提携形ゲームのい くつかの解 と その縮小 ゲームによる一貫性

その縮小 ゲームによる一貫性

社会情報学科 行 方 常 幸

日 次 1.はじめに

2.線形でETPを満たす解‑‑‑ ‑ ‑･‑‑ ‑ ‑‑26 3.縮′｣､ゲームによる一貫性‑‑‑‑‑‑‑‑‑^‑ ‑‑28 4.数 値 例

5.終わりに 6.補 遺

1.は じ め に

提携形 ゲーム とは複数人が集 まって得 た利益 を,その部分提携 の評価値 を考 慮 して,公平 に分 けるには どうすべ きか ?の間に答 えようとした ものである｡

得 られた利益の分 け方 (解) として,種 々の観点か ら様 々な解が提唱 されてい る｡その中に線形 でETP (EqualTreatmentProperty)とい う性 質 を満 たす 解の集合がある.本稿 ではこの中の3つの解 に関す る縮小 ゲームによる一貫性 について考察す る｡ これ らの縮小 ゲームは複数個の項の凸結合であ り,確率的 解釈 が可能である｡ これ ら3つの解 は従来考察 されて きた解 である最小二乗準 仁 , シヤープ レイ値,ニュー値 と関連 している｡

〔25〕

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2.線 形 で ETPを満 た す解

複 数の参加 者が集 まって利益 を生 む状 況 を想定す る｡参加 者 (プ レイヤー と 呼 ぶ) の集 合 をN :‑ (1,...,n)とお く｡ Nの部 分 集合 を提 携 と呼 ぶ｡ 提 携 S(⊂N)の メ ンバ ーが集 まって得 る こ とがで きる利益 をLJ(S)で表 し,提携Sの 提携 値 と呼 ぶ｡ N の部 分 集合 か ら実 数‑ の この 関数V:2N‑‑虎 を特性 関数 と 呼ぶ｡ただ し,V(a)‑0とす る｡プ レイヤーの集合Nと特性 関数 Vの組 (N,V) を提 携 形 ゲー ム1)と呼 ぶ｡ すべ ての提 携 形 ゲー ム集 合 をCとお く｡全 体提 携 Nに よって得 られ る利益 V(N)を,部 分提携Sの提 携値 (V(S)lS⊂N)を利用 して,Nの メ ンバ ー になるべ く公平 に分 ける ことが,提携形 ゲー ム (Nv) の

1つ の 目的であ る｡

提携 形 ゲー ムの1点解 とは提携形 ゲー ムの集合 G か らプ レイヤー‑ の分 け 方‑ の関数 f:^G‑虎'lで次の条件 を満 たす ものである :

f(N,V)‑ (fl(N,V),...,f,i(Nv))

∑ f,(N,V)‑V(N)

ノ∈∧J

l点解 は値 とも呼 ばれ る｡線形性 とETP (EqualTreatmentProperty)は 次の ように定義 され る｡

線形性 :C 上の解 ′は次 を満 たす とき線形 であ る, といわれ る｡

すべ ての(N,V),(N,u))∈G に対 して,f(N,V+W)‑f(N,i,)+f(N,W)であ る｡

ただ し, (V+W)(S)‑V(S)+uJ(S)であ るo

ETP :C上 の解 ′は次 を満 たす ときETPを満 たす, とい われ る｡

V(SU(i)‑ V(SU(j))(∀S⊂N‑冒 ,j))を満 た す(N,V)∈G に対 して,

1)譲渡可能効用を扱 うので,正確には,譲渡可能効用 を持つ提携形ゲームと呼ばれ る｡

fl(N,u)‑f](N v)である｡

線形でETPを満 たす解 (値) は次 に示す ように表現 される｡

補題 :(Ruizetal.1998)G上の解fが線形でETPを満 たす必要かつ十分条 件 は重 みm‑(m,i,S)"‑2,.,S‑1,‥,l11が存在 し,fが次 の ように表現 され る こ

とである｡

n Sj∈S⊂N SS⊂N S≠N S≠^6).N

ただ し,S‑lsd,す なわち,提携Sのプ レイヤーの人数である｡

この表現 を利用 して,最小二乗準仁, シヤープ レイ値,ニュー値が次の よう に定義 される｡

‑n.5‑声 (n‑2,･･･;S‑11,‑,n‑1) な らば,最小二乗準仁 であるo mn,S=㌃二三〔il二11｢ 1(n‑2････;S‑1,･･･,n‑1)ならば,シヤープ レイ値であるo

2s

mn･S=両司 (!l二汗l(^{n‑2,;∫‑1,…,〟‑1)}な らば,ニュー値 である｡

これ らと関連す る本稿 で扱 う解 を定義す る｡ 関連 してい るこ とを示す ため

｢擬｣ をつ けることにす る｡

重みm,i,S‑

(n‑1)27l2 仁 と呼ぶ ことにす る｡

重みm,l,S‑

(nll)(n‑S)

(n‑2,…;S‑1,…,n‑1) を持つ解 を,擬最小二乗準

〔;l二汗 l(n‑2,‑･;S‑1･･‑,n‑1)を持つ解 を,撹 シヤープ レイ値 と呼ぶ ことにす る｡

2β

重 みm ",S‑

2S

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n (n‑1)(n‑S)〔;l二王〕1(n‑2,...;S‑1,…,n‑1) を持 つ解 を, 擬 ニ ュ‑値 と呼ぶ こ とにす る｡

これ らは元 の解 の重 みを譲与 倍 して得 られた重 み を持つ解 であ る｡

3.縮 小 ゲ ー ム に よ る一 貫 性

元 のゲー ム(N,V)(lNl≧3)と利得 ベ ク トルx∈虎71が与 え られた時,縮小 ゲー ム(N‑(i),V･r)(vx:2Nl l)‑ 庚)を定義 す る｡ た だ し, vx(Q))‑0,vx(N‑(i))

‑V(N)‑xiであ る｡

G上の解fに対 して,縮小 ゲームの部分提携 の提携値Lf(S)(S⊂N‑ti),S≠田, N‑ (i))を適切 に定義 して,

fj(N,V)‑I,(N‑ti),uf(N･V))(vj∈N‑(i))

となる ように したいo す なわち,元 の ゲー ム (N,V)にお いて解fに よ り配分 さ れ た 利 得fl(N,V)を持 っ て 1人 の プ レ イ ヤー iが 退 出 し, 縮 小 ゲー ム (N‑(i),vf(N･V))が で きる｡退 出 しなか った プ レイヤーjBこ対 して,解 ′に よ り配 分 され る元 の ゲー ム にお け る利 得が N,V)が 縮 小 ゲー ム にお け る利 得 fj(N ‑ti),vf(Nv))と一致す る こ とを要求す るのが,縮小 ゲー ム に よる一貫性

であ る｡

縮小 ゲームに よる一貫性 を満 たせ ば,部分 と全体 を同 じよ うに扱 うこ とを意 味す るので,望 ま しい解 と解釈 され る｡ また,解 の差異 を縮小 ゲー ムの違 いで 表す試 みであ る｡

次 の ような形 の縮小 ゲームを考察す る｡

vx(S)‥‑五㌢ p,I,S∑ [kESV(SU(i川 k))‑xl]

･五㌢ (1‑毎 )lv(SU (i))‑xl]

十宝 呈 毎 V(S)十吉 (1‑P7l,S_k∈N‑SU) ∑_(i)^V(SUtk))

(Red)

ただ し,0≦^p,i,^S≦ 1であるo これは複数個の項か らなる凸結合で,次の よ うな確率的解釈が可能である｡

確率盲寺 で

確率誓 子 で

･ ア

〟

(1)確率 九 .Sで

(2)確率1‑p",Sで

(2)確率 1‑1,".Sで

縮小 ゲームの意味 :縮小 ゲーム (N‑(i),Lfr) において提携 S⊂N‑(i)は使 者 を通 じてプ レイヤーiに利得xiを与 える代 わ りに,ゲームに留 まって貰お うす る｡使者 (プ レイヤーkとす る) はプ レイヤーi以外 のn‑1人か らラ ン ダムに (すなわち,確率 吉 で)選ばれる｡ また,プ レイヤー 才を留 まらせ ようとする時に,(1)確率p n,∫で提携の人数 を変えることはで きない,または,

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(2)確率1‑^{P ,i,S}で提携 の人数 を1人増やす ことがで きる,の2つの可能性が ある｡

使者であるプ レイヤー kが提携Sに属す場合 (上図の上方 を参照),使者が 提携Sのメンバーなので提携Sの意向に積極的に従い,プ レイヤーiの説得 に 成功する｡従って, (1)提携の人数を増やすことができない場合,プレイヤーiに 留 まってもらう代わ りにプレイヤーkに退出 して もらい,提携SU(i)‑(A)を 形成 し,その結果 として提携SにV(SU(i)‑(A))‑xlの利得が残 る｡(2)提 携の人数 を1人増やす ことがで きる場合,提携SU(i)を形成することがで き, その結果 として提携 Sに V(SU(i))‑xlの利得が残 るo

使者であるプ レイヤーkが提携Sに属 さない場合 (上図の下方 を参照),使 者が提携Sのメンバーではないので提携Sの意向に従 う気がな く,プ レイヤーi の説得 に失敗 し, 自分 自身が提携 に参加す ることを希望す る｡従 って, (1)揺 携の人数 を増やす ことがで きない場合,提携Sの利得 は L'(S)の ままであるo

(2)提携の人数 を1人増やす ことがで きる場合,提携SU(k)が形成 され,そ の結果 として提携Sに u(SU(k))の利得が残 る｡

提携Sが得 る利得の期待値 を計算すれば上記の (Red)が得 られるo

p,i,Sとして次の3つの場合 を考察する : (i)p,l,S‑i,(ii)p,i,S‑器 空手 ,

n

数 を変えることはで きない,または,(2)提携の人数 を1人増やす ことがで きる, を決定するために,使者 とは独立に(N‑(i)またはNか ら)1人のプ レイヤー が選 ばれる｡選 ばれたプ レイヤーが等確率で (1)または(2)を選ぶ場合が (i)で あ る.選 ばれた人が提携Sに属 さなければ (1)を選 び,提携Sに属せ ば(2)を 選 ぶ場合 が (ii)と(iii)であ る｡ (ii)で はプ レイヤーiは考慮 の対象外である.

(iii)ではプレイヤーiも考慮の対象に含 まれ,プレイヤーiが選ばれた場合 は(2) を選ぶ｡

(i)の場合が擬最小二乗準仁, (ii)の場合が擬 シヤープ レイ値, (iii)の場合が 擬ニュー値 に対す る縮小ゲームである｡

さらに, 2人ゲームにおける標準性 を次の ように定義する｡

2人ゲームにおける標準性 :C上 の解 ′は次 を満 たす時, 2人ゲームにおけ る標準性 を満たす, といわれる｡

/(くわ),〟)= V((i,j))‑V((i))‑V(t7')) V((i,j))‑V((i))‑V(t7'))

次の定理が成 り立つ : 定理 : (証明は補遺 を参照｡)

(1)擬最小二乗準仁 は2人ゲームにおける標準性 を満 た し,p,l,S‑Ⅰ である (Red)で与 えられた縮小 ゲームに対 して縮小ゲームによる一貫性 を満たす 唯‑の解である｡

(2)擬 シヤープ レイ値 は2人ゲームにおける標準性 を満た し,p,i,S ‑ 器崇

である (Red)で与 え られた縮小 ゲームに対 して縮小 ゲームによる一貫性 を 滴たす唯‑の解である｡

(3)擬 ニュー値 は2人ゲームにおける標準性 を満 た し,p ,l,5‑‑竺二n仁^{Ⅰ であ}

る (Red)で与 え られた縮小ゲームに対 して縮小ゲームによる一貫性 を満た す唯一の解 であるO

命題 : (証明は補遺 を参照｡)

擬最小二乗準仁,擬 シヤープ レイ値,擬 ニュー値 は次に示す ように元の値 と 全体提携値の均等割 りの凸結合である｡ただ し,′で元の値,′*で擬値 を示す｡

)7‑i 7[

この命題 よ り〆 (N,V)‑I,*(N,V)‑譲与 vl(N,V)‑fj(N,V))(∀i∈N)･と な り,擬値では元の値 よりもプ レイヤー間の配分の (大小関係 は変わ らないが) 差が小 さく 〔吉 倍 に〕なるo

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4.数 値 例 次の4人ゲームを考察す る｡

V(3)‑ V(13)‑10,V(4)‑ V(14)‑20, が(23)‑〟(123)‑15,〟(24)‑〟(124)‑25, が(34)‑〟(134)‑〟(234)‑〟(1234)‑30, V(S)‑^{Oforothers(⊂(1,2,3,4)).}

各値 を求めると次の表の ようになる｡

プレイヤー1 プレイヤー2 プレイヤー3 プレイヤー4 最小二乗準仁 ‑0.63 1.88 9.38 19.38 シヤープレイ 0 1.67 9.17 19.16 ニュー億 4.86 5.42 8.19 ll.53 擬最小二乗準仁 4.79 5.63 8.13 ll.46 擬シヤープレイ値 5.00 5.56 8.06 ll.39

プ レイヤー1, 2,3,4の順 に配分量が多 くなる｡ しか しその差 は,命題 の後で述べ たように,元の値 よ りも擬値の方が小 さい｡

例 えば, このゲームの縮小ゲームの評価 として(ii)p,i,S‑器 呈 のケース が安当 と判断で きるな らば,擬 シヤープ レイ値 を解 として採用すれば良い｡

5.^{終 わ り に}

縮小ゲームによる一貫性 に関す る従来の研究では,｢先 に考察す る解があ り, その後その解が縮小 ゲームによる一貫性 を満 たす ように縮小 ゲームを構 成す る｡｣ とい う方向であった｡本稿ではこの方向を逆 に し,確率的解釈が可能で あ る縮小 ゲーム を与 え,その縮小 ゲー ムに よる一貫性 を満 たす解 を求 めた｡

(Red)で与 え られる縮小ゲームは本稿で述べたような確率的解釈が可能であ

り, この縮小ゲームに対 して一貫性 を満たすのが,擬最小二乗準仁,擬 シヤー プ レイ値,擬ニュー値であった｡これ らの擬値 は,従来注 目されていなかった｡

貧富の差がだんだん広が り,そのために社会不安が増大する現代 において,元 の値 よ りもプ レイヤー間の格差 を小 さくする擬値 は意味のある解 と思われる｡

6.補 遺 定理 と命題の証明を行 う｡

定理 :

Namekata&DriessenのLemma7,8,9よ り,

‑,I,1‑‑nll,1芸子 p,l,1,

mn,S‑ m,i‑1了 崇 チ p,Z,S･‑,i‑1,S‑1‡壬 (1‑毎 11)fors‑2,･･･,n‑2,

‑,i,,l‑1‑‑,ill,"‑2崇 (1‑9,i,,l‑2)･

が成 り立つ ことを示せばよい｡代入 して右辺 を計算 し,左辺 に等 しくなること を示す｡

(1) 仇,〜,∫‑ (n‑1)2'l2(n‑2,･･･;S‑1,..･,n‑1),P".S‑Ⅰ を代入すると, l n12 1 1

‑,,‑1,S完 ≡子 9,2,S･m"‑1,S‑1三^{三 (119",S‑}1)

1 1 n‑sl1 n‑2 27l‑3 n‑1

1 1

オ二十ダ ニ喜= m,lps

1 sll 1 i. ∴ :･.L･:.. I.三

=mlt.1

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‑nll,,I‑2芸子 (1‑9",,I‑2)‑ となる｡

(2) m,2,S‑ (n‑1)(n‑S)

1 n121 1 (n‑2)2" 3n‑12 (a‑1)27l 2

〔sn 二 11 ) Al(n‑2,‑ ･;S ‑ 1 ,‑･,n‑1,, 9,i,S

‑

を代入すると,

‑ , i l l , 1 芸 子

〔 n J t

‑ , i ‑ 1 了 崇

, 〜 , S

, i ‑ i , S ‑

(

( n

‑ s l

)

=mn,12‑1

n 〝 ‑ ‑ s l 1 l

1

て秤 =m7l,1

‑,i‑1,7l‑2芸子 (1‑P,I,,l‑2)‑

て 忘 〔 ; … 二 3 2 )

1

て秤 =m,i,7l‑1 となる｡

(3)肌,〜,∫‑

n ( n ‑ 1

)

( n

を代入すると,

‑ ,i‑1,1崇 p,i,1‑ 2

n(n‑1)2=m72,1

〔sn 二 王 〕 Jl(a‑2,･‑;S‑ 1,･･･,n‑ 1,, 9,i,S‑ 誓

‑¹ⁿ‑2n‑2

(n‑1)(n‑2)2:J工,I‑':^{.::∵ メ′}

m,i‑1了 崇手 9,i,S･mn‑1,S‑1ま壬 (1‑毎 一1)

2S

(n‑1)(n‑2)(n‑S‑1)_〔:l二汗 1

n‑S‑1 n‑S‑1

Jl‑1 /I

2(∫‑1)2 (nll)(n12)(n‑S) n(nll)(n‑S)_〔;l二11)

(̲;11=22ド 1示 ㍉

=mll,S

‑,i‑i,,l‑2芸子 (1‑P,i,n‑2)‑

2

両 =m",7111

となる｡

2(n12)

(n‑1)(n‑2) 〔;…二三〕

ln‑2 72‑1 )I‑1 JJ

命題 : 1

元の値の重み m を,擬値の重み を m*とお くと,m*,l･S‑‑㌃7 m,i,Sであった｡

これ よ り,

n Sz∈S⊂N

S

S≠N

S

JJ‑1 JJ

L . い 7 才

JJ‑1 JJ

となる｡

I_Sl∈^{∑ m,}_S⊂N^{i,SV(S)‑ ∑}_SS⊂N^{‡ m,}i,SV(S)

S≠N S≠OJV

参 考 文 献

Namekata,T.andDriessen,T.S,H.ReducedGamePropertyofLinearValueswith EqualTreatmentProperty.In■̀OperationsResearch/ManagementScienceAt Work",KluwerAcademicPublisllerS2002;317‑332

Ruiz,L.M.,Valenciano,F.andZarzuelo,J.M.TheLeastSquarePrenucleolusand theLeastSquareNucleolus.TwoValuesforTUGamesBasedontheExcess Vector.InternationalJournalofGameTheory1996;25:113‑134

Ruiz,L.M"Valenciano,F.andZarzuelo,J.M.TheFamilyofLeastSquareValues

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forTransferableUtilityGames.GamesandEconomicBehavior1998;24:109‑130 行方常幸 ｢ニ ュー値 (提携形ゲームの解)の確率的解釈 について｣小樽歯科大学 『商

学討究』(2005)第56巻第2･3合併号 :33‑40

行方常幸 ｢団結値 (提携 形 ゲー ムの解) の縮小 ゲームに よる一貫性 につ いて｣小樽 商科大学 『商学討究』(2006)第57巻第2･3合併号 :25‑32