合焦法を用いた多面体頂点位置のロバスト計測(機械力学, 計測, 自動制御)
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(2) 合焦 法 を用 いた 多面体 頂点位置 のロバス ト計測 倍 率2倍,NAO。1,有. 効Fナ. ンバ ー10.1,WD65㎜. のテ. レセ ン トリ ック レン ズ と,有 効 画 素 数1392×1040,1々 イ ンチ,画素 サ イ ズ4.65μm×4石5μmのCCDカ. (3). 用 い て,図3に. 示 す50刺. ㎜. メ ラを. の ロ ンキ ー リ レー リン. グ(=対 象 物)を 光 軸 に対 して垂 直 に設 置 し,25μmの 式(2)の ρ は 微 分 演 算 子 サ イ ズ を 示 す 整 数,式(3)は (2醗1)×(2諮1)の る こ とを示 す. 領 域 を 平 均 化 して合 焦 測度 を導 出 す カ メ ラ と対 象 物 との 距 離 を変 化 きせ て. 距. 離 ピ ッチ で 対 象 物 の位 置 を変 化 させ た 画像 を 計測 した. 式(2×3)で/FI,21V+1=21と. して,ロ ンキ ー 線 の 垂 直 方. 向α 方 向)の1次 元 の 合 焦 測 度 を計 算 し,非 線 形 最 小 二. 得 た複 数 の画 像 に対 して式(3)の 合 焦 測 度 を計 算 し,そ. 乗 法 を 用 い て 式(1)へ の フ ィ ッテ ィ ン グ を 行 っ た 結 果. れ を 図2に. を 図4に. 示 す よ うに,式(1)の ガ ウス 関 数 に回 帰 させ. 示 す.E酵. に は ノ イ ズ が含 ま れ て お り,フ ィ. て合 焦 測度 の ピー ク位 置 ろ を計 算 す る.本 論 文 で は,. ッテ ィ ン グデ ー タ 内 に お い て もガ ウス 関数 に は 正確 に. この ピー ク位 置 計 算 を合 焦 演 算 と呼 ぶ こ と とす る.. は フ ィ ッ トして い な い,そ の た め,対 象 物 平 面 に 垂 直. 2・2合. 焦 演算 の 誤 差. に 関 して,CCDの. ガ ウス 関数 へ の 回 帰 計 算. ノイ ズ,画 像 デ ィ ジ タル 入 力 の ピ. ク セ ル化 や 量子 化 な どの 誤 差 要 因 の た め に,1Mに. も. 誤 差 が含 まれ,そ の 誤 差 は 回 帰 計 算 した ろ へ伝 播 す る.. な 高 さ方 向 に ば らつ き誤 差 が 生 じる.な お,ピ ー ク位 置 か ら離 れ た 箇 所 に は偽 画 像 の影 響 が 見 られ る.こ の 部 分 は フ ィ ッテ ィ ン グデ ー タ に入 らな い よ うに す る, フ ィ ッテ ィ ン グの 結 果,σ 戸100μmが 離 ピ ッチ25μmに. 得 られ た.距. て 対 象 物 画 像 を取 得 した の で,FM. の ピー ク位 置 近傍 ±σFに9個 の 測 定 デ ー タが含 まれ る. 図5(a)に 合 焦 演 算 に用 い るデ ー タ範 囲 と,合 焦 演 算 の 誤 差 で あ る%の 標 準 偏 差 σφを求 め た結 果 を●に示 す. σφは 画 像 上 で長 さ230μm相. 当線 分 の 範 囲 に 渡 るデ ー. タ を 用 い て 計 算 した.比 較 の た め,合 焦 演 算 は3個. の. デ ー タに よ る回 帰 演 算 に 統 一 してい る.デ ー タ範 囲 が 片側112σ ∫(2μ 嚇 以 上 に な る と,σ ゆ が 十分 小 さ くな る. ■. lI. こ とが わ か る.本 研 究 で は,実 用 上 と して 片側,σFの. Fig,2Esthnatedpositionhl-fbcus. Fig.lDefbcus㎞age. 範 囲 の デ ー タ を用 い る こ と とす る, 図5(b)に,片. 側 σFのデ ー タ範 囲 に 対 して,回 帰 計 算. に 用 い るデ ー タの 総 数 を3,5,9個 と した 時 の σゆを示 す㍉ デ ー タ 数 を多 く して も合 焦 演 算 の分 散 は大 き くは減 少 しな い. 2・3合. 焦 測度 の 誤 差 伝 播 解 析. 式(Dの モ デル 式. の 両 辺 の 対 数 を と った 式 に対 して,多 入 カ ー 多 出 力非 線 形 系 の誤 差伝 播解 析(2)を適 用 した.誤 差伝 播 方 程 式 は,. Fig3Ronchin11血gFig.4Gaussianhlterpoladon. 「一 言一一一 一一 一騨一 一r-一. 一 一 一 一 一一 一 騨 一一一 一1. (a)(捻 鰭ea-eπor(b)伽n㎜ber-e婬or Fig.5Fitt㎞gerrorofGaussian. で与 え られ る.κ は 回 帰 計 算 に 用 い た デ ー タ数 で あ る. 式(4)に 対 し て,実. 験 よ り求 め た △ln(醐 の 標 準 偏 差.
(3) 合焦法 を用 いた多面体 頂点位置 の ロバ ス ト計測. 1736. σげ0ρ4を. こ の頂 点 を含 む 多 面 体 のN個. 与 え て 合 焦 演 算 の 分 散 誤 差 伝 播 σφ を計 算. した結 果 を図5に. □で示 す.実 験 と解 析 の 結 果 は類 似. と し,各 構 成 平 面 上 に ρoを原 点 と し,各 構 成 平 面 の 法. して お り,合 焦 演 算 の 誤 差 発 生 は 式(5)の誤 差 伝 播 メ カ. 線 〃,を2軸 方 向 とす る座 標 系 Σ,を定 義す る.Σoか らΣ、 へ の座 標 変 換 行 列 を 同 次 変 換 形 式(3)にて,. ニ ズ ム で説 明 で き る と言 え る. 2・4平. 均 化 領 域 サ イズ と誤 差 伝 播. と固定 し,30,50,70本/㎜. の 構 成 平 面 を畷 河,..濁. 式(2)の1Fl. の ロ ン キ ー を50即. の距離. o. (5). /瓠,ニRo'(z,θz,)Rof(x,Ox,). ピ ッチ で 対 象 物 の位 置 を変 化 させ た 画像 を 計 測 し,平 均 化 領 域 サ イ ズ2N+1を11∼41と. 変化 させ て 合焦 演 算. の標 準 偏 差 σゆを計 算 した.実 験 お よび 誤 差 伝 播 解 析 の. と表 現 す る.1ぞo蘇,0)は 縦危κ」の 軸 ま わ りに角 度0回 転. 結 果 をそ れ ぞ れ,●,□ の記 号 で 図6に 示 す.FMの. させ る4×4の. ク位 置 か ら両側 に σF相当 のデ ー タ を用 い た.ロ. ピー ン キー. 回 転 行 列 で あ る.各 平 面 π,上の 点座 標 を. 計 測 す る座 標 系 を㌦ と し,㍉. 空 間 周 波 数 に 関 わ らず,本 実 験 の 光 学 系 で は21四=21. で計 測 した 各 平 面 上 の. 属 個 の 座 標 を,. 以 上 にて σゆが 小 さ くな る こ とが 示 され た ・ ロ ンキ ー 周 波 数 を固 定 した場 合,合 焦 測 度 の ピー ク 値 場 は,〃 の値 に 関 わ らず 一 定 値 で あ るが,ロ. 〃κ 耀び一卜 凋,・肋,㌔. ンキ ー. (6). 」r. 周 波 数 を 大 き くす る と ろ も大 き く な る.式(4)の 誤 差伝 播 行 列 に は ろ が含 まれ ず,ろ の 大 き さは誤 差 伝播 に は. と表 現 す る.以 降,変 数 の左 上 の 添 字 は,各 変 数 を定. 影 響 しな い.平 均 化 サ イ ズNを. 義 す る座 標 系 を表 す もの とす る.. 変 化 させ た 時 の △ln(冊の. の 標 準偏 差 σ剛 の 実 験 値 を 図7に 示 す.. 座 標 系 Σ川 に お け る 座 標 系 Σoの 位 置(ρ,g,り と姿 勢. 平 均化 サ イ ズ κ が 大 き くな る と ノイ ズが 平均 化 され. (λ,ω,0)を 表 す 座 標 変 換 行 列 を,以 下 の よ うに 定義 す る.. て σ朋 が小 さ くな り,結 果 と して 合 焦 演 算 の 誤 差 標 準 偏 差Gφ も小 さ くな る. ふ. 3・1頂. 濡/㌔=7}α. 〃5( 、 ρ,9,7)Roご(z,0)Ro'(ア,ω)Ro'(κ,λ)(7). 多面 体 頂 点 位 置 の 計 測. 点位置 の計 測方法. 本研 究敏 橡 とす る. 式(7)の ρo=ψ,g,ア)が 導 出 す べ き頂 点 位 置 とな る.. ダイヤモ ン ド超砥粒 は多面体構造 を してお り,こ の多. 各 平 面 π,上の 点 座 標 ㌦ 切"が与 え られ 場 合 に,多 面 体. 面体の頂点や 稜線 が研 削加 工 に作用す る切 れ刃エ ッジ. の 頂 点 座 標 溺ρoを計 算 す る方 法 と して,(1)多 面 体 の 幾. となる,合 焦法 では,多 面体上の点座標 を測定す るこ. 何 特 性 を用 い な い 方 法,(2)対 面 角,頂 角 な どの 幾1可特. とができるが,平 均化処理 に よ りエ ッジ部分 が鈍 った. 性 用 い る方 法,と. 形状 となって測定 され る、そ こで,合 焦法 でエ ッジ近. 3・3幾. 傍 を外 した凸多面体 の点座標 を測定 し,エ ッジ部 分は. を比 較 す る.. 何 特 性 を 用 い な い計 測 方 法. 計 測座 標 系. ㌦ に お け る各 平 面 環 戸1,,,.み)を 次 の よ うに表 現 す る.. 測 定対象の幾何学的情報 を利 用 して計測す ることとす る.具 体的には,多 面体 の各構 成面 に対 して,面 上の. α〆+奄. (8). ン+z+4,=0. 複数点の座標 を測定 し,そ こか ら,各 面 の法線や 隣接 3平 面の頂 点な どを間接 計測す る. 3・2多 面体 と頂 点の幾何学モ デル. 図8に 示す よ. 三・↑. うに,多 面体に対 して測定す る頂 点ρoを原 点 とした座 標系Σoを定義す る.. rlg.ob聯orolm-rocusposmon. 「19・1b1リOI・Fル1. Fig.8Geometricalmodelofthepolyhedron. 56一.
(4) 合焦法 を用 いた多面体頂点位 置の ロバ ス ト計 測 式 〔6)のよ うに,平. 面 π,上の 点 座 標 値 が 与 え られ た と き,. で 与 え られ る.便 宜 上,{F[ρ,g,ろλ,ω,θ]「 と して,式(7) の 座 標 変 換 パ ラ メ ー タ を 列 ベ ク トル に ま と め た.式. 式(8)の 平 面 の パ ラ メ ー タ 傷,わ,,φ は,. (13)の距 離 偽 が最 小 とな る よ うに,ヤ. コ ビ行 列 を用 い. て,座 標 変 換 パ ラ メー タ を以 下 の よ うに反 復 計 算す る.. の 解 と して 導 出 さ れ る.式(9)よ (戸1,_荊. を 用 い て,多. の 解 と な る.式(9)お. り計 算 さ れ る 傷,わ,,φ. 面 体 の 頂 点 座 標 ρo吻,g,7)は,. よ び 式(10)の 解 は,. 反復計算 にて導出 され た座標 変換パ ラメー タの ρ,卯 が,多 面体の頂点位置 とな る.平 面 上の点座標測 定値 ㌦吻に誤 差 ある場合 は,式(ll)や式(14)の計算式を介 し て,頂 点位 置計測へ誤差伝 播す る.次 章で各 計測 モデ ル 式に対 して誤差伝播解析 を適用す る. 4多 4・1誤. 面体頂点位置 の ロバス ト計測方法 差伝 播 解 析. 先 ず,多 面 体 の幾 何 特 性 を. 用 い な い場 合 に 関 す る誤 差 伝 播 式 を導 出す る.計 測 モ で 与 え られ る.こ の方 法 は,多 面 体 の 頂 点 が 複 数 個 の 平 面 の交 点 で あ る こ との み を利 用 し,多 面体 の幾 何 特. デ ル 式(9)を,点 座 標 値 ㌦ 吻 と,平 面 のパ ラ メー タ 免 鉱 4で 全 微 分 し,行 列 形 式 に 整 理 す る.. 性 や 基 準 座標 方 向 な どの情 報 が 不 要 で あ り,形 状 や 大 き さが不 均 一 な砥 粒 を計 測 す る場 合 に は有 効 とな る. 3・4幾. 何 特 性 を用 い る計 測 方 法. 精 密 研 削 に用 い. られ る選粒 され た ダイ ヤ モ ン ド砥 粒 は,結 晶 構 造 が 整 っ た多 面 体 形 状 で あ り,頂 点 を構 成 す る平 面 の 頂 角 や 対 面 角 な どの 幾 何 清報 を,頂 点 位 置 導 出 計 算 に利 用 す る こ とが 出 来 る.具 体 的 に は,各 平 面 上 の 測 定 デ ー タ を式(7)の 座 標 変 換 を介 して モ デ ル 平 面 に 非 線 形 最 小 自乗 法 を 用 い てベ ス トフ ィ ッ トさせ る 。 ベ ス トフ ィ ッ トした 式(7)のρ,g,7が,求 め る頂 点 座 標 値 とな る.多 面. (15). 体 の 頂 点 を原 点 とす る基 準 座 標 Σoにお け る,構 成 平 面 π,の式 は,. 畑,は(3×3ル のの 行 列 で あ る.次 に,計 測 モ デル 式(10) を多 面 体 頂 点(ρ,9/)と平 面 のパ ラ メ ー タ 切,わ,,4で全 微 分 して行 列 形 式 に整 理 す る.. へρ=一. で与 え られ る.ρ η,,,o砺,o砺,0]り〃,は,商 に お け る平 面 π8の法線 ベ ク トル で あ る.各 平 面 上 の 測 定 点 篤 りと 平 面 との 距離 偽 は,式(7)の 座 標 変 換 を介 して,. ・ 「μ △α.
(5) 合 焦 法 を用 い た 多 面 体 頂 点 位 置 の ロ バ ス ト計 測. 1738. ら は(3×3ハリの行 列 で あ る.以 上 よ り,点 座 標 値 誤 差 △、 脚 か ら頂 点位 置 誤 渤 ρへ の,誤 差 伝播 方 程 式 は,. α γは 正規 直 交行 列,3は. 特 異 値31,32,33か らな る対 角. 行 列 で あ る.正 規化 した直 接 測 定 誤 差 の 広 が りを,(3N ×燭 次 元 の 超 球 と考 え た とき,間 接 測 定 量 の誤 差 で あ る帥 の 広 が りは,主 軸 長51,32,33,主 軸 方 向ベ ク トル 〃 の だ 円体 へ 射影 され る.す な わ ち,特 異 値 が 小 さい と 測 定誤 差 に ロバ ス トな 計 測 手 段 とな る. 4・3測 角136°. 定 誤 差 に ロバ ス トな 頂 点 位 置 計 測. 対面. のマ イ ク ロ ビ ッカ ー ス 硬 度 計 先 端 の多 面 体 に. 対 して,誤 差伝 播 解 析 を 適 用 した 数 値 計 算 を示 す.平 面 上 の 点デ ー タは,図9の. よ うに,上 面 か ら見 て正 方. 形 状 の範 囲 内 で 等 間 隔 に 与 え る.稜 線 近 傍 は形 状 デ ー タ が鈍 るた め に,オ. フセ ッ トを与 えた 位 置 のデ ー タ を. 利 用 す る.多 面 体 の基 準座 標 の 位 置 と姿 勢 は誤 差 伝 播 解 析 へ影 響 しな い の で,c=[0,0,0,0,0,0]τと した. オ フ セ ッ ト0ゆ6㎜,範. 囲0.12㎜. □,デ ー タ数49. の 点 測 定 デ ー タに 対 して,各 測 定 点 に ±1μmの 一 様 分 布 誤 差 を与 え て,多 面 体 の 幾何 特 性 を 用 い な い 方 法(方 法1)と,用. い る方 法(方 法2)で,]頁 点位 置 の 計算 を 実施. した結 果 を図10に. 示 す.図10の. 法1,2に 対 して1000回. 点 は,上 記計 算 を方. 実施 したデ ー タ,だ 円体 は,一. 様 分 布 の誤 差 分 散 の ±3(頼 域 を 式(21)を 用 い て 求 め た もの で あ る.頂 点 位 置 測 定 誤 差 の分 布 とだ 円体 領 域 は 一 致 して お り,誤 差 伝 播 解 析 式 の 正 し さが 検 証 され た.. 盈 は(6×3N・ ルのの 行 列 で あ る.式(18)の 砂 に 該 当す る部 分 を取 り出 した も の が,点 座 標 値 誤 差 △隔 〃か ら頂 点位 置誤 差 △ρへ の誤 差伝 播 方 程 式 とな る.. Fig.9parameterofmeasurement. 4・2誤 差伝播 の評 価方 法. Aρ=∬ 込 溺㌔. 誤差伝播方程式 を,. (20). と表 現す る.∬ は(3×3N・1吻 の行 列 で あ る,各 点 測 定 値 の 誤 差 の広 が りの 値 を,± 録1烈 岬)で 与 え,式(20) の 誤 差 伝播 行 列1を 正 規 化 した も の を 特 異値 分 解 す る.. (a)methodl(b)method2 Fig.10ErroreHipsoid.
(6) 合 焦 法 を用 い た多 面体 頂 点 位 置 の ロバ ス ト計 測. 次 に,オ フ セ ッ ト,デ ー タ範 囲,デ. ー タ点 数 を変 化. 特 異値 の 値 は,平 面 上 の 点 計 測 誤 差 の頂 点位 置 測 定誤. させ た 場合 の 計測 の ロバ ス ト性 に 関 して,誤 差 伝 播 行. 差 へ の伝 播 の 大 き さを 示 す,す. 列 の 特 異値 を評 価 値 と して調 べ た結 果 を図11に. さが1の. 示 す,. 場 合,平. な わ ち,特 異値 の 大 き. 面 上の各 点 測定 の誤差標 準偏差 を. 図11(a)(b)よ り,オ フセ ッ トが 小 さ く,測 定 範 囲 が 広 い. 1μmと した 場 合,頂 点 位 置 測 定 の標 準偏 差 も1μmと. ほ うが,ノ イ ズ に ロバ ス トな 計 測 に な る.ま た,幾. な る こ とを 意 味 す る.. 特 性 を 用 い る方 法2の. 方 が,方 法1よ. あ る,ま た,方 法2のz方. 何. りも ロバ ス トで. 向 に 関 して は,オ. や 測 定範 囲 の影 響 を受 け な い.図ll(c)よ. フセ ッ ト. り,デ ー タ数. 4・4頂. 点位置計測実験. 倍 率10倍,NAO23の. テ. レセ ン トリッ ク レン ズ と,有 効 画 素数1392×1040,1尼 イ ン チ のCCDを. 用 い て,15μmピ. ッチ で レン ズ位 置 を. が 多 い ほ ど特 異 値 が 小 さ くな るが,過 度 に デ ー タ数 を. 変化 させ た 画 像 か ら,マ イ ク ロ ビ ッカー ス硬 度 計 先 端. 増 や して も特 異 値 の減 少 が小 さ くな らな い.. の ダ イ ヤ モ ン ド頂 点 を計 測 した例 を 図12に 示 す.計 算 量 を 小 さ くす るた め に,画 像 解 像 度 を640×480へ して 合 焦 計 算 した.オ 0.12㎜. フセ ッ ト0.06mm相. □,デ ー タ数49の. 変換. 当,範 囲. 点 測 定デ ー タ を 用 い て,頂. 点位 置 は 多 面 体 の 幾 何 特 性 を用 い る方 法2よ. り計算 し. た,測 定 デ ー タ の真 値 との 対 比 は 今 後 の 課 題 で あ るが, 前節 の解 析 に 基 づ き,測 定誤 差 に ロバ ス トな計 測 が行 え て い る と推 察 で き る. なお,合. 焦 法 に よ る点 測 定 で,多 面 体 の構 成 平 面 が. 階段 状 とな っ て 測 定 され て い る.こ れ は レン ズ の回 折 限界 やCCDか. らの 画 像 デ ー タ の量 子 化 の影 響 に よ る. か た よ り誤 差 と考 え られ る.本 報 で は,主 と して ば ら つ き誤 差 を対 象 と して お り,こ れ らの か た よ り誤 差 の 影 響 解 析 に 関 して は,今 後 の 課 題 で あ る,挿 入 曳星ノ. 論. 5.結. Fig.11Erroranalysisofmeasu猶ementofthevertexposition. 合 焦 法 に よ る点 測 定 と幾1可モ デ ル フ ィ ッテ ィ ン グ を 用 い た 多 面 体 頂 点位 置 の3次 measurementdata. ロ. ＼,,,〆. ζ轡ldveれex. 元形 状 計 測 方 法 を提案 し,. ロバ ス ト計 測 の た め に,以 下 の こ とを明 らか に した, (1)合 焦 演 算 の ガ ウス 関数 へ の 当 て は め で は,実 用 上, ガ ウ ス 関数 の ±1標 準 偏 差 の デ ー タ範 囲 を用 い る, (2)平 面デ ー タか ら頂 点 位 置 の計 算 で は,幾 何 モ デ ル 特 性 を用 い る こ とに よ りロバ ス ト計 測 が 実 現 で き る. (3)頂 点 か らの オ フ セ ッ トが 小 さい,稜 線 近 傍 の 平 面 デ ー タ用 い る方 が ,ロ バ ス ト性 が 向 上 す る. 提 案 した方 法 に て,微 小 ダ イ ヤ モ ン ド多 面 体 の頂 点 位 置 が 計 測 で き る こ とを確 認 した.. 文. 献. (1)Nayer,S.K.andNakagawaY.,ShapefめmFocus: Anef短ctiveApproachfbrRoughSurface.,Proα 1EEEZ〃'∠Co1プo〃Roδo!ノ03α. η6ノ/望z∫'01ηo∫'oη,(1990),. pp.223-287. (2)Harada,T.,Kotani,K.andMiyoshi,T.,In-Process ErrorCompensationfbrToothFormGrindingWorks, 器. ル伍. 漉c肋. 伽. θア〃α"0η01Jo〃7η. ηた α1Eηg加. α1ノ. φ αη300'の. εθz5,SeriesC,Vol.44,No.2. (2001),pp.360-366.. Fig.12Experimentalresultofthemeasurement. (3)Paul,R.P.,RobotManipulators,ル PP.9-19. α7Prθ5畠(1981),. げ.
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