数値計算アルゴリズム

(1)

数値計算アルゴリズム

-はじめに-

1

^st

. 2020/04/12 L

^st

. 2021/08/01

Q1. アルゴリズムと言語の違いは？

Q2. 解析解と数値解の違いは？

Q3. 数値解析が必要な理由は？

Q4. 数値計算結果の妥当性はどうやって示す？

参考書籍

系列 418.1系列 418.6系列

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数値計算法数値解析

アルゴリズムと言語

³

仏教哲学では、古くから「身口意」を三業と呼び、人間が日常生活の中で最も注意を払うべき心だと教えてきた。「身」とは、表情・行動のこと。「口」とは、ことば・言葉・文章のこと。

「意」とは、想念・思い・考えのこと。

「身」を表情とすれば、「意」は皮膚の中に隠された見えない心で、裏情と言うこともできる。何れにせよ、順番としてまず

「意」から「口」となり、そして最後に「身」に発展する。例）妄想

→書き込み→犯罪もあれば、智慧→決意→実践もある。工学ではこの逆過程の操作を逆アセンブルまたは、リバースエンジニアリングと呼ぶ。工学技術の発展・普及には必要な過程。

①数値計算におけるアルゴリズムとは・・・

こうしたい、ああしたいという概念であって「意」に相当する。

②数値計算における言語とは・・・

概念を具体的に「口」にしたもので、日本語、英語、仏語、独語、中国語・・・・と同様に、訛りや方言も含めれば無限の言語が存在する。中には、流行りの言語もあれば廃れる言語もある。

③数値計算における計算結果とは・・・

言語の通りに行動・実行した結果であり、

「身」に相当する。

https://www.mitsue.co.jp/knowledge/blog /global_by_design/201902/23_1920.html

数値計算の分類

S. C. Chapra, Numerical Methods for Engineers, 5^thEdition, p.99, McGraw Hill, 2006

4

(a) Roots of equations

(b) Systems of simultaneous linear algebraic equations (c) Optimization

(d) Curve fitting

(e) Numerical integration

(f) Ordinary differential equations (g) Partial differential equations

(a) 非線形方程式など，「解の公式」が使えない場合に必須 (b) 3行3列以上の面倒な行列計算に必須

(c) 寸法最適化，構造最適化における目的関数（目標値）の計算に必須

(d) 離散データの傾向を数式で把握する必要があるときに必須 (e) 解析的に積分できない場合に必須

(f) 物理・工学における現実問題＝1次元の方程式の場合

(g) 物理・工学における現実問題＝2次元以上の方程式の場合

(2)

数値計算結果と解析解の関係

1.

数値計算法は膨大な量の退屈な算術・算数計算（四則演算）

から成るが，記憶と四則演算しかできないコンピュータが最も得意とする処理である。

2.

手計算を駆使して解析的に求められる解（厳密解と呼ぶ）は，

非常に限られた問題である。言い換えると，現実のほとんどの問題は講義の演習の答えのように解析的には解けない。

3.

解析解（厳密解）はときに素晴らしい洞察や考察を与えてくれるのも事実である。逆に言えば解析解というのは問題設定を簡略化したり，次元を落としたりして手計算で解けるように理想化しているともいえる。

Analytical

解析解

Numerical

数値解

数値計算法が必要な理由

1.

解析的には解けない問題でも，算術計算（四則演算）に置き換えて解ける。

2.

数値計算をパッケージ化した商用シミュレータ（ソフト）を使う機会が将来必ずやってくるが，ブラックボックス化されているこれらの中身がどうやって動いているのかを知る必要がある。

3.

商用シミュレータでも解けない問題は沢山ある。そのとき，数値計算法を知っていれば，自分でソースコードを作って自作シミュレータを作ることもできる。

4.

コンピュータの使い方を学ぶのに最も効率的な手段が数値計算法である。なぜなら，プログラミングを学ぶのに効果的な方法は自分でプログラムを書くことであるからである。数値計算法の大半はソースコードをコンピュータ上で走らせることである。

5.

数値計算法は数学の理解度を補強してくれる。何故なら，一つの数値計算法の機能又はアルゴリズムは，高度な数学（微分積分）を算数（四則演算）に落とし込む作業であるためである。

工学と数値計算

7

実験

観察・試験

シミュレーション数値計算

・考察

・洞察

・仮説

・仮想

・思考

・試行

アルゴリズム

数学・解析

微積分線形代数微分方程式フーリエ解析

ベクトル解析

積分方程式

電気回路電磁気学電磁波工学電子回路特殊関数

複素解析

視点２視点３

視点１

Plan

Do

Check 理論 Act

視観

察

実験コスト削減，

開発時間・期間短縮による製品コスト低減

有限要素法境界要素法

差分法ニュートン法

最適化補間

連立方程式数値積分数値微分

汎用数値シミュレーションソフト

⁸

応用性発展性拡張性 CUI

使い勝手、GUI ユーザーフレンドリー C, Fortran

MATLAB (Scilab, Octave) Mathematica (Maxima)

VBA

Excel

ANSYS COMSOL

LTspice Python

※

（）内はオープンソース代替品、クローンとも呼ぶ。

汎用（どんなソフトにもなれる）マルチフィジックス特化

回路特化

Femtet

(3)

プログラミング言語の違いと共通点

言語コメント文画面出力読み込みファイル出力

繰り返し

HTML  ”file”

javascript // abc /* abc */

VBA ’ abc

’ abc ’

MsgBox Debug.Print

For To Fortran ! abc write()

print()

read() open() do end do C, C++ /* abc */ printf() Scanf() fopen() while

n++

Mathematica (* abc *) 行末に ; がない行

For[ ] Gnuplot # abc Plot, Splot load ’file’

Python # abc print() open()

１．方程式の根

11

( ) f x

x Root

（根）

f(x)=0

を

x

について解く。

ただし，

f(x)

は非線形関数

2次方程式までは解の公式が知られて

いるが，3次以上又は非線形方程式

（例えばln=log

_e

を含む関数）は解の公式が存在しない。

２．線形代数方程式の解

12

x2

x1

Solution

（解）

例えば，キルヒホッフの電圧則，電流則を使った節点方程式，環路方程式から得られる連立方程式はこのタイプ。

工学問題の大半はこの形（

N

行×

N

列のマトリクス）に落とし込んで解く。

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x c a x a x c

 

  



をx1, x2について解く。

ただし，

x1

と

x2

の関係は線形

11 1

2 1

12 12

a c

x x

a a

  

12 2

2 1

22 22

a c

x x

a a

  

連立方程式

(4)

３．最適化

Minimum

（極小値）

工学製品の設計では日常的に出てくる問題。例えば，寸法を幾らにするのが要求特性を最良にするか，形状をどうしたら最良特性が得られるが，寸法最適化と形状最適化が良く使われる。

f(x):

目的関数を最小にする

x

を求める。

( ) f x

x

４．回帰と補間

回帰

統計分野では回帰という言葉が使われる。

x

が

1

次（直線）の場合を単回帰，

x

が

2

次以上（曲線）を重回帰と呼ぶ。

測定値（離散データ）やサンプル値からそれに適合する関数形

f(x)

を求める。

( ) f x

x ( )

f x

x

回帰（曲線適合）と似ているが，サンプル値における誤差はゼロ，言わばサンプル値だけは必ず通るような関数形を求めて，サンプル点が存在しない部分を埋め合わせる。

補間

５．積分

15

f(x)が解析的に積分できるときはよい

が，大半のケースは解析的に積分が見つけられない。

複雑形状の物体の重心の決定，偏微分方程式の解法の一つとしても使われる。

( ) f x

x

b ( ) I 



a f x dx

をxについて解く定積分

a b

I

積分

６．常微分方程式

16

(t_i,y_i)における傾きf(t_i,y_i)を使って，Δt

秒後の(t

_i+1, y_i+1)の座標を推定する方

法。当然

Δt

が小さいほど推定精度は上がる。

例えば，電気回路における過渡現象問題の解はこのタイプ。

y

t

( , )

dy y

f t y dt t

 

 

をtの関数としてyについて解く常微分方程式

ti t_i_₁

推定

Slope

f(t_i, y_i)

t yi¹

yi_

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７．偏微分方程式

17

工学のほとんどの問題がこの形の方程式を解く問題に行き着く。

例えば，ラプラスの方程式，ポアソンの方程式。

y

x

2 2

2 2 ( , )

u u

f x y

x y

  

 

をx,yの関数としてuについて解く偏微分方程式

xi x_i_₁ yi¹

yi_

x

y

偏微分方程式のシミュレーションは学際性の高い学問の一つ時間領域

有限差分法

境界要素法

汎関数連立方程式数値微分（差分）数値積分

グリーン関数有限

要素法

モード差分法整合法

固有関数

FFT DFT 時間- 周波数

変換

７．偏微分方程式

一石賢, 物理学のための数学, p.5, ベレ出版, 2012

N. M. O. Sadiku, “Numerical Techniques in Electromagnetics 2^nded.,” p. vii, CRC Press, 2001.

数値計算結果の検証

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It has been well said by A.C. Doyle that “It is a capital mistake to theorize before you have all the evidence. It biases the judgment.”

Therefore, you should never trust the results of a numerical

computation unless they are validated, at least in part. You validate the results by comparing them with those obtained by previous investigators or with similar results obtained using a different approach which may be analytical or numerical. For this reason, it is advisable that you become familiar with as many numerical techniques as possible.

確認テスト

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