" λ(HG(·)) ∈ Irr(G(F )/G(F )1₎ ; 同型 M _{∈ L} ， ˆAG $ χ %−→ χ|M (F ) ∈ ˆAM ; C 埋 込 L 群 関係．Z0_ˆ G dual ←→ D_G := G/G_der, A_Gˆ = (ZΓ_ˆ G) 0_. 例 10 ˜

G = R_E/FGLn 例 6 , X( ˜G) = ZNE/F(det).

A_ˆ˜

G = C

¿

Z 2πi

log q_E $ λ %−→ exp(λ log | det(·)|E) ∈ Irr( ˜G(F )/ ˜G(F )

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理

極大

部分群 分解定理

B(G/F ) =

8

_{g∈G(F )} App(Ad(g)A0) ; G(F ) Bruhat-Tits # G(F ) App(A0) ; A0 (a0 空間), s ∈ App(A0) ; 点 !=⇒ K := Stab(s, G(F )) ; A0 位置 極大 部分群 注意 実簡約群 場合 違 ，A0 位置 極大 部分群 G(F ) 共 役類 一 ． 定理 10 1 ∀P ∈ F 対 ，岩澤分解 G(F ) = P (F )K 成 立 ． 2 M₀(F ) ∩ K = M₀(F )1 ，Cartan 分解 G(F ) =

7

a∈H₀−1(−a+_P0)/M₀(F )1 KaK 成 立 ．記号：H0 = HM : M0(F ) → a0 例 7

線型代数群 代数閉体上 簡約群 p 進簡約群 放物型部分群 制限 L 群 極大 部分群 分解定理 例 11 G := 不分岐二次拡大 E/F 付随 G2 例 6 E× = _O×_{E × .F}Z , N_E/F(_OE×) = _OF×, N_E/F(.Z_F) = .2_FZ. K := G(F ) _{∩ GL}2(OE), K' :=

+ 9

_{a b} c d

:

∈ G(F )

!!

_!

_b a, d ∈ OE ∈ ℘−1_E , c _{∈ ℘}E

,

A0 位置 極大 部分群 G(F ) 共役類 代表系． µ : E× _{$ z %→ (−1)}valE(z) ∈ C× !=⇒ µ| F× = ωE/F : F×/NE/F(E×) → {±1}.∼ I_BG₀(µ) := indG(F )_B 0(F )(µ $ U0(F )) 2 π(µ) + ⊕ π(µ)− π(µ)+ K 球表現，π(µ)− K' 球表現． 不分岐 既約成分 定義 K 取 方 依存 ！