(Harish-Chandra,Waldspurger による ) p 進簡約群の Plancherel 公式

(1)

p 進簡約群の Plancherel 公式

(Harish-Chandra, Waldspurger による )

今野拓也 ¹ 、今野和子 ²

2002

年

6

月

28

日

1

九州大学大学院数理学研究院

E-mail : [email protected]

URL : http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/tkonno2599.html

このノートの作成およびその元となったセミナーは文部科学省学術振興会科研費課題番号

12740018

からの補助を受けています。

2

学振特別研究員京都大学大学院人間環境学研究科

E-mail : [email protected]

(2)

(3)

i

序文

これは

2001

年度に九州大学で行った「簡約群と保型形式」セミナーのノートである。テーマとして

p

進簡約群上の調和解析を選び、J.-L. Waldspurgerによる

p

進群の

Plancherel

公式の証明の論文

[Wal]

を詳説した。

実

Lie

群に対する

Plancherel

の公式は

Harish-Chandra

の

1975

年から翌年にかけての一連の論文

[HC84a], [HC84b], [HC84c]

で証明されている。彼は同様に

p

進群に対しても

Plancherel

公式の構成のプログラムやその帰結をアナウンスしていたが

[HC84e], [HC84d]、

不幸にしてその完成を見ないまま

1983

年に死去してしまった。しかし

Harish-Chandra

は指標の局所可積分性を証明した

[HC78]

のうち概説にとどまっている第３部の証明や、

p

進群の

Plancherel

公式について多くのノートを残していたことがわかり、L. Clozelと

P.-J. Sally

がそれを整理し発表する努力を続けてきた

¹

。私の理解が正しければ、[Wal]

はこのプロジェクトの一環である。しかし、Waldspurger自身が導入の中で述べているように、ここでの証明は

Harish-Chandra

の議論を再現するものではなく、その後の表現論の進歩を取り入れた新しいものになっている。

Harish-Chandra

の議論ではまず

Eisenstein

積分を導入しその解析接続を行う。そして

その函数等式から

c

函数を構成し、その性質から絡作用素の基本性質を引き出すという道筋である。一方の

[Wal]

では、[VW90]による実

Lie

群上の絡作用素を直接攻略する議論の類似が展開される。[VW90] では、有限次元表現を用いて

a ^∗ _M,

上の微分作用素

D _π

と「b 函数」b

π

で函数等式

b _π (λ)J _P _| _P (π _λ )φ = J _P _| _P (π _λ+4ρ _P )I _P ^G (π _λ+4ρ _P , D _π (λ))φ

を満たすものを構成する。ただし

4

章の記号を用いた。これにより絡作用素

J _P _| _P (π _λ )

をその

4ρ _P

シフトに関係づけて順次

− ρ _P

の方向に解析接続していく。

p

進群の場合にも微分作用素の代わりに

Levi

部分群の中心の作用を使って類似の議論を行うが、上の函数等式

は

4.1.5

節

(4.8)

に簡略化してしまう。特に絡作用素は

a ^∗ _M,

上の有理型函数であるばかり

か、Levi 部分群の不分岐指標のなす複素トーラス上の有理函数になってしまう。[VW90]

のアプローチの優れている点は、単に絡作用素が有理型に解析接続できるだけでなくその特異点をもとらえている点である。これにより絡作用素から

c

函数や

Plancherel

測度が構成できるので

Plancherel

公式の証明を著しく単純化できる

([Wal92]

の前半を参照)。

[Wal]

においてもその

p

進類似が展開される。

1 [HC78]

第３部については

Harish-Chandra (notes by S. Debacker and P.-J. Sally, Jr.), Admissible

invariant distributions on reductive p -adic groups , Univ. Lecture Series vol. 16, AMS, (1999)

として発表されている。

(4)

このノートではこれらの構成をできるだけ自己完結するよう解説した。数箇所の例外を除いて、予備知識としては

[Wei]

の１章にある非アルキメデス局所体の基本性質と、それ

を用いて

[BZ76], [BZ77]

で構成されている

p

進簡約群の表現論の基礎のみを仮定してい

る。参照する際の利便性のため章や定理などの番号付けはなるべく

[Wal]

に一致させたが、いくつかの箇所でずれが生じているのは上の理由で初等的な解説や補題などを差し挟んだためである。各章の内容は以下の通りである。

1

章では非アルキメデス局所体上の連結簡約群の構造や、その表現についての基本的な結果を準備する。1.1 節ではあまり文献がない制限ルートの構造や、基礎体の付値の離散性から引き起こされる特性を特に解説した。1.2 節では頻繁に用いられる中心指数による展開を始め、放物型誘導や

Jacquet

加群など

p

進群の表現論の基礎的な道具を思い出す。中心指数以外の概念は許容表現に限らず代数表現に対して意味を持つ点が重要である。[BZ76] では

Jacquet

加群の反傾表現についての記述がないため、それについての

Casselman

の議論

[Cas, 4

章] を

1.3

節にまとめておいた。誘導表現の連続族のように許

容的でない代数表現を扱うため、[BDKV84] から表現の

B

族の概念を引用する

1.4。最

後に

1.5

節で表現の行列成分からなる許容函数の空間を用意する。

2

章では以下で用いる評価式を一手に準備する。2.1 節では緩増加性を定義する際に用

いられる

Harish-Chandra

の

Ξ

函数を評価するが、後の

Langlands

分類の証明に備えて

少し拡張した函数を扱っている。アデール群に対するリダクションの理論と同様、評価式を得るには有理表現を用いることになる。2.2 節ではこの既約有理表現の分類を復習している。ここでは

Galois

コホモロジーについての基礎的な知識が必要になる。2.3, 2.4節ではこれらを用いて主に種々のノルムの比較や積分の収束を中心とした評価式を証明する。

3

章では以下の主人公である緩増加表現を導入する。3.1 節で土台となる二乗可積分表現やその行列成分の間の

Schur

の直交関係を復習した後、3.2-3.5節で緩増加表現と弱

Jacquet

加群や弱定数項などそれにまつわる基本概念を導入する。3.6, 3.7 節ではこれら

の双対的な役割を果たす

Schwartz-Harish-Chandra

函数を導入し、二乗可積分表現の行列成分が中心を法として

Schwartz-Harish-Chandra

函数であることを見る。

絡作用素の解析は

4

章で行われる。絡作用素の定義を述べた後、それが収束域を持つことを証明する

4.1.3, 4.1.4。この議論は標準的で基礎体がアルキメデス的な場合と全く

同じである。上で述べた

[VW90]

の構成の類似は

4.1.5

で行われる。これらから直ちに従う絡作用素の基本性質を

4.1.6

にまとめておく。4.2 では誘導する表現が緩増加な場合の絡作用素を考察する。特に

G

正則な既約二乗可積分表現からの誘導表現は既約でその上の絡作用素が定数倍になることが重要である。4.3 は私が完全に付け加えた唯一の節である。ここではまず絡作用素の応用として既約許容表現の

Langlands

分類を証明する。こ

れと

4.1.5

の中心指数の議論を組み合わせることにより、既約二乗可積分表現からの放物

型誘導表現がパラメタ集合の

Zariski

開部分集合上で既約なことが示せる。この性質によ

り

Plancherel

測度の逆数である

j

函数の存在が保証される

4.4。

5

章では

Plancherel

公式の記述に現れる

Eisenstein

函数、c 函数、Plancherel 測度が導入される。Waldspurger は

K

タイプに沿って積分した

Eisenstein

積分を全く用いず、

代わりに放物型誘導表現の行列成分である

Eisenstein

函数を扱っている。c函数もすでに準備されている絡作用素を用いて直接的に定義される。c函数のユニタリ軸上の主張部が

(5)

iii

Plancherel

測度で与えられることがここでの主結果である

5.2。

Plancherel

公式、あるいは

L ² (G)

のスペクトル分解の構成は

6

章から始まる。ここで

は

Eisenstein

函数が滑らかであることを確認した後、それを表現の多様体の連結成分上

で積分して波包函数

(wave packet)

を構成する

6.3。これは既約二乗可積分表現からの誘

導表現の

Weyl

群不変なファイバーの切断に

Schwartz-Harish-Chandra

函数を対応させる連続写像になる。

6.4

では波包函数の定数項（

Harish-Chandra

変換）を計算する。

続く

7

章では逆向きの

Schwartz-Harish-Chandra

函数に波包函数を対応させる写像を構成する。これは既約二乗可積分表現からの誘導表現にそれへの

Schwartz-Harish-Chandra

函数の作用を対応させるという自然なもので、特に

Harish-Chandra

変換と可換である。

7.2

ではこれら二つの写像がほぼ逆写像になっていることを示す。特に波包函数を取る写像は

C (G)

への単射になる。

最後の

8

章ではこの写像の全射性を示す。これは

K

タイプと中心指標を止めたときにそれらを持つ既約二乗可積分表現が有限個しかないことから従う。この有限性はそれらの行列成分たちの間の内積を表す積分の収束によって保証される。タイトルにある

Plancherel

公式はこの定理の系として得られる

(系 8.1.2)。

付録

A

では本文中で何度も用いられる

Bernstein

の中心について

[BDKV84]

から復習しておいた。特に群の中心の非コンパクトな成分については

[BZ76]

ではなく

[BDKV84]

の扱い

A.2

によった。また補題

A.3.5

の単射性の主張は実

Lie

群の表現の指数が消えないことの代わりとして重要な役割を果たしている。

最後になったが、技術的でわかりづらいセミナーに最後までつきあってくださった九州大学数理学府博士課程の井原健太郎君、安田貴徳君に心から感謝したい。

平成１４年６月２８日博多にて今野拓也

(6)

(7)

v

第 1 _{章設定と準備}

1.1 p 進簡約群の構造

ここでは

p

進体上定義された簡約代数群の構造について必要なことを復習しておく。基本的なことについては

[Bor91], [Spr98], [BT75], [Spr79]

などを参照されたい。

F

を非アルキメデス局所体とする

(正標数でもよい)。O , p,

をそれぞれ

F

の整数環、

その唯一の極大イデアル及びそれを生成する素元とする。剰余体

O /p

の位数を

q

と書く。F の代数閉包

F ¯

を固定し、その

F

上のガロア群を

Γ = Gal( ¯ F /F )

と書く。

F

のモジュラスを

| | F

で表す

[Wei]。

1.1.1

_{放物型部分群と実}

Lie

_環

F

上定義された代数群

G

に対して

X ^∗ (G) := Hom(G, G m )

と書き、その中の

F

有理的な元からなる部分群を

X ^∗ (G) _F

と書く。

G

の導来群を

G _der

と書き、

G _ab = G/G _der

をそのアーベル商とする。以下

G

は連結簡約だとしよう。すると

G _ab

はトーラスで

X ^∗ (G) X ^∗ (G _ab )

は自由である。A

G

で

G

の中心

Z(G)

内の極大

F

分裂トーラスを表す。制限射

X ^∗ (G) χ → χ | A _G ∈ X ^∗ (A _G )

は同型

X ^∗ (G) _F ⊗ Q −→ ^∼ X ^∗ (A _G ) ⊗ Q (1.1)

を与える。

G

内の極大

F

分裂トーラス

A ₀

を

1

つ固定する。その中心化群

M ₀

はある極小

(F

有理) 放物型部分群

P ₀

の

Levi

成分である。M

0

を含む

G

の

F

放物型部分群、F

-Levi

部分群の集合をそれぞれ

F

、L と書く。

P ∈ F

は

L

に属する

Levi

成分をただ一つ持つことに注意する。さらに一般に

M ∈ L

を含む放物型部分群の集合を

F (M )、Levi

部分群の集合を

L (M )

で表す。また

M

を

Levi

成分に持つ

F

放物型部分群の集合を

P (M )

と書く。P

∈ P (M)

に対して

P ¯

で

P ¯ ∩ P = M

となる

P (M)

の元を表し、M に関して

P

と相対する放物型部分群と呼ぶ。

M ∈ L

に対して

a _M := Hom(X ^∗ (M ) _F , R ), a ^∗ _M := X ^∗ (M ) _F ⊗ R

とおき、これらの間の標準双対性を

,

と書く。制限射たちのなす図式

X ^∗ (M ) _F −−−→ X ^∗ (A _M ) 

  

X ^∗ (G) F −−−→ X ^∗ (A G )

(12)

は可換である。特に

R

に係数拡大して可換図式

a ^∗ _M a ^∗ _M

埋め込み



  

^射影

a ^∗ _G a ^∗ _G

が得られる。言い換えれば、a

^∗ _G

は標準的に

a ^∗ _M

の直和因子と見なせる。双対を取れば、

a G

も

a M

の標準直和因子である。これらの補空間を

a ^G, _M ^∗ := X ^∗ (A _M /A _G ) ⊗ R , a ^G _M := { H ∈ a M | χ, H = 0, ∀ χ ∈ X ^∗ (G) _F }

と取れば、これらはそれぞれ

a ^∗ _M a ^∗ _G , a _M a _G

の核だから、互いに双対な直和分解

a ^∗ _M = a ^G, _M ^∗ ⊕ a ^∗ _G , a M = a ^G _M ⊕ a G

が成り立つ。λ

∈ a ^∗ _M

のこの分解での

a ^G, _M ^∗

および

a ^∗ _G

成分をおのおの

λ ^G , λ _G

と書く。

H ∈ a _M

に対しても同様に

H ^G ∈ a ^G _M , H _G ∈ a _G

が定まる。

1.1.2

制限ルート

G

の

Lie

環

g

上の

A _M

の随伴表現に現れる非自明な既約

(1

次元)表現を

A _M

の

G

でのルートと呼び、その集合を

Σ _M

と書く。

P ∈ P (M )

に対して、α

∈ Σ _M

で

P

の

Lie

環上に現れるものを

P

についての正ルート

(positive root)

とよび、その集合を

Σ _P

で表す。さらに

α ∈ Σ _P

で

α/n / ∈ Σ _P ( ∀ n ≥ 2)

なるものを被約ルート

(reduced root)

と呼び、それらの集合を

Σ ^red _P

とする。定義から明らかに

Σ _M ⊂ X ^∗ (A _M /A _G )

である。

逆に

X _∗ (A _M ) := Hom( G m , A _M )

を

A _M

の一変数部分群の群として、µ

^∨ ∈ X _∗ (A _M )

が

α, µ ^∨ = 0, ∀ α ∈ Σ _M

を満たせば

im µ ^∨ ⊂ Z (G)

である。im

µ ^∨

は

G m

に

F

同型ゆえ、

これは

µ ^∨ ∈ X _∗ (A _G )

を意味する。特に

(Span Σ _M ) ^⊥ ⊂ a _G

ゆえ、結局

a ^G, _M ^∗ = Span Σ _M (1.2)

を得る。

特に

M = M ₀

のとき、Σ

M 0 , a _M ₀

などを

Σ ₀ , a ₀

などと略記する。

[BT75,

系

5.8]

から

(Σ ₀ , a ^G, ₀ ^∗ )

はルート系をなす。すなわち、

(RS1) Σ ₀

は有限集合で

a ^G, ₀ ^∗

を生成する。

(RS2)

各

α ∈ Σ ₀

に対してコルートと呼ばれる

a ^G ₀

の元

α ^∨

であって、付随する鏡映

r _α : a ^G, ₀ ^∗ λ −→ λ − α ^∨ (λ)α ∈ a ^G, ₀ ^∗

が

Σ ₀

を保つようなものがある。それらの集合を

Σ ^∨ ₀

と書く。

(RS3) α, β ^∨ ∈ Z , ∀ α ∈ Σ ₀ , β ^∨ ∈ Σ ^∨ ₀ .

(13)

1.1. p

3

を満たしている。しかもコルートたちは

[Spr79, 2.2]

の構成の

F

有理版で得られるから、

Σ ^∨ ₀ ⊂ X _∗ (A ₀ )

である。P

0 ∈ P (M ₀ )

を止めれば、正系

Σ _P ₀ ⊂ Σ ₀

やその中の被約ルートの集合

Σ ^red _P

0

および単純ルートの集合

∆ _P ₀

が定まる。

∆ _P ₀

は

(Σ ₀ , a ^G, ₀ ^∗ )

の基底であるから、

(1.2)

より

∆ _P ₀

は

a ^G, ₀ ^∗

の基底である。

(1.3)

∆ ^∨ _P

0 := { α ^∨ | α ∈ ∆ _P ₀ }

とおけば、ルート系の定義は双対性で閉じている

[Boua, 6

章

§ 1 n.1

命題

2]

から

∆ ^∨ _P ₀

は

a ^G ₀

(1.4)

∆ ^∨ _P ₀

および

∆ _P ₀

に対する

a ^G, ₀ ^∗ , a ^G ₀

の双対基底をおのおの

∆ _P ₀ , ∆ ^∨ _P ₀

と書く。

次に一般の

M ∈ L

の場合を考えよう。P

∈ P (M )

を止め、P

0 ⊂ P

なる

P 0 ∈ P (M 0 )

を取る。∆

P := { α ₀ | M | α ₀ ∈ ∆ _P ₀ \ ∆ _P M

0 }

とおき、α

= α ₀ | M ∈ ∆ _P

のコルート

α ^∨

を

(α ^∨ ₀ ) _M

と定める。P

0

の取り方は

M (F )

共役をのぞいて一意だからこれは

P ₀

によらず定まる。∆

^∨ _P := { α ^∨ | α ∈ ∆ P }

とおけば、定義と

(1.3), (1.4)

から

∆ _P

は

a ^G, _M ^∗

の、∆

^∨ _P

は

a ^G _M

(1.5) α = α ₀ | _M ∈ ∆ _P

には双対基底元

_α ^∨ ₀ ∈ ∆ ^∨ _P ₀

が対応する。これは

a ^M, ₀ ^∗ = Span∆ _P M

0

と直

交しているから自然に

a M

の元と見なせる。これを

_α ^∨

と書き、

∆ ^∨ _P := { _α ^∨ | α ∈ ∆ _P }

とおく。同様に

∆ ^∨ _P

から

∆ _P := { _α := _α ₀ | α = α ₀ | M ∈ ∆ _P }

が定まる。定義から明らかに

∆ _P ⊂ a ^G, _M ^∗

は

∆ ^∨ _P

の、

∆ ^∨ _P ⊂ a ^G _M

は

∆ _P

のそれぞれ双対基底になっている。

(1.6)

なお

(Σ _M , a ^G, _M ^∗ )

は必ずしもルート系にはならないことを注意しておく。

1.1.3

制限ルートの幾何

前節の記号を使い続けるものとする。まず

(Σ ₀ , a ^G, ₀ ^∗ )

がルート系で

∆ _P ₀

がその基底であることから、

α, α ^∨ = 2, α, β ^∨ ≤ 0, ∀ α = β ∈ ∆ _P ₀ (1.7)

が成り立っている。a

^G, ₀ ^∗

内の

∆ _P ₀

および

∆ _P ₀

で張られる開錐をおのおの

a ^G, _P ₀ ^∗ ^,+ := { λ ∈ a ^G, ₀ ^∗ | α ^∨ (λ) > 0, α ∈ ∆ P ₀ } , ⁺ a ^G, _P ₀ ^∗ := { λ ∈ a ^G, ₀ ^∗ | _α ^∨ (λ) > 0, α ∈ ∆ P ₀ }

とおき、a

^∗ _P ^,+ ₀ := a ^G, _P ₀ ^∗ ^,+ ⊕ a ^∗ _G , ⁺ a ^∗ _P ₀ := ⁺ a ^G, _P ₀ ^∗ ⊕ a ^∗ _G

と定める。

[Boua, 5

章

§ 3 n.5]

から次を思い出す。

補題

1.1.1. a ^∗

を正定値対称形式

( | )

付きの有限次元実ベクトル空間とし、

∆

をその基底で

α = β ∈ ∆

に対して

(α | β) ≤ 0

を満たすものとする。このとき

(λ | α) > 0, ∀ α ∈ ∆

なる

λ ∈ a ^∗

を

λ =

α ∈ ∆ c _α α

と書けば、その係数

c _α

はすべて正である。

(14)

証明.

a ^∗

上のノルムを

x ² := (x | x)

で定める。まず

a ^∗

の元

λ 1 , . . . , λ r

が

(1) i = j

に対して

(λ _i | λ _j ) ≤ 0,

(2) a ^∗

の双対空間

a

の元

H

があって

λ _i , H > 0, ( ∀ i = 1, . . . , r)

を満たすならば、λ

1 , . . . , λ _r

は一次独立である。実際、(1) から

_r

i=1 c _i λ _i = 0

ならば

r i=1

c _i λ _i ² = r i,j=1

c _i c _j (λ _i | λ _j ) = r

i=1

c ² _i λ _i ² +

1 ≤ i<j ≤ r

2c _i c _j (λ _i | λ _j )

≥ r

i=1

c ² _i λ i ² +

1 ≤ i<j ≤ r

2 | c i c j | (λ i | λ j ) = r

i=1

| c i | λ i ² .

から

r

i=1 | c _i | λ _i = 0

である。よって

0 =

r i=1

| c _i | λ _i , H = r

i=1

| c _i | λ _i , H

に

(2)

を用いて全ての

c _i

が

0

でなければならない。

さて、λ

=

α ∈ ∆ c _α α

が

(λ | α) > 0 ( ∀ α ∈ ∆)

であるにも拘わらずある

β ∈ ∆

に対して

c _β < 0

だとすれば、

{− λ } ∆

は上の条件

(1)

を満たす。加えて

H ∈ a

を

α, H :=

 



1 α = β

のとき

− c _β

α ∈ ∆ | c _α |

それ以外のときと定めれば、

α, H > 0, ∀ α ∈ ∆, − λ, H = − c _β +

α =β c _α

α ∈ ∆ | c _α | c _β > 0

より

(2)

も満たされる。従って

{− λ } ∆

は一次独立となるが、これは

∆

が

a ^∗

の基底であることに反する。すなわち

c _β ≥ 0

でなくてはならない。さらに、もし

c _β = 0

なる

β ∈ ∆

があったとすると

(α | β) ≤ 0, ( ∀ α = β ∈ ∆)

から

(λ | β) =

α =β

c _α (α | β) ≤ 0

とならねばならず仮定に矛盾する。従って

c α > 0, ( ∀ α ∈ ∆)

でなくてはならない。

A ₀

の

G

での

Weyl

群

W := Norm(A ₀ , G(F ))/M ₀ (F )

は

a ^G, ₀ ^∗

に作用し、ルート系

Σ ₀

の

Weyl

群と同一視される。以下、W の

Norm(A ₀ , G(F ))

での完全代表系を固定し、それと

W

を同一視する。また

w ∈ W

のとき

w( • ) := Ad(w) •

などと書く。a

^G, ₀ ^∗

上の

W

不変正定値対称形式

( | )

を固定して、a

^G ₀

を

a ^G, ₀ ^∗

と同一視する。このとき

α ^∨ ∈ Σ ^∨ ₀

は

(15)

1.1. p

5 2α/(α | α)

と同一視される

[Boua, 6

章

§ 1 n.1,

補題

2]。このとき λ =

α ∈ ∆ ₀ c _α α ∈ a ^G, _P ^∗ ^,+

0

とすれば仮定から

(λ | α) = (α | α)

2 α ^∨ (λ) > 0, ∀ α ∈ ∆ ₀

ゆえ、補題

1.1.1

により

λ ∈ ⁺ a ^G, _P ₀ ^∗

である。すなわち

a ^∗ _P ^,+

0 ⊂ ⁺ a ^∗ _P ₀ . (1.8)

これらの性質を

a ^∗ _M

の場合に拡張しよう。a

^∗ _P ^,+ ₀

は

∆ P ₀

で張られる開錐だから、

⁺ a P ₀

の定義と併せて

(1.8)

は

_α , _β ^∨ ≥ 0, ( ∀ _α ∈ ∆ _P ₀ , _β ^∨ ∈ ∆ ^∨ _P

0 )

を意味する。これを

∆ _P = { _α | α ∈ ∆ _P ₀ \ ∆ _P M

0 } , ∆ ^∨ _P

に制限して、

_α , ^∨ _β ≥ 0, ∀ _α ∈ ∆ _P , ^∨ _β ∈ ∆ ^∨ _P (1.9)

あるいは

a ^∗ _P ^,+ := { λ ∈ a ^∗ _M | α ^∨ (λ) > 0, ∀ α ∈ ∆ _P } , ⁺ a ^∗ _P := { λ ∈ a ^∗ _M | ^∨ _α (λ) > 0, ∀ α ∈

∆ _P }

として

a ^∗ _P ^,+ ⊂ ⁺ a ^∗ _P (1.10)

が従う。ただし、a

^∗ _P ^,+

が

a ^G, _M ^∗

内の

∆ _P

で張られる開錘と

a ^∗ _G

の直和であることを使った。上と異なり閉包の間の包含関係になっていることに注意する。次に

α = α ₀ | M ∈ ∆ _P , (α ₀ ∈ ∆ _P ₀ \ ∆ _P M

0 )

を取れば、α

= (α ₀ ) _M

で

α ^M ₀ ∈ a ^M, ₀ ^∗

は

α ^M ₀ =

γ ∈ ∆ _{P M}

0 x _γ γ, x _γ ∈ R

と書ける。β

∈ ∆ _P M

0

の係数

x _β

は

∆ _P M

0 ⊂ a ^M, ₀ ^∗

の双対基底

∆ ^∨ _P _M

0

の元

^∨ _β ^,M

を用いて

x β = α ^M ₀ , ^∨ _β ^,M = α 0 , _β ^∨ ^,M

と表せる。(1.8) から

_β ^∨ ^,M ∈ a ^M,+ _P M

0 ⊂ ⁺ a ^M _P M

0

ゆえ

_β ^∨ ^,M =

γ ∈ ∆ _{P M}

0 y _γ γ ^∨ , y _γ ≥ 0

と書ける。よって

(1.7)

から

x β = α 0 , _β ^∨ ^,M =

γ ∈ ∆ _{P M}

0 y γ α 0 , γ ^∨ ≤ 0

を得る。特に

α = (β = β ₀ | M ) ∈ ∆ _P

に対して

α, β ^∨ = α ₀ −

γ ∈ ∆ _{P M}

0 x _γ γ, β ₀ ^∨ = α ₀ , β ₀ ^∨ −

γ ∈ ∆ _{P M}

0 x _γ γ, β ₀ ^∨ ≤ 0. (1.11)

(16)

一方、β

= α

の場合には

α, α ^∨ > 0, ∀ α ∈ ∆ _P (1.12)

である。実際

α ∈ ∆ _P

がこれを満たさなければ、

α, β ^∨ ≤ 0, ( ∀ β ^∨ ∈ ∆ ^∨ _P )

だから

α ∈

− a ^G, _P ^∗ ^,+ ⊂ − ⁺ a ^G, _P ^∗

。これは

α ∈ ⁺ a ^G, _P ^∗ ∩ − ⁺ a ^G, _P ^∗ = { 0 }

を意味するので矛盾である。

a ^∗ _M,reg := { λ ∈ a ^∗ _M | α ^∨ (λ) = 0, ∀ α ∈ Σ M }

とおけば、これは

P ∈ P (M)

に対する正の部屋

(P -positive chamber)

の直和に分解する:

a ^∗ _M,reg =

P ∈P (M) a ^∗ _P ^,+

。

a ^∗ _M \ a ^∗ _M,reg

が

a ^∗ _M ₁ , (M ₁ ∈ L (M ) \ { M } )

たちの合併であることに注意して、直和分解

a ^∗ _M =

P ₁ ∈F (M)

a ^∗ _P ^,+ ₁ (1.13)

を得る。

同様に

P ∈ P (M )

は

a ^G _M

内の正錘

a ^G,+ _P := { H ∈ a ^G _M | α(H) > 0, α ∈ ∆ _P }

および

a ⁺ _P := a ^G,+ _P ⊕ a G

を定めている。

1.1.4

_{不分岐擬指標}

以下簡単のため

G := G(F )

などと書く。χ

∈ X ^∗ (G) _F

とすれば

χ(G) ⊂ F ^×

なので

| χ | F : G g −→ | χ(g) | F ∈ R ^× +

は定義可能である。G

¹ :=

χ ∈ X ^∗ (G) _F ker | χ | F

とおく。有限生成自由アーベル群

X ^∗ (G) _F

の

Z

基底

{ χ _i } 1 ≤ i ≤ r

を取れば、im

| χ _i | F = q ⁿ ⁱ

, ( ∃ n _i ∈ N )

と書けるので同型

r i=1

| χ _i | F : G/G ¹ −→ ^∼ r i=1

q ⁿ ⁱ

(1.14)

が得られる。

G ¹

上自明な

G

の擬指標たちのなす群を

X(G) := Hom(G/G ¹ , C ^× )

と書く。

{ χ ^∨ _i } 1 ≤ i ≤ r

で

{ χ _i } 1 ≤ i ≤ r

に双対な

a G

の基底を表す。準同型

H _G : G → a G

を

χ, H G (g) = log | χ(g) | F , ∀ χ ∈ X ^∗ (G) F

によって定めれば、その核は

G ¹

でその像

a G := H G (G) =

r i=1

Z (n i log q)χ ^∨ _i

は

a G

内の

Z

格子である。同様に

a G := H G (A G )

は

a G

の部分格子になる。これらの双対格子を

a ^∗ _G := Hom(a G , Z ) ⊂ a ^∗ _G := Hom( a G , Z ) ⊂ a ^∗ _G

とする。定義から、a

^∗ _G, :=

a ^∗ _G ⊗ C = r

i=1 C χ _i

に注意して得られる全射

a ^∗ _G, λ −→ λ _G := (g → exp λ, H _G (g) ) ∈ X(G) (1.15)

(17)

1.1. p

7

は同型

a ^∗ _G, /(2πi)a ^∗ _G −→ ^∼ X(G)

を与える。これにより

X(G)

は

C

トーラスの構造を持つ。

X (G) := { ω ∈ X(G) | im ω ⊂ R ^× + } , X _unit (G) := { ω ∈ X(G) | im ω ⊂ C ¹ }

とおき、ω

∈ X(G)

の分解

X(G) = X (G) × X _unit (G)

における

X (G)

及び

X _unit (G)

成分を各々

Re ω, im ω

と書く。

次に

M ∈ L

として

X(M)

と

X(G)

の間の関係を見てみよう。

χ ∈ X ^∗ (G) _F

で

m ∈ M ¹

ならば

| χ(m) | F = | (χ | M )(m) | F = 1

だから、M

¹ ⊂ G ¹

である。特に制限射

X(G) χ −→ χ | M ∈ X(M) (1.16)

は定義可能である。同様に

X ^G (M) := Hom((M ∩ G ¹ )/M ¹ , C ^× )

も定義可能である。次の補題で用いる

Galois

コホモロジーについては

[Ser68]

を参照されたい。

補題

1.1.2. M ₀ → G

から定まる

Galois

コホモロジー群の射

H ¹ (F, M ₀ ) → H ¹ (F, G)

は単射である。

証明.

M ₀ ( ¯ F )

値の

1

コサイクル

{ m _σ } σ ∈ Γ

が

G

で分裂していれば、g

∈ G( ¯ F )

があって任意の

σ ∈ Γ

に対して

m _σ = g ⁻ ¹ σ(g)

である。P

0 ∈ P (M ₀ )

を止めて

P ₀ := Ad(g)P ₀ , M ₀ := Ad(g)M ₀

とおけば、これは

σ(P ₀ , M ₀ ) = Ad(σ(g))(P ₀ , M ₀ ) = Ad(gm _σ )(P ₀ , M ₀ ) = Ad(g )(P ₀ , M ₀ )

= (P ₀ , M ₀ )

より再び

G

の極小放物型部分群である。従って

[BT75,

定理

4.13、命題 4.7]

から

h ∈ G(F )

で

(P ₀ , M ₀ ) = Ad(h)(P ₀ , M ₀ )

なるものが存在する。m

:= h ⁻ ¹ g

とおけば、m

∈ Norm(P ₀ , G( ¯ F )) = P ₀ ( ¯ F )、さらに m ∈ Norm(M ₀ , P ₀ ( ¯ F )) = M ₀ ( ¯ F )

がわかる。このとき任意の

σ ∈ Γ

に対して

m ⁻ ¹ σ(m) = g ⁻ ¹ hσ(h ⁻ ¹ g) = g ⁻ ¹ hh ⁻ ¹ σ(g) = m _σ

が成り立つ。つまり

{ m _σ } σ ∈ Γ

は

M

ですでに分解しており、補題が証明された。

系

1.1.3. M ∈ L , χ ∈ X ^∗ (G) F

のとき、χ(M) =

χ(G)

である。

証明.

χ(M ₀ ) ⊂ χ(M) ⊂ χ(G)

であるから、M

= M ₀

の場合を示せば十分である。G の部分群

H

と

G _der

の交わりを

H ^der

、H の

G _ab

での像を

H ^ab

と書く。χ

∈ X ^∗ (G) _F = X ^∗ (G _ab ) _F

であるから、系の主張は

(Harish-Chandra,Waldspurger による ) p 進簡約群の Plancherel 公式

p 進簡約群の Plancherel 公式