基礎数学 I

基礎数学 I

2009

年前期

,

西岡

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/

2

_号館

11

_階

38

_号室 オフィスアワー

:

_水曜

5

_限

•

「基礎数学

I

_{」の練習問題だが}

,

これだけでは不十分である

.

_{教科書の練} 習問題の解答も試みること

.

•

疑問は疑問のままにしない

.

_質問

/

教科書などで解消すること

.

•

一度判っても暫くたつと

,

又判らなくなることが多い

.

_{復習すること}

.

1 _論理問題

問題

1.1. A

子が風邪をひいている時

, B

男は風邪をひいていないとする

. B

_{男が風邪をひいてる時}

, A

子は風邪をひいてないといえるか？

♥

[

_問題

1.1

_解答

]

_「

A

子が風邪をひいている時

, B

_{男は風邪をひいていな} い」を図示すると以下

:

!"#$% &'#$%

よって

,

_「

B

_{男が風邪をひいてる時}

, A

子は風邪をひいてない」

(

_対偶

)

_は真

.

!

問題

1.2.

片面に数字

,

もう片面にはアルファベットが書かれているカー ドが下図のように置かれている

.

この

4

_{枚のカードについて}

,

片面が奇数ならば

,

その裏面は大文字である

という規則が正しいか確認するには

,

_どの

2

枚 をめくるのがよいか

.

5 A d 4

ヒント

:

_{対偶を考えよ}

. ♥

[

_問題

1.2

_解答

]

_{確かめるべきことは}

,

(1)

_奇数

⊂

大文字

である

. (1)

_の対偶は

,

(2)

_小文字

⊂

偶数

だから

, (1)

_{が正しければ}

(2)

も正しくなければならない

.

⇒

両者をみるには

, 5

と

d

を開ければよい

.

A

および

4

を開けても

, (1)

_と

(2)

の逆を調べるだけである

.

!

問題

1.3 (

_国家

I

_種

, 1993).

赤い玉が

3

_個

,

_白い玉が

2

_個

,

_{黄色い玉が}

1

個の計

6

_{個入っている袋がある}

. A, B, C, D

_の

4

_{人が袋から玉を}

1

_個ず つ取り出した

.

各々の者は自分の持っている玉を見ることはできないが

,

自分以外の三人が持っている玉は見ることが出来る

.

いま

,

_この

4

人以外の人が袋の中を見て

(3)

_{「赤い玉が}

2

個以上取り出されている」

と

4

_{人に伝えた}

.

_その後

, A, B, C

_の

3

人が自分の取り出した玉の色につ

いて

, (3)

_{と自分以外の}

3

人の玉の色を考えて次のように述べた

.

A:

_「私は

,

自分の取り出した玉の色がわからない」

B:

_「私は

,

自分の取り出した玉の色がわかる」

C:

_「私は

,

自分の取り出した玉の色がわからない」

このとき

, D

の持っている玉の色として可能な色はなにか

? "

[

_問題

1.3

_解答

]

取り出された玉の組み合わせとして以下が可能

. Case 1

_赤

,

_赤

,

_赤

,

_白

Case 2

_赤

,

_赤

,

_赤

,

_黄

Case 3

_赤

,

_赤

,

_白

,

_白

Case 4

_赤

,

_赤

,

_白

,

_黄

B

_は

A, C

と異なる意見を言ったので

, B

_{の持っている玉の色は}

A, C

_と 異なる

.

それぞれの場合に

, A

_〜

C

のコメントと合致するか調べる

:

X , Y

で白もしくは黄をあらわす

,

A B C D

_判定

Case 1

_{赤 白 赤 赤}

B

_{は黄かも ×}

Case 2

_{赤 黄 赤 赤}

B

_{は白かも ×}

Case 3

_{白 赤 白 赤 ○}

Case 3

_{赤 白 赤 白}

A, C

_{が自分の色が判る ×}

Case 4

_{赤 赤}

X Y A

_{が自分の色が判る ×}

Case 4

_赤

X

_赤

Y A, C

_{が自分の色が判る ×}

Case 4

_赤

X Y

_赤

A

_{が自分の色が判る ×}

Case 4 X

_{赤 赤}

Y C

_{が自分の色が判る ×}

Case 4 X

_赤

Y

_{赤 ○}

Case 4 X Y

_{赤 赤}

C

_{が自分の色が判る ×}

これより

D

は赤以外の可能性がない

. !

2 _数列

問題

2.1. n → ∞

での極限値をもとめよ

. (i) (1 + 1

70 )

ⁿ

, (ii) 5 × (0.9)

ⁿ

, (iii) 2 n + (1/n) , (iv) n

²

+ n + 1

2n

²

+ n + 1 . ♥

[

_問題

2.1

_解答

]

_{次の事実に注意}

.

!

極限

"

n

lim

→∞

! !a !

!

ⁿ

=

"

∞ if | a | > 1 0 if | a | < 1

# $

(i) 1 + 1

70 > 1

_だから

, lim

n→∞

(1 + 1

70 )

ⁿ

= ∞ . (ii) 0 < 0.9 < 1

_だから

lim

n→∞

5 × (0.9)

ⁿ

= 0.

(iii)

_まず

2

n + 1 < 2

n + (1/n) < 2

n

^である

.

_ところが

0 = lim

n→∞

2

n = 0 ≤ lim

n→∞

2

n + (1/n) ≤ lim

n→0

2 n + 1 = 0

だから

lim

n→∞

2n + (1/n) = 0.

(iv) n

²

+ n + 1

2n

²

+ n + 1 = 1 + (1/n) + (1/n)

²

2 + (1/n) + (1/n)

²

.

分母

,

分子の極限を別々に考えると

lim

n

# 1 + 1 n + ( 1

n )

²

$ = 1, lim

n

# 2 + 1 n + ( 1

n )

²

$ = 2

だから

lim

n→∞

n

²

+ n + 1 2n

²

+ n + 1 = 1

2 . !

問題

2.2. n → ∞

での極限値を計算せよ

. (i) 2n

²

+ 3n − 100

n

²

− n + 1 , (ii) n + √ n + 1 n

²

+ 1 , (iii) %

n

²

+ 1 − n, (iv) %

n

²

+ n + 1 − n. "

[

_解答

2.2]

判っていることに持ち込む

! "

n→∞

lim 1

n = 0, lim

n→∞

1

n

²

= 0, lim

n→∞

1

n

³

= 0, · · ·

# $

(i) 2n

²

+ 3n − 100

n

²

− n + 1 = 2 + 3/n − 100/n

²

1 − 1/n + 1/n

²

→ 2 + 0 − 0 1 − 0 + 0 = 2

1 = 2.

(ii) n + √ n + 1

n

²

+ 1 = 1/n + %

1/n

³

+ 1/n

⁴

1 + 1/n

²

→ 0 + √ 0 + 0 1 + 0 = 0,

!

式変形

"

` √ A − √

B ´

· ` √ A + √

B ´

= A − B ⇒ √ A − √

B = A − B

√ A + √ B .

# $

(iii) %

n

²

+ 1 − n = n

²

+ 1 − n

²

√ n

²

+ 1 + n = 1/n

% 1 + 1/n

²

+ 1

→ 0

√ 1 + 0 + 1 = 0, (iv) %

n

²

+ n + 1 − n = n

²

+ n − 1 − n

²

√ n

²

+ n + 1 + n = n − 1

√ n

²

+ n + 1 + n

= 1 − 1/n

% 1 + 1/n + 1/n

²

+ 1 → 1 − 0

√ 1 + 0 + 0 + 1 = 1 2 . !

問題

2.3.

_{次の極限を求めよ}

: (i) lim

n→∞

(1 + 2

n )

²ⁿ

, (ii) lim

n→∞

log(1 − 3

n )

⁻ⁿ⁻²

, (iii) lim

n→∞

(1 + 4 n + 1

n

²

)

ⁿ

&

ヒント

: 1 + 4

n < 1 + 4 n + 1

n

²

< (1 + 2 n )

²

'

. "

[

_解答

2.3]

判っていることに持ち込む

! "

n

lim

→∞

(1 + 1 n )

ⁿ

= e

# $

(i) (1 + 2

n )

²ⁿ

= ˘

(1 + 1

n/2 )

^n/2

¯

4

だから

, lim

_n→∞

(1 + 2

n )

²ⁿ

= e

⁴

. (ii) log

_{の中味を変形する}

:

(1 − 3

n )

⁻ⁿ⁻²

= ( n − 3

n )

⁻⁽ⁿ⁺²⁾

= ( n

n − 3 )

ⁿ⁺²

= (1 + 3 n − 3 )

ⁿ⁺²

= ˘ `

1 + 1

(n/3) − 1

´

(n/3)−1

| {z }

→ e

¯

3

`

1 + 1

(n/3) − 1

| {z }

→ 0

´

5

→ e

³

as n → ∞ .

よって

, lim

_n→∞

log(1 − 3

n )

⁻ⁿ⁻²

= log e

³

= 3.

(iii)

_{ヒントより}

(1 + 4 n )

ⁿ

< `

1 + 4 n + 1

n

²

´

n

< ` 1 + 2

n

´

2n

前と同じ変形で

n

lim

→∞

(1 + 4

n )

ⁿ

= e

⁴

, lim

n→∞

` 1 + 2 n

´

2n

= e

⁴ となり

,

_{「挟み打ち」から}

,

n

lim

→∞

(1 + 4 n + 1

n

²

)

ⁿ

= e

⁴

. !

問題

2.4 (

_{引っかけ問題}

).

_{次の数列を考える}

:

a

n

= ( − 1)

⁰

+ ( − 1)

¹

+ ( − 1)

²

+ · · · + ( − 1)

ⁿ⁻¹

,

= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · ·

すると

n

lim

→∞

a

n

= 1 − 1

| {z }

= 0

+ 1 − 1

| {z }

= 0

+ 1 − 1

| {z }

= 0

+ · · · = 0

あるいは

n→∞

lim a

n

= 1 − 1 + 1

| {z }

= 0

− 1 + 1

| {z }

= 0

− 1 + 1

| {z }

= 0

− · · · = 1

果たして

, lim

n→∞

a

n の値は何か

? ♥

[

_解答

] { a

n

}

は収束しない

.

正当派の格調高い

ε

_{論法を使う}

.

_次の

α

_として

, 1

_あるいは

0

_{のどちらを考え} ても

,

_{下の図が成立しない}

.

n

lim

→∞

a

n

= α ⇔

任意の

ε > 0

_にたいし

,

_{ある自然数}

N

_があり

(4)

n ≥ N → | a

n

− α | ≤ ε. )

" !

" # $

" % $

!&'(

!)( !*(

( ∗ )

_上図が

ε-

_{論法 のイメージ}

.

(i)

_{任意に小さな数}

ε > 0

_{を指定するとき}

,

_ある番号

N

_があり

,

_「

n ≥ N

_の

a

n

達」は

,

すべて赤色の帯の部分に有る

.

(ii)

_「

n < N

_の

a

n 達」は

,

_{どこに有ってもよい}

.

_{図の水色部分}

. !

3 _関数

問題

3.1.

_{次の式を簡単にせよ}

.

(i) log e 3 + 1

log

₃

e , (ii) log e

²

− 1

log

_3e

3 + 1 log 3 , (iii) log

₃

2 · log

₈

27. )

[

_問題

3.1

_解答

] (i) log e 3 + 1

log

₃

e = log e − log 3 + 1 (log e/ log 3)

= 1 − log 3 + log 3 = 1.

(ii) log e

²

− 1

log

_3e

3 + 1

log 3 = 2 log e − 1

log 3/ log 3e + 1 log 3

= 2 − log 3 + log e log 3 + 1

log 3 = 2 − 1 − 1

log 3 + 1 log 3 = 1.

(iii) log

₃

2 · log

₈

27 = log 2

log 3 · log 3

³

log 2

³

= log 2

log 3 · 3 log 3 2 log 2 = 1.

!

問題

3.2. Rearrange

2

²⁵⁰

, 5

¹¹⁰

, 10

⁷⁵

in order from the largest to smallest. Use that log

₁₀

2 = 0.3010. )

[

_問題

3.2] log

₁₀

5 = log

₁₀

10/2 = log

₁₀

10 − log

₁₀

2 = 1 − 0.301 = 0.699.

log

₁₀

5

¹¹⁰

= 110 · 0.699 = 76.89 > 75.25 = 250 · 0.301 = log

₁₀

2

²⁵⁰

> 75 = log

₁₀

10

⁷⁵

. !

問題

3.3. (i)

_{次の値を求めよ}

:

(1) log

₅

2 + log

₅

1000 + 2 log

_1/5

4, (2) log

₂

√

6 − log

₄

3.

(ii)

_{次の方程式を解け}

: log

₂

x + 1

√ 2 = 1 2 . ♥

[

_問題

3.3

_解答

] (i) (1) log

_1/5

a = − log

₅

a, 1000 = 125 × 8 = 5

³

× 2

³ _に注意 する

.

log

₅

2 + log

₅

1000 + 2 log

_1/5

4 = log

₅

2 + log

₅

5

³

× 2

³

− 2 log

₅

2

²

= log

₅

2 + 3 + 3 log

₅

2 − 4 log

₅

2 = 3.

(2) log

₄

a = log

₂

a

2

^{に注意する}

. log

₂

√

6 − log

₄

3 = log

₂

(3 × 2)

^1/2

− log

₂

3 2 = 1

2

` log

₂

3 + 1 − log

₂

3 ´

= 1 2 .

(ii) log

₂

(x + 1) − log

₂

2

^1/2

= 1/2

_だから

, log

₂

(x + 1) = 1.

_よって

x + 1 = 2

→ x = 1. !

問題

3.4 (

_範囲外

). (i)

次の等式をみたす正の実数は

2

_{つ存在することを示せ}

.

(5) 3

^x

= x

³

.

(ii) (

_難問

) (5)

_{を満たす正の実数を}

a, b (a < b)

_とする

. b = 3

_だが

,

_もう一つ の根

a

は有理数でないことを示せ

.

[

_ヒント

] (i) 3

^x

= x

³ _{の対数をとり}

x log 3 = 3 log x → x

log x = 3

log 3 .

_ここ で

,

_関数

f (x) ≡ x

log x − 3

log 3

^{のグラフを考える}

.

(ii) x

_{が有理数なら}

,

_{互いに素な整数}

j, k

_があり

, x = j/k

_{と表される}

. )

[

_問題

3.4

_解答

] Step 1. 3

^x

= x

³ _{の対数をとり}

x log 3 = 3 log x → x

log x = 3 log 3 .

ここで

f(x) ≡ x

log x − 3 log 3

とおく

. f(3) = 0

_{は簡単に判るが}

,

f

^$

(x) = 1 · log x − x · (1/x)

` log x ´

2

= log x − 1

` log x ´

2

.

f

^$

(e) = 0, 3 > e = 2.71 . . .

_{に注意して}

,

_関数

f

_{の増減表をつくると}

x 0 1 − 0 1 + 0 e 3

f

^$

(x) − − 0 + +

f(x) 0 - −∞ + ∞ - f(e) . 0 .

f(2) = log 9/8

log 2 · log 3 > 0

_{に注意すると}

,

_{この表から}

f(e) < 0.

_よって

,

_ある

2 < a < e

_があり

f(a) = 0.

_つまり

(6) (5)

_の根は

x = a, 3

_の二つで

, 2 < a < e.

1 2 3 4

!6

!4

!2 2 4

2.5 3.0 3.5 4.0

0.05 0.10 0.15

Step2. (5)

_{を満たす有理数}

x

_を考える

. x

_{は有理数なので}

,

_{互いに素な自然数}

j, k

_があり

, x = j/k.

3

^x

= x

³

→ 3

^j/k

= j

³

k

³

→ 3

^j

= j

^3k

k

^3k

→ k

^3k

· 3

^j

= j

^3k

.

最後の等式で

,

_左辺は

k

_{で割り切れる}

.

_つまり

j

^3k _が

k

_{で割り切れるので}

, j

_も

k

_{で割り切れる}

.

ところが「

j

_と

k

_{は互いに素」なので}

, k = 1 → x = j .

一方

,

_{最後の等式で}

,

_左辺は

3

_{で割り切れるから}

, j

^3k _が

3

_{で割り切れ}

,

_さらに

j

_も

3

_{で割り切れる}

.

つまり

(5)

_{を満たす有理数は}

3

_の倍数

.

_ところが

(6)

_の

a

_は

3

_{で割り切れないか} ら

,

_{有理数ではない}

. !