解答例＋引用題 文系数学 過去問

−−

１ 解答解説のページへ DEを実数とする。[の方程式[ _Du[_{E について次の問いに答えよ。} D E のときの解を求めよ。

−−

２ 解答解説のページへ q

q

＜[＜ とする。Fを実数とする。[の方程式 ＊ VLQ[ FRV[F

について次の問いに答えよ。

＊をVLQ[$ %の形で表せ。またF のとき[の値を求めよ。

＊が異なるつの解D EをもつためのFの条件を求めよ。 WDQ[ Wとおくとき

VLQ

W W [

FRV

W W [

_{を示せ。さらに ＊を W に}

ついての次方程式で表せ。

−−

３ 解答解説のページへ

平行四辺形 2$%&の辺$%をPQに内分する点を' と し線分 2' と対角線 $& との交点を ( とする。次の問い に答えよ。

公式2' Q2$_PP_Q2%を証明せよ。 2(を2$ 2& P Qを用いて表せ。

点2$%&を[\平面上の点とし点2$&の座

標を2 $ &D Eとする。ただしDEは正の数とする。P

Q のとき点2'を通る直線の方程式を求めよ。

の条件のもとで点&から線分2'に下ろした垂線の足+の座標を求めよ。

補足説明 「点 & から線分 2'に下ろした垂線の足 +」とは点 & から引いた線分

2'への垂線と線分2'との交点+のことである。

2 $

( '

−−

４ 解答解説のページへ

_{[ [ [}

I とする。S＜＜Tとし放物線\ I[上の点3S IS

4 T I T における接線をそれぞれOPとする。OとPは点

5 で交わり

それぞれの傾きを DE とするときDE を満たすものとする。このとき次の 問いに答えよ。

STUを求めよ。

接線OPの方程式を求めよ。

−−

５ 解答解説のページへ の数字を書いた枚のカードがある。この枚のカードを並べてけ たの数を作るとき次の問いに答えよ。

偶数となる並べ方は何通りあるか。また奇数となる並べ方は何通りあるか。

枚のカードをよく切って並べたときそれがとちょうどつの位で一致 する確率を求めよ。

枚のカードをよく切って並べたときそれがとちょうどつの位で一致 する確率を求めよ。

枚のカードを並べた数がと一致したときに万円とちょうど

つの位で一致したときに千円 とちょうどつの位で一致したときに

円もらえるものとする。これらの場合以外は何ももらえないものとする。 枚のカ ードをよく切って並べる回の試行での期待金額を求めよ。

補足説明 「それが とちょうど つの位で一致する」とはたとえば §¨はとちょうどつの位で一致するが§¨はとちょうど

‹電送数学舎 2004

−−

１ 問題のページへ

D E のとき[ [ _より[ _˜[

[ [

[ ＞ _から[ _{となり [ ORJ}

[ _Du[ _{E ……①に対して} [ _{W＞とおくと}

_DWE

W ………②

①が異なるつの実数解をもつ条件は②が異なる正の実数解をつもつことに 等しい。

E DW W

W

I とおくとIW WD D Eより

＞ D

W _{ID DE＜I E＞}

まとめると D＜_＜E＜D

この関係を満たす点D Eを図示すると右図の網点部 となる。ただし境界は領域に含まない。

［解 説］

指数関数と次関数を題材とした穏やかな基本題です。

2 D

‹電送数学舎 2004

−−

２ 問題のページへ

VLQ[ FRV[F ……＊よりVLQ[qF

VLQ[ q F ………①

F のとき①はVLQ[q

ここで q＜[＜qからq＜[q＜qとなり

q q

[ [ q

①がq＜[＜qで異なる つの解をもつ条件は

q q q

＜[ ＜ より F ＜かつF z すな

わち＜F＜かつFz となる。

よって ＜F＜ ＜F＜である。 半角の公式より WDQ[ _FRVFRV_[[

_なので [ _W

WDQ とお

くとWFRV[ FRV[_となり

_FRV

W [ W

FRV W W [

また倍角の公式より

WDQ WDQ WDQ W W [ [ [

となるので

FRV WDQ VLQ W W W W W W [ [ [ ˜

＊に代入して

˜

WW WW F W WFW

_{F W WF ………②}

＊が[ D Eを解にもつとき②の解はW WDQD WDQEとなり Fz より

解と係数の関係から

WDQ WDQ F E D WDQ WDQ F F E D

よって

WDQ WDQ WDQ WDQ WDQ F F F F F E D E D E D

［解 説］

三角関数の公式を確認する問題です。

‹電送数学舎 2004

−−

３ 問題のページへ

$' _PP_Q$%なので 2'2$ _PP_Q2%2$

2' _PP_{Q P}P_Q Q2$_PP_Q2%

2&$%より△2(&∽△'($なので P Q P '$ 2& $( &(

よって 2( PQ_P2$_QP2&

2% 2$2& D E D Eとなりより

2% 2$

2' D E D E

よって直線2'の方程式は \ E_D[………①

点&を通り直線2'に垂直な直線は \E _ED[D………②

①②の交点が+より E_D[E _ED[D

_{[ E D D [ D}

E

よって

^

`

D E E D D D D E D E D D [

①より D E E D D E \

_{となるので}

［解 説］

前半が平面ベクトル後半が図形と式の内容となっています。どちらも特別な工夫 は必要ありません。

2 $

( '

& %

‹電送数学舎 2004

−−

４ 問題のページへ

_{I[ [ [より Ic[ [となり}

c S S

D I E IcT T

条件から DE より ST

ST ………①

3における接線Oは

_{S S S [ S}

\

_{S [S}

\ ………②

同様にして_{P \ T[T ………③}

②③の交点は_{S[S T[T}

ST [ S T [ ST

条件より ST ST ………④

①④より S T

このとき②は\ [となり 5

②よりO \ [③よりP \ [

³

^

`

³

^

`

[ [ [ G[ [ [ [ G[

6

³

³

[ G[ [ G[

>

@

>

@

_{[ [ ˜ ˜}

［解 説］

センター試験でも過去に類題が出た頻出問題のつです。交点5の[座標は接点

34の[座標の相加平均になっています。

‹電送数学舎 2004

−−

５ 問題のページへ

偶数となる並べ方は一の位がまたはより u 通りある。

奇数となる並べ方は一の位がのいずれかより u 通りある。 まずけたの数は全部で通りできる。

とちょうどつの位で一致するのは一致する位の選び方が& 通り

で一致しないつの位の並べ方が通りずつよりu 通りとなる。

よってこのときの確率は である。

とちょうどつの位で一致するのは一致する位の選び方が& 通り

ある。また一致しない つの位の並べ方はたとえば のときは または

と 通りあり他の場合も同様に考えて つの位が一致する並べ方は

u 通りとなる。

よってこのときの確率は である。

つの位で一致する確率は明らかに である。

よってより題意の期待金額は

u u u （円）

［解 説］