引用題 ２次数学セレクション

−−

１ [九州大] 関 数 I[= VLQ[− − を 考 え る 。 た だ し −π≦[≦π と す る 。 さ ら に

_≦D≦π _に対して

₍

₎

³

= D [ [ G[

D )

_{I I} π _{とする。このとき次の問いに答} えよ。

I[=となる[を求めよ。

−−

２ [東京大] [＞を定義域とする関数

− −

= _[

[ [

H H H [

I について以下の問いに答えよ。 関数\= I[ [＞は実数全体を定義域とする逆関数をもつことを示せ。す

なわち任意の実数Dに対して I[=Dとなる [＞がただ つ存在することを 示せ。

−−

３ [東京工大] 以下の問いに答えよ。

自然数Qに対し =

³

VLQ

Q Qπ [ G[

, を求めよ。

次の不等式を示せ。

(

)V

G[ [ V

FRV

− −

³

≦ ≦V≦

Dを正の数としDを超えない最大の整数を

[ ]

[ ]

等式が成り立つことを示せ。

(

)(

[ ]

)

DW − − −

³

π π

≦

≦

−−

４ ［東京大］

以下の問いに答えよ。

＜[＜Dを満たす実数[Dに対し次を示せ。

(

)

[ GW W D[

[ D

[

D + + −

³

_{＜ ＜}

を利用して次を示せ。 ＜ORJ＜

−−

５ ［東北大］ D＞ に対し, D =

³

,Q D =

³

Q= "とおく。

OLP D , D D − ∞

→ を求めよ。

漸化式

D , Q Q D D Q D

,Q Q Q−

+ − + +

= Q= "を示せ。

自然数Qに対して OLP_D

(

)

+ −

∞

→ を求めよ。

−−

６ ［岡山大］

Dを以上の実数Qを正の整数とするとき次の問いに答えよ。

D D [

(

)

(

)

(

)

G[ Q [ H

G[ Q [

H + =

³

³

が成り立つことを示せ。

(

)

(

)

Q D

QD ≦ + ≦

+ −

が成り立つことを示せ。

HD

(

)

+ ≦

−−

７ ［筑波大］

Hは自然対数の底とする。W＞Hにおいて関数IW JWを次のように定める。

³

= H W_{W [}[G[

W

_ORJ

I

³

− = H [_{W [}[G[

W

_ORJ

J

IW−JWをWの次式で表せ。

≦[≦HかつW＞Hのとき_W−[≦_W−Hが成り立つことを用いて OLP = ∞

→ W

W J を示

せ。

OLP

(

)

− −

∞

→ W D

EW W

−−

８ ［広島大］

次の問いに答えよ。ただしQは自然数を表す。

≦[≦を満たす実数[に対して不等式

(

)

Q[+≦ORJ + ≦

が成り立つことを示せ。ただし対数は自然対数とする。

次の値を求めよ。

( )

¦

Q

N

Q Q

N

Q

OLP

数列

{ }

(

)(

) (

)

Q Q Q

Q

DQ = + + " +

で定めるとき極限値 Q

−−

９ ［北海道大］

自然数Qに対して =

³

WDQ π

G[ [

D Q

Q とおく。このとき以下の問いに答えよ。

Dを求めよ。

DQ+をDQで表せ。

Q

QOLP→∞D を求めよ。

¦

=

+

∞

→ −

− Q

N

N

Q N

−−

10 ［広島大］

曲線_\=H[_{上の点$ における接線をOとし点% を通り直線Oに平行}

な直線をPとする。直線Pと曲線_\=H[_{のつの交点3 4の[座標をそれぞれα}

β ただしα＜βとする。直線[=αと直線Oの交点を3′直線[=β と直線Oの交点

を4′とする。次の問いに答えよ。

平行四辺形33′4′4の面積6をα βで表せ。

直線Pと曲線_\=H[_{によって囲まれる図形の面積7をα βの多項式で表せ。}

線分34の中点5は第象限にあることを示せ。

−−

11 ［筑波大］

[

I を整式で表される関数とし [ =

³

I

J とおく。任意の実数 [ につ

いて

(

)

³

=

− [H W W GW

[ [

J

I が成り立つとする。

[ I′′[+[+ I′[− I[=が成り立つことを示せ。

I[は定数または次式であることを示せ。

−−

12 ［金沢大］

関数 IWは区間

[

]

次の問いに答えよ。

³

³

−

IWGW IWGWを示せ。

関数

³

− −

−

=

[ W [ W GW

) I −≦[≦について

³

³

) I I )′′[=−I[

を示せ。

関数 I[はさらに等式

³

−

=

[ W [ I W GW

I −≦[≦

を満たすとする。このとき J[= I[− IFRV [について

=J′ =

J

(

{

}

)

−−

13 [大阪大]

関数 I[=ORJ+H[−[−ORJを考える。ただし対数は自然対数でありH は 自然対数の底とする。

I[の第次導関数を I′′[とする。等式 ORJI′′[=−I[が成り立つことを 示せ。

定積分

³

ORJ

−−

14 [東京工大]

[ [ [

[ FRV VLQ

= − −

I とする。

＜[＜πにおいて I[=は唯一の解をもつことを示せ。 =

³

[ G[

−−

15 [熊本大]

関数 =

³

[ W GW

[

WDQ

ORJ

π

I

(

)

I[の導関数 I′[を求めよ。 Iの値を求めよ。

−−

16 [筑波大]

Qを自然数とし からQまでの自然数の積をQで表す。このとき以下の問いに答 えよ。

単調に増加する連続関数 I[に対して不等式

[ G[ N

N

N I ≦I

³

不等式 ORJ ORJ

[G[ Q

Q

≦

−−

17 [東京大]

すべての自然数Nに対して次の不等式を示せ。 N

G[ [ N [

N

＜

＜

³

+

P＞Qであるようなすべての自然数PとQに対して次の不等式を示せ。

+ +

−

Q

PP Q ＜ − ₌

¦

P

Q

N N

Q P

−−

18 [京都大]

Q個のボールを Q個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも個以下のボールしか入っていない確 率をSQとする。このとき極限値 _QSQ

Q ORJ OLP

∞

→ を求めよ。

−−

19 [北海道大]

＜ ＜ とする。D π ＜ ＜ に対して[ π FRV

[ D

[

) [ θ Gθ

¨

) [a _{を求めよ。}

) [a ≦ となる[の範囲を求めよ。

−−

20 [金沢大]

次の問いに答えよ。

自然数 Q に対して Q

Q [G[

¨

示せ。

以上の自然数Qに対して ORJQ＜

Q

N N

œ

以上の自然数Qに対して

Q

N _{HH H H}N

œ

"

−−

21 [神戸大]

Qを以上の自然数として

ORJ Q

Q N Q

6 _{N N}

œ

ORJ Q

Q G[

[ [

¨

Nを以上の自然数とするとき

ORJ ORJ ORJ

N

N

G[

N N [ [ N N

＜

¨

を示せ。

OLP Q

−−

22 [東京医歯大]

自然数Qに対し

Q

Q [

6

¨

N Q

Q N

7 _{N N}

œ

とおく。このとき以下の各問いに答えよ。

次の不等式を示せ。

Q

6 _[G[ _Q

¨

7Q6QをQを用いて表せ。

極限値OLP Q

−−

23 [長崎大]

曲線\ORJ[の接線はつねにこの曲線の上側にあることを利用して次の問いに答

えよ。以下

点$ N N を通り [ 軸に垂直な直線と曲線\ORJ[との交点を$Naとし $Na

に お け る こ の 曲 線 の 接 線 をON と す る 。 ま た N≧ の と き %N N

&N N を通り [ 軸に垂直な直線と接線ONとの交点をそれぞれ%Na &Naとす

る。四角形% & & %N N Na aN の面積を求めよ。

次のつの値の大小を比較せよ。

ア ORJNと

ORJ N

N [ G[

¨

イ ORJNORJ Nと N ORJ N [ G[

¨

DQ ORJ Q ORJQとおくと

立つことを示せ。

ORJ ORJ

Q Q

Q

[ G[ D [ G[

¨

¨

以上の自然数Qについて

ORJ ORJ

Q

8 Q Q Q 9Q Q ORJ

とおくとき次の不等式を示せ。

ORJ

Q Q

8 ＜ Q ＜9

−−

24 [熊本大]

正の定数 D に対して関数I [ を

VLQ FRV

[ W D[ W GW

π

¨

I とおく。以下の

問いに答えよ。 I [ を求めよ。

−−

25 [東京工大]

Qを正の整数とする。数列

\

^

D _{Q Q}

N

N L

L Q

D _{N Q N} D

œ

DおよびDを求めよ。

一般項DNを求めよ。

Q

Q N

N

E D

œ

−−

26 [名古屋大]

[ [H[

I として正の整数Qに対して

[

Q Q Q

[

[ W GW [

a

¨

I I I

により実数[の関数 IQ [ を定める。 I [ を求めよ。

[ W

[

[ DW E H GW

¨

J とするとき定積分 F

F [ G[

¨

−−

27 [東京医歯大]

関数_{I [ [[[について以下の各問いに答えよ。}

I [ はつねに増加する関数であることを示せ。

I [ の逆関数をJ [ とおく。[について _{[ J [ [が成立す}

ることを示せ。

E D について

E

D [ G[ D

¨

自然数Qについて

\

^

Q

Q Q

$ G[

[ [

¨

とおくとき極限値OLP Q

Qld$ を求めよ。

−28−

28 [新潟大] 微分可能な関数 f( )x が, すべての実数x, yに対して

( ) ( )x y (xy)sin sinx y

f f f

を満たし, さらに fa( 0 )0を満たすとする。次の問いに答えよ。

(1) ( 0 )f を求めよ。

(2) 関数 f( )x の導関数fa( )x を求めよ。

(3) 定積分 3

0 ( )

dx x π

−29−

29 [東京医歯大]

m, n を自然数として, 関数 f( )x xm(1x)nを考える。このとき以下の各問いに

答えよ。

(1) 0≦ ≦ におけるx 1 f( )x の最大値をm, nを用いて表せ。

(2) 定積分 1

0

( )x dx

¨

(3) a, b, c を実数として, 関数g( )x ax2bxcの0≦ ≦ における最大値をx 1

( , , )

M a b c とする。次の 2 条件(i), (ii)が成立するとき, ( ,M a b c, )の最小値を

m, nを用いて表せ。

(i) ( 0 )g g(1)0

(ii) 0 x 1のとき f( )x ≦g( )x

(4) m, nが2以上の自然数でmnであるとき, ( 1)! ( ) 22 1 ! !

m n n m n

m n m n

m n _{m n}

－30－

30 [千葉大]

n_, mを0以 の整数とし,

2 ,

0

cosn sinm

n m

I d



  

=

ò

い 答えよ。

(1) n ₂のと , In m_, をIn_-2,m₊₂を使 て表せ。

(2) 次の式

1 2 1, 2 1

0

1 _{(1 )}

2

n m

n m

I _{+ +} =

ò

(3) 次 の 式

0 1

C C C

! ! _{( 1)}

( 1)! 1 2 1

m

m m m m

n m

n+ +m =n+ -n+ + + - n+ +m を 示 せ 。 し

－31－

31 [大阪大]

40000 1

1

n

å

－32－

32 [新潟大]

自然数 n 対して,

2 2 1

1 2 0 ( ) 1 n n x x a dx x + + -= +

ò

よ。

(1) 自然数 n 対して, 不等式

1 2 2 0 1 2 3 1 n

x _{dx a}

n

x - +

+

ò

(2) 定積分

1 2 2 0 ₁ x _dx x +

ò

(3) 自然数n 対して,

1 1 ( 1) 2 1 k n n k a k + = -= +

å

(4) 極限値

1 1

( 1 ) lim 2 1 k n n k k + ¥ = -+