6.1 不定積分とは

(1)

６章不定積分

6.1 不定積分とは

微分： ⁴

4x

³

dx x dy

y = → =

（不定）積分：

^y ⁼ ^x

³

^→ ∫ ^x

³

^dx ⁼ ₄ ¹ ^x

⁴

⁺ ^c ^c

^{：積分定数}

微分の逆が不定積分である。

6.2 算術関数の不定積分

∫ ^x

ⁿ

^dx ⁼ _n ¹ ₊ ₁ ^x

ⁿ⁺¹

⁺ ^c

∫ ^e

^x

^dx ⁼ ^e

^x

⁺ ^c ∫ ¹ _x ^dx ⁼ ^log

^e

^x ⁺ ^c

∫ ^sin ^x ^dx ⁼ ⁻ ^cos ^x ⁺ ^c ∫ ^cos ^x ^dx ⁼ ^sin ^x ⁺ ^c

c x x dx = +

∫ _cos ¹

²

^tan

6.3 関数の定数倍と和の不定積分

∫

∫ ^af ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^a ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx

∫

∫ ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾ ⁺ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^dx ⁼ ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁺ ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx

例

∫ ³ ^sin ^xdx ⁼ ⁻ ³ ^cos ^x ⁺ ^c

c x x

dx x

x + = + +

∫ ⁽

²

^cos ⁾ ₃ ¹

³

^sin

問

1) ∫ ^x ^dx ²⁾ ∫ ⁽ ^x

²

⁺ ² ^x ⁺ ³ ⁾ ^dx

3) ∫ ⁽ ^x ⁺ ¹ _x ⁾ ^dx ⁴⁾ _∫ ( ² ^x

⁻¹^/³

⁺ ^x

⁻²^/³

) ^dx

5) ∫ ^(sin ^x ⁺ ^cos ^x ⁾ ^dx

解答

(2)

4) 3 x

²^/³

+ 3 x

¹^/³

+ c 5) − cos x + sin x + c

6.4 微分の掛け算を利用した積分

) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) (

( f x g x f x g x f x g x dx

d = ′ + ′

∫

∫ ^′ ⁺ ^′

= f x g x dx f x g x dx x

g x

f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

を利用する。

公式

∫ ^f ^′ ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ⁻ ∫ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx

部分的に積分することから、部分積分とも呼ばれる。

例

c e xe

dx e xe dx xe

x x

x x x

+

−

=

−

= ∫

∫

c x x

x

xdx x

x xdx x

+ +

=

⋅

−

= ∫

∫

cos sin

sin 1 sin cos

c x x x

dx x x x x

xdx xdx

e e

+

−

=

⋅

−

=

⋅

=

∫

log

1 log

log 1 log

∫

−

=

−

=

xdx e

x e x e

xdx e

x e xdx e

x x

x

x x

x

sin cos

sin

cos sin

sin

の関係から、

∫ ^e

^x

^sin ^xdx ⁼ ₂ ¹ ^e

^x

^(sin ^x ⁻ ^cos ^x ⁾ ⁺ ^c

c x x x

dx x x

x

xdx x

x xdx

+ +

−

=

− +

−

=

+

−

=

∫

2 sin 1 2 cos 1

) sin 1 ( sin cos

cos sin

2 2 2

別解半角の公式を利用してもよい。

問

1) ∫ ^x ^sin ^xdx ²⁾ ∫ ^x

ⁿ

^log

^e

^xdx ³⁾ ∫ ^x

²

^e

^x

^dx ⁴⁾ ∫ ^sin

³

^xdx

5) ^I

ⁿ

⁼ ∫ ^x

ⁿ

^e

^x

^dx

^{の漸化式（}

^I

ⁿ^と

^I

ⁿ⁻¹^{との関係）を求めよ。}

6) ^I

ⁿ

⁼ ∫ ^sin

ⁿ

^xdx

^{の漸化式を求めよ。}

(3)

解答

1) ∫ x ^sin xdx = − x ^cos x + ∫ ^cos xdx = − x ^cos x + ^sin x + c

2)

c n x

x n x

dx x n x

x n x

xdx x

n e

n

n e

n

+ + + −

=

+ ⋅ + −

=

+ +

+

∫

1 2 1

1 1

) 1 ( log 1 1

1 1 1 log 1

1 log 1

3)

c e xe e

x

dx e xe

e x

dx xe e

x dx e x

x x x

x x

x

x x

x

+ +

−

=

+

−

=

−

=

∫

2 2

2

2 2 2 2

4)

c x x

x

xdx x

x x xdx

+

−

=

+

−

= ∫

∫

3 2

2 2

3

3 cos sin 2

cos

sin cos 2 sin cos sin

5)

1 1

−

= −

−

=

∫

n x n x

n x

n x n n

nI e x dx e x n e x

dx e x I

6)

1 1

2 2

1

2 2 1

sin 1 1 cos

sin ) sin 1 ( ) 1 ( sin

cos

sin cos ) 1 ( sin

cos sin

−

+ −

−

=

−

− +

−

=

− +

−

=

∫

n n

n I x n n x

xdx x

n x x

xdx n

x x

xdx I

6.5 変数変換を利用した積分

1. ∫ ^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^dx ⁼ ∫ ^f ⁽ ^z ⁾ ^dx _dz ^dz

^のとき

変数変換：

dz dz

dx = dx

^{として計算する。}

例

1)

∫ ^sin ² ^xdx ⁼ ∫ ^sin ^z _dz ^dx ^dz ⁼ ∫ ^sin ^z ¹ ₂ ^dz ⁼ ₂ ¹ ∫ ^sin ^zdz

x

z = 2

^，

dx dz 2

= 1

c x c

z + = − +

−

= cos 2

2 cos 1

2

1

(4)

2)

dz e dz e dz e c e c dz

e dx dx

e

^x

= ∫

^z

= ∫

^z

= ∫

^z

=

^z

+ =

^x

+

∫

³

₃ ¹ ¹ ₃ ¹ ₃ ¹ ₃

³

x

z = 3

^，

dx dz 3

= 1

c e c

e

^z

+ =

^x

+

=

³

3 1 3

1

3)

∫ ⁽ ³ x + ² ⁾

⁴

dx = ∫ z

⁴

¹ ₃ dz = ₃ ¹ ⋅ ₅ ¹ z

⁵

+ c = ₁₅ ¹ ⁽ ³ x + ² ⁾

⁵

+ c

4)

∫ _x ^x ₊ ₁ ^dx ⁼ ∫ ^z

²

_z ⁻ ¹ ² ^zdz ⁼ ² ∫ ⁽ ^z

²

⁻ ¹ ⁾ ^dz

+ 1

= x

z

，

z

²

= x + 1

，

x = z

²

− 1

，

dx = 2 zdz c

x x

c z

z − + = + − + +

=

³

( 1 )

²^/³

2 ( 1 )

¹^/²

3 2 2 3 2

問以下の不定積分を行え。

1) ∫ ^cos( ⁴ ^x ⁺ ⁵ ⁾ ^dx ²⁾ ∫ ₃ _x ¹ ₋ ₁ ^dx

3) ∫ ⁽ ² ^x ⁺ ¹ ⁾

⁻⁴

^dx ⁴⁾ ∫ ³ ^x ⁺ ² ^dx

5) ∫ e

^x

dx

解答

1) sin( 4 x + 5 ) + c 4

1 2) log

_e

| 3 x − 1 | + c

3 1

3) − ( 2 x + 1 )

⁻³

+ c 6

1 4) ( 3 x + 2 )

³^/²

+ c

9 2

5) ∫ ^e

^x

^dx ⁼ ∫ ^e

^z

2 ^zdz ⁼ 2 ∫ ^ze

^z

^dz ⁼ 2 ( ^ze

^z

⁻ ∫ ^e

^z

^dz ) c x

e c e

ze

^z

−

^z

+ =

^x

− +

= 2 ( ) 2 ( 1 )

2. ∫ ^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ∫ ^f ⁽ ^z ⁾ _dx ^dz ^dx ⁼ ∫ ^f ⁽ ^z ⁾ ^dz

^z ⁼ ^g ⁽ ^x ⁾

変数変換：

dx dz dx

dz =

^{として計算する。}

例

1)

e dx e dz e c e c dx

dx dz xe dx

xe

^x

= ∫

^x

= ∫

^z

= ∫

^z

=

^z

+ =

^x

+

∫

²

₂ ¹ ²

²

¹ ₂ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ¹

²

2)

dx e dz e c e c dx

e dz dx

xe

^x

= ∫

^z

= ∫

^z

=

^z

+ =

^x

+

∫ ^cos

^sin ^sin

(5)

3)

∫ _x

²

^x ₊ ₁ ^dx ⁼ ¹ ₂ ∫ _x

²

² ₊ ^x ₁ ^dx ⁼ ₂ ¹ ∫ ¹ _z _dx ^dz ^dx ⁼ ¹ ₂ ∫ ¹ _z ^dz

c x

c

z + = + +

= log 1

2 log 1

2

1

₂

4)

dz z c f x c

dx z dx dz dx z

x f

x

f ′ = = = + = +

∫

∫ ₍ ⁽ ₎ ⁾ ¹ ¹ ^log ^log ⁽ ⁾

問以下の不定積分を行え。

1) ∫ ^x ^sin( ^x

²

⁾ ^dx ²⁾ ∫ ⁽ ² ^x ⁺ ¹ ⁾ ^e

^x²⁺^x⁺¹

^dx

3) ∫ sin

²

x ⋅ cos xdx ⁴⁾ ∫ ^cos _sin _x ^x ^dx

5) ∫ _cos ^x

²

_x ^dx

解答

1) − cos( x ) + c 2

1

₂

2) e

^x²⁺^x⁺¹

+ c

3) sin

³

x + c 3

1 4) log

_e

| sin x | + c

5) x tan x + log

_e

| cos x | + c

6.6 有用な公式

1)

∫ _a

²

¹ ₋ _x

²

^dx

^のとき、

^x ⁼ ^a ^sin ^θ

^とおく

c a x c

d = + = +

= ∫ ^θ ^θ ^sin

⁻¹

⁽ ^/ ⁾

2)

c

x a

x a dx a

x a x a dx a

x

a

^e

+

−

= +

 

 





+ −

= +

− ∫

∫

²

¹

²

₂ ¹ ¹ ¹ ₂ ¹ ^log

3)

∫ ^a

²

⁻ ^x

²

^dx ⁼ ∫ ^a

²

^cos

²

^θ ^d ^θ ⁼ ^a

²

∫ ^cos ² ₂ ^θ ⁺ ¹ ^d ^θ

c a x a

x a x

a c a c

+ +

−

=

+ +

= + +

=

−

( / )]

sin 2 [

1 ) cos 2 (sin

) 2 2 4 (sin

1 2 2 2

2

θ θ θ θ θ

4)

a x

x a x

+ + + + =

+ +

= ∫

∫

² ² ² ²

2 2

1

(6)

θ tan a

x = ^{としても可能}

5)

∫ _a

²

₊ ¹ _x

²

^dx

^のとき、

^x ⁼ ^a ^tan ^θ

^とおく

c a a x

a c a d

a d

a = = + = +

= ∫ ^cos

²²

^θ _cos

²

_θ ^θ ¹ ∫ ^θ ¹ ^θ ¹ ^tan

⁻¹

⁽ ^/ ⁾

6)

∫ ^a

²

⁺ ^x

²

^dx

^のとき、

∫

+ + −

+ +

=

+

−

− + + + =

− +

=

dx x a dx x a a x a x

dx x a

a a x x

a x dx x a x x x a x

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

1

2 2 2

2

1 log

x a x

a dx x

d

e

+ + = +

^より、

c x a a x

x a

x + +

_e

+ + +

=

² ² ²

log

² ²

2 2

1 θ tan a

x =

^{としても可能}

(7)

７章定積分 7.1 定積分と面積

x x+h

S ( x )

f(x)

a x

y

b

) ) (

lim ( ) ( ) lim (

) (

0

f x

h h x f h

x S h x S dx

x dS

h

+ − = ⋅ =

=

→ →

∫ ⁼ ⁺

= f x dx F x c x

S ( ) ( ) ( ) 0 )

( )

( a = F a + c =

S c = − F (a )

ゆえに、

S ( x ) = F ( x ) − F ( a )

一方、

^f ⁽ ^x ⁾ ^dx [ ^F ⁽ ^x ⁾ ]

^ba

^F ⁽ ^b ⁾ ^F ⁽ ^a ⁾

b

a

= = −

∫

と表わすと、以下となる。

S b S dx x

b

f

a

= =

∫ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

^：面積

7.2 基本的な定積分

例

2 ) 0 2 2 ( ] 1

[

₂¹ ² ²₀ ²

2

0

= = − =

∫ ^xdx ^x

3 ] 1 [

₃¹ ³ ¹₀

1 0

2

= =

∫ ^x ^dx ^x

1 ]

[

⁰ ⁰

0

=

₋_∞

= −

⁻^∞

=

∞

∫

−

^e

^x

^dx ^e

^x

^e ^e

2 ) 1 1 ( ) 0 cos (cos

] cos [

sin

₀

0

= − = − − = − − − =

∫

^π

^xdx ^x

^π

0 ) 1 1 ( ) 0 cos 2

(cos ]

cos [

sin

²₀

2

0

= − = − − = − − =

∫

^π

^xdx ^x

^π

注）関数の負の部分はマイナスとなる。

(8)

＋

0 π − 2π

12 4 8 ] 2

1 [ ) 1

(

² ⁴₀

4

0

+ = + = + =

∫ ^x ^dx ^x ^x

2 1

) 1 ( ]

cos [ ) sin 1

(

₀

0

+ = − = − − + = +

∫

^π

^x ^dx ^x ^x

^π

^π ^π

1 1

1 0 1

0

( +

⁻

) = [ −

⁻

] = ( −

⁻

) − ( 1 − 1 ) = −

⁻

∫ ^e

^x

^e

^x

^dx ^e

^x

^e

^x

ê ê ê ê

7.3 定積分記号の直感的解釈

∑

∫

∞ =

= →

∞

→

− = ∆

=

n

i n i n

i n i

b a

x x n f

a x b f dx x f S

1 1

) ( lim )

( lim

) (

図以上より、

∑ ^→ ∫

∞ =

→

b a n

n i 1

lim

，

∆ x → dx

とみなすことができる。

計算機で積分の値を求めるときこれらの関係が利用される。

7.4 部分積分

∫ ∫

∫

+ ′

= ′

+ ′

= ′

b a

b a b

a b

a

dx x g x f dx x g x f

dx x g x f x g x f dx x g x dx f

d

) ( ) ( )

( ) (

)]

( ) ( ) ( ) ( [ )]

( ) ( [

一方左辺

= [ f ( x ) g ( x ) ]

^ba

以上より

∫

^a^b

^f ^′ ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^[ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ^)]

^b^a

⁻

^a^b

^f ⁽ ^x ⁾ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx

例

1 ) 1 ( ]

[ ]

[

¹ ¹₀

0 1 0 1

0

= − ∫ = − = − − =

∫ ^xe

^x

^dx ^xe

^x

^e

^x

^dx ^e ^e

^x

^e ^e

(9)

π π

π

^π

π π

π

= − + ∫ = − + =

∫

⁰

^x ^sin ^xdx ^[ ^x ^cos ^x ^]

⁰ ⁰

^cos ^xdx ^cos ^[sin ^x ^]

⁰

1 ] 1 [

] log [ log

1 log

₁

1 1 1

1

= ∫ ⋅ = − ∫ = − =

∫

^e ^e

^xdx

^e ^e

^xdx ^x

^e

^x

^e ^e

^x _x ^dx ^e ^x

^e

I e e

xdx e

x e

xdx e

x e xdx e

I

x x

x

− +

=

−

=

−

=

∫

) (

sin ]

cos [ 0

cos ]

sin [ sin

0 0 0

π

π π

π π π

) 1 2 (

1 +

= e

^π

I

問部分積分を用いて以下の定積分を行え。

1) ∫

−∞

0

xe

^x

dx 2) ∫

⁰¹

⁽ x + ¹ ⁾ e

^x

dx = e

3) ∫

⁰^π^/²

^x ^sin ^xdx ⁴⁾ ∫

⁰²^π

^x ^sin ^xdx

5) ∫

⁻⁰^π

^x ^cos ^xdx ⁶⁾ ∫

¹^e

^x ^log

^e

^xdx

7) ∫

⁰¹

^x

²

^e

^x

^dx ⁸⁾ ∫

⁰^π^/²

^sin

²

^xdx

解答

1) 1 2) e 3) 1 4) − 2 π

5) 2 6) ( 1 )

4 1

₂

+

e 7) e − 2 8)

4 π

漸化式となる公式

∫

⁰^∞

^x

ⁿ

^e

⁻^x

^dx

0 2

1

0 1 0

1 0 0

! )

1 (

] [

I n I

n n nI

dx e x n dx e nx e

x dx e x I

n n

x n x

n x

n n

=

−

⋅

=

= +

−

=

−

∞ − −

∞

∞ − −

∫

L 1 ]

[

₀

0

= ∫

0^{∞ −}

^e

^x

^dx = − ^e

⁻^x ^∞

=

I

^より、

!

! I

₀

n n I

_n

= =

∫

⁰^π^/²

^sin

ⁿ

^xdx

(10)

n n

n

n n

n

I n I

n

xdx n

dx x x

n

xdx x

x n

x x

xdx x

xdx I

) 1 ( ) 1 (

sin ) 1 ( sin

) 1 (

) sin 1 ( sin ) 1 (

cos cos sin

) 1 ( )]

cos ( [sin

sin sin

sin

2

2 / 0 2

/ 0

2 2 / 0

2 2

2 / 0

2 2

/ 0 1

2 / 0 2 1

/ 0

−

=

−

=

−

⋅

−

=

⋅

− +

−

⋅

=

⋅

=

−

∫

π π

π

π π π π

ゆえに、

1

₂

−

= −

_n

n

I

n I n

但し、 ^/²

1 2

0 0

π

∫

π

⁼

= dx

I

，

sin 1

1

= ∫

0^π

^xdx = I

これを用いて、

2 2 1 2 2

3 2 2

1 2

2

⋅ π

− ⋅

⋅ −

= − L

n n n

I

_n

n 1

3 2 1 2

2 2 1 2

2

1

2

⋅ ⋅ ⋅

−

⋅ −

= +

+

L

n n n

I

_n

n

例えば、

16 3 2 2 1 4 3

4

π π =

⋅

=

I 15

1 8 3 2 5 4

5

= ⋅ ⋅ =

I

また同様にして、以下も示される。

n n

n

xdx = ∫ xdx = I

∫

⁰^π^/²

^cos

⁰^π^/²

^sin

7.5 定積分の変数変換

∫

^a^b

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^dx ⁼

^g^g⁽⁽^a^b⁾⁾

^f ⁽ ^z ⁾ ^dx _dz ^dz

特に、

∫

^a^b

^f ⁽ ^g ⁽ ^x ⁾⁾ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ∫

^g^g⁽⁽^a^b⁾⁾

^f ⁽ ^z ⁾ ^dz

例

∫

⁰^π^/²

^sin ² ^xdx

^について

不定積分を用いる方法

1 ) 1 1 2 ( ] 1 2 2 cos [ 1 2

sin

₀^/²

2 /

0

= − = + =

∫

^π

^xdx ^x

^π

変数変換を用いる方法

x

z = 2

^，

dx dx

dx

dz = dz = 2

^{であるが、}

変数変換することにより、積分範囲も変わる。

(11)

2 / 0 → π

=

x

，

z = 0 → π

1 ) 1 1 2 ( ] 1 cos 2 [ 1 2 sin 1 2

sin

₀

0 2

/

0

= ∫ = − = + =

∫

^π

^xdx

^π

^z ^dz ^z

^π

例

∫

⁰¹

⁽ ² ^x ⁺ ¹ ⁾

³

^dx

^について

変数変換を用いる方法

1 2 +

= x

z

，

dz = 2 dx

^{であるが、}

変数変換することにより、積分範囲も変わる。

1 0 →

=

x

，

z = 1 → 3

10 ) 1 3 8 ( ] 1 4 [ 1 2 1 2

) 1 1 2

(

³ ⁴ ₁³ ⁴

1 1 3

0

3

= = = − =

+ ∫

∫ ^x ^dx ^z ^dz ^z

例

1 3 ] 2 [ 2 2

2 1 1 2

1 2

1 1 2

1

₃

1 2 / 3 1

1 2 / 2 1

1 2

1

= = = −

= −

− ∫ ∫

∫ _x ^dx _x ^dx ^z

⁻

^dz ^z

) 1 2 ( ] 1 2 [ 1 2

2 1 2

1

4 4

0 4

0 2

0

2

= ∫ = ∫ = = −

∫ ^xe

^x

^dx ^e

^x

^xdx ^e

^z

^dz ^e

^z

^e

3 log 1 log 3 log ] 1 [log

1 1

2

3

1 3

1 1

0 2

dz

e

z

e e e

dx z x x

x = = = − =

+ +

+ ∫

∫

一般に

1 [log | | ] log | ( ) ( ) | )

( )

(

₍ ₎

) ( )

( )

(

dz z f b f a

dx z x f

x f

e b

f a f e b

f a f b

a

′ = = =

∫

よく知られた変数変換

2 cos

cos 1

1

^/²

0 2

/ 0 1

0 2

θ π θ θ

θ

^π

π

= =

− = ∫ ∫

∫ _x ^dx ^d ^d

θ

= sin

x θ θ θ

θ d d

d

dx = dx = cos

一般に、

a

²

− x

² ^の場合は

x = a sin θ 4 cos

1 tan

1 1 1

1

^/⁴

0 4

/

0 2 2

1

0 2

θ π θ θ

θ

π

= =

= +

+ ∫ ∫

∫ _x ^dx ^d ^d

一般に、

a

²

+ x

²^の場合は

x = a tan θ

7.6 回転図形の体積・曲線の長さ

1.

回転図形の体積

(12)

定積分：

= ∫ =

→∞

∑

₌ⁿ

∆

i n i b

a

f x dx f x x

V

1

) ( lim )

(

，

n a x = b −

∆

∆x

x y

y=f(x)

∑

= →∞ =

∞

→

∆ = ∆

=

ⁿ

i n i n

i n i

x x f x

y V

1 2 1

2

lim ( )

lim π π

^，

n a x = b −

∆

∫

∫ ⁼

=

^b

a b

a

y dx f x dx

V π

²

π

²

( )

例底半径

r

高さ

h

の三角錐の体積

h x

y = r

^として、

h r h x

dx r h x

dx r y V

h h

h 2

0 3 2

2 0

2 2 2 0

2

3 1 3

1 π

π π

π   =

 

=

= ∫ ∫

＝

3

1

×底面積×高さ例球の体積

2 2

2

y r

x + = y

²

= r

²

− x

²^として、

3 3

2 2

2

3 ) 4 3 ( 1 2 3 ]

[ 1 )

( r x dx r x x r r r

V

^r ^r_r

r

π π π

π − = − = − =

=

₋

∫

−

2.

曲線の長さ

dx dl dy y

b x

a

(13)

2 2

2

dx dy

dl = +

^より、

dx x f dx dx

dy dy dx

dl 1 1

²

( )

2 2

2

 = + ′



 

 + 

= +

=

公式

^L ⁼ ∫

^a^b

¹ ⁺ ^f ^′

²

⁽ ^x ⁾ ^dx

例円周の長さ

2 2

2

y r

x + = y = r

²

− x

²

dx x r dx r x r dl x

2 2 2

1

2

= − + −

=

r r

d r r

r dx x r

L

^r

r θ θ π π

θ

π

2 4 2 cos cos

4 1

4

^/²

0

0 2 2

= = =

= ∫ − ∫

θ sin r

x =

^，

dx = r cos θ d θ

例 ²

2 1 x

y =

^の

0 ≤ x ≤ 1

の長さ

dx x dl = 1+

²

公式

a x a x c

x a x dx x

a + = + +

_e

+ + +

∫

² ²

₂ ¹

² ²

₂

²

^log

² ²

( ² ^log ⁽ ¹ ² ⁾ )

2 1

1 2 log

1 1 2 1 1

1

0 2 1 2

0

2

+ +

=

 

  + + + +

= +

= ∫

e

x x

x x dx x L

例

y = 2 x

^の

0 ≤ x ≤ 1

の長さ

( ) ^x ^dx ^x _x ^dx

dl 1

1 1 +

²

= +

=

∫

∫ ⁺ ⁼ ⁺

=

¹

0 1 2

0

1 2 1

dz z x dx

L x

x

z =

^，

dx dz

x =

2 1

上の結果を用いて、

) 2 1 ( log

2 + +

=

_e

L

(14)

８章微分方程式

8.1 微分方程式とは

関数の微分を含んだ方程式 → 関数の形を求める。

例

条件の付かない場合

+ 1

= x dx dy

両辺を

x

で積分する。

c x x dx x dx dx

y = ∫ dy = ∫ ⁽ + ¹ ⁾ = ₂ ¹

²

+ +

^{積分定数が残る}

条件の付く場合

+ 1

= x dx

dy

x = 0

のとき

y = 1 c

x x y =

²

+ +

2 1 x = 0

を代入し、

y = c = 1

ゆえに、

1

2

1

2

+ +

= x x

y

積分定数を決める

8.2 代表的な微分方程式の解法

１）

f ( x ) dx

dy =

^の場合

両辺を普通に

x

で積分する。

∫

= f x dx

y ( ) ∫ _dx ^dy ^dx ⁼ ∫ ^dy ⁼ ^y ⁺ ^c

２）

f ( x ) g ( y ) dx

dy =

^{変数分離形}

∫

∫ _g ₍ ¹ _y ₎ ^dy ⁼ ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx

例

y dx dy =

c x dx y

y dy = = ∫ = +

∫ ¹ ^log ¹

^より、

^y ⁼ ^e

^x⁺^c

⁼ ^e

^c

^e

^x

e

c

±

^を改めて

c

と書いて、

y = ce

^x

(15)

３）

f ( y x ) dx

dy =

^同次形

x

v = y

^とおく。

y = xv

^より、

f (v ) dx

x dv dx v

dy = + =

以上より、

x v v f dx

dv = ( ) −

変数分離形となり、解きやすくなる。

例

= + 1 x y dx dy

x x

v v x

v v f dx

dv = ( ) − = + 1 − = 1 c

x v = log

_e

+

cx x x xv

y = = log

_e

+

４）

f ( x ) y g ( x ) dx

dy + =

^{１階線形微分方程式}

= ze

⁻

∫

^f ^x^dx

y

⁽ ⁾ とおいて、

) ( )

( )

(

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

)

(

e g x

dx ze dz

x f e

x zf dx e

dz

⁻

∫

^f ^x^dx

−

⁻

∫

^f ^x ^dx

+

⁻

∫

^f ^x^dx

=

⁻

∫

^f ^x ^dx

=

= g x e ∫

^f ^x ^dx

dx

dz

⁽ ⁾

)

(

の形に変形できる。

∫ ^∫

= ∫

= ze

⁻

∫ e

⁻

g x e dx y

^f⁽^x⁾^dx ^f⁽^x⁾^dx

( )

^f⁽^x⁾^dx

例

ky x dx

dy + = x = 0

のとき

y = 0 ze

kx

y =

⁻ ^として、

xe

kx

dx dz =

c k e

k xe

dx k e

k xe dx xe z

kx kx

kx

+

−

=

−

=

= ∫ ∫

2

1 1

kx

kx ce

z k e

y =

⁻

= 1 ( − 1 ) +

⁻

2

= 0

x

として、

1 0

2

+ =

−

= c

y k

より、

1

₂

c = k )

1 1 (

2

e

kx

k kx

y = − +

⁻

(16)

４）

ky dx

y

d

²₂

= −

２階線形微分方程式の特殊な例

公式

y = A sin( k x + α )

または、

y = c

₁

sin k x + c

₂

cos k x

解法

両辺に

dx

dy

をかけて、

dx ky dy dx dy dx

y

d

²₂

= −

ここに、左辺

2 2

2

2 1 



 



= 

dx dy dx

d dx dy dx

y

d

より、

c k y ydy k dx dx

y dy dx k

dy  = − = − = − +



 





²

∫ ∫ ₂

²

2 1

1

²

2

 =



 





− dx

dy ky c

c x k y

k c

dy = ± + ′

∫ ₂ _/ −

²

^y ⁼ ² _k ^c ^sin ^θ

^{とおくと、}

∫ _k ^c ^d ⁼ ∫ ^d ⁼ ⁼ ^± ^k ^x ⁺ ^c ^′

k

c θ θ θ θ

θ 2 cos 2 cos

1 ) 2 sin(

) 2 sin(

c x k k

c c x k k

y = c ± + ′ = ± m ′

改めて、

A k

c = ±

± 2

，

sin( k x m c ′ ) = sin( k x + α )

とおくことにより、

) sin( + α

= A k x y

別表記

x k c

x k A

x k x

k A x

k A y

cos sin

cos sin sin

cos

) sin cos

cos (sin

) sin(

2

1

+

=

+

=

+

= +

=

α α

α

(17)

９章偏微分

9.1 偏微分とは ) (x f

y =

^⇒

dx dy

変数１つ常微分

) , ( x

₁

x

₂

f

y =

^⇒

2 1

, x y x

y

∂

変数２つ偏微分

一般に

) , , ,

( x

₁

x

₂

x

_n

f

y = L

^⇒

x

n

y x

y

∂

∂ , , ,

2 1

L

定義

h

x x f x h x f x

y

h

) , ( ) ,

lim (

¹ ² ¹ ²

1 0

−

= +

∂

→

h

x x f h x x f x

y

h

) , ( ) ,

lim (

¹ ² ¹ ²

2 0

−

= +

∂

→

変数

x

_iのみ変化させて他は固定したまま。

∂

の読み方、ディーまたはラウンド一般に

h

x x x f x h x x f x

y

_i _n _i _n

i h

) , , , , ( ) , , , ,

lim (

¹ ¹

0

L L L

L + −

∂ =

∂

→

表記法は、

i

i x

x n i

i

f y x x x f x

y = =

∂

= ∂

∂

∂ (

₁

, L , )

等

9.2 偏微分の計算

例

2 1 2 2 2 1 2 1

, )

( x x x x x x f

y = = + +

^のとき

2 1 1

2 x x x

y = +

∂

， ₂ ₁

2

2 x x x

y = +

∂

他の変数は単なる定数と思って微分する。

sin x

x

y =

(18)

2 1

sin x x

y =

∂

， ₁ ₂

2

cos x x x

y =

∂

2 2 2 1 x

e

x

y =

⁺

2 2 2 1

1 1

2 x e

^x ^x

x

y =

₊

∂

， ₂ ¹² ²²

2

2 x e

^x ^x

x

y =

₊

∂

9.3 高階の偏微分

2 1 2 2 2

1

x x x

x

y = + +

2 1 1

2 x x x

y = +

∂

， ₂ ₁

2

2 x x x

y = +

∂

2 ) 2

(

₁ ₂

1 1 1 2 1

2

+ =

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ x x

x x

y x x

y

同様に、 ₂

2

=

∂

∂ x

y

1 2

2

1 2 1 2

1 2 1

2

1 ) 2

(

x x

y

x x x

x y x x x

y

∂

= ∂

=

∂ +

= ∂

 

 





∂

= ∂

∂

2

回偏微分可能で、2階偏導関数が連続であれば、

i j j

i

x x

y x

x y

∂

= ∂

∂

² ²

一般に、

n 回偏微分可能で、 n 階偏導関数が連続であれば、偏微分は交換可能である。

9.4 関数の極値

常微分の場合

x = a

^において

= 0

′

y

かつ

y ′′ > 0

のとき、極大

= 0

′

y

かつ

y ′′ < 0

のとき、極小例

y xy y x

z =

²

+

²

− − 3

^{の極値を求めよ。}

偏微分が

0 0 2 − =

∂ =

∂ x y

x

z

，

= 2 − − 3 = 0

∂

∂ y x

y

z

(19)

この方程式より、

2 ,

1 =

= y

x

→

z = − 3

極大・極小・その他の判定

2

11

=

∂

= ∂ x

a z

^， ₂

2

22

=

∂

= ∂ y

a z

^，

1

2 2

21

12

=

∂

= ∂

∂

= ∂

= y x

z y x a z a 0

11

= 2 >

a

かつ

a

₁₁

a

₂₂

− a

₁₂

a

₂₁

= 3 > 0 2

,

1 =

= y

x

において極小値

–3

である。

２変数の場合、

a

₁₁

> 0

（または、

a

₂₂

> 0

）のとき、

a

₁₁

a

₂₂

− a

₁₂

a

₂₁

> 0

ならば、極小

a

₁₁

< 0

（または、

a

₂₂

< 0

）のとき、

a

₁₁

a

₂₂

− a

₁₂

a

₂₁

> 0

ならば、極大一般に*

) ( ) , , ,

( x

₁

x

₂

x f x f

y = L

_n

≡

とすると

+ L

∂

∂ + ∂

∂

= ∑ ∂ ∑∑

= =

=

n

i n

j

j i j i n

i

i i

dx x dx x dx f

x dy f

1 1

2

1

) ( 2

1 )

( x x

である。

ここで、

A = ( a

_ij

)

，

j i

ij

x x

a f

∂

= ∂

² ^{とすると、行列}

A

をヘッセ行列という。

定理

x

0

x =

^{において、}

( ) 0

∂ =

∂ x

i

f x

であり、ヘッセ行列が正（負）値定符号ならば、

f (x )

は

x = x

₀^{で極小（大）である。}

正（負）値定符号

行列

A

が正（負）値定符号とは、微小な

θ

_i^に対して

0 ( 0 )

,

<

∑ >

j i

a

ij

θ θ

^である。

正（負）値定符号と同等な条件

⇔

> 0 , > 0 , > 0 , L , A > 0

kk kj ki

jk jj ji

ik ij ii

jj ji

ij ii ii

a a a

a a a a

a a

^{（正値定符号）}

< 0 , > 0 , < 0 , , ( − 1 )

ⁿ

A > 0

kk kj ki

jk jj ji

ik ij ii

jj ji

ij ii ii

a a a

a a a a

a a

a a L

（負値定符号）

6.1 不定積分とは

６章 不定積分