数学史から見たNavier-Stokes方程式の微視的記述関数の論争に見る物理的構成と数学的記述 (非線形波動現象の研究の新たな進展)

数学史から見た

Navier-Stokes

方程式の微視的記述関数の論争に見る物理的構成と数学的記述

流体数理古典理論研究所 増田 茂

E-mail: [email protected]. jp

Abstract

1 _{Oneofthe Poisson}

$s$themesis the reducibility ofsuminto integral,namely,how to calculate the

micro-scopically descriptivefunctionof attraction and repulsion_{for formulation of fluid}equations. In1819,Poisson discussed the so-called ‘Poisson equahons’ inl Memoiresurl’integrirtzonde quelques equatzons $li\gamma oe^{l}aires$ aux

differences

partielles, etparticulq\‘erement_{de l’equatzon generale} $du$mouvement desfluides_{\’elastiques [17].}

Since these earlier papersofthese sort ofissues, hediscusses ([lS, 19, 20])with Navier([14, 15, 16]), and introduces[26], inwhichhe developeshisnewideasoftheseproblemsbetween theintegraland sum inthe

additionalnote, (\S 7, “Notes et Additions” [26, pp.264-300]) immediately after issuing hismain theories of fluid [23, 25].

This note may be oneof the last descriptions on these _{issues. We couldn’t follow Navier’s comments}

whether Navier gave hisopinion against it ornot. Navierpassedaway after 5 years sincePoisson’s thesis

[26] in 1836, andmoreover, Poissonin1840. Wethinkthis is thelast counterargumentbyPoissontoNavier. Weintroduce these scientific disputes betweenPoisson and Navier, and other bookreviewers. We show

belowour translationof theFrenchnarrations in Japanese, andofourownin English. In theallcitations

belowof original,$fr,$$\varphi r,$$Fr$,etc.meanthefunctionof distance: $r$, viz. $f(r),$$\varphi(r),$_$F(r)$, etc.,sic respectively,

exceptfor$rR$_in$\sum rR$. $2$

\S 1.

Introduction 3 _{We begin with the discussion about Poisson‘s}

integral methods of partial differencial

fluid equations before and after he issues the microscopically-descriptive $[MD]$ equations offluid dynamics [18, 21, 23, 25, 26]. In 1819, Poissonintroduced the so-called ‘Poisson equations’ in [17], whichwas the only paper relating to fluid before$MD$_{fluidequations. Andin which,he proposes the transforming methods from}

sum

intointegraltosolve thepartialdifferentialequations, saying:

A d\’efautdem\’ethodes _{g\’enerales, dont}

_nous

_{manquerons avait}\^etre

encore

long-temps, il $m’ a$

sembl\’equecequ’il$y$avait de mieux\‘afaire,c’e’tatdechercher\‘aint\’egrer isol\’ementles\’equations

aux

diff\’erences partiellleslesplus importantesparlanature desquestionsde$m\mathfrak{X}anique$et de physique

qui$y$conduisent. $C$‘est la1‘objetque jemesuis propos\’e dans ce nouveau_{m\’emoire. [17, p.123]}

「普遍的諸方式が恐らくなおしばらく出来ないなら、取るべき最良のものがあった、即ち、それは

個別に積分するのに、_{偏微分方程式を導出した力学や物理の性質によって最も重要なものを探す事で}

あったように思える。_{これがこの新しい論文で私の言う積もりだった目的である。」} $[17, p. 123]$

He considers that it is the best to integrate separately eachterm ofpartial differential equations. By using thisprinciple, Poisson [17] explains various methods of integral corresponding to the equationssuch as : (1) generalkineticequationsoffluid/(2)distributeequationsof the heat in the solid corps. (heatequations)/(3)

equations_{of vibrating surface. (wave equation)} $/(4)$ second-order linear_{equations withtwo variable (Laplace}

equations)(5) generalremarksonthelinearequationswithconstantcoefficients. (includingPoissonequations).

About tenyearslater,hechangeshisprincipletodescribethe general$MD$equationsof elastic solid and elastic fluid, owingto continuumtheory.

\S 2. Separate integration ofthe elastic fluid equations before $MD$ _{Poisson remarks in the section} “Remarques $\mathfrak{X}en\acute{\epsilon}erales$ sur\’e equations $lin\epsilon’eaires$\‘a

coefficients

constants”, about _the followin two _equations

with$\sum$and $\int$. 4 He expresses

$\varphi$ transforming thesumofpaticularsolutions satisfyingthe partial equations

respectively : $p,$ $p’,$ $p”,$ $\cdots$ into theintegralseparately. $L$‘equation qui d\’eterminara

$p$sera$d$‘undegr\’e\’egal\‘a1‘indice de laplushautedifferencepartielle,

relative \‘a $t$, qui soit contenue dans 1‘\’equation

$propos\mathfrak{X}$; en d\’esignant ses par _$p,$ $p’,$ $p”$, $\cdot\cdot\cdot$

,

on

pourra les emplyer succivement dans la valeur de $\varphi$;

on

pourra aussi changer arbitrarement les

quantit\’ee$A,$ $g,$ $h,$ $\cdots$, etprendrepour

$\varphi$lasommedes valeursparticuli\‘eres qui r\’esulteront deces

changements;cequidonnera 101/16/2012

2Ifover oneparameter,theyexpress itas$f(r, \cdots)$_.

3To establish a time line of these contributor, we list for easy reference the year of their birth and death:

Euler(1707-1783), _{d’Alembert(1717-1783), Lagrange(1736-lsl3), LaPlace$(1749-1S27)$, Fourier(176&1830), Gauss$(1777-1S55)$,} Navier(1785-1836),$Pois\infty n(17S1-1S40)$, Cauchy$(1789-1S57),$ $Stok\propto(1819-1903)$

.

$\varphi=\sum Ae^{(tp+gx+hy+\cdots)}+\sum Ae^{(tp’+gx+hy+\cdots)}+\cdots$ (1)

$\Rightarrow$ $\varphi=\int e^{(tp+gx+hy+\cdots)}f(g, h, \cdots)dgdh\cdots+\int e^{(t+gx+hy+\cdots)}p’f’(g, h, \cdots)dgdh\cdots+\cdots$ (2)

Les limits de ces int\’egrales resteron indetermin\’ees; en sorte qu‘elles ne son pas des int\’egrales definies. La substitution de lacharact\’eristique $\sum,$ $n$‘aPas change’de nature, la valeur de $\varphi$: cette

d\’erni\‘ereexPressionesttoujoursunes\’erie$d$‘exponentiell\’es multipli\’eespardescoefficientsarbitrairea,

dontchaqueterme satisfait isolement\‘a1‘equation

_aux

diff\’erences

_Partielles

ProPos\’ees; et les fonctions

$f,$ $f’,$ $\cdots$, \’etant arbitraires, et pourvant \‘etre discontinues,

ces

deux exPressions (1) et (2) sont

\’equival\’entes1‘une\‘a1‘autre. [17, pp. 171-2]

「記号$\sum$の置き換えは本来的に、$\varphi$の値を変えていない: っまり、最後の式 (2) が常に任意の係数

の掛かるある指数の級数で、各項は出された偏微分方程式を個別に満たしている ; 関数$f,$$f’\cdots$ が任

意で、 しかも不連続になり得るのに、これらの二つの式(1) と (2)は互いに等価である。」 [17, p.172]

He explains the separating integration of the following exampleequationsofwave

as

the

same

with (2). ([17, pp. 173-6]$)$

$\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}=a^{2}(\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}+\frac{d^{2}\varphi}{dy^{2}}+\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}})$ $\Rightarrow$ $\varphi=\sum Ae^{(atp+gx+hy+kz)}+\sum A’e^{(-atp+gx+hy+kz)}$

$\{\begin{array}{l}\frac{a}{2\pi}\sum Bpe^{(g(x+x’)}e^{(h(y+y’)}e^{(k(z+z’)}\equiv f(x+x’,y+y’, z+z’),\frac{1}{2\tau}\mathscr{S}_{t}\sum B’e^{(g(x+x’)}e^{(h(y+y’)}e^{(k(z+z’)}\equiv F(x+x’, y+y’, z+z’)\end{array}$

$x’=at$

_coe

$u$, $y’=at\sin u\sin v$, $z’=at\sin u\cos v$

(3)

..

.

$\Rightarrow$ _$\varphi=$ $\int\int f(x+x’, y+y’, z+z’)t\sin ududv+\frac{d}{dt}\iint F(x+x’, y+y’, z+z’)t\sin ududv$

$=$ $\int\int f(x+at\cos u,y+at\sin u\sin v, z+at\sin u\cos v)t\sin ududv$

$+$ $\frac{d}{dt}\iint F(x+at\cos u,$$y+at\sin u\sin v,$$z+at$sinu

cos

$v)t\sin ududv$

In 1829, moreover,Poissonimprovedthis superficial method of integral ofwaveequations in [22].

Today, we

can use

the methodofMAC, SMAC, oretc.,

as

the solvers of Poisson-equation for thecomputer, however,Poisson’s integral

was

oneof the bestsuperficial computationswecould want without the computer.

\S 3.

$MD$ _{equations of elastic solid} and fluid by sum instead of integral Poisson [18, 21]

uses

two

functions$fr$and $\frac{d^{1}fr}{dr}$tocalculate three elements of force. Here, _$fr$

means

$f(r)$, and$r$istheradius ofsphere

ofamolecular activity.

$r^{2}=\phi^{2}+\psi^{2}+\theta^{2}$, $(r’)^{2}=(\phi+\phi’)^{2}+(\psi+\psi’)^{2}+(\theta+\theta’)^{2}$, $r^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+(z_{1}-\zeta_{1})^{2}$,

Poissonsays: ‘at thesamedegree of approximation’,wegetthedifferentialform :

$r’=r+ \frac{1}{r}(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{r}fr’=\frac{1}{r}fr+(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)\frac{d.\frac{1}{r}fr}{rdr}$

He gets the three elements of force$P,$ $Q,$ $R$by$\sum$instead of$\int$respectively : ifweput$F \equiv\frac{d_{r}^{1}fr}{dr}$, then

(1) $\{P=\Sigma fr+\Sigma(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)_{\alpha}\prec^{\phi_{\overline{r}}}.FR=\Sigma,fr+\Sigma(\phi\phi,+\psi\psi,+\theta\theta,)\theta+_{\alpha r}^{\dot{r}}FQ=\Sigma\frac{\frac\zeta}{\frac{(\theta+\theta)\zeta(\phi+\phi’)\zeta(\psi_{\mathscr{J}r}^{\alpha^{3}r}+\psi’)}{\alpha^{3}r}}fr+\Sigma(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}F$

$Poisson\sum[25]$

uses

two

same

functionswith(8) :

$fr$ and $\frac{d^{1}fr}{dr}$tocalculate three elementsofforce : $P,$ $Q,$$R$by

\S 4.

Capillary action with ordinary description Poisson describedpreviously thistheme in the article

no.31 of text. We cite this paragraphs itemizing and comparingtwoitems

as

follows: Poisson doesn$t$

use

at

all of

sum

except for $\sum R,1\hslash\sum rR$ [$26$,pp.30-31] and $\sum R’[26, p.68]$, in which he explains themathematical

exceptions,

as

wellasin The Note, however,in theparent parttoThe Note[26], he isn$t$necessaryfor usingof

\S 5. Circular argument_{asserting consistency between physical theory and mathematicalprinciple}

Poisson [18,_{21, 23, 25] expresses two elasticconstantsofmolecularforces definedin thesphareofanarbitary} molecular activity of$M$ withsum asfollows _:

$\frac{2\pi}{3}\sum\frac{r^{3}}{\alpha^{\delta^{r}}}fr\equiv K$, $\frac{2\pi}{15}\sum\frac{r^{5}}{\alpha^{5}}\frac{d.\frac{1}{r}fr}{dr}\equiv k$

.

(4) These endlessdisputesstartedwithNavier$s$reply [14] toPoisson‘scritical descriptions [18, 21] about Navier’s

calculus by integral, which we

can

summarize as ‘Circular argument asserting consistency between physical

theory andmathematicalprinciple’in (Fig.1). J.M.C.D., a bookreviwer, 5 _{speaksforPoisson, summarisiitg}

the issues of

our

problem :

PoissonがNavier_{の理論を拒否するには二つの理由がある。総和法(sum) は積分による十分な近}

似式でも置き換える事に同意出来ないこと、 こうした納得の行く数式変換を想定しても物体の自然状

態の中で、任意の二つの分子間活動がゼロになるという仮説を受け入れられないこと、である。

(J27)6 J.M.C.D.points _{out the theory of continuum from theviewpointof scientific history:}

.

ある物体が堅いものであれ固体であれ、それを構成する部分の分離に抗する力はゼロか我々が論 じているその状態では存在しない。 我々がこの分離を実行する事を求める時にしか、 また、分子間距

離を少しでも変更しようとする事しか生じ始めない

o

即ち、 もし、このカを積分で表すならば、物体 が自然状態の中で値がゼロとなって、分子間距離で何らかの変位が生じた後でもなお、 言わば、物体

がその部分が分離していても何らの抵抗にも抗しない事が生じるようになる。

これはちょっとへんな 事になる。

.

$(J*2)$ Navier が1821年に分子の活動に論及し連続体として物体を見なす事を報告していたのと同じ方程 式を_{Poissonもつかんでいた事は後程説明しよう。 この分子のアクションを考察する手法はLaplace}

が元々毛細管現象の理論を導出するのに使っていたものだ。

Navierはその後で弾性体の理論にこの手 法を導入するのに好都合な考え方を得たのだ。 しかし、全ての学者は連続体の分子を想定していた。 そして、

.

_{Poisson が計算において物体の実際上の構造と一致した最初だ。 (J5-1)} 付言すれば、連続体の仮説は現実的には全く不正確であるが、 科学の中では大きな足跡を果たし、 Laplace_{の理論は学者達からその果たした役割から賞賛の目で迎えられた。 分子活動についてのこ} の考察は、大量の特殊問題において、就中、弾性体理論において果たさねばならなかった全ての特別 の仮説を取り除くのに計り知れない利点があった。(J5-2)

Another bookreviewer,Cournot [4] introduces Navier [12] $s$physicaltheoryand mathematical principleas

the‘consumption’7inhis conclusion: 「_{(Navierの) この応用は間違いなく、分析するだけの彼の相当な素質を示}

しているが、_{ある物理的理論の価値や、 ある原理の真理に関しては沢山の蓄積された近似の後で分かるのではな}

いか? 結局、Navierの新理論はほんの少しだけ、(これまでの) 経験主義から流体の振舞いと (時間と頭の)浪費に

ついての科学にしてくれたのか? 我々はある似たような問題を解決するために過大評価してはならない。 せめて

興味のある応用分野の全ての方々にこの論文の一読をお薦めするしかない。」

Ces applications montrent

sans

doute

un

grand talent pour manier 1‘analyse; mais peut-on prononcer

avec

certitude sur la valeur $d$‘une th\’eorie physique et lav\’erit6 $d$‘unprincipe apr\‘es tant

$d’ approximations$accuml\’ees? En

un

mot, la nouvelletheoriedeM.Navier rendra-t-elle moins

em-piriquela science de la conduite et de lad\’epensedesfluides? Nousnepr\’esumeronspas

assez

de

nous

pourr\’esoudreune semblablequestion,et

nous

nepouvonsque recommander la lecture de m\’emoire \‘atous

ceux

quecegenre$d$‘applications int\’eresse. A.C. [4, pp.13-14]

5Wehaven’t identified this personin$BSM(11)$untilnow.Theauthorsuseusuallythe anonymin$BSM$. Asthesameexample,

Cournot[4]issuesthebookreviewonNavier [12]overthe signature ofA.C. in thesame$BSM(10)$.

6Weput the paragraphnumberofeachdisputers. This $J2T$’_{is the 27-th paragraph by J.M.C.D.[9]. By thesameway,wemean}

$A:Arago[1],$ $N:Navier[16]$, Note: Poisson[26]. In bellow,wecallthisnote The Note.

Fig.1. Circular argument assertmg consistency between physicaltheory andmathematicalprinciple Poisson(includingbyJ.M.C.D.) この力を積分で表すならば係数$a^{2}$_{がゼロになる。}cf. (7) この力を積分で表せない事は証明している。 $\Downarrow$ アクションを分離した分子についてのある級数 の総和で表す$\sum$は定積分で表すことは出来ない。 それは全ての分子のアクションを表す距離の関数の性質を 保持するものであり、 ゼロでは矛盾する。 $f\downarrow$ Poissonは反対に 2 つの分子が積み重ねて自然状態の中でも 何らかのアクションを呈すると想定する。 そして、この状態を可能とするために、 彼は条件: $\sum r^{3}f(r)=0$ を導いた。 しかし、この条件は積分記号を使わないので $\sum r^{5}d[\frac{1}{r}f(r)]=0$_{とはならずに済み、} 各項はPoissonの式からは消滅しない。(J26) 条件 : $\int r^{3}f(r)dr=0$と、方程式の各項から必然的に 出て来る消滅の必要性を結論づけている。 (J27) $\Downarrow$ Navierも私と同じ方程式を出した。 これを積分でやったのが

Navierの係数$\epsilon$だ。Navierは否定しているが、

私の係数$a^{2}$ _と Navier_の$\epsilon$は同じだ。(cf Table1, no.l,4)

.

こうなれば、Navierにどうしたら自然界で物質の全ての 個所で積み重ねたアクション無しで、 物体の構成を 理解させる事が出来るか考えるしかないのだ。 (A3)

.

結局、Navierの新理論はほんの少しだけ、 経験主義から流体の 振舞いと浪費についての科学にしたのか? (Coumot[4]) Navier $\Leftrightarrow$ 物体の自然状態で常に相殺されている。即ち、 力:$P$が 通常ゼロであるか、または、力はゼロでないが、それらの 差し引きではゼロである。 (N9) $\Downarrow$ これらの力(attraction と repulsion)の合力を積分で 表す事が出来る。 $\Downarrow$ Poisson が分子のアクションの成分を表す総和 (sum) が 積分で取り替えられないという事を言い張ることの根拠は 「もし、部分積分によると、$f(r)$ は両極値でゼロである 事に注意すれば、$k=-K$となる」 事だ。 まず、「もし$r^{4}f(r)$が両極値でゼロとすれば」とある点。 次に〆 $f(r)=0$ に対応する極値としてゼロになる事を 受け入れなければならない義務はない点である。 関数$f(r)$ として採用出来る無数の形式が存在する事、 このため、この状況が成立しなくなる事である。(N23) $\ddagger[$

$\Leftrightarrow$ 私の係数$\epsilon$と Poissonの係数

$a^{2}$ _{とは同じものではな}$4_{\text{。}}^{\backslash }$

.

. . . . . $\Downarrow$

.

私の式はその特別な場合 (Navier の式で弾性が色々な 方向で同じ時)当て嵌る。(Cauchy[3])

.

同じ方程式は非圧縮流体の場合で Navierが得ているが 私のものはPoissonがやったものに近い。(Stokes[27])

We start with citing Poisson’s explanation ofresultusing

sum

instead ofintegralfrom (4)

as

follows:

.

\S

14. Cette\’equationdonne lieu de faire

une

remarqueimportante;c’est que les

sommes

$\sum$

du no.6, que reprbSentent les lettres$K$et$k$, ne peuvent\^etrechang\’ees

en

des integrales, quoique

lavariable$r$croissedans chacune$d$‘elles par detr\‘es-petites diff\’erences \’egales\‘a$\alpha$ ;carsi cette

transformation\’etaitpossible,$k$serait

zero

enm\^emetemps que$K$; d’o\‘uilr\’esulteraitqu‘apr\‘es le

changement de forme ducorps,lesforces$P,$ $Q,$ $R$, seraientnulles

comme

auparavant,etque des

forcesdonn\’eesquiagiraient

sur

lecorps

ne

pourraient

se

faire\’equilibre,

ce

quiest inadmissible. Pourfaire voir que$k$ s‘\’evanouirait

au

m\^emetemps que$K$, observons qu’onaurait

$K= \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{\alpha^{6}}$frdr, $k= \frac{2_{J}\prime r}{15}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{5}}{\alpha^{6}}d.\frac{1}{r}fr$, (5)

en multipliant sous les signes $\sum$ par $\frac{dr}{\alpha}$, et remplagant ces signes par

ceux

de 1‘int\’egration.

Or, si l’on int\‘egre par partie, et si 1‘on fait attention que $fr$est nulle

aux

deuxlimites, ilen

r\’esultera

$k=- \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{\alpha^{6}}frdr=-K$ (6)

cequimontre que la quantit\’e $K$\’etant nulle,onaurait aussi$k=0$

.

[$18$,pp.398-399,

\S 14]

.

\S 16.

Jesubstitute,enoutre,dans les\’equations (3) \‘alaplacede$P,$$Q$,etc.,leursvaleurs,

etjesuppose le corps homog\‘ene; enobservant que $K=0$,il vient

(6)$P^{e}$

$a^{2}$ etant un coefficient,

\’egal \‘a $\frac{3k}{\rho}$

.

Ces \’equations ont la m\^eme forme que celles qui ont \’et\’e

donn\’eespar$M.Navier^{8}$_{, etqu’il}

_a

_{obtenues en partant de 1‘hypoth\‘ese que les}$mol\mathfrak{X}uleS$ du corps,

apressonchangement deforme,s’attirentproportionnellementauxaccroissements de leursdistances mutuelles; et en admettant, de plus, que les resultantes de ces forces peuvent $s$‘exprimer par des

integrales, cequirendrait nul le

_coefficient

$a^{2}$, ainsiqu‘on1‘avuplushaut. Les\’equationsrelatives\‘a

lasurface, form\’ees delam\^ememani\‘ere, setrouvent aussi dans le M\’emoiredeM.Navier. [18, pp.403-4,

_{\S 16]}

Ourissue isabout(5) of the elasticbody,which paperis previousto thefluid. (cf. InTable1, the entryno.

1,3 and 4discusselasticbody.) Poissonsays hisconsistencybetweenphysics andmathematicsontheexpression (5)and (7) :

こうして、それらの _{attraction と熱による分子の相互のアクションしか作用されない自然状態}

と見られる物体の状態の中で、 分子を分離している区間ではこの方程式が物体の全ての個所で成り

立っている事等が存在せねばならない。 もし、熱の新たな量をそこに取り入れれば、 同じ距離を保っ

てrepulsiveforceが_{attractiveforceで出来る量を変えずに増大する。分子の区間がこの方程式が存在}

し続けるように増大する必要がある。 そして、関数$f(r)$ がそこでは同じでない事から、それからの 熱の膨張、物質的な違いの中で差異が生じる。この式は重要な事を喚起する原因となる。それはNo 6 での総和$\Sigma$は_$K$ と _$k$ がそれで表わされているが、 これを積分へ変更出来ない事だ。ここに、変数$r$ は $\alpha$ と同様に極めて微小な差異で表す個々のそれの中で増大する。 しかるにもしこの変換が可能ならば、 $k$_は$K$ _{と同時にゼロとなる。 ここから物体の変形による力の要素$P,$$Q,$$R$は変形しても以前と同じゼ} ロとなり、_{物体に作用する加えられた力は平衡状態とは成り得ないという結果が生じる。これは受け} 入れられない事だ。

According to J.M.C.D.,Poisson‘sphysical conceptionare asfollows :

oPoissonは反対に2つの分子が積み重ねて自然状態の中で何らかのアクションを呈すると想定す

る。 そして、この状態を可能とするために、彼は条件 : $\Sigma r3f(r)=0$ を導いた。 しかし、 この条件

は積分記号を使わないので$\sum r^{5}d[\frac{1}{r}f(r)]=0$ とはならずに済み、 各項はPoisson_{の式からは消滅しな}

い。

.

(J26)

条件 : $\int r^{3}f(r)dr=0$ と、方程式の各項から必然的に出て来る消滅の必要性を結論づけている。

(J27)

Navierexplainsnull ofmolecular activityinhis lastPaPer [16]asfollows:

.

弾性固体は極めて微小な距離に置かれた分子の集合体として認識されている。これらの分子は積み 重ねて、 2 つの相反するアクション、即ちattractionからなる固有力と熱の原理で齎されるrepul-sion に影響を及ぼす。ある分子 $M$ _{と近くにある任意の分子} $M’$ _{の間には、 この2つの力 (attraction と} repulsion) の差である$P$_{が存在し、物体の自然状態ではトータルなアクションである} $P$_は分子$M$が 平衡状態であるからゼロ即ち相互に相殺される。 物体の形状が変更されればアクション$P$_{は異なる差} の値垣となり、全ての力 : 垣と物体に働く力の間で平衡状態となり、それによって形状の変位が生じ る。(N7-1) ・どれも 2 つの部分$\pi$ と $\pi’$ _{に分かれる垣があると常に理解してよい。 最初の} $\pi$ はもし、単独で 存在すると想定すれば、全ての力 :$\pi$の中で平衡状態となり、 同様の方法から、物体の自然状態で は全ての力 : $P$_{の中で平衡状態になる。 力:} $\pi$はこうして相互に相殺されるので、平衡状態は残っ た$\pi’$ と物体に作用する力との間で存在することが必要となろう。(N7-2)

.

こう仮定すれば、ここで原理として、もう一つの力$\pi’$が任意の$MM’$ にある2つの物質の分子の 間で物体の形状の変化によって生成されるという事を得る。 そしてこれがこの1 っだけを物体に作 用する力と平衡状態にするものであり、それぞれに (微小と想定する) 形状の変化が2つの分子間の 距離

.

$MM’$ _{を変えた量に比例している。(N7-3)} この力$\Pi’$ _{は距離$MM’$}

が増大すればattraction$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

こなり、減小すればrepulsionになる。 それに、 分子の力を非常に接近した分子間にしか存在しないもの、そして急減少する値を持ち、 両者がます ます遠ざかる分子に対して未知の法則に従うものと看倣す。(N7-4) Aragoが強調し、_{コメントしている語句を見てみよう。}物体の自然状態ではトータルなアクション $P$_{はゼロか相互に相殺される。この語句は排他的ではない。 トータルなアクション$P$は物体の各点で} 消滅するか、_{あるいは差し引きの結果がゼロ。 この言い回しでは明らかに読者に次の二者択一を任せ} られている。即ち、全ての力 :$P$_{がゼロ。あるいは力はゼロでないがそれらの差し引きではゼロ。私} はこの問題を曖昧のままにしていた。計算の設定には全く依存しないこの点について説明するのは必 要でなかったからである。(N9) ・この点について説明することは決して不必要ではないと思う。事実、アクション: $P$_{が混同される事} を避けた事に注意願いたい。アクション:$P$_は

.

物体の自然界で存在し、

.

個々の分子に対して物体の変位状態の中で成立する新たなアクション垣の部分である $\pi$ と平衡状 態になる。

.

個々の分子に対してこの状態で同様に平衡状態となろうとする。 (NIO-I) このように区別をすることによって読者は力 : $P$_{を随意に、}有限の値やゼロに想定する事ができる。 (読者には) 力: $\pi$ を想定する自由があるので、力:$\pi$ は私の説明によって、個々の分子が相殺するの に都合の良い値を持った、力: $P$ _{とは別のものであり、 私が提唱する原理は常に存続する。}(N10-2) 私のAragoへの手紙 (ACP,1829年1月号103頁) で

.

数学的問題をまだ設定しないのに、物質の構成に関して抱いている考えを説明する事、

.

Poissonのそれとの違いを明確にする事、

.

私は 2 者択一をして、物体の自然状態では任意の2つの分子間の attraction と repul-sionが相互 に消滅する事、即ち、 これらの分子間で存在するアクション (これを$P$_とする) がゼロである事 を受け入れたと述べた。Aragoは「$2$つの同じ分子が違った方法で積み重ねて作用していて、物体が 外力からのアクションを受ける受けないに拘らず、この作用を受けるという事からこういう結果になっ た」 と判断している。 以上が実際に私の考えている所だ。(Nll) Aragoは「物理学者は恐らく (Navier の) この仮説に難を呈するだろう。 それがため大きな困難が もたらされ、 どうしたら私が物質の全ての点が、積み重ねてアクションがない自然界の中で、物体の 構成を理解出来るか示すしかない」と付け加えている。 私はこの話には私の意見に対抗できるどん な根拠も見つけられない。 もし何方かがこの問題に関してもっと説明して欲しいと望むならば私はこ う言うであろう :「自然界で 2 つの分子 $M,$ $M’$のattractionは距離の$MM’$ がどうであれ熱の存在に よるrepulsionによって正確に相殺されることが認識できる」と。(N12)

Atlast, Navier may mend and correct his ideas ofnullwhichisattacked from all the physical disputer.

\S 6.

“_{NotesandAdditions” to [26]}

$1|6.1$ Purposes of his new theory Poisson criticises both Laplace and Gauss on the paper of capillary

action.

.

On

a

vu queje m’ecarte aussi de la Mechanique c\’eleste, en

ce

qui

concerne

1‘explication

des ph\’enom\‘enes qui ont lieu quand le liquide atteint 1‘extr\’emit\’e superieure du tube. La

d\’emonstration que Laplace avait $dom\mathfrak{X}$ de 1‘invariabilit\’e de 1‘angles compris entre les

no-males \‘alasurface du liquide et\‘acelle dutube, men\’eespar chaque pointsitu\’e \‘a

une

distance

insensible deleur

commune

intersection,$n$‘apasparusatisfaisante;

.

et M. Gauss en

a

dono\’e

une

autretr\‘es \’el\’egante, et quine laisse rien\‘ad\’esirer,lorsqu’onfait abstraction de la variation de densit\’edu liquide pr\’es de

sa

surface etpr\’esdecelle du tube.

Poissontells his selling point :

En eyant \’egard\‘acette variation, dont la loi est inconnu, $j’ ai$d\’emonstr\’e lam\^eme proposition,

dans le chapitreIII,9 d’unemani\’ere qui, jecrois,nepeut laisseraucundoute.

Poissoninsists his newtheory :

.

Laconsid\’eration de cet angle $i$ est \’egalement indispensable, lorsqu‘onveut d\’etermnerle

poids n\’ecessairepour d\’etacherlmdisquesolide de la surface$d$‘unliquide, 1‘une des questions

les plusin&’ressantes descette tk’orie,que 1‘on$n’ av\mathfrak{X}t$pas, ce

me

semble, consid\’eree

sous son

v\’eritablepoint devue.

.

Eneffet,le disque et leliquide \’etant$soulev’ae$graduellement par

un

poids quicroit par p\’etites

parties,cepoidesetlahanteur correspondantes du liquidessont,\‘achaqueinstant,des fonctions de 1‘angle$i$ quireprbsente1‘inclination de la normale \‘ala surface de 1‘ar\‘etedudisque

sur

un

plan horizontal;

.

c’est lorsque

ces

fonctions atteiguent leur maximumparrapport \‘a$i$, que le disque sed\’etache

duliquide ;

.

et ilenr\’esulte lacondition$d$‘aprdSlaquelleond\’eterminela grandeur du poidspropre\‘aop\’erer

las\’eparationdudisqueet du liquide.

$1|6.2$ Essential constitution of corps, _{and paticularly of fluid ; nature of the molecular forces}

Poissonexplainstwo sorts ofmutual actionconsisted of atrraction and molecularforce,and

moreover

thelatter

includes attraction andrepulsion:

Toutes lesparties delamati\‘eresontsoumises\‘adeuxsortesd’actionsmutuelles.

.

$L$‘une de cesforcesest attractive,ind\’ependante de la_{nature des} corpsou _{de leurs}$mol\mathfrak{X}uleS$,

proportionnelleauproduitdes masses, et enraisoninverse ducarr\’edes distances ; elles’etend ind\’efinimentdans1‘espace,etproduitla pesanteur universelle ettous les ph\’enom\’enes quisont du ressort dela m\’ecanique c\’eleste.

$oL$_{‘autre estenpartie attractiveet}

_en

_{partier\’epulsive; elle d\’epend dela nature des mol\’ecules} et des leurquantit\’e de calorique. Onattribue la partie attractive\‘a_{lamati\’ere pond\’erable, et}

la partie r\’epulsive aucalorique ; et, en effet, celle-ci change$d$‘intensit\’e, quoique le poids des

mol\’eculesn’ait pas chang\’e.

.

$L$‘exc\’esde 1‘unesur l’autreest cequ’on_{appele proprementla}

force

mok’culaire.

$0$ Elle tend \‘arapprocher ou \‘a \’ecarteles molecules,selon que l’actiondela mati\’erepond\’erable

est plus grande

ou

moindre que1‘action calorifique.

.

Son intensit\’e d\’ecroit tr\‘es rapidement quand la distance des molecules augmente, et devient tout-\‘a-fait insensible,des quecette distance aacquisunegrandeur sensible.

Poissonexplainsattractionand repulsion:

Ainsi,tousles

mouvenens

quenousobserbons,

nous

devons les attribuer\‘adesforcesd’attraction

ou de r\’epulsion, pour lequelles l’action est \’egale \‘a la r\’eaction, et qui varient avec les distances, suivantune desdeuxlois prec\’edentes. Les vibrations des corps \’elastiques et la communication du mouvement, soit par le choc, soit par lapression, r\’esultent de la forcequi n’est sensiblequ’\‘a des

distancesinsensibles,$c’ est$-\‘a-dirde la mol\’eculaire.

.

Soient $m$ et $m’$ les

masses

dedeuxmolecules _voisines,$c$et c’ leurs quantit\’es de calorique, $M$

et $M’$leurs centres de_{gravit\’e, et} $r$la distance$MM’$;

.

et consid\’erons_{l’action mutuelledecesdeux molecules.}

.

Supposons$d$‘abord leurs dimmensionstr\‘es_petites par_rapport\‘a1‘intervalle_{qui les}

s\’epare.

.

$L$‘action dontils’agitser\’eduiraalors\‘auneforce_unique,

$diri_{o}\sigma \mathfrak{X}$suivant la droit $MM’$, et dont

1‘intensit\’e

sera

une fonctionde $r$, que

nous

repr\’esenterons par$R$;

.

en m\^eme _{temps, leur} r\’epulsion mutuelle sera proportionelle

au

produit de $c$ et $c’$, et leur

attractionauproduit de$m$et$m’$

.

$0$ Enconsid\’erantla

force

$R$

comme

positive ou commenegative,selonqu’eUetendra\‘a_augmenter

ou\‘a_{diminer la distance}$r$, savaleur

sera

1‘exc\‘esde lar\’epulsionsur1‘attraction;

.

et si1‘onsupposeque1‘attractionr\’eciproquede lamati\‘ere pond\’erableetducalorique, quiretient celui-cidanschaquemol\’ecule,s’e’tend au-dehors, ilfaudraretrancher de cetexc\‘esl’attraction

du calorique attach\’e\‘a $m’$

sur

lamati\‘ere de $m$, et celle de la mati\’ere de $m’$

sur

le calorique

attach\’e \‘a$m$,lesquellesforces serontproportionelles,lapremi\‘ereauproduit $mc’$

.

.

De cette mati\‘ere, la valeurcompl\‘ete de $R$sera

$R=cc’\gamma-mm’\alpha-mc’\beta-m’c\beta’$ _(S)

lescoefficiens$\gamma,$ $\alpha,$ $\beta,$ $\beta’$,\’etantdesquantit\’es positives.

.

Lepremierseraindep\’endent de la nature de $m$etde celle de$m’$, leseconded\’ependrade l’une

et de 1‘autre, letriosi\’emened\’ependraque de lanaturede$m$, et lequatri\’emedecelle de $m’$

.

Poisson reduces the last three terms of(8)to one term:

.

Enr\’eumissanteces trois derniers termes enunseul, onpourra\’ecrirela valeur de$R$

sous

la

forme :

$R=Fr-fr$

.

Chacune des deuxfonctions$Fr$et $fr$n’aura que despositives;

.

et si 1‘on fait abstraction de 1‘attractionenraison inverse du carr\’edesdistances, qui n’aucune influence sensible surlesph\’enom\‘enes d\’ependans de laforce moleculaireproprementdite, ces

valeursd\’ecroitronttr\‘esrapidement$et$sansalternative,\‘a

mesure

quelavariable$r$augmentera,

.

Pour

une

certaine valeur decette distance,

on

pourraavoir $Fr=fr$ et $R=0$;

.

le signe de $R$seradiff\’erent en-deg\‘a et audel\‘a, soit quela r\’epulsion $Fr1$‘emporte $d$‘abordsur

1‘attraction $fr$, soit que le contraire ait lieu\‘a1‘\’egarddeces deux forces.

[26, pp.269-271]

$1|6.3$ Reducibility from sum into integral on a function made with attraction and$/or$ repulsion

We discuss whether the

sum

isreducible into integral ornot. Poissonpoints out this problem. We use the expressions: $\varphi 0\equiv\varphi(0),$$\varphi\epsilon\equiv\varphi(\epsilon),$ $\varphi 2\epsilon\equiv\varphi(2\epsilon)$, – below according tothe thengenerallydescriptive style.

Poisson expressesthe

sum

ofthefunction$\varphi x$ asfollows :

Soit $\varphi x$

une

fonction donnee dela variable$x$

.

Faisons croitre$x$ par des diff\’erences

constantes

dont lagrateur

sera

repr\’esent\’ee par $\epsilon$; supposons que _$p$ lesvaleurs de $x$ s‘etendent depuis $x=\epsilon$

jusqu’a$x=\infty$ ;et par$p$lasommedes valeurs correspondantes de$\varphi x$.

$p= \sum_{x=i\epsilon,i\in N}^{\infty}\varphi x=\varphi\epsilon+\varphi 2\epsilon+\varphi 3\epsilon+\varphi 4\epsilon+\cdots$

.

Here, usingthe integral of the function$\varphi x$, Poisson says, $\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi 0$

willbecomean approximatevalue ofsumof thefunction$\varphi x$,whichisexpressed in(11). $\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$

We$t1\dot{u}n1_{\backslash }$

.

here is thepointofPoisson‘sNote,thenwecite from hisoriginal:

$L$‘int\’egrale$\int_{0}^{\infty}\varphi xdx,$ $diVis\mathfrak{X}$par$\epsilon$et $diminu\mathfrak{X}$de$\frac{1}{2}\varphi 0$,

sera

ume

valeur$approach’ae$de la

somme

$p$;etl’onavu,dansmonM\’emoire

sur

Calcul$num\epsilon’rique$ desInt\’egrales$k’fines^{10}$, que ladiff\’erencede

ces

deuxquantit\’es peuts‘exprimerPar

une

autreint\’egraled\’efinie, desorteque 1‘on

aura

exactement

(9). [26, p.278]

$\epsilon$ で割った積分値$\int_{0}^{\infty}$$\varphi$(x)血から $\frac{1}{2}\varphi(0)$ を引いた値は総和$p$ の近似値となる。これについては私

の論文”$Cdcul\cdots$”_{$(footnote10)$ に書いたが、これらの二つの値の崖が別の定積分で表される、そのた}

め正確に (9)式となる。 [26, P278]

We show thedifferenceof integral from

sum as

following :

$p= \frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi 0+\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}$

coe

$\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$. (9)

Here, $\frac{2}{\epsilon}$ is necessary for adjustment of the series(11). We

use

aknown result:

$1+ \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}$,

$a \equiv\frac{1}{2\pi^{2}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{12}$, $a’ \equiv\frac{1}{8\pi^{4}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{720}$,

Here, weconsider thefollowing description:

$a” \equiv\frac{1}{32\pi^{6}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{6}}=\frac{1}{30240},$ $\cdots$

.

$i\in N$

$p= \frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi-a\epsilon\varphi’+a’\epsilon^{3}\varphi’’’-a’’\epsilon^{5}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}+\cdots$

.

(10)

wherebyapplying integrationby partsto the second integral in(9),wegetthe series oftemshavingboth

even

powerof$\epsilon$and odd differentialof$\varphi x$

.

This

means

that according to Poisson:

Par le proc\’ed\’e de 1‘int\’egration par partie, on r\’eduira la second int\’egrale contenue cette for-mule,en

une

s\’erie $ordom\mathfrak{X}$suivant lespuissances pairesde$\epsilon$, dont les coefficiens renfermeront les

diff\’erentielles impairesde$\varphi x$, relatives

aux

deux valuesextr\’emesde$x$

.

Namely, if $mod (i, 2)=1,$ $(i\in \mathbb{N})$, for_{$cos\frac{1}{2}i\pi=0$}, then the second integral in

(9) isdeveloped

as

follows:

$\frac{2}{\epsilon}l_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$ _$=$

$\frac{2}{\epsilon}[\frac{\epsilon}{2i\pi x}\sum\sin\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi x]_{0}^{\infty}-\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\frac{\epsilon}{2i\pi x}\sum\sin\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’xdx$

$=$ $\frac{2}{\epsilon}[(\frac{\epsilon}{2i\pi x})^{2}\sum\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’x]_{0}^{\infty}-\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}(\frac{\epsilon}{2i\pi x})^{2}\sum\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’’xdx$

$=$

$=$ $\frac{2}{\epsilon}(-\frac{\epsilon^{2}\varphi’}{(2\pi)^{2}}\sum\frac{1}{i^{2}}+\frac{\epsilon^{4}\varphi’’}{(2\pi)^{4}}\sum\frac{1}{i^{4}}-\frac{\epsilon^{6}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}}{(2\pi)^{6}}\sum\frac{1}{i^{6}}+\cdots)$

$=$ $-a\epsilon\varphi’+a’\epsilon^{3}\varphi’’’-a’’\epsilon^{5}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}+\cdots$ .

(11) where$a,$ $a’,$ $a”$

are

thesame_{coefficients as (10). Inthetwo limit value}

$x=\infty$ and$x=0$, itreservesonly the

term at lower limit

.

$x=0$_{of the third terms}in (10). Because

this function $\varphi x$and all the differential coefficientsevaporateat _$x=\infty$

.

$\varphi,$ $\varphi’,$ $\varphi’’,$$\cdots$

are

the valuesof

$\varphi x,$ $-dPd^{\frac{x}{x}},$ $\neg d^{2}\varphi xdx-,$$\cdots$ whichcorrespondto that at$x=0$

.

In this paper,Poissonasserted thatinasingularcaseusing integral, allthetermsin (10) evaporateexcept for top two terms, thenwemustuse

sum

(9)asfollows:

Deplus, \‘aquelquetermeque 1‘onarr\^etelas\’erie(10),lereste qu’il$y$faudraajouterpouravoirla

valeurexactede$p$,seraexprim\’eparuneint\’egraled\’efinie, dontlavaleur changera$g\acute{e}\mathfrak{X}ralement$d’un

terme\‘al‘autre,et dont

on

pourra assigner deslimitesquiferont

conna\^itre

silas\’erieest convergente.

Dans leM\’emoire cit\’e,$j’ ai$examin\’eend\’etaille

cas

_{singulier ol\‘ile rest est constant, eto\‘ules termes}

de las\’erie (10)$\underline{s’ evanouissent}$tous, except\’eles deuxpremiers;cequioblige de recourir _\‘a1‘\’equation

(9) pourcalculerIa valeuer de$p$

.

Poissonassertedalso that :

$e$ Eng\’eneral, si1‘onprendpour

$\varphi x$une fonctiondugenre de cellesquivarienttr\‘esrapidment

et sont insensiblesd\’esquelavariable aaquis

une

grandeur sensible,lesquantit\’es;

$\varphi x,$ $x_{d^{\frac{x}{x}}}^{d_{B}},$ $x^{2} \frac{d^{2}\varphi x}{dx^{2}},$ $x^{3} \frac{d^{3}\varphi x}{dx^{3}},$$\cdots$ seronttoutesdum\^emeordrede grandeur;

.

pour que lase’riedes produits:

$\varphi,$ $\epsilon\varphi’,$ $\epsilon^{2}\varphi’’,$ $\epsilon^{3}\varphi’’’$,$\cdot\cdot\cdot$,et,\‘aplusforteraison,las\’erie(10), soienttr\‘esrapidmentd\’ecroissantes,

il suffira donc que$\epsilon$soittr\‘espetite, eu\’egard\‘al’etendue des valeurs

sensiblesde$\varphi x$;

.

et, dans cette hypoth\‘eese, la seconde integrale que contient la formule (9)

sera

toujours

une

quantit\’e extr\^emement petite,

-soit qu‘ellese d\’eveloppeens\’erie suivant lespuissances de $\epsilon$,

-soit que

ce

d\’eveloppementn’ait paslieu,\‘a

cause

que toutes lesquantitee$\varphi’,$ $\varphi’’,$ $\varphi’’’,$$\cdots$,

sont\’egales\‘azero.

$\dagger\lceil 6.4$ Reducible examples of

sum

transformable into

integral We suppose $c,$$c’,$$\alpha,$$\alpha’,$$\cdots$ are positive

constants.

.

$\varphi x=ce^{-}$ ユ

$\Rightarrow$

by putting$\epsilon\equiv\beta\alpha$, then (10) becomes

$p=c( \frac{1}{\beta}-\frac{1}{2}+a\beta-a’\beta^{3}+a’’\beta^{5}-\cdots.)$ (12)

and supposing that$\beta$were an infinitesimalffaction,then

$p= \frac{c}{\beta}=\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$ (13)

$\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$is the first term of(12), thensum equalsto integral.

.

$\varphi x=ce^{-\pi_{a}}x^{2}$

$\Rightarrow(\varphi x)’=c(-\frac{2x}{\alpha^{2}})e^{-\frac{x}{\alpha}\tau}2$ $\Rightarrow\varphi’=0$,

$( \varphi x)’’’=c[(-\frac{2}{\alpha^{2}})(-\frac{2x}{\alpha^{2}})+(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{3}]e^{-\frac{x}{a}\tau^{2}}\Rightarrow\varphi’’’=0$,

$( \varphi x)^{(4)}=c[(-\frac{2}{\alpha^{2}})^{2}+3(-\frac{2}{\alpha^{2}})(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{2}+(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{4}]e^{-\frac{x}{a}\tau}2\Rightarrow\varphi^{(4)}=c(-\frac{2}{\alpha^{2}})^{2}$

Then, in general:

$\{\begin{array}{l}mod (n, 2)=0, (n\in N) \varphi^{(n)}=c(-\overline{\alpha}27)^{(n-2)}mod (n, 2)=1, (n\in N) \varphi^{(n)}=0\end{array}$

Thus, all thederivatives of odd times become $(\varphi x)’=(\varphi x)’’’=(\varphi x)^{(5)}=0$,wecan’t get the developing series

of

sum

bysecond integralin (9), into the series of thepower of$\epsilon$,however, (Poissondescrived simply) ifwe

put

$\int_{0^{e^{-\frac{x}{\alpha}\sigma}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}dx\equiv\frac{1}{2}\alpha\sqrt{\pi}e^{-(\frac{2:\pi\alpha}{e})^{2}}}}^{\infty_{2}}$

Correctly, according to(9),

$\int_{0}^{\infty}e^{-z_{T}^{2}}a[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]dx\equiv\frac{1}{2}\alpha\sqrt{\tau_{1}}e^{-(Larrow)^{2}}:\pi$

then,by putting $\frac{2\pi\alpha}{\epsilon}\equiv\gamma,$ (9)becomes asfollowing:

$p=$ $c( \frac{\alpha\sqrt{\pi}}{2\epsilon}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{\prime\prime\tau}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-=ra}*+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-4(^{\simeq_{\epsilon}})^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-9(^{=\pi\alpha})^{3}}\iota-\cdots)$

$=$ $\frac{c}{2\sqrt{\pi}}(\frac{\gamma}{2}-\sqrt{}+\gamma e^{-\gamma}-\gamma^{-4\gamma^{2}}+\gamma e^{-9\gamma^{3}}-\cdots)$ (14)

As$\gamma$isabignumberinthehypothesisof

$\epsilon$very small incomparisonwith$\alpha$, thisseries willconvergeextremely,

an

after the third terms

are

completely insensible. By the comparison of the first term with the second :

$\frac{c}{2}(\frac{\sqrt{\pi}a}{\epsilon}-1)>>0$, we

can

neglect thesecondterm, then

$p= \frac{c}{2\sqrt{\pi}}\frac{2\pi\alpha}{2\epsilon}=\frac{c\alpha\sqrt{\pi}}{2\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

1

$\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$ isthe$f_{irst}$term of(14),then

sum

equalsto integral.

Here,Poisson summerizes these twoexamples :

Cesdeux examples suffisentpour montre que quandon supposose 1‘intervalle$\epsilon$ des valeurs

suc-cussives de $x$ extr\‘ement petit par rapport\‘al’\’etendue desvaleurs sensibles des $\varphi x$, la

somme

$p$

se

transformera en uneint\’egraledivisee par$\epsilon$, touts les fois que$\varphi x$ne seracompos\’eque

une

$d$‘un seul

terme,oudeplusieursterms dem\^emesign;mais cela n’aura partoujours lieu, lorsquecette fonction

seracomposee de deuxparties,des contraires.

$\eta 6.5$ Irreducible examples ofsum intransformable into integral Poissonputs the

cases

of the

irre-duciblefunctions

as

followings:

.

the$\varphi x$ isnot composedofonly

one

term

.

the$\varphi x$ iscomposed ofthepluraltermshavinginversesignes

Atfirst,

we

considerthe firstpairof$\varphi x$withtermhaving inverse signes.

.

$\varphi x=ce^{-\frac{x}{\alpha}}-c’e^{-\neg_{\circ}^{l}}$ $\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=\frac{c\alpha}{\epsilon}-\frac{d\alpha’}{\epsilon}$, $\varphi=c-c’$

Becausethevalueof$\varphi x$ werecomparableand

more

than $\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx,$ (10)does not reduce into the$f_{irst}$term.

Next, if$\varphi x$ evaporateswith$x$, then

Poissonsays: this sample function may bethethird term of(10), viz., $-ae\varphi’$, whichwillbecome comparable

or superiorto the first term, while the coefficients $c$and$c’$ are almostin theratioofthe inversesquaredof $\frac{\alpha}{\epsilon}$

and $\frac{\alpha’}{\epsilon}$.

Atlast,we considermorecomplicated pairof$\varphi x$withtermhaving inversesignes. We suppose$b$isacofficient

capableof becominggreater thanweexpect.

.

$\varphi x=b(\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{a}}-\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{\alpha’}})$ $\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=b(1-1)=0$

The series (10)reduces to the second term, $\frac{1}{2}\varphi$.

.

$\varphi x=bx(\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{a}}-\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{a’}})$ $\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=b(1-1)=0$

The series (10) does not reduce, becauseall the terms

are

not comparable with the first term, then

sum

does not equal to integral. These examplesare also irreducible types from sum into integral. How would Navier think this reason, if he had read this note ?

$\dagger|6.6$ Conclusionsby Poisson Poisson concludes thedifferenceofreducibility to integralbetween

$\varphi x$ and

$x\varphi x$asfollows :

Je conclus de l\‘a, conform\’ement \‘a

ce

quia\’et\’e ditdansleno. 13,il que

$0$ quand la

somme

des valeurs $d$‘une fonction de la nature de _{$\varphi xn$}‘est pas r\’eductible \‘a

une

int\’egraled\’efinie,

.

il$n$‘estpoint\‘acraindre que lasommedesvaleurs de$x\varphi x$ tombe enm\^emetemps dansce cas

$d$‘exception. [26, p.282]

Poisson described previously this theme in the articleno.31 of text. We cite this paragraphs itemizing and comparingtwoitems

as

follows :

Maiscette nouvelledifficult\’en’a pluslieu, si,_{comme on}l’a dittout\‘a1‘heure,l’action$mol\mathfrak{X}ulaire$

provientde deux forcescontraires,dont chacune estextr\’emementgrand,eu\’egard \‘aleur diff\’erence; circonstancequipeut rendre laguantit\’e-$\sum rR$comparableetm\^emesup\’erieure\‘a $\sum$R.

Toutefois,

.

la

somme

$\sum R$\’etantirreductible, $d$‘apr\‘escettecirconstance m\^eme, \‘aune int\’egrale,

.

il n’enfaut pas conclure que lam\^emechose

aura

\’egalement lieupour la

somme

$\sum rR$

.

Onseconvaincra

sans

peinedu contraire par desexemples auxquelsonappliquera laformule$d$‘Euler,

relative

.

\‘acegenre de r\’eductions, etquimontreront que

silapremiere

somme

estirreductible par nature de la fonction$R$,

.

et malgr\’e lapetitessedesdiff\’erencesde$r$, lasecondnele

sera

paseng\’en\’erel.

Quant \‘ala$\underline{somme}d$‘o\‘ud\’epend lapressionsur la plan,et qui fait exception\‘ala r\‘egle g\’en\’erale, $c’ est$-\‘a-dire qui $n$‘est pas r\’eductible \‘auneint\’egrale, il noussuffira $d$‘-avoir expliqu\’e comment elle

peutvarier, suivant unrapport quelconque, pour des variationstr\‘es petitedans les intervalles

mo-leculaires,provenant du degr\’edecondensation du liquide. [26, pp.30-31]

Here, Poisson‘s conclusions

are

two points as followings ; $\sum R$ isirreducible intointegral, however, $\sum rR$ is

reducible into integral, although the differential of$r$is small, because the nature of function $R$, which express

the microscopically descriptiveactionsof molecules, such

as

attractionand$/or$repulsion.

\S 7. Conclusions Navierdescribes about what hereally

means

of nullofmolecularactioninnature in$N9-12$

.

Poisson summarizes his idea from the mathematical

.

viewpointasfollows :

級数(10) を打ち切るいずれかの項で$p$の正確な値を得るために加える剰余項は定積分で表せる。 この定積

分の値は一般的に項によって変化するし、その級数が収束しているかどうかを知る極限を割り当てることが出来る

ものである。 この論文では、$p$

の計算で．剰余が定数になる場合や、．級数

(10)が最初の 2 項を除いてゼロにな

る場合等の特異な場合を詳細に調べた。 これには、$p$の値を得るために式(10) に訴えねばならない。(The Note)

これらの2つの例は$\varphi(x)$ の大きな値の範囲に比べて極めて微小な$x$の連続した値の区間 $\epsilon$ を想定する時、

$\varphi(x)$

が単項だけで出来ている、．

$\varphi(x)$が同じ符号を持つ多項からなっている等の時はいつでも総和_$p$が$\epsilon$で割っ

たある積分に変換される事を示すのに十分である。 しかし、 これはこの関数が逆の符号を持つ 2 つの部分で出来

Table 1: The kinetic equations of the hydrodynamics untilthe “Navier-Stokes equations” were fixed. (Rem.

$HD$ _{: hydrodynamics,} $N$under entry-no: non-linear, gr.dv: grad.div, $E: \frac{\Delta}{gr.dv}$ inelastic,$F: \frac{\Delta}{gr.dv}$in fluid.

The group ofentry 5,6and 7show$F=3$influid. $\Delta$: tensorfunctionwith the main axis(the normalstress)

of theLaplacian.)

ている場合は常には成り立たない。 (1 乳$e$ Note)

Poisson doesn’t use at all of

sum

except for$\sum R,$$\frac{1}{h}\sum rR$ [$26$, pp.30-31] and $\sum R’[26, p.68]$, in which he

explainsthe mathematicalexceptions,

as

well

as

in The No$te$, however, inthe parentpartto The Note [26], he

isn$t$necessaryforusingofsuminsteadof integral,andusestheordinarydeductionof the hydrostaticequations

as

follows:

Quant\‘ala

somme

$d$‘o\‘u d\’ependlapression

sur un

plan,etquifait exception\‘ala r\‘egle g\’en\’erale,

$c’ est$-\‘a-dire qui $n^{)}est$ pas r\’educible \‘a

une

int\’egrale, il

nous

suffira $d$‘avoir expliqu\’e comment elSe

peut varier, suivant un rapport quelconque, pour des variations tr\‘es petites dans les intervalles mol\’eculaires, provenant du degr\’e de condensation duliquide. Nousn’aurons pasbesoin$d$‘encalculer

\‘a$prop_{7}\dot{n}$lavaluer;elled\’ependradelapressionext\’erieure, de lapesanteuret desautresforcesdonn\’ees

qui agissent

sur

le liquide; etson expression

en

fonction des coordin\’ees$d$‘un point quelconque,

se

d\’eduira,commedecoutoume,des \’equations de 1‘Hydrostatique.[26, p.31,713.]

Inaword,we

can

conclude thatPoissonchoices

sum

orintegral

as

the

case

may be of thematerial, after enough altemative. Navierpassesdawayin1836, and we don$t$knowwhetherhehadchecked Poisson’sNote,which

was

issued in1831. Poisson passed awayin 1840. TheNavier-Stokesequations

was

fixeduntil1934,whichis cited bya textbook by Prandtl. (cf. Table 1, entryno. 7. For furtherparticulars, cf. [10].) There aredisputes of sorts such

as

withNavier[14, 15, 16],withFresnel,orabouttheapplicationofalgebraicroot totranscendental equationswithFourier [24, 6, 7,8],however,atanyrate,we shouldevaluate his uniqueness andrigorousnessof integral method.

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[16] C.L.M.H.Navier, Note relative\‘ala questzonde l’equilibreet$du$mouvement descorpssolides\’elastiques,Bulletindes

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[17] S.D.Poisson,Memoiresurl’integration de quelques equations lineairesauxdifferencespartielles, etparticuli\‘erement de l’equation generale$du$mouvementdesfluideselastiques,_M\’emoiresdel‘Academie_{royale des Siences, 1818,} 121-176.

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[18] 8.D.Poisson, Memoire sur l’equilibre et le Mouvement des Corps elastiques, Annales de chimie et de physique, 37(1828), 337-355. (Lu: $14/apr/1828$. Thisisanextract from[21])

[19] S.D.Poisson, Response\‘a uneNote de M. Navier$ins\acute{e}r\epsilon’e$dans le demier Cahier de ceJoumal,Annalesdechimieet

dephysique, 38(1828), 435-440.

[20] S.D.Poisson, Lettrede M.Poisson\‘a M.Arago, Annalesdechimieet de physique, 39(1828),20$*$211.

[21] S.D.Poisson, Memoire sur $l’\acute{E}$quilibre

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Siences,8(lS29), 357-570, $(Lu : 14/apr/1828. )arrow$ http://gallica.bnf.$fr/ark:/12148/bpt6k3223j$

[22] S.D.Poisson, Addition auM\’emoire surl’equilibre et le mouvement des corps, inser\’e dans ce volume, M\’emoiresde

1‘Academieroyale des Siences, 8(1829),623-27. $(Lu: 14/apr/1828. )arrow$ http://gallica.bnf.fr/ark:$/12148/bpt6k3223j$

[23] S.D.Poisson, Memoire sur$l$\’Equilibre fiuides, M\’emoires de 1‘Academie royale des Siences, 9(1830), 1-88. (Lu :

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.

$)arrow$ http: //gallica.bnf.fr_{$/ark:/12148/bpt6k3224v$}

[24] S.D.Poisson,Notesurles racines des equationstmnscendentes, M\’emoiresde 1‘Academieroyale des Siences, 9(1830),

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[25] S.D.Poisson, Memoiresurles\’equations generales del’\’equiblibre et$du$mouvementdes corps solides\’elastiques et des

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[26] S.D.Poisson, Nouvelle theone de $l$‘action capillaire, Bachelier P\’ere et Fils, Paris, 1831. $arrow$

http://gallica.bnf.$fr/ark:/12148/bpt6kll03201$

[27] G.G.Stokes, On the theonesofthe intemalhction of fluidsinmotion, andofthe equilibmumandmotion_ofelastic solids, 1849, (read 1845), (Fromthe Transactions_ofthe Cambmdge PhilosophicalSociety Vol. VIII.p.287), Johnson ReprintCorporation, New York andLondon, 1966, Mathematical andphysicalpapers 1, 1966, 75-129,Cambridge.

Remark: weuse$Lu$(: in FYench) in the bibliography meaning _{“read“ date bythe referees of the journals, for example}