岡山理科大学紀要第42号Ａｐｐ６３－６８(2006）
レイリーフェージングチヤネルにおける多値QAMのビット誤り率
小西憲一
岡山理科大学工学部情報工学科
(2006年９月27日受付、2006年11月６日受理）
２．ＡＷＧＮチャネルにおけるＭ－ＱＡＭのＢＥＲについて グレイ符号マッピング格子型信号点配置のM-QAM 信号空間ダイヤグラムの一例として，６４値ＱＡＭの場 合を図ｌに示す．
１．まえがき
普及が著しい最近の3Ｇ携帯電話でもわかるように，
ワイヤレスデイジタルモバイルシステムはかつての音 声主体の通信からマルチメディア通信へとその中心的 機能は移りつつある．限られた周波数資源においてそ のような機能を十分に発揮するためには更なる高速伝 送を可能にする，よりスペクトル利用効率の高いディ ジタル変調方式が要求される．伝送帯域幅を増加せず に高いスペクトル利用効率を実現する変調方式として 最も魅力ある方式が多値ＱＡＭ(M-aryQuadraturc AmplitudeModulation,以下M-QAMと記す)方式であ る．通常，M-QAM方式のビット誤り率（BER）を閉 形式で正確に計算することは煩雑で困難なことが多く，
従来から種々の近似式の形式が提案されて用いられて きた．多値数Ｍが１６値や６４値の場合の正確なＢＥＲ の計算式は得られていたものの,任意のＭの値に対す る正確なＢＥＲの計算式は知られていなかった.ようや く近年になって，情報ビット列のM-QAMシンボルへ のマッピングをグレイ符号配置にしたときの正確な BERが任意のＭの値に対し計算できる閉形式の計算 式が見出された．従来から知られていた多くの近似式 によるM-QAMのＢＥＲでは，ＳＮ比の高い領域では正 確な値に近いが，ＳＮ比の低い領域では正確さに欠け
ることが多い
この論文では，まず任意のＭに対して正確なＢＥＲ を与える計算式と代表的ないくつかの近似式をまとめ て記述し，ＡＷＧＮチャネルにおいてＳＮ比の低い領域 でのＢＥＲを計算して近似式の近似の度合いについて 検討する．次いで，モバイルマルチメディア通信を念 頭において，典型的な電波伝搬環境であるレイリーフ ェージングチャネルにおけるシングルチャネル受信の 場合とマルチチャネル受信の場合のM-QAMの厳密な ＢＥＲの理論式を求め,いくつかの計算例を示す.特に，
文献に見当たらない多値数Ｍが非常に大きい場合の ＢＥＲの計算結果例は有用な基礎資料となると思われ る．また，実用的な平均ＳＮ比の範囲では近似式が有 用なことを示す．
〕O101100nlIOOO111000101001101uu
DO100100100110IOOO1100001000011００００
mo1010100010000010uoloIoooo1000000000100000101〔
]１０１１１０１００１１００００１１０００１１ＤＯＯＯＯｌｌＯＯＯＯＯ１００１００１ＵＵｌＵ
ＪＯ１１１０００１１１００１１ＩＵｌＵＯｌｌO100010110C
ＤＩＯｌｌｌＵＵＵｌｌＵＵＯＵｌｌＵＵｌＵＵＯｌＵＵｌＵＯ１０ＵＵＯＯ１１００００１１０１ｍ
]ＯｌｌＯ１００１１０１１０ＩＯ１０１１００１０１００ＵｌｌｌＵＬ
D１０１１１ｎｌｌｌＩｏ１０１１１０１０１ｃ
図Ｌグレイ符号マッピング６４値ＱＡＭ の信号空間ダイヤグラム
‘情報ビット列のM-QAMシンボルへのマッピングを グレイ符号とした場合のＡＷＧＮチャネルにおける M-QAMのＢＥＲの厳密式はＤＹＯｏｎとＫ・Ｃｈｏらによっ て見出された[1]，［2］それは次式で与えられる．
肺歳'響方しず'(日)｛帯’
壱Ⅱ姉('2川ＩＩＥ語千三F｝
(枇馬
(1) 上式において
航し)臺衾r〆“ (2)
|まガウスの誤差補関数である．また，Ｍは多値数，Ｅ６
は１ビット当りのエネルギー，ノVo／２は相加白色ガウ
6４ 小西憲一
ス雑音の両側電力スペクトル密度であるIjr｣はガウ スの記号でＸの整数部を表す．ただし，M-QAMの川 個のシンボルはどれも等確率で送信されるという仮定 がおかれている．
式(1)の厳密式が見出されるまではM-QAMのＢＥＲ は近似式を使って評価されることが多かった．高ＳＮ 比の領域で比較的良好なＢＥＲを与える，これまでに知 られているM-QAMのＢＥＲの代表的な近似式をまとめ ると以下のようになる．
lＯｏ
に四ｍ
a)ＬＫｏｍ[3]，BSklar[4]の近似式
脈万ﾅＩ湯i夛耽lEiii三二二F］ (3) 1０１
b)JＬｕ，ＫＢＬｅｔａｉｅｆＪＣ､-1.Chuang，ＭＬＬｉｏｕの近似 式同
雌ﾏｻ=!{二f十万箸耽|(2Ｈ１霊二W〒三F１
－１０－８－６－４－２０２４６８
SNRperbit[｡B］
図２．２５６値ＱＡＭのＢＥＲ（厳密値と近似値）
1０
(4) ランダム変数であるから，それを７６＝Ｅｂ／jVoとおく．
レイリーフェージングの場合，γ6の確率密度関数は次 のような指数分布となる．
c)L-LYang，ＬＨａｎｚｏの近似式[6］
鮎弱iﾅ!{三fナラ飾IE1il零F） ,叶豈抑(-肴） γbｚ０ (6) +▽;i鶚万蛾(，,E{雲三千丁壽子） (5) ここで，凡はγ6の平均値である．いま，フェージン グは十分に低速なフラットフェージングであるとし，
受信機においてフェージングチャネルの全パラメータ の完全な推定が可能で，任意の多値数のM-QAMに対
して同期検波が可能であるとする．そのような仮定の 下では，レイリーフェージングチャネルにおける
M-QAMの平均ＢＥＲＢＪｖはＤＹＯｏｎとＫＣｈｏらの厳密 式をγ`の関数としてBJM(γ`)とおいて,それをγ`の確
率密度関数の式(6)で平均化して得られる．すなわち
nMK…)-1.Ｍ'上い', （７）
である．式(7)を計算した結果は 以上の式(1)及び式(3)から式(5)を１ビット当りのＳＮ
比ＢＷＶ･の低い領域で計算した結果の一例として，
256値ＱＡＭの場合のＢＥＲを図２に示す.横軸のＥ６/Ⅳ。
を－１０ｄＢから＋１０ｄＢに取っている．図２からわかる
ように，Ｌ－ＬＹａｎｇとＬ・Hanzoの近似式(5)が最も良好 な近似であると判断できる．また，ＬＫｏｍやＢＳｋｌａｒ の近似式(3)は全てのＳＮ比の領域で常に低い値が出て
くる．ＪＬｕらの近似式(4)はＥ６／ﾊﾉ｡＜－５ｄＢの領域で '1,Ｍが１/２を超えてそのような低ＳＮ比の領域ではこ
の近似式は使えないと理解できる．図には Ｅｂ/NC＞10ｄＢの結果は示されていないが，そのよう
な高ＳＮ比の領域ではどの近似式も良好な値を与える． PlJv(RayIeigh） 諒万'ご蒜'トツ{い)闇
壱|肝祷Ｉ
Ｈ帯
３．レイリーフェージングチャネルにおける M-QAMのＢＥＲ
３．１シングルチャネル受信
ＤＹＯｏｎとＫＣｈｏらのM-QAMのＢＥＲの厳密式をも とにレイリーフェージングチャネルにおけるＢＥＲを 求める．フェージングチャネルにおいては，上記で Eb／ﾉV･と書いていたＳＮ比は瞬時的な値でありこれは
(8)
となる．ここで，
３１ｏｇ２Ｍ
α＝2(Ｍ-1）
とおいている．
(9)
Ｕ、■０
一
一 鵡謡剛識 prox1m ｔｒ３ｒ４ｒ５ 詔xi…BER ‐亜》馳馳ｊ ’馴輕》》
Ｉ
レイリーフェージングチャネルにおける多値ＱＡＭのビット誤り率 6５
また，図４は一例としてＭ＝1024値のＱＡＭのＢＥＲ をＡＷＧＮチャネル（フェージングなし）の場合とレ イリーフェージングチャネルの場合を比較のために併
記したものである．平均BERFljo24＝10-3において 14dB以上,ｐ1,024=１０~4においては22dB以上のSN比
劣化（同一ＢＥＲを与えるのに必要なシステムマージ ン）があるのでダイバーシチ受信，誤り訂正符号など なんらかのフェージング対策が必要である．
Ｌ－ＬＹａｎｇとＬＨａｎｚｏの近似式をもとに求めたレイ リーフェージングチャネルの場合のM-QAMのＢＥＲ を厳密値と比較して表１に示す．
式(8)の計算結果の一例として，Ｍ＝16,64,256, 1024,4096の場合の平均ＢＥＲを図３に示す.横軸は１ ビット当りの平均ＳＮ比尻である．
１００
１０~’
Ｍ＝
Ｍ＝4096 4096 Ｍ＝１６
Ｍ=6４
噴浬
Ｍ=２５６－
Ｍ＝1０２４ １０毛
Ｍ＝256
正山、 表Ｌ厳密値とYang，Hanzoの近似式に基づく
M-QAMのＢＥＲルイリーフェージングチャネル）
Ｍ＝1０２４
１０~③ Ave､SＮＲ ExactBER ＡｐｐｒｏｘＢＥＲ
2.0339×１０－１ ２Ｓ１０５ｘ１０－ｌ Ｚ８４１２ｘｌＯ－ｌ Ｚ９３９４ｘｌＯ－１ Ｚ８３１７ｘ１０－’
4299ｌｘ1０－２ ７．７１５８ｘ１０－ｚ Ｌ２３７９ｘｌＯ－ｌ Ｌ７０５４ｘｌＯ－Ｉ 2.0589ｘ１０－ｌ ４９４７９ｘ１０－３ ＬＯ６６８ｘ１０－２ 2.4064ｘ１０－２ ａｌＯ８２ｘｌＯ－２ ９０６１１ｘ１０－ｚ ａＯ２５９ｘ１０－４ Ｌ１１２７ｘｌＯ－３ Ｚ７０９０ｘ１０－３ 6.9935ｘ１０－３ Ｌ７９８５ｘ１０－２ 5.0338ｘ１０－５ Ｌ１１７５ｘ１０－４ 2.7445×１０－４ ７２８３３×１０－４ 2.0386×１０－３ Ｌ９７５７ｘｌＯ~ｌ
２４７０６ｘ１０~’
28903×１０~ｌ ３１９５５ｘ１０－１ ３４１１９ｘ１０~’
16 64 256 1024 4096
１０弓 ０ｄＢ
42371ｘｌＯ－ｚ ７６６８０ｘ１０－２ Ｌ２４２３ｘ１０－１ Ｌ７４０２ｘ１０－ｌ ２１７８４ｘ１０－１
１０~｡ 16
64 256 1024 4096 ０５１０１５２０２５３０３５４０
AverageSNRperbit[｡B］
１０ｄＢ
図３．レイリーフェージングチャネルにおける M-QAMのＢＥＲの計算例
4.8854ｘ１０－３ ＬＯ６２０ｘ１０－２ ２４１０７ｘ１０－ｚ ５１４３８ｘ１０－２ ９１９６５ｘｌＯ－２ 16
64 256 1024 4096
lＯｏ ２０ｄＢ
１０ョ
Rayleigdlfadjng Rayleigdlfadjng
4.9634ｘ１０－４ Ｌ１０７８ｘ１０－３ ２７１３３ｘ１０~３ ７０２９２×１０~３ Ｌ８１２２ｘｌＯ－ｚ 16
64 256 1024 4096 １０屯
３０ｄＢ １０旬
Hi1oヨ
ロロ 49713ｘ１０－５
Ｌ１１２６ｘ１０-4 2.7487ｘｌＯ－４ ７３１９０ｘ１０－４ ２Ｄ５２４ｘｌＯ－３ 16
64 256
1024 4096 Nofadjng
１０毛
４０ｄＢ
10-｡
１０可
Ｍ＝1024 YangとHanzoの近似式に基づいて求めたＢＥＲは，厳
密値に比べて６４値以下ではわずかに高めに，また２５６ 値以上ではわずかに低めに出ている．相対誤差は平均 ＳＮ比や多値数Ｍによりばらつきがあるが，多くの場 合に相対誤差10-2以下で実用的なＳＮ比の範囲（実用 上は所要回線品質を満足する必要があるが，たとえば
10-。 ０５１０１５２０２５３０３５４０
AverageSNRperbit[｡B］
図４ＡＷＧＮチャネルとレイリーフェージング
チヤネルにおける１０２４値ＱＡＭのＢＥＲ
6６ 小西憲一
平均BER10~２以下を想定してそのようなＢＥＲを与え るようなＳＮ比の範囲という意味）においては＋分に 良好なM-QAMのBER近似計算式として使うことがで きる．
Ｍ＝256,1024,4096値に対して式(13)を計算した
結果の例を図５，６，７に示す．横軸はzである．ダイ バーシチブランチ数はＬ＝２，４の場合を計算した．図 中には比較のためにＬ＝１，すなわちダイバーシチなし
（シングルチャネル受信）の場合を併記している．
３２マルチチャネル（ダイバーシチ）受信 この節ではレイリーフェージングチヤネルにおいて マルチチャネル（すなわちダイバーシチ）受信する場 合のM-QAMのＢＥＲを考える．ここでは合成後の受信 信号ＳＮ比が最大になる意味で最適なダイバーシチ合 成法である最大比合成(MaximalRatioCombining，
MRC)ダイバーシチ受信とする．いま，ダイバーシチ の各ブランチの受信信号は独立で同一統計に従うレイ
リーフェージングを受けるものとするＭＲＣ合成後の
トータルのピット当りのＳＮ比をγ6,1と書くと，７６Ｊは
各ブランチのＳＮ比の和
乃,,＝Ｚ肱，（'0）
で与えられる．ここで，７６，'は各ブランチでの1ビッ
ト当りのＳＮ比，Ｌはダイバーシチのブランチ数（チ ャネル数)である．各ブランチのフェージングが独立．
同一統計のレイリーフェージングであるとき，γ６，１の 確率密度関数は自由度2Ｌのｒ２(カイ２乗)分布となり，
，(川)て二論叩(÷）’Ⅱ）
と書ける．式(11)においてはえはブランチ当りでの１ ビット当りの平均ＳＮ比である．このとき，平均ＢＥＲ
はﾊ』の関数としての式(1)のM-QAMのＢＥＷＭ化Ｊ
を式(11)で平均化して
PhM(MRC)=rPWb〃(ルル,“（'2）
より計算される．式(12)は文献[7]の式(4-14-5)を参考に して計算すると閉形式で求めることができ，
豆…菫万歳ご蒜'y{Gﾘ'帯’
(批腺D響言什1(\)１
lＯｏ
１０剣
L=l(NoDiversity）
L=l(NoDiversity）
Ｌ １０毛
田,０． ｍ L＝２ L＝２
１０ョ
Ｌ＝４ Ｌ＝４ Ｌ＝４
1０－５
Ｍ＝256 Ｍ＝256 Ｍ＝256 １０~｡
０５１０１５２０２５３０３５４０
AverageSNRperbit[｡B］
図５．ＭＲＣダイバーシチ受信の場合のＢＥＲ
（256値ＱＡＭ）
lＯｏ
１０~’
L=1(NoDiversin/）
L=1(NＣ １０毛
L＝２
８５，０－， L＝
ｍ
１０ョ
L=４ L=４
(13）
1０－５
となる．ここで
１ i=0,L2,…,(1-2-k)、-1 k=1,2,…,log2〃
Ｍ＝1０２４ Ｍ＝1０２４
似＝ １ １０毛
'＋(2.ｊ+')2αえ ０５１０１５２０２５３０３５４０
AverageSNRperbit[｡B］
図６．ＭＲＣダイバーシチ受信の場合のＢＥＲ
（1024値ＱＡＭ）
(14）
である．
レイリーフェージングチャネルにおける多値ＱＡＭのビット誤り率 6７
の場合について求めた．Ｍ＝1024値や４０９６値のよう に非常に大きな多値数の場合の計算結果は文献に見当 たらないので，有用な基礎資料になると思われる．フ ェージングチャネルにおいてはＡＷＧＮチャネルの場 合に比べてＳＮ比劣化が大きいが，ダイバーシチを用 いることで改善でき，平均ＢＥＲＢﾉM(MRC)＝10-3におい
てブランチ数２の場合で１１ｄＢから１２dB，ブランチ数 ４の場合で１８ｄＢのダイバーシチ利得が得られること がわかった．また，これまでM-QAMのＢＥＲを計算す るときに用いられた２，３の代表的な近似計算式につい て検討し，ＤＹＯｏｎとＫＣｈｏらの近似式に基づけば実 用的なＳＮ比の範囲において良好なＢＥＲを与えること
もわかった．
lＯｏ
１０~Ｉ
１０毛
剣
〈Ｕ
『１
