次の２次方程式を解きなさい。 

名前 (       ）

解

２次方程式（因数分解を使って）

(1)

(3) 4x²− 9 = 0 ⁽⁴⁾ 2x² + 3x + 1 = 0

例題

次の２次方程式を解きなさい。 

(1)

(3)

２次方程式（因数分解を使って）

まず, 因数分解ができるかどうかを調べる。

復 たすきがけのやり方

① かけ算を考える ② クロスする ③ たし算する

acx²+ (ad+ bc)x +bd = (ax + b)(cx + d)

（Step１） 共通因数を見つける

（Step２） たすきがけを行う

a xcx

①

bd

①

bcx

②

ad x

③ (ad+bc)x

AB = 0 ⟹ A = 0 or B = 0

かけ算して０のとき，片方は必ず０になる

2

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

２次方程式（因数分解を使って）

解

(1)

(3) x² −16 = 0 ⁽⁴⁾ 3x² + 11x + 6 = 0

次の２次方程式を解きなさい。 

(1)

(3)

解

(1)

(3) 9x²− 16 = 0 ⁽⁴⁾ 3x² + 5x −2 = 0

次の２次方程式を解きなさい。 

(1)

(3)

名前 (       ）

解

２次方程式（解の公式を使って）

例題

次の２次方程式を解きなさい。 

２次方程式の解の公式

２次方程式 ax²+ bx +c = 0

  解 公式

x =

２次方程式を解くときのステップ

（Step１） 因数分解ができるか考える

（Step２） Step1が分からないときは， 

      解の公式をつかう

4

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

２次方程式（解の公式を使って）

次の２次方程式を解きなさい。 

(1)

解

(1) x²−7x−3 = 0 ⁽²⁾ 5x²+ 3x−1 = 0 (2)

解

(2) 3x²−3x −4 = 0

次の２次方程式を解きなさい。 

(1)

(1) x²+ 3x+ 1 = 0

名前 (       ）

解

例題

次の２次方程式を解きなさい。 

２次方程式の解の公式 発展

（通常）２次方程式 ax² +bx + c = 0  解 公式 x = −b± b²−4ac

2a

２次方程式の解の公式 発展

２次方程式

解 公式     係数 （  ）数 ， 

簡単 計算 公式 。

x

x = −b′± b^′2− ac a

（発展）２次方程式 ax²+ 2b′x +c = 0  解 公式

例

a = 1, b′= 1, c = −2

6

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

次の２次方程式を解きなさい。 

(1)

次の２次方程式を解きなさい。 

解

(1) x²−6x −3 = 0 ⁽²⁾ 2x²+ 4x + 1 = 0 (1)

解

(1) x²−2x −1 = 0 ⁽²⁾ 2x²+ 6x + 1 = 0

２次方程式の解の公式 発展

名前 (       ）

解

例題

２次関数のグラフと判別式

２次方程式の係数と実数解

・ について,  を（        ）    という。 ふつう（     ）で表す。

ax²+bx+c = 0 b²−4ac

・  が偶数のときは, b D  を使うと簡単に計算できる。

4 =b^′2−ac

【 ax²+bx+c = 0 のグラフと判別式   の関係 】D

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

(1) x²−5x+ 2 = 0 ⁽²⁾ 3x²−5x + 3 = 0

x D > 0

x

D = 0 D < 0

x

・共有点は（  ）個

・異なる２つの実数解     をもつ。

・（   ）をもつ。

・共有点は（  ）個

・実数解をもたない。

・共有点はもたない。

(b = 2b′)

8

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

(1)

5 = 0 ⁽²⁾

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

解

(1) x²−6x + 1 = 0 ⁽²⁾ x²−4x+ 4 = 0

２次方程式の係数と実数解

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

解

(1) −x²+x− 1

5 = 0 (2) 2x²+ 3x + 5 = 0

名前 (       ）

解

例題

２次関数のグラフと判別式

・  が偶数のときは, b D  を使うと簡単に計算できる。

4 = b^′2−ac

【 ax²+bx+c = 0 のグラフと判別式 D の関係 】

4

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

(1) 2x²+ 4x+ 1 = 0 ⁽²⁾ 3x²−2 6x + 2 = 0 x

D 4 > 0

x D

4 = 0 D

4 < 0

x

・共有点は（  ）個

・異なる２つの実数解     をもつ。

・（   ）をもつ。

・共有点は（  ）個

・実数解をもたない。

・共有点はもたない。

２次方程式の係数と実数解 

4

例

a = 1, b′= 1, c = −2

D

4 = b^′2−ac

= 1² −1⋅(−2) (b = 2b′)

10

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

(1)

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

解

(1) x²−6x + 3 = 0 ⁽²⁾ 3x²+ 2x+ 4 = 0

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

２次方程式の係数と実数解 

4

(1) 2x²+ 6x −1 = 0 ⁽²⁾ x²+ 2 5x + 5 = 0

解

名前 (       ）

２次方程式の係数と実数解 発展

例題１ 例題２

２次方程式   が重解をもつとき，定数 の値を答えなさい。また，そのときの重解を求めなさ い。

x²−2x + 2k −6 = 0 k

解

２次方程式   が異なる実数解をもつとき，

定数 の範囲を答えなさい。

x²−4x +m = 0 m

解

12

練習問題１ 練習問題２

名前 (       ）

２次方程式の係数と実数解 

4

２次方程式   が重解をもつとき，

定数 の値を答えなさい。また，そのときの重解を求め なさい。

4x² + (m− 1)x + 1 = 0 m

解

２次方程式   が x ^{軸で共有点をもた}

ないとき，定数 の範囲を答えなさい。

x²−3x +k + 6 = 0 k

解

２

３

名前 (       ）

確認テスト

１

Tー１ 確認テスト

(2)

次の２次方程式を解きなさい。 

(1) (2) (3) (4) (2)

(1) (2)

(1)

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

２次方程式 

 が異なる実数解をもつ とき，定数 の範囲を答えなさい。

x² −4x + m = 0 m

14

名前 (       ）

確認テスト

１

Tー2 確認テスト

(1)

次の２次方程式を解きなさい。 

(1) (2) (3) (4)

(3)

２

３

(1) (2)

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

5 = 0 ⁽²⁾

２次方程式   が重解をもつとき，定数 の値を答えなさい。また，そのときの重解を求めなさ い。

x² −2x + 2k −6 = 0 k

名前 (       ）

確認テスト

１

Tー3 確認テスト

(1)

次の２次方程式を解きなさい。 

(1) (2) (3) (4)

(3)

２

３

(1) (2)

次の２次方程式の実数解の個数を求めなさい。 

(1)

x² + 2x = 0

x² + 6x − 27 = 0 x² − 6x − 3 = 0

3x² − 5x + 3 = 0 3x² + 2x + 4 = 0

２次方程式   が重解をもつとき，

定数 の値を答えなさい。また，そのときの重解を求め なさい。

4x²+ (m −1)x + 1 = 0 m