最 適 プ ロ グ ラ ム計 画 の た め の 価 格 下 限 の 決 定(2) 河 野 二 男

最 適 プ ロ グ ラ ム計 画 の た め の 価 格 下 限 の 決 定(2)

河 野 二 男

目 次

V一 定 の設備能 力 の場合 の最 適 プ ログラム計 画 WLPの 双対問題 の経営経済 学的意義

W計 画計算 と機会原 価

V‑一 定 の 設 備 能 力 の場 合 の 最 適 プ ログ ラ ム計 画

限 界 計 画 原 価 計 算 お よ び 補 償 貢 献 額 計 算 の 重 要 な 課 題 は,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 決 定 の た め に 必 要 な 限 界 原 価 を 継 続 的 に 利 用 す る こ と で あ る 。 しか し,計 画 期 間 の 計 画 さ れ た 限 界 原 価 お よ び 限 界 利 益 は 経 営 製 品 の 販 売 数 量 並 び に 販 売 価 格 に 依 存 す る 。 そ こ で 先 ず 次 の 前 提 を お い て,第1表 の 限 界 利 益 分 析 の 数 字 例 を 隆 路 負 荷 の 単 位 に 関 連 して 利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 設 定 に つ い て 検 討 す る 。

1.販 売 価 格 は 市 場 に よ っ て 決 定 さ れ,一 定 の 限 界 内 で 販 売 数 量 に 依 存 し な い 。 2.計 画 期 間 内 で 半 製 品 ・仕 掛 品 の 在 庫 変 動 は な い とみ な す 。

3.た だ 一 つ の 設 備 能 力 隆 路 が 作 用 す る と い う仮 定 の も と で,生 産 プ ロ グ ラ ム の 利 益 最 大 の 構 成 が 非 同 時 的 方 法 に よ っ て 決 定 され る 。

こ の 前 提 の も と で,15製 品 種 類 の 販 売 数 量 が 任 意 で あ る と 仮 定 す れ ば,阻 路 負 荷 の 単 位 当 り限 界 利 益 の 最 も 高 い 製 品 種 類204(0.83DM/分)を 生 産 す る こ と が 最 有 利 で あ

る 。

隆 路 原 価 部 門5の 設 備 能 力 が.全 体 と し て379,350分/月 と な る た め,製 品 種 類204 に つ い て 最 大 限379,350分/月 ÷4.20分/単 位=90,321単 位/月 が 生 産 可 能 で あ る。 こ の 場 合 に,限 界 利 益 は90,321単 位/月 ×3.50DM/単 位=316,124DM/月 に な り,こ の

1969年4月30日 受 領

第1表 隆路 負荷 の単位 当 り限 界利益分析 の実 例 製 品 種 類

グ ル ナ ソ

ー フ ノ、一

販売数量

隆 路 に おけ る 生 産 時 間

分/矧 分

実 際 補 償 貢 献 額

DMP撫IDM/分

順 位

難 騰

1レ13 4 5 6 7 8 911・

10

34三﹂

6803 7724 5620

2103 6531

OOOOO7・Q/5ζ)8

くげくり6内18 0864︑4.り∠ハ∠321

976 155 530 075 546

037Q!く)111

414 792 310 694 984

30/82288006

2︽∠333 0970154444.

00000 3290くμ‑且‑1 9014.31111

小 訓(18,935)1‑‑H'i124,28・157'1941…21・ …1213

20

2,680 3,725 4,130 1,225

3.80 3.80 4.10 4.20

10,184 14,155 16,933 5,145

6,968 10,505 12,018 4,288

0210∠0∩δQノぼ﹂

つ血2(∠弓δ

0.68 0.74 0.71 0.83

54.16111 4.凸∠っδ‑

ノ 」、 言十(11,760) 一146 .417133'77gl2・8・1・ ・73 311

30

5820 1106 5377 1455 1602 1103

000000Qノー5550

56!07801 4・78881334313

338 271 991 588 360 100

89Q/28111⊥り∠21

624 858 847 381 424 631

056504︑弓∠2Q/3Qノ房1弓δ33433 4︑31867くゾく)6くソ43

000000 872134 ワ♂85102くゴー‑

小 計1(29,882)1‑i2・S・64Sll1・ ・76513・71i・ ・53

合 計1(6・,577)■379,34712・1.738i3・331・ ・531■ 一

限 界 利 益 は 第1表 で 示 さ れ た 生 産 プ ロ グ ラ ム構 成 の 場 合 の 限 界 利 益 よ り56.7%大 き く な る 。

販 売 指 導 に よ っ て 第2表 の 第2欄 に 表 わ さ れ た よ うな 最 高 必 要 販 売 数 量 が 決 定 さ れ, さ らに た だ 一 つ の 設 備 能 力 隆 路 の み が 存 在 す る と 仮 定 す る な らば,第2表 の よ うに 隙 路 給 付 単 位 当 り限 界 利 益 の大 き い1頂序 で15製 品 種 類 を 並 べ る こ と が で き る 。 最 高 必 要 販 売 数 量 を 当 該 単 位 当 り基 準 量 に 順 次 乗 ず れ ば,こ の 表 の 第8欄 に 累 積 表 示 し た 操 業 時 間 が 算 定 さ れ る 。 製 品204か ら103ま で 最 高 必 要 販 売 数 量 が 生 産 さ れ る と す れ ば,操 業 時 間 は351,180分/月 に な る 。 こ の 操 業 時 間 を 隆 路 部 門5の 設 備 能 力379,350分/月 か ら 差 引 くな らば 残 余 設 備 能 力28,170分/月 が 算 出 さ れ る 。 こ の 残 余 設 備 能 力 は 製 品103の

次 ぎ に 単 位 当 り限 界 利 益 の 高 い 製 品305の 生 産 の た め に 使 用 さ れ る こ と に な る 。 こ の た

め,製 品 種 類305が3,314単 位/月(28,170分/月 ÷8.50分/単 位)生 産 可 能 と な り,こ

第2表 一 設備能力陞 路の場 合 の利益最大 生産 プログラムの決定 の実 例

品

製

バ ン ナ

1 204 202 203 201 303 304 301 302 101 102 103 305 305 105 104 306

最高必要 販売数量

補 償 貢 献 額 DM/分

2 3

0003 6004 6004 5003 2008 3006 0006 4007 5004 0006 2007 3143

(4,000) (3,500) (4,000) (4,500)

合 訓

341818430976877665555444000000000000 10ツ・4・4・3

000

D蟹

位lDM

4 5

021065053980589693228809322234332233 224.607・

333 02392794272211132121121

500 972 386 100 472 405 200 050 735 340 176 925

一 レ14 ,261

隆 路 の 設 備 能 力 要 求

分/戦1 分1(累 分積)

6 7 8

000000000000288855917955

434367565568

8.80 7.50 10.00

278337555568111154342342

600 480 860 300 300 250 400 140 650 400 800 170

■379・35・

12 30 48 62 115 162 198 243 268 304 351 379

600 080 940 240 540 790 190 330 980 380 180 350

379,350

の 製 品 の 最 高 必 要 販 売 数 量686単 位/月 だ け 増 加 す る こ と に な る 。 製 品 種 類105,104と

(】)

306と は 利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム に 入 らな い 。

した が って,こ の 生 産 プ ロ グ ラ ム に よ っ て 最 大 達 成 可 能 な 限 界 利 益 は214,261DM/月 で あ る こ と が 明 らか と な る 。 こ の 値 い は 専 ら最 有 利 な 製 品204が 生 産 され 販 売 さ れ る場 合 に 発 生 す る 限 界 利 益 の67.8%に す ぎ な い がJし か し,こ の214,261DM/月 の 限 界 利 益 は 第1表 に 表 示 され た 最 適 で な い 生 産 プ ロ グ ラ ム 構 成 の 場 合 の 限 界 利 益 に 比 べ る と 6.2%大 で あ る こ と が 明 らか で あ る 。

次 に,若 干 の 設 備 能 力 隙 路 が 予 期 され る 場 合 に つ い て 考 察 す る 。 こ の 場 合 の 利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム は 数 学 的 プ ロ グ ラ ミン グ を 用 い て 同 時 的 に 決 定 す る こ と が 出 来 る の で あ る が,販 売 価 格 一 定 の 前 提 の も とで は 利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 決 定 の た め に は,多 く の 場 合 に リ ニ ア ・ プ ロ グ ラ ミソ グを 用 い る こ と で 十 分 で あ る 。 しか し,こ の 方 法 は す べ て の 製 品 の 限 界 原 価 が 認 識 さ れ て い る場 合 に の み 適 用 で き る 点 に 注 意 す べ きで あ る 。 こ

(1)生 産 部門5の み が隆 路'にな る 限 り,LPを 用 いて 第2表 の第2欄 に示 され た 製 品 種 類204か ら305ま で の 生 産 数 量 が

が算 出 され る。

れ に 関 連 し て ハ ツ ク ス(H・Hax)は 数 学 的 プ ロ グ ラ ミ ン グ の 利 用 の 前 提 に つ い て.「 と くに 原 価 計 算 に お い て 固 定 費 と 比 例 費 と を 厳 密 に 区 分 す る こ と が 必 要 で あ る 。 直 接 原 価 計 算 の よ う な こ の 分 割 を 行 な う原 価 計 算 方 法 は 数 学 的 プ ロ グ ラ ミ ン グ の 利 用 の た め の 準

(2)

備 で あ る 」 と 述 べ て い る 。"

す べ て の リ ニ ア ・プ ロ グ ラ ム 計 算 は 目 的 関 数 と若 干 の 制 限 ま た は 副 次 的 条 件 か ら な (3)

る 。 そ こ で,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 決 定 に 先 立 っ て,そ の 目的 関 数 が 問 題 で あ る が,こ れ は 限 界 原 価 計 算 に 基 づ く販 売 費 処 理 の 利 益 等 式 に 等 し い 。

れ  

G=ΣXαi.(Pi‑K、t(;n))一 一 ΣF」(P)(10 iニ1j=1

この際,設 備能 カー定 と仮定 す るために 利益 最大 生産 プログラムの決定に は固定 費を 顧慮 す る必要は ない。 ここで重 要な副次的 条件 と して,利 益 最大生産 数量は経営 部分領 域 の設 備能 力 よ り大 きい実際基 準量に基づ くべ きで ない。 この制限 は設備能 力制限 と呼 ばれ てい る。 これ は実際 基準量 決定 のための 等式 で あ る わ ④=Σbi(P)渇 ω を量的設備

i=・1(4)

能 力B」 の 当 該 規 範 量(MaBgr6Ben)に 比 較 す る こ と に よ っ て 公 式 化 され る(月 々 の 実

(「o)

際 数 量 をXi(i),x2(?t),…,x,・ ・(o,単 位 当 り 計 画 基 準 量 をb、(P),b,(P),…,bn(P)で 表 わ す)。

さ ら に 副 次 的 条 件 と し て,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 決 定 の た め の 計 算 に 対 し て は,一 定 の 最 高 数 量XUを 越 え る べ き で な い と い う販 売 制 限 が 必 要 で あ る 。 ま た,販 売 制 限 と

(2)Vg量.H.Hax,DieBestimmungvonPreisuntergrenzenbeiZuSatzauftragen,in:SteigendeKosten・Sinkende Zuwachsraten‑Verseh5rfterWettbewerb,Hrsg.DeutscheGesellschaftfilrBetriebswirtschaft,Berlin,1963 3,S.324.,

次 の 筆 者 も 数 学 的 プ ロ グ ラ ミ ン グ の 利 用 の た め の 限 界 原 価 の 意 義 に つ い て 述 べ て い る 。 E.Gau,HandbuchderpraktischenBetriebsabr㏄bnung,Stuttgar亡1965,S.144.,

C.Gillespie,StandardandDirectCosting,3、AufL,EnglewoodCliffs,N.J.,1962,S.146., H.Gunders,BetterProfitPlanning,NAA‑Bulletin,1965,Section1,S.9.,

R.Hofmann,GewinnoptimaleUnternehmungssteuerungbeigegebenemProduktions・urlAbsatzprogramm, Winterthur1962,S.81"

C.T.Hongren,CostAccounting,AManagerialEmphasis,3.Aufl.,EnglewoOdCliffs,N.J.,1963,S.772., W.Kilger,DerheutigeStandderGrenzplankostenrechnung,AGPLAN,Bg.6,Wiesbaden、1962,S.68., W.Kilger,KurzfristigeErfolgsrechnllng,Wiesbaden,1962,S.102ff.,

K.Mel]erowicz,Planu㎎undPlankostenrechnungBd.1,BetrieblichePlanung,Freiburg,1961,S.216., H.G。Plaut.UnternehmenssteuerungmitHilfederVoll・oderGrenzplankostenrechnung,ZfB,1961,S.473., H.G.Plaut,PlanungsreehnungimVerwaltungs・undVertriebs㎏reich,AGPLAN,Bd.8.,Wiesbaden,1964, S.36.,.

MMedicke,DerMythosvohdenfixenKostenunddiebetriebsw'irtschaftiicheLeistungs・Abrechnung,Eine kritseheBetrachtungzumgleichnamigenAufsatzvonDr.E.Sonnefeld,ZfB,1963,S.106.,

FWi1監e,Plan・undStandardkostenrechnung,2,Anfl.,Essen,1963,S.140,, MWoitschaeh,M6glichkeitenundGrenzenderDeckungsbeitragsrechnung,DB,1963,S.3u.4., (3)Vgl.G.B.Dantzig,LineareProgrammierungundErweiterungen,1966.,

W.Krdle.H.P.KUnzi,LineareProgrammierung,Zurich,1958.

(4}計 画 期 間 内 に お い て 、 材 料 数 量,熟 練 工 作 業 時 間.エ ネ ル ギ ー そ の 他 の 要 素 量 が 制 限 さ れ る と す る な ら ば 。 こ れ

に 応 じ た 要 素 投 入 制 限 に 対 し て も 公 式 で 表 わ し う る 。 け れ ど も,こ こ で は 設 備 能 力 制 限 に 限 定 す る 。 (5}Vgl:T.PaulssonFrenckner,BestimmungdesProduktionsprogrammsalsAnwendungsbeispielderLinear・

pl・ ・u・ 翫Z砿 欄 ・S・565ff・l

H.Hax,LinearePlanungsrechnungundSimplex・MethodealsInstrumentebetriebswirtsehaftlicherPlanung,

ZfhF,1960,S.578ff.

しては品種組 合せ と最 低必要 販売数 量 とが一 定 の供給 義務 として問題 となるが,最 低必 要販売数量 は,場 合 に よっては,そ れ に応 じた操業度 に まで設 備能 力を縮少 す るこ とが 可能で,か くて維持 され る残存 設備能 力に よって生産 プ ログ ラムの利益 最大 の構成 が な され る。 したが って,利 益最大 の生産 プ ログ ラム決定 のため の リニア ・プログラ ミング

(5)

と し て 次 の 関 数 が え られ る 。

a)G=Σ(Pε 一si)Xi‑→ 最 大!

ε=1 れ

b)Bj≧5:]btjX'i(ブ=1,2,...,n)

i=.1

c)X石rε ≧Xi(ゼ=1,2,■ ■.,n)

d)0≦Xε(i=1,2,…,71)

(18)

⑱ 式 に お い て,設 備 能 力 の 制 限 の シ ュ ル プ フ 変 数 が 零 で あ る な らば,当 該 経 営 部 分 領 域 が 隆 路 で あ る 。 そ の 値 が 正 で あ る な らば,利 益 最 大 生 産 数 量 の 生 産 に 際 し て 未 利 用 の 設 備 能 力 が 残 る。 ま た,販 売 制 限 の シ ュ ル プ フ 変 数 が 零 で あ る な ら ば,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム に お い て 当 該 製 品 の 最 高 可 能 な 販 売 数 量 が 生 産 さ れ るべ き で あ る 。 そ の 値 が 正 で あ る な らば,当 該 製 品 に 対 す る 利 益 最 大 数 量 は 最 高 必 要 販 売 数 量 以 下 に な る 。

利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 数 字 的 決 定 の た め に は,リ ニ ア ・プ ロ グ ラ ム を イ ニ シ ア ル ・マ ト リ ッ ク ス で 表 わ す こ と が 必 要 で,そ の た め に 第3表 を 作 成 す る 。 こ の 表 に お け る 製 品 種 類,単 位 当 り限 界 利 益,単 位 当 り基 準 量 お よび 最 高 必 要 販 売 数 量 は 第1表,第 2表 に 基 づ い て い る 。 そ の 際 に,1か ら15ま で の 数 は 製 品 数 量Xl,X2…,Xlsの 係 数 を 意 味 し,第3行 は 目的 関 数 の 係 数 と して の 限 界 利 益 を 表 わ し て い る 。 続 く8行 は 製 品 単 位 当 り基 準 量 と 設 備 能 力 と が 示 され て お り,そ れ を 途 中 マ ト リ ッ ク ス と い う。 途 中 マ ト リ ッ ク ス に 示 さ れ た 製 品 単 位 当 り基 準 量 は 計 画 計 算 の 設 定 や 実 際 基 準 量 の 把 握 の た め に 必 要 と さ れ た も の に 等 し い 。 第3表 に 示 さ れ て い る設 備 能 力 は,一 設 備 能 力 隙 路 を 前 提 と す る 第2表 の そ れ と は 異 な つ た も の で あ る。 若 干 の 隆 路 の た め に,2・3の 部 門 の 設 備 能 力 が 低 く見 積 られ る 。

経 営 製 品 の 限 界 利 益 ま た は 補 償 貢 献 額 が,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 決 定 の た め に 如 何 な る意 義 が あ るか を リニ ア ・プ ロ グ ラ ミン グ を 用 い て 明 確 に す る の で あ る が,こ の 際 に シ ン プ レク ス 法 を 用 い る。

ま ず 最 初 に,販 売 制 限 を 顧 慮 し な い と い う前 提 か ら出 発 す る 。 イ ニ シ ア ル ・マ ト リ ッ

ク ス か ら第1基 定 解 を 導 くに 際 して,通 常,目 的 関 数 の 中 で そ の 係 数 が 最 大 で あ る よ う

第3表 利益最大 生産 プログラム決定 のための

製 品 ナ ン バ

i1・111・21・311・ ・11・512・1

継 続 ナ ン パ ー ^{1 2 3 4 5 6}

目 的 関 数12・S312・893・ ・813…13・62レ ・6・

設 備 能 力 制 限

販

ご藍ゴク

旺 希

限

雛 陣位騨 制

12345678 L五

分 分 ㎏ 詳 分 分 分 聯

170 135 40 75 379

102 125 90

500 500 000 400 350 000 000 000

﹀=﹀=﹀=≧[﹀=﹀鷲≧⁝﹀=

雛1戦 数 量

123451234123456000000000000000111112222333333

追 加 注 文

単位

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

〃

単位

〃

5004 0006 2007 0004 5003 5003 6004 0004 3000

費 000

忌 400 200

2 300 ⁰⁰⁰ 5004 2,500 3,200

﹀=﹀=﹀=﹀=﹀=﹀=﹀=﹀=﹀=﹀溜﹀=﹀謹﹀=﹀=﹀=

≧

1.00

000000008371962012015121

1.00

000000000371582022016121

1.00

409080505000200021017221

1.00

005080508000⑳00

32018321 0000000051378880

21003i11

1.00

1.00

な製品種類 を選 択す る。生産の 当初 では設備能 力隆路が 作用 しない ために,限 界利益 ま たは補償貢献 額に基づ いて生産が行 なわれ る。 生産 プログラムに取 り入れ られ る製品種 類 をPで 表 わす 。 第3表 で は製 品種類304が 第1計 算段階 では 生産 プ ログラムに取 り

入れ られ る。

次 の計算段階 では,設 備能 力制 限 を顧慮 して 製品種類 ρ が如何 ほ ど最大 に生 産 され

うるかを算定 しなければ な らな い。 そ こで,す べ ての部分設備能 力を 製品種類 少 の単

位 当 り当該基 準量で割 る。 これに よつ て算定 され た最 低値は,製 品種 類 力 のみ を生産

す る場 合に製 品 単位Xpが どれ ほ ど生産 され うるかを示 す もので あ る。 この際に,あ る

標 準 計 算 の イ ニ シ ア ル ・マ ト リ ッ ク ス の 例

2・212・312・413・1i3・2i3・313・4 3・513・6

7 8 9 1011 12 13 14 15

2・82レ ・9113・5・13・2・

3Dn307580㈲8000

31003211

1.00

0000000052391450

42004221

1.00

0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 3 9 2 0 5 0 6 2 0 0 4 3 2 1

1.00

000000002983919021015101

1.00

3.25

0000000033621290

22016101

1.00

3・9614・35

0000000037615300

22016111

1.oo

000000003750550022017111

1.00

1 ^3.903.74

0000000007305090

斗2018211 0000000050380510430001211

1.00

1.00

追 加 注 文

16 17

3.751.35

000000005878230080004121

1.00

170 080 100 110 350 11〔 〕 320 100

1.oo

生産部門 が隙 路 とな るとすればそれ をEで 表 わ し,隆 路に なる部門 の行は製品種 類P

に対 す る最終 行 と して選択 され る。 この行 の新 しい係数 を δ岨 で表わす 。 この δ 切 は この行 の従来 の係数 う̀〃を,生 産すべ き製品種 類 の基 準量 δ 圃 で割 ることに よつ て算 定 され る。

blm一 器(i‑1… … …)a・)

具 体 的 に は 第4表 で 認 識 さ れ る よ うに,製 品 種 類304が 最 大 限50,185単 位 生 産 され

る 。 す な わ ち,部 門2が 隙 路 に な る 。 設 備 能 力135,500を 単 位 当 り基 準 量2.70で 割 る

ことに よって 可能 な生産数量が 算定 され る。 すべ ての未利 用 の部門に対 して,製 品種 類 ρ につ いて 算定 した 最 高必要 生産数量 の生産に際 しなお残存 の設備能 力が算定 され

なければ な らない。そ こで,任 意 の部門 ブに たいす る残 存設備能 力をBノ で表 わせば, つ ぎの等 式が成 立す る。

i‑B」 一銑 ∂μ(ブ==1,2,...,m)en)

舞 は 生 麟 錨 蒔 帆 こ れ を 嫌 乗 ず る こ とに よ つ て 個 々 の 部 門 に お い て生産数量Xpに 応 ず る操 業度が算 出 され る。 ブ=Eで ある隆路 部門に おい ては残存 設 備能 力は零 に な る。等式 ⑳ か ら未 利用部門 の係数 も換 算 され る。

鵡+畿 い 一L2・ …・m)el)

bi」 の 値 は 第2マ ト リ ッ ク ス の 係 数 で ,i=Pの た め に し ぽ しば 零 に な る 。

第4表 利益最大 生産 プ ログラムの決定 のため のLPの 解 決方法 に おけ る隆路 決定 の例

作 業 過 劃 設 備 能 力 単位当 り基準量 可能な生産数量

12345678

170 135 40 75 379

102 125 90

500 500 000 400 350 000 000 000

3070500050500000

22017111

74 50 80 75 50 68 125 90

130 185 000 400 580 000 000 000

つ ぎの計算段階 は第1の 解がす でに最 適で あるか ど うか を吟味 す る ことであ る。製品 種 類Pt:最 終行 の係数 を当該補償 貢献額(Pp‑Ksp)に 乗 じ,そ の値を 目的 関数 の当該 係 数か ら差 引 く。 この際に,正 の値 を とるよ うな製 品種 類が 生産 プ ログラムに取 り入れ られ,逆 に負 の値 を とる製 品は排除 され る。 この関係 をつ ぎの よ うに表わ す ことが で き る。

δ 吻

(P'‑K・')一 爾(P・ ・‑K・ ・)≧0(i=1,2,… ・")en

こ れ を 変 形 し て,

Pi‑KsrP"‑K,η(1

,2,..・,n)㈱b

i.■J≧bpl,J

不 等 式 ㈱ か ら隆 路 負 荷 の 単 位 当 り限 界 利 益 分 析 が,第2マ ト リ ッ ク ス か ら第3マ ト リ ッ ク ス へ 推 移 す る こ と に よ っ て シ ン プ レ ク ス 基 準 に 相 応 す る ζ と が 認 識 さ れ る 。 こ れ は 一 製 品 種 類 の み が 生 産 さ れ る 第1解 の 場 合 に は

,一 一設 備 能 力 陞 路 の み が1乍用 す る と い う P乏一K8こ 場 合 で殊 したが って・ この経営 撫 こおいては シガ レクス聯 は 咋 一 砺 一 に 一 致 す る。

し た が っ て,シ ン プ レ ク ス 基 準 に よ っ て す べ て の 製 品 に 対 し て,製 品 種 類i(i=1,2,

…,の の 隆 路 負 荷 の 単 位 当 り機 会 原 価 確 ㈲ を 既 に 生 産 プ ロ グ ラ ム に 受 け 入 れ た 製 品 種 類Pの 機 会 原 価 恥 刃 と 比 較 す る 。 す な わ ち,こ れ はWtPJ>PVpmが 妥 当 す る 製 品 の み が プ ロ グ ラ ム に 受 け 入 れ られ る べ き で あ る こ と を 意 味 す る も の で あ る 。 第3表 の 数 字 例 を 用 い て,販 売 制 限 を 顧 慮 しな い と す れ ば 第5表 の よ う な 解 を う る こ と が 出 来 る 。

第5表 販 売制 限を顧慮 しない場合 の最 適解

製 品 種 類

1

134000︽∠3つ0

合

ニ ゴ ロ

製 品 数 量 単 位

2

25,125 15,734 2斗,206

限 界 利 益

DM/単 位

3

2。60 3.96 4.35

DM 4 65,325 62,342 105,296 232,963

第5表 は,15製 品 種 類 の うち で 製 品 種 類201,303と304の み が 最 適 解 と な り,こ れ ら の 製 品 に よつ て232,963DMの 限 界 利 益 を 達 成 す る こ とが で き る こ と を 表 わ し て い る 。 つ ぎ に,最 適 解 に 相 応 す る 操 業 度 を 算 定 し こ れ を 現 存 設 備 能 力 か ら控 除 す る 。 自 由 設 備 能 力 は シ ソ プ レ ク ス 法 を 用 い る 場 合 に は シ ユ ル プ フ変 数 に 対 す る 解 と して 算 出 さ れ る 。 第6表 の 最 下 行 で 明 らか な よ うに 部 門2,5と6と が 隆 路 と な る が,こ の 場 合 に 販 売 制 限 は な い も の と し設 備 能 力 制 限 の み を 顧 慮 す る か ら,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム 決 定 の た め に 製 品 種 類 の 数 は つ ね に 設 備 能 力 駐 路 の 数 に 一 致 す る こ と に な る 。

しか し,通 常 の 生 産 計 画 の 実 際 例 で は,販 売 の た め に 予 見 さ れ る 製 品 種 類 の 数 は 隆 路 に な る 生 産 部 門 の 数 よ り大 で あ る の で,多 くの 場 合 に 最 適 解 の た め に は,販 売 経 済 的 観

⑥ 唯 一 の隆 路 の場 合 に対 して の み 利 用 され る 隆 路負 荷 の単 位 当 り限 界利 益 分 析 は,個 々 の製 品 な い し製 品 グル ー プ

の補 償 貢 献 額 を隙 路 の 当該 基準 量 で割 る方 法 を と る。 この 式 で,任 意 の製 品種 類 匡 の販 売 価 格 をPi計 画 限 界

原 価 を κsiと し.さ ら に隆路 負 荷 の単 位 をbEiと す れ は㍉ この製 品 の利 益規 範 値Wiが え られ る。

第6表3表 の解 の設備能力管理(販 売制限 を顧慮 しないで)

製 ^品

知 隊 量

201 303 304

25,125 15,743 24,206

部 門1

分細 分

部 門2

分鯉 分

00053ハ﹂弓乙弓∠2

62,8131.10 36,2092.70 55,6742.70

27,638 42,506 65,356

部 門3 kg鮒kg

。.3・17,538 0.609,446 0.5012,103

部 門4

㎡謝 ㎡

0.75 1.10 1。00

18,844 17,317 24v206

操 業

129,・ ・71 16・ ・36・

設 備 能 刺

i17・,5・ ・ 1135,5・ ・1 i4・,…i レ5,…

舳 設備倉 訓 ^{15・80㌔ 1}

■

1・,9131 15,033

製 ^品

支判 数 量

20125,125 303115,743 304124・206

部 門5

分鮒 分

3.80

1:18

95,475 102,330 181,545

部 門6

分翻 分

1.80 1.30 1.50

45,225 20,466 36,309

部 門7

分鮒 分

1.80 1.00 1.00

45,225 15,743 24,206

部 門8 11単 位

1.00 1.00 1.00

25,125 15,743 24,206

操 業

1379,35・t 11・ ・,… iS5,・741 165・ ・74

力

ヒヒム日け

卜 H 開

設

1379,35・ ii・2,…i 11・5,…i i9・,…

舳 設備能力i

‑ ﹁

39,・ ・61 [24,926

点 か ら代 替 しえ な い 品 種 限 界 を 考 慮 し な け れ ば な ら な い 。 こ の た め,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム 決 定 の た め の 計 算 は 当 然,販 売 制 限 を 考 慮 し て そ の 最 適 解 を 求 め る こ とが 通 常 と さ れ な け れ ば な ら な い 。 した が っ て,第3表 に 示 した 例 に よ っ て 販 売 制 限 を 顧 慮 し た 最 適 解 を 算 出 表 示 した の が 第7表 で あ る 。

これ に よ れ ば,製 品 種 類201,303と が 最 高 必 要 販 売 数 量 に 相 応 す る 最 適 解 で あ る 。 しか し,販 売 制 限 の た め に さ ら に 新 製 品 種 類 が 最 適 生 産 プ ロ グ ラ ム に 取 り入 れ られ ね ば な ら な い が,も ち ろ ん 製 品 種 類105,203と306と は 最 適 解 に 含 め られ な い 。 全 体 の 限 界 利 益 は207,!81DMで あ つ て,販 売 制 限 を 顧 慮 い な い で 達 成 さ れ る べ き 限 界 利 益 の89

%で あ る 。 こ の 結 果 か ら 追 加 的 制 限 の た め に,達 成 さ れ る べ き最 大 利 益 が 減 少 す る こ と が 明 らか で あ る 。

第8表 は,部 門1か ら8ま で の最 適 製 品 数 量 に 相 応 す る 操 業 度 を 算 定 し,そ れ を 当 該 設 備 能 力 と比 較 した も の で あ る 。 こ の 表 の 最 下 行 か ら認 識 さ れ る よ うに 部 門1,5と6

と が 隙 路 と な る 。

第7表3表 につ い ての解(販 売制 限を顧慮 して)

製 品 種 類

1

123451234123456000000000000000111112222333333

合 ^{二 ' 面 十}

製 ^品 数 量

最 適

2

4,500 3,212 7,200 3,988

3。500 4,600

2,899 6,000 7,400 8,200 6,300 4,000

最 大

3

000000000000000000000000000000502055660042305467433443678644

残 額

1 ⁴

2.788 12 3,500

4.600 101

4,500

限 界 利 益 DM/単 位 DM

i ⁵

398220210056504880066895229397223332223333433

6

12,735 9,282 22,176

12,043

9,100 12,972

10,1斗6 19,200 24,050 32,472 27,405 15,600

i ^207,181

第8表 3表 の解 の設備能 力管理(販 売制 限を顧慮 して)

製 ^品

ナ ン

ノミ・ 一

101 102 103 104 201 202 204 301 302 303 304 305

数 量

4,500 3,212 7,200 3.988 3,500 4,600 2,899 6,000 7,400 8,200 6,300 4,000

操 業

設 備 能 力 自由設備能力

部 門1

分鮒

1.60 1.80 2.00 2.40 2.50 3.50 6.00 2.20 2.30 2.30 2.30 4.00

分

7,200 5,781 14,400 9,571 8,750 16,100 17,394 13,200 17,020 18,860 14,490 16,000

i158・76S 170,500

11.732

部 門 ²

分鮒 分

2.10 2.30 2.30 1.90 1.10 1,10 2.50 1.90 2.30 2.70 2.70 2.70

9,450 7,387 16,560

7,576 3,850 5,060 7,247 11.400 17,020 22,140 17,()1() 10,800 135,500

部 門3

kg/

単 位 0.60 0.70 0.70 0.80 0,30 0.30 0.30 0.80 0.60 0.60 0.50 0.30

E

135.500 1 i

9k

2,700 2,248 5,040 3,190 1,050 1,380 1,015 4,800 4,440 4,920 3,150 1,200 35,133 40.000 4,867

部

㎡/}

単 位

日﹂戸

4

1.00 1.10 1.10 1.50 0.75 0.75 0.90 1.30 1.20 1.1() 1.00

1.00

㎡

4,500

3,533

7,920

5,982

2,625

3,450

2,609

7,800

8,880

9,020

6,300

4,000

66,619

75,400

8,781

製 ^品 夷と1数 量

101 102 103 104 201 202 204 301 302 303 304 305

5004 3212

2007 9883 5003 6004 8992 6000 7400 8200 6300

0004

部 門5

分/1 分

単 餌

000000000000795588291555556733456678 586937255374214211134543

650 950 800 910 300 480 175 400 140 300 250 000

部 門6

分載 分

000000000000468084012350111212311112 6527618680981111

300 139 960 976 300 040 697 600 880 660 450 000

部 門7

分鮒 分

000000000000222288599009222211200111 9758687568671

900 066 840 774 300 280 248 400 660 200 300 600

部 門8

1陣 位

oooooooooooooooooooooooo

111幽i⊥11111111

4500 3212 7200 3988 3500 4600 2899 6000 7400 8200 6,300 4,000

操 剰 _{1379,・551 11・2,…1}

161,799

設 備 能 刺 ^{379,350 102,000} _{1・ ・5,…1 19・,…}

自由設簾 力i _{【(・/・5)1} (・/・2)1 レ7,4321 ^28,201

MLPの 双 対 問 題 の 経 営 経 済 学 的 意 義

H・B6hmの 「標 準 限 界 価 格 計 算 」(Standard‑Grenzpreisrechnung)はLPの 双 対 問 題 か ら 出 発 し て い る の で あ る が,こ こ で,販 売 制 限 を 顧 慮 しな い と 仮 定 した 利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム 決 定 の た め に は,次 の 公 式 が 双 対 原 理 に よ つ て 求 め られ る 。

  あ

1:灘 詮講 ∵̲,④le4)

c)。 ≦W」 月(フ ー1,2,...m)1

伊ゴは設備能 力負荷 の単 位当 り機会原 価 であ り.こ れは既に駐路 負荷 の単 位当 り限 界 利益分 析や降路状態 に おけ る価格下限 の決定 に おいて用い た ものであ る。 この方法に よ れば経営経 済学的 にみ て,双 対原 理 の 目的 関数は経営 の部分設備能 力 のすべ ての機会原 価 の合計が最 小に な るべ きである と理解 され る。 この前提 の もとでのみ,現 存 の部分設 備能 力が経済的 に最 善に利 用 され,そ れが利益最大 生産 プ ログ ラムに相応 す る ことを意 味 す るので あ る。

生産 プ ログラムの最 適構成 は,数 学的 には 機会 原価 の最 小値Wmi・ が 限界利益 の最

(7)

大値Gm。xに 一致 しなければ な らない とい うことが証 明 され うる。 この事実は,経 済的 に双対 原理に よって最大 の限界利益が経 営 の部分設備 能力に配分 され ると理解 す る こと が で きる。 しか し,こ の際 に駐路部門 のみが顧慮 され,機 会原価は すべ ての未利用 の部 分設備能 力に対 しては零 で ある。

そ こで,公 式㈲ の副次的条 件(b)は,す べ ての製品 種類に対 して機 会原価 で評価 され た単 位 当 り基 準量 の合 計は,製 品単 位 当 り限 界原価 または補償貢献額 よ り大 で あるか, または少 な くとも等 しい ことが必要 であ る ことを示 してい る。T・C・Koopmansに よれ

**(8)

ば,最 適製品数 量 扇 と最 適機会 原価率 助 とは次 の関係 で表 わ され てい る。

a)濁 ≧Oの 場 合

b)Xs==oの 場 合

c)Plij≧0の 場 合

d)鴎=0の 場 合

ΣbijWj・.(Pε 一 κ の

ゴ=1

り ハ  

Σ」ゐエゴ鴎 〉(Pi.‑」 〈si)

ゴ==1

リハ  

Σ δり邸=Bノ

彦1

Σ δりxδ〈Bj

i=1

㈲

等 式 凶 に おけ るa)とb)の 関係 は,機 会原価 の合計が 補償 貢献 額に等 しい製品種 類 のみが最 適解 と して許容 され るこ とを意 味 している。 この両辺 に 飾 を加えれ ば,販 売価格 が限界原価 と機会原価 との合計に等 しい よ うな製 品 のみが最 適解 に なる ことが明

(9)

らか とな る。利益最大 の生産 プログ ラムに採用 されなか った製 品種類 の場 合には,実 現 さるべ き販 売価格 は限界原価 と機会 原価 との合 計 よ りも低 い。 したが って,等 式 ㈱ に おけ る基準c)とd)と は,若 干 の隆 路の ある場 合 の価格下限 の決定につ いて導 い た等

(10)

式(5)に 相 応 す る の で あ る 。

(7)VgLW.Krele,H,P.KUnzi,LinearePogrammierung,a.a.O.,S.42.

(8)VgLT.C.Kopmans,AnalysisofProdutionasanEfficientCombinatioワofActivities,in=ActivityAn・

alysisofProdctionandAllocation,HrsgT.C.KoopmansNewYork・London1951,S.86., M.J.B6ckman,LenarePlanungsrechnug,Ludwigshafen,1959,S.27ff.u.62.,

H.H.B6h皿uF,Wille,DeckungsbeitrgsrechnungundPrograrrmoptimierung,Mtinchen,1965,S.99ff., G.B.DantzigLinearePro図rammierung̲,a.a.O.,S.292ff.,

H.Hax,DieKoordirationvonEntscheidungen,K61n‑Berlin‑Boon・MUnchen,1965,S.155ff.,

{9)B6hmu.Willeは こ の 機 会 原 価 を 「Verkaufasttickspanne」 と 呼 ん で い る 。

Vgl.H.H.B6hmundF.Wille,Deckungsbeitragsrechnung̲.,a.a.0.,S.106。

〔1① 拙 稿,最 適 プ ロ グ ラ ム 計 画 の た め の 価 格 下 限 の 決 定(1)小 樽 商 科 大 学 商 学 討 究 第19巻 第3号1968年12月

132頁 参 照 。

等 式(5)は っ ぎ の 式 で あ る 。

P ・・n一 了=蓋 藩(Kh(1+織)+甘 蹴 塁1らw・

等 式 ㈲ に お け るc)とd)と か ら,完 全 に 取 り入 れ られ て い な い 要 素 制 限 の た め に, 機 会 原 価 が 零 に な るに 違 い な い こ と が 認 識 され る 。 しか し,利 益 最 大 生 産 プ ロ グ ラ ム の 決 定 の た め のLP計 算 に お い て 販 売 制 限 を 顧 慮 す る な らば,つ ぎ の 双 対 原 理 の 公 式 か ら 明 らか な よ うに 機 会 原 価 率(Opportunitatskostensatze)が 販 売 制 限 を 考 慮 し た も の と

し て 処 理 され ね ば な ら な い 。

り れ  

a)研=ΣBゴW.i+Y"XffiWi‑一 → 最 小!

」=1i=1  

b)(Pi‑Ksi,)≦Z]bijl>Vノ 十Wi(i==1,2,...,n) j=1㈱

c)0≦ レ7ブ(ブ==1,2,...、m) d)0≦Vレ ㌔('i=1,2,.̲,n)ノ

つ ぎ に,こ の 点 を 数 字 例 に よ っ て 具 体 的 に 述 べ て み た い 。 す で に 第3表 に お い て 表 わ し た 例 か ら,販 売 制 限 な し と み て つ ぎ の 第9表 に 示 さ れ る よ う な 設 備 能 力 と 限 界 利 益 と を 算 出 し う る 。 こ こ で,当 該 設 備 能 力 に 単 位 当 り 限 界 利 益 を 乗 じ て そ れ ぞ れ の 限 界 利 益 の 部 分 額 を 算 出 し,こ れ ら を 加 算 す る こ と に よ っ て 最 大 限 界 利 益232,963DMが え ら れ る 。

第9表3表 の 双 対 値(販 売 制 限 を 顧 慮 し な い)

部

1

12345678

設 備 能 力 数 量

限 界 利 益

DM/数 量 _DM

2 3 4

170 135 40 75 379 102 125 90

500 500 000 400 350 000 000 000

0,52778

0.28665 0.51677

71.513

108,740 52,710

合 計 ^232,963

第10表 では,す べ ての製品に対 して単位当 り基 準量に 当該双対 値 を乗 じ,単 位 当 り

え られ た額 を加 え る。 これに 当該の限界原価 を加えれ ば 等 式(5)に 相応 す る価格下 限が

算 出 され るのであ る。11欄 に おけ る販 売価格 との比較 に よって 明 らか な よ うに,製 品

種類201,303お よび304に 対す る限 界原 価 と 機会原価 との合計が 実 現 され るべ き販 売

価格 と一致 す る。他 のすべ ての製 品種 類 の場 合には,達 成 さるべ き販売価格が 限界原価 と割 り当て られ た機会原価 との合計 よ り低い。

第10表 若 干 の阻路 の場 合 の価格下 限の決定 の例(販 売制限 を顧慮 しない)

品 類 製 種

部 門2 部 門5 部 門6

琴錨 鴨 位基慧位愚 位騰 撚 位DM/

機 会 原 価 単位

限界原 価 DM/単 位

機会原'

価+限 販売価格 界 原価

DM/単 位DM/単 位

1 ・13 ・15i6

^{10 11}

101 102 103 104 105 201*

202 203 204 301 302 303*

304*

305 306

111028862013338122035513024445111110011111111

000000000000000133951125937770222121122122223 0000000000000007955888129155505567833445667801 233453445727738789059225566707000110111000010

000000000000000468008440123505111231223111121

396529980956547668150012678148111221111111222 630990187686503470136950259392334452234333445 01492479652386706151369577954900124667800001111111111111 ***644814873109360431759556038932

345698912444467111■11¶11111111 ***3021449065793618526794909989372345789023344551111111111111

第11表3表 の双対値(販 売制 限を顧慮 して)

力 量 能 備 設 数

門 部 ^{双 対 値}

DM/数 量

限界利益

DM

1 2 3 4

12345678

170 135 40 75 379 102 125 90

500 500 000 400 350 000 000 000

0.62246

0.11520 0.48667

84,340

43.700 49,640

f一一一一ロ

合

■177・68・

製品種類

要 量 必 数 位 高 売 単 最 販 ^{双 対 値} DM/単 位

限界利益 DM

5 6 7 8

123451234123456000000000000000111112222333333

5004 0006 2007 0004 5003 5003 6004 6004 3000 6000

4007 2008 6300

0004 5004

0.185

0.o露

8:ll9 8illl

?igll

O267

832

1易

2,107 2,438

4812 3936 7363 6773 1068

■ ■

■ ・9,5・1

十

合 一1・ ・7 ,181