数学科「数学Ⅰ」学習指導案
１ 単元（題材）名 ……… 第３章 ２次関数 ４．２次関数の最大・最小
２ 単元設定の理由
○単元・題材観
中学校以来，関数関係を変化する２つの数の関係として式やグラフで表してきた．本単元では，この関数の概念について，２次関数を扱
いながらその本質を理解させることを主たるねらいとしている．現在，自然科学や様々な現象を関数として表す研究が進められており，関
数の概念は，自然科学のみならず，数学それ自身においても重要な位置を占めている．
ここでは，関数を集合間の対応という写像としてとらえるのではなく，より具体的な数量間の関係でとらえることから扱い，数学Ⅱ，数
学Ⅲ（三角関数・指数関数・対数関数・微分法・積分法）の内容へと発展していく基礎となる２次関数について学習する．
○生徒観
本クラスはほとんどの生徒が大学進学を希望している．しかし，入学当初のアンケートでは，数学を苦手としている生徒も多く，基本的
な計算について定着の差がみられた．しかし，苦手だからあきらめているのではなく，頑張っていきたいという前向きな生徒が多く，授業
中の発問に対しての応答や演習問題など積極的に手を挙げる生徒が多い．
なお，中学校で既習の
y
=
ax
+
b
（１次関数）や
y
=
ax
2（２次関数）などのグラフは，方眼紙上にかくことに慣れているため，ほとん
どの生徒が，自分でノートに座標軸や目盛りをかいた上でグラフをかくことを苦手としている．
○指導観
本単元では，まず，２つの変化する値の対応関係として関数の概念を理解させ，関数関係を式，表，グラフなどに表せるようにすること
に重点をおき，中学校で既習の
y
=
ax
+
b
（１次関数）や
y
=
ax
2（２次関数）について復習する．次に，２次関数のグラフの平行移動や
式との関係を調べ，最後に平方完成による
y
=
ax
2
+
bx
+
c
のグラフをかく方法を理解させるようにする．２次関数の値の変化については，
定義域・値域を定義し，グラフを用いて視覚的に値の増幅を確認し，最大・最小についての理解を深めさせ，具体的な問題に対して応用で
きるように留意し指導する．
また，２次方程式・２次不等式については，代数的に取り扱うのではなく，２次関数のグラフと
x
軸の位置関係を通して，２次方程式や
２次不等式の解の意味を図形的に理解させ，解が求められるように指導する．２次関数の式変形とグラフの最大・最小については，確認プ
リント等を用いて定着を図りたい．
３ 単元の指導目標
・関数の概念，関数の値，関数のグラフなどの意味を正しく理解させる．
・
y
=
ax
2のグラフをもとに，平行移動によって，2 次関数の一般形
y
=
ax
2
+
bx
+
c
のグラフがかけるようにする．
・グラフが与えられたとき，その2 次関数を決定できるようにする．
・2 次関数のグラフを利用して，2 次関数の最大・最小の求め方とその利用方法を理解させる．
・2 次関数と 2 次方程式の関係を理解させ，2 次関数のグラフと
x
軸の位置関係や共有点の個数を
D
=
b
2
-
4
ac
を用いて調べることができ
るようにする．
・2 次関数のグラフと
x
軸の位置関係から2 次不等式の意味をとらえ，2 次不等式を解けるようにする．
４ 指導計画 単元の時間配当 ３０ 時間
・第一次 関数 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・２時間
・第二次 ２次関数のグラフ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・８時間
・第三次 ２次関数の最大・最小 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・５時間
第１時 定義域・値域 ・・・・・・・・・・・・・・・・・１時間
第２時 ２次関数の最大・最小 ・・・・・・・・・・・・・２時間
第３時 定義域が変化する場合の最大値・最小値 ・・・・・１時間（本時）
第４時 最大・最小の応用 ・・・・・・・・・・・・・・・１時間
・第四次 ２次関数の決定 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・２時間
・第五次 チェック問題 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１時間
・第六次 グラフと方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・４時間
・第七次 グラフと不等式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・５時間
・第八次 チェック問題 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１時間
・第九次 章末問題 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・２時間
５ 本時の指導目標
・定義域の有無による最大値・最小値の求め方の違いを確認させる．
・定義域が変化することで，最小となる点（最小値）が変化していることを視覚的に理解させる．
・最小値を求めるのに，
0
< a
<
2
のときと，
a
≧
2
のときで場合分けが必要であることを理解させる．
６ 指導上の留意点
・前時までの最大値・最小値の求め方について，定義域の有無でどう違うか確認していく．
・変数
a
が変化するとき，最小となる点（最小値）がどこで
x
=
a
から頂点に変わるのかを視覚的にGRAPES 上で捉えさせる．
・最小値を求めるのに，
0
< a
<
2
のときと，
a
≧
2
のときで場合分けが生じることを理解させる．また，解答には，それぞれの場合のグラ
フを必ずかく必要があることも注意しておく．
７ 教材
・教科書：数学Ⅰ（実教出版）（p87）
・問題集：アクセスノート数学Ⅰ改訂版（実教出版）
・視聴覚教材：パソコン【グラフ描画ソフトGRAPES（Ver6.62C）、PowerPoint 2003】，プロジェクター，スクリーン
８
８ 学習の展開（学習指導過程）
導
入
前時の学習内容の確認
・最大値・最小値の求め方を
・練習問題
・軸，頂点を求めグラフをかく．
・グラフからどの部分が最小となるかを考え，
最小値を求める．
展
開
応用例題をする．
・定義域
考察する．
・板書をノートにまとめる．
練習
ま
と
め
・本時のまとめ
本時の内容を確認する．
練習
a
の最小値を求めよ．
問
a
の最大値を求めよ．
学習の展開（学習指導過程）
前時の学習内容の確認
最大値・最小値の求め方を
・練習問題をする
・軸，頂点を求めグラフをかく．
・グラフからどの部分が最小となるかを考え，
最小値を求める．
応用例題をする．
・定義域
0
≦
考察する．
板書をノートにまとめる．
練習19 をする
・本時のまとめ
本時の内容を確認する．
練習19 を次回までの宿題と
0
>
a
のとき，２次関数
2
x
y
=
-の最小値を求めよ．
問 次 の 定 義 域 に お け る
= x
y
を求めよ．
0
)
1
(
)
2
(
0
>
a
のとき，２次関数
2
x
y
=
-の最大値を求めよ．
学習の展開（学習指導過程）
学習内容
前時の学習内容の確認
最大値・最小値の求め方を
をする
・軸，頂点を求めグラフをかく．
・グラフからどの部分が最小となるかを考え，
最小値を求める．
応用例題をする．
a
x ≦
≦
におけるグラフの変化を
板書をノートにまとめる．
をする
・本時のまとめ
本時の内容を確認する．
を次回までの宿題と
のとき，２次関数
0
(
1
4x
+
-の最小値を求めよ．
次 の 定 義 域 に お け る
1
4
2
- x
+
x
を求めよ．
3
0
≦
x
≦
1
0
≦
x
≦
のとき，２次関数
3
2
2
+
x
+
の最大値を求めよ．
学習の展開（学習指導過程）
内容・活動
前時の学習内容の確認
最大値・最小値の求め方を考える
・軸，頂点を求めグラフをかく．
・グラフからどの部分が最小となるかを考え，
におけるグラフの変化を
板書をノートにまとめる．
本時の内容を確認する．
を次回までの宿題とする．
のとき，２次関数
0
≦
x ≦
a
次 の 定 義 域 に お け る
1
の 最 小 値
3
1
のとき，２次関数
0
(
3
≦
x ≦
考える．
・軸，頂点を求めグラフをかく．
・グラフからどの部分が最小となるかを考え，
におけるグラフの変化を
する．
)
a
次 の 定 義 域 に お け る
の 最 小 値
)
a
≦
・グラフからどの部分が最小となるかを考え，
・定義域の有無で何が変わるかを
考えさせ
・机間巡視をしながら，平方完成，
軸，頂点，グラフがかけているか
確認する．
・平方完成の仕方から
を求め，グラフをかくまでの流れ
を確認していく．
・最小値をグラフで確認
におけるグラフの変化を ・変数
の実践部分と最小値がどのように
変化していくかを視覚的に捉えさ
せる．
・必要に応じて，次の２つの場合
のグラフを視覚的に提示する
・考察の結果，
のときと，
あることを理解させる．
・机間
ていない生徒に個別指導を行う．
y
=
y
指導上の留意点
・定義域の有無で何が変わるかを
考えさせ，解答の仕方を確認する
・机間巡視をしながら，平方完成，
軸，頂点，グラフがかけているか
確認する．
・平方完成の仕方から
を求め，グラフをかくまでの流れ
を確認していく．
・最小値をグラフで確認
・変数
a
の変化によって，グラフ
の実践部分と最小値がどのように
変化していくかを視覚的に捉えさ
せる．
・必要に応じて，次の２つの場合
のグラフを視覚的に提示する
・考察の結果，最小値は
のときと，
a
≧
あることを理解させる．
・机間指導をしながら，理解でき
ていない生徒に個別指導を行う．
4
2
x
x
-=
4
2
x
x
-=
指導上の留意点
・定義域の有無で何が変わるかを
，解答の仕方を確認する
・机間巡視をしながら，平方完成，
軸，頂点，グラフがかけているか
・平方完成の仕方から，軸と頂点
を求め，グラフをかくまでの流れ
を確認していく．
・最小値をグラフで確認
の変化によって，グラフ
の実践部分と最小値がどのように
変化していくかを視覚的に捉えさ
・必要に応じて，次の２つの場合
のグラフを視覚的に提示する
最小値は
0
2
≧
のときの場合が
あることを理解させる．
をしながら，理解でき
ていない生徒に個別指導を行う．
0
(
1
≦
x
+
0
(
1 ≦
x
+
指導上の留意点
・定義域の有無で何が変わるかを
，解答の仕方を確認する．
・机間巡視をしながら，平方完成，
軸，頂点，グラフがかけているか
，軸と頂点
を求め，グラフをかくまでの流れ
・最小値をグラフで確認する．
の変化によって，グラフ
の実践部分と最小値がどのように
変化していくかを視覚的に捉えさ
・必要に応じて，次の２つの場合
のグラフを視覚的に提示する.
2
0
< a
<
のときの場合が
あることを理解させる．
をしながら，理解でき
ていない生徒に個別指導を行う．
)
5
≦
x
)
1
≦
x
教 材
資 料
教科書
視聴覚
教材
教科書
視聴覚
教材
教科書
教科書
配 当
時 間
学
形
15 分 一斉
個別
22 分
10 分
一斉
個別
一斉
個別
3 分 一斉
学 習
形 態
一斉
個別
・前時の学習内容を振り返っ
て，積極的に最大値・最小
値の求め方を考えようと
する．（関心・意欲・態度）
・２次関数のグラフをかき，
最小値を求めることがで
きる．
一斉
個別
一斉
個別
・定義域が変化することで最
小値が変化することに気
づく．（関心・意欲・態度）
（数学的な見方や考え方）
・最小値を求める為に場合分
けが必要であることが理
解できる．
・解決しようとしているか．
（関心・意欲・態度）
一斉 ・積極的に発表しようとして
いるか．（関心・意欲・態度）
評 価
・前時の学習内容を振り返っ
て，積極的に最大値・最小
値の求め方を考えようと
する．（関心・意欲・態度）
２次関数のグラフをかき，
最小値を求めることがで
きる．（知識・理解）
・定義域が変化することで最
小値が変化することに気
づく．（関心・意欲・態度）
（数学的な見方や考え方）
・最小値を求める為に場合分
けが必要であることが理
解できる．（知識・理解）
・解決しようとしているか．
（関心・意欲・態度）
・積極的に発表しようとして
いるか．（関心・意欲・態度）
価 規 準
・前時の学習内容を振り返っ
て，積極的に最大値・最小
値の求め方を考えようと
する．（関心・意欲・態度）
２次関数のグラフをかき，
最小値を求めることがで
（知識・理解）
・定義域が変化することで最
小値が変化することに気
づく．（関心・意欲・態度）
（数学的な見方や考え方）
・最小値を求める為に場合分
けが必要であることが理
（知識・理解）
・解決しようとしているか．
（関心・意欲・態度）
・積極的に発表しようとして
いるか．（関心・意欲・態度）
準
・前時の学習内容を振り返っ
て，積極的に最大値・最小
値の求め方を考えようと
する．（関心・意欲・態度）
２次関数のグラフをかき，
最小値を求めることがで
（知識・理解）
・定義域が変化することで最
小値が変化することに気
づく．（関心・意欲・態度）
（数学的な見方や考え方）
・最小値を求める為に場合分
けが必要であることが理
（知識・理解）
・解決しようとしているか．
（関心・意欲・態度）
・積極的に発表しようとして
いるか．（関心・意欲・態度）
