第１章中間値の定理

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2002 年度

数学展望 II

— 連続性とトポロジー —

講義録

金井雅彦著

名古屋大学理学部数理学科

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f(a)·f(b)<0 (1.1) を満たすと仮定しましょう．このとき，f(a)と f(b)は異なる符号を持たなければなりません．すなわち，f(a)<0かつf(b)>0が成り立つか，あるいは逆に f(a)>0 かつf(b)<0 が成り立つかのどちらかです．したがって y=f(x)

1

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(a≤x≤b) のグラフを左側から描き始めると，第1 の場合には x-軸の下側から始まりx-軸の上側で終わり，一方第2 の場合には逆にx-軸の上側から始まり x-軸の下側で終わります（図A.2）．ところで，関数f は連続であると仮定していたわけですから，そのグラフは切れ目のない連続曲線なわけです．したがっていずれの場合にも，関数 f のグラフは少なくとも１点で x-軸と交わるはずです．

そしてその交点のx-座標をc（ただしa < c < b) とすれば，f(c) = 0が成り立つのは言うまでもありません．また (1.1)の代わりにf(a)·f(b) = 0 が成り立つときには，f(a) あるいは f(b) の少なくとも一方はゼロでなければなりません．したがってこの場合にも，a, bのうち適当な方をとり c とすれば，やはり f(c) = 0が成り立ちます．

a

b c

(a)

a

c b

(b)

図 A.2: 中間値の定理

左はf(a)<0かつf(b)>0の場合，一方右はf(a)>0かつf(b)<0 の場合．いずれの場合にもグラフはx-軸と交わりを持つ．

以上の議論をまとめることにより，次の定理を得ます．

定理 1.1 (中間値の定理). ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

有界閉区間 [a, b]上で定義された関数 f が連続，かつ f(a)·f(b)≤0 を満たすならば，

f(c) = 0

なる c が区間[a, b]内に少なくともひとつ存在する．

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

言い換えると，この定理の仮定のもと，方程式f(x) = 0（ただしa≤x≤b）が，少なくともひとつの解を持つことが保証されたわけです．

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A. 中間値の定理の応用２題 3 この中間値の定理，一見したところ極めて当たり前のこととしか思えません．

その証明も実に簡単でした．しかし実は中間値の定理には大きな力が秘められています．それを実際に体験するのがこの章の最初の目的です．

さてここで皆さんに中間値の定理の面白さを知ってもらうために，それを使って解くことができるパズルふうの問題をふたつほど出すことにします．ただし，それらに対し完全かつ厳密な解答を与えるには，このノートの範囲を超えた知識が若干必要になるかも知れないことを，あらかじめお断りしておきます．ともかく，解答を読み始める前に，是非とも皆さん各自で考えてみることを強くお勧めします．

問題 1.2. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

平面内に有界な領域がふたつ与えられたとき，その平面内に直線を 1本適当に引くことにより，それら領域のおのおのを面積の等しいふたつの部分に分けられることを示せ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

図 A.3: ケーキの等分問題

この問題は，次の様に例えることが出来るかも知れません．いま，テーブルの上にケーキがふたつ乗っているとしましょう．それをふたりの人が分け合って食べることにしました．このふたりは公平を好む質の人らしく，それぞれのケーキを同じ分量だけ食べたいそうです．したがって，それらふたつのケーキを，ナイフを使って等分する必要があります．このとき，使うナイフが非常に長ければ，

それをたった一度だけ使うことにより目的が達成される，ということを上の問題は述べています．ただし，このふたりはそのケーキの上に乗っているかも知れない苺やチョコレートの分配の公正さまでは期待しないこととさせて下さい．

次の問題に進みましょう．問題文が少々長いので注意して読み進んで下さい．

問題 1.3. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A 駅から B 駅へ至るまっすぐな線路の上を走る1 台の電車がある．そしてその床面上に，下端がちょうつがいで床面に固定された棒がついていて，それが電車の加速・減速に応じて前後に揺れ動くようになっているとしよう．さて，その電車がある時刻に A 駅を出発し，一定時間後 B 駅に到着するとする．ただしその間

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電車は加速・減速を何度でも繰り返すことが出来るし，さらには途中で急停止したり，あるいはバックしたりする可能性もあるものとする．A 駅を出発する瞬間までは棒を手で保持し，出発の瞬間手を離し，その後は電車の加速・減速に応じ棒は前後に揺れ動くとする．このとき，もし出発時の棒の角度を適当にとれば，

B 駅に到着した瞬間に棒がまっすぐ立っているよう出来ることを示せ．ただし電車の運行規則はあらかじめ決まっていて，それに応じて出発時の棒の角度を選べるものとする．また仮に棒が途中で倒れた場合には，床面上でバウンドしたりしないでそのまま倒れ続けているものとする．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A 駅 B 駅

図A.4: 電車の問題

B

問題解説

さて，問題1.2の解説を始めることにしましょう．ところで，この問題を初めて聞いた人のなかには，一体何から考え始めたらいいのか，まったく見当がつかないと感じた人も少なくないと思います．そこで，そういった人達へのヒント．

一般に，問題が難しすぎて何をやったらいいのか分からないような場合には，

その問題自体のかわりに，それを単純化したより簡単な問題を手始めに考えることが，問題解決の大きな糸口になることがあります．実は問題 1.2はその方法が有効な典型例です．でも問題 1.2をどのように単純化したらよいでしょう．そもそも問題は，平面内に与えられたふたつの領域をいっぺんに等分せよ，というものだったわけですが，もし仮に与えられた領域の数がひとつだけだったら話はずいぶんと簡単になるのではないでしょうか．言い換えれば，問題 1.2を解くための準備として，「平面内に与えられたひとつの有界領域を，その平面内に直線を1 本引くことにより，面積の等しいふたつの部分に分割せよ」という，より易しい問題を最初に考えよう，というわけです．もちろん，これが出来なければ最初の問題 1.2が解けるわけがありません．それでは，仮にこの単純化された問題，すなわち，平面内に与えられたひとつの有界領域を１本の直線により等分する問題が肯定的に解けたとして，それをどうやって本来の問題 1.2の解答に活かすことが出来るでしょうか．平面内に有界領域がふたつ与えられた場合には，上述の単

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B. 問題解説 5 純化された問題に対する解答を，ふたつの領域のうちの一方— これを領域 Ω1

と呼ぶことにしましょう —に適用することにより，その領域Ω₁ を等分する直線が少なくとも１本存在することが分かるはずです．したがって問題 1.2の解答を完成させるためには，領域Ω1 を等分する直線のなかに，第2の領域 —これを Ω₂ と呼ぶことにします— をも等分するものがあることを言えればよいわけです．そしてもちろんそのためには，第 1 の領域 Ω1 を等分する直線が沢山あったほうが有利であろうことは言うまでもないことです．以上のように考えると，問題 1.2を解くための準備として，次の問題を考えたらよいのではないか，

という結論に辿り着きます．

問題 1.4. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

平面内に有界領域がひとつ与えられたとき，それを面積の等しい２つの部分に分ける直線はどれくらいたくさんあるか．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず問題1.4に対する答を述べることにします．ところでこういった，ある意味で曖昧な問題に対する答は，ふた通り以上あるのが普通で，実際問題1.4に対する答え方もいろいろあると思います．以下で述べるものは，単にそのうちのひとつだと思って下さい．いま Ω で，平面内の任意の有界領域を表すことにしましょう．一方を，その平面内の原点O を通る任意の直線とします．このとき，

問題1.4に対するひとつの解答は次のようなものです：

直線と平行な直線で，しかも領域 Ωを面積の等しいふたつの部分に分割するものが必ずただひとつ存在する．

したがって，領域Ωを等分する直線が，原点を通る直線と同じだけ多く存在することになります．

O

Ω l

図 B.1:

さて，これを証明しましょう．直線と平行な直線をパラメータ付けるために，

平面内に直交座標系(u, v)を，u-軸がちょうど直線と平行になるようとります．

するともちろん，直線と平行な任意の直線は，v=t（ただしtは定数とする）

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の形に一意的に表されます．そしてパラメータ tの値を変化させるとそれに応じて直線v =tが平行に移動します．とくにtの値が非常に小さいときには，領域 Ω全体が直線v=tの上側にあることが（領域Ωの有界性より）判ると思います

（ただし，ここで「上側」とは，あくまで(u, v)-座標系に関してのものです）．ところがtの値を徐々に増加させていくと，そのうち直線 v=tと領域Ωとが共通部分を持つようになります．そしてさらに tの値を増加させていくと，今度は逆に領域 Ω全体が直線v=tの下側にある，といった状態になります．いま一般に，直線 v =t 上の下側にある部分の面積を A₋，上側にある部分の面積を A₊としましょう（図B.2 )．ただし，領域 Ω全体が直線v=tの上側にある

u v

v=t

A

+

-

O

図 B.2:

場合には A₋= 0 と，また逆に領域Ω全体が直線v=tの下側にある場合には A+= 0と約束することにします．すると，ふたつの面積の差A+−A₋は変数 t の関数と思えるので，それを記号f(t) で表すことにします：

f(t) =A₊−A₋.

そのとき，関数 f(t) が減少関数であること，すなわち，t1 < t2 ならば f(t₁) ≥f(t₂) となることがただちに判ります．また S で領域 Ω 全体の面積を表すことにすれば，さきほど述べたことより，t が十分小さいときには f(t) =S >0，一方t が非常に大きいときには f(t) =−S <0 が成り立つことも明らかだと思います．そして最後に，関数 f(t) がt の連続関数であることも，少なくとも直観的には困難なく見てとれるのではないでしょうか．ここまで来れば，後どうやって問題 1.4 に対する上述の答を導くかはきわめて容易なはずです．実際，関数 f に対し，中間値の定理を適用すれば，f(t0) = 0 なる実数 t₀ が存在することがただちに結論されます．さらに関数f の単調性より，

t0 の一意性もただちに判ります．そしてこのt0 に対応する直線v=t0 が，領域 Ωを面積の等しいふたつの部分に分割することは，関数f の定義からすぐに見てとれると思います．以上が，問題 1.4に対する解答です．

ようやく問題1.2に対する解答を述べる準備が出来ました．いま，Ω₁，Ω₂ を

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B. 問題解説 7

t f(t)

O S

-S t0

図B.3: 関数f(t)のグラフ

平面内の任意の有界領域としましょう．一方，その平面内の原点から発する単位ベクトルu を任意に取ります. ただし，単位ベクトルとは長さが 1のベクトルを意味します．このとき，この単位ベクトルu が，あらかじめ平面内に与えられた O−xy 座標系の x-軸正の部分とそれ自身がなす角 θ（ただし0≤θ≤2π）により完全に決定されるのは言うまでもありません．さてここで問題1.4の解答を，

特に第1の領域Ω1，およびベクトルuと平行な直線に対し適用することにより，

ベクトルu に平行で，しかも領域Ω₁ を面積の等しいふたつの部分に分割する直線が，ただひとつ存在することが導かれます．その直線は，単位ベクトル u と x-軸正の方向のなす角 θにより完全に決定されるので，それを以下では_θ と書くことにします．たったいま述べたとおり，直線θ は第 1の領域 Ω1 を等分しますが，第2の領域Ω₂ を等分するとは限りません．そこで，次のようなθの関数g(θ) を導入します．まず，直線_θ が領域Ω₂ をふたつの部分に分ける場合を考えます．直線_θ によって分割されたΩ2 のふたつの部分のうち，直線_θ 上をベクトルu と同じ向きに進んだとき，その右側に見える部分をとり，その面積を ARと，またその左側に見える部分の面積をALとします．そしてこの場合には，

g(θ) =A_R−A_L

で関数 g(θ) を定義します．一方，直線 _θ 上をベクトルu の向きに進んだと

u

Ω

1

2

l_θ

θ

A_L

A_R

図 B.4:

き，領域 Ω₂ 全体がその右側にのみにある場合にはg(θ) = (領域Ω₂の面積)と，

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また逆に，左側にのみにある場合には，g(θ) =−(領域Ω2の面積) と定義するのはきわめて自然です．たったいま導入した関数g(θ) (0≤θ <2π)の最も重要な性質は

g(θ+π) =−g(θ), 0≤θ < π (1.2) が成り立つことです．どうしてこの (1.2)が成り立つのかを，説明しましょう．

ふたつの直線_θ と_θ+π を考えると，定義によれば，これらはともに領域 Ω₁ を等分し，しかも，互いに平行でなければなりません．さてここで，問題 1.4 に対する解答を思い起しましょう．与えられた直線に平行で，しかも与えられたひとつの領域を等分する直線の存在だけでなく，その一意性もそこで示したはずです．とくに，その一意性を適用することにより，ふたつの直線 _θ,_θ+π が一致することが結論されます．ここでさらに関数 g(θ) の定義を思い出すと，

g(θ) と g(θ+π) は符号を除いては等しい，すなわち，|g(θ)|=|g(θ+π)|^が成り立つことが判ります．ただし，直線 _θ と直線 _θ+π の「向き」は異なるので，直線 θ から見て右側にあるものは直線 θ+π から見ると左側に，また逆に _θ から見て左側にあるものは_θ+π から見ると右側に位置することになります．

以上から関数 g(θ) が性質(1.2)を有することが結論されます．

性質(1.2) から特に g(0)·g(π)≤0 が成り立つことがただちに見て取れます．さらに関数 g(θ) のもうひとつの重要な性質として，— ただし，その証明は必ずしも容易ではありませんが — それが連続であることが挙げられます．

これらふたつの事柄から，関数 g(θ) に対し中間値の定理を適用しg(θ₀) = 0なる角度 θ0 の存在を導くことが可能になります．そして，この角 θ0 に対応する直線 _θ₀ が，第 1の領域 Ω₁ のみならず第2 の領域 Ω₂ をも等分することが，

直線 θ および関数 g(θ) の定義から判ります．これで，問題1.2に対する解答が

（関数f，および gの連続性の証明を除いて）終了したわけです．

電車の問題1.3の解説に進むことにしましょう．はたして，本当にこの問題のなかで述べられているようなことは可能なのでしょうか．少し考えただけではありそうもないことと感じられるかも知れません．ところでこの問題で述べられている棒の運動自体は，Newton の運動方程式という，一種の常微分方程式により記述されます．けれども運動方程式を具体的に解こうとすることは，この問題を考えるうえで得策ではありません．そもそも，電車の運行自体が具体的に与えられていないからです．それでは，電車の運行が具体的に与えられていた場合に限ったらどうでしょうか．たしかにこの場合には，運動方程式を解き棒の運動を決定することで問題に答えられるかもしれません．しかし実際それを実行することは，一般には決して容易ではないはずです．ところが中間値の定理を用いると，これから見るように，なんの技術的困難もなく，しかもどんな

（すなわち具体的に与えられているとは限らない）電車の運行に関しても，この問

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B. 問題解説 9

題を解くことが出来ます．

ともかく中間値の定理をこの問題に応用するためには，なんらかの関数を導入する必要があります．さて，どうやってその関数を探したらよいでしょう．出発時における棒の角度を選ぶ，これだけがこの問題のなかでわれわれが自由に出来ることです．そこで，出発時の棒の角度θ（ただし −π/2≤θ≤π/2)を図B.5 のように計り，それをいわゆる独立変数と考える，というのはさほど不自然ではないはずです．一方，問題なのは到着時の棒の角度です．途中のことは問題にはなりません．しかも，「電車の運行はあらかじめ決まっている」という約束からすると，到着時の棒の角度は出発時の棒の角度θ のみで決定される，すなわち，変数 θの関数であることが判ります．そこで到着時の棒の角度を出発時と同様な仕方で計り，それを h(θ)と書くことにしましょう．

θ

＋ − ＋ −

A 駅 B 駅

θ h( )

図 B.5: 棒の傾き具合の計り方

棒が鉛直からどれだけ傾いているかを計る．ただし進行方向に対し前向きに傾いたときにはマイナスと，また後ろ向きに傾いているときにはプラスと約束する．

さて，ここでもうひとつの取り決め，すなわち，「棒はいったん倒れたらそれ以降ずっと倒れたままである」という約束を思い出して下さい．したがって，とくに出発時に棒を倒しておけば到着時にも棒は同じよう倒れている，ということになります．これを関数 h(θ) を用いて表現すれば，

h(−π/2) =−π/2 かつ h(π/2) =π/2

ということに他なりません．一方，先程述べた通り，棒の運動はニュートンの運動方程式という，一種の常微分方程式で記述されます．そして，「常微分方程式の解は，初期条件に連続的に依存する」という，常微分方程式に関する基本的な定理のひとつを適用することにより，特に関数hが連続であることが結論されます．

あとは単に中間値の定理を関数 hに適用するだけです．実際，中間値の定理によれば h(θ0) = 0 となる角度 θ0 が存在しなければなりません．ところがこれは，

出発時に棒を角度θ₀ で立たせておけば，到着時には棒が鉛直である，ということ

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にほかなりません．これが問題 1.3に対する答です．¹

C

連続性の新たな定義

§Aで述べた定義によれば，区間I 上で定義された実数値関数が連続であるとは，

そのグラフが連続曲線となることを意味しました．でも，実はこの定義，いくつか本質的な難点を持っています．まずこの定義によれば，関数の連続性はそのグラフとして得られる曲線の連続性に帰結されますが，そもそも，曲線，およびその連続性とは一体何なのでしょう．これに対する厳密な解答無くしては，関数の連続性の厳密な議論は不可能です．これが§Aで述べた連続性の定義の第1の問題点です．第 2の問題点は，たとえば前節で取り扱ったような，中間値の定理の応用問題を通じて顕れます．問題1.2，1.3に対する解答を思い起こして見ましょう．その中には，f,g,h合計 3つの関数が現れました．そしてそれら連続性が解答において最も本質的な役割を果たしていました．これら関数の連続性，たぶん直感的には正しいであろうと感じられるとは思いますが，果たして本当にそうなのでしょうか．一旦疑いを抱くと，厳密な証明を与えない限りなかなか心は晴れません．でもどうやってこれら関数の連続性を証明すればよいのでしょうか．

§Aで与えた定義に基づくならば，まずこれら関数のグラフを描き，そのグラフが連続曲線になっていることを確認すればよいはずです．ところが，前節の問題の解答で利用した3つの関数は，具体的な式で与えられているようなものではありません．したがって，そのグラフを具体的に描くことが出来ないわけで，その結果グラフを通じて連続性を判定するのは実際的には不可能になります．これら関数以外にも，抽象的な仕方でしか定義できない関数を取り扱う必要がしばしばありますが，

それらに対しても事情は全く同じです．これが第2の欠点です．第 3の欠点は，

高次元化が困難であることです．数学では，区間上で定義された実数値関数のみならず，ふたつのユークリッド空間の間で定義された写像 Rⁿ→R^m ^{や，さらには}

1この問題を実際講義中に出題したときによく受ける質問として次のようなものがあります．

A駅からB駅に向かう途中，電車が例えば1時間停止するとする．すると停止し始めのときに棒はまっすぐ立っていなければならない．ところが1時間の停止時間が経過した後に電車が思いっきり勢いよく急発進するとしよう．すると棒は後ろ向きに倒れてしまうではないか！

この論法のどこが誤りなのでしょう．「棒が倒れるには時間がかかる」というのがポイントです．例えば棒を床面からの角度が30度であるよう傾け，手を離します．棒が倒れきるまでに，例えば0.1 秒かかったとしましょう．今度はもう少しまっすぐに棒をたててから手を離してみましょう．例えば最初に床面からの角度が89度であるように傾けた場合，倒れきるまでにかかる時間は先程より大分長くなるはずです．最初の棒の角度を鉛直に近づければ近づけるほど，倒れるのに要する時間はいくらでも長くできます．したがって電車が長時間停止する場合でも，その停止開始時期に棒はまっすぐにたっている必要はありません．むしろ停止時間が終わり急発進する瞬間に棒が思いっきり前屈みになっていた方が好都合なはずです．

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C. 連続性の新たな定義 11

「無限次元」空間の間で定義された写像の連続性を議論することがありますが，このような関数のグラフを描くと言うことは現実的には不可能です．たとえば，

n-次元ユークリッド空間Rⁿ ^から m-次元ユークリッド空間 R^m ^{への写像に対} し，そのグラフを形式的に(m+n)-次元ユークリッド空間R^m+n^{の中の部分集} 合として定義することは可能です．しかし m+n >3の場合には，そのグラフを実際に描くことは不可能です．それどころかそのグラフを頭の中に思い浮かべることさえ極めて困難なはずです．したがって，この場合にもまた，グラフを介して与えられた写像の連続性を判定することは，実際的には不可能としか言いようがありません．

関数の連続性をそのグラフの連続性に還元することにより定義する，という方法は，一見直感的には理解が容易に見えるかも知れませんが，以上で述べたとおり，種々の問題点を有します．そこで，この連続性の定義にこれ以上固執するのはやめにして，別の定義を与えることにします．²

定義 1.5. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f を区間 I 上で定義された関数とする．a∈I に対し，以下の条件が成り立つとき，f は a において連続であると言われる：

{an} ^{を，すべての番号}n に対しan∈I，かつ aに収束するような任意の数列としたとき，必ず，

nlim→∞f(a_n) =f(a) (1.3) が成り立つ．

またすべての a∈I において f が連続であるとき，f はI 上連続，あるいは単に連続であると言われる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(1.3)においてa= lim_n_→∞a_nでしたから，これを右辺に代入すれば，

nlim→∞f(an) =f( lim

n→∞an), すなわち，関数f は極限操作 lim

n→∞と可換である，ということになります．そして，これが定義区間I 内の任意の収束数列に対し成り立つということが，連続性の意味です．

2関数の連続性を定義するひとつの方法として−δ論法と呼ばれるものがあります．ただこの論法，微積分を初めて本格的に学ぶ大学１年生等初学者にとっては余りに厳密すぎて，決して理解が容易ではないものとして定評があります．そこでここでは−δ論法を避け，もう少し理解の容易な別の定式化を行います．しかしここで与えた定義と−δ論法を用いた定義は全く同等ですので，

−δ論法を使っていないからと言ってなんら心配する必要はありません．

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たとえば

f(x) =

x+ 1 x <0, x−1 x≥0

で定義される関数は，そのグラフを考えればすぐ分かるように，x= 0で不連続なはずです（図C.1）．これを定義 1.5にのっとって実際に示してみましょう．そのためにとくに an=−1/n(n= 1,2,· · ·)で定義される数列{an}^{をとります．}

a_n<0 かつ a_n→0 (n→ ∞)であることに注意しましょう．したがって，とくに f( lim

n→∞an) =−1 が成り立ちます．ところが一方，lim

n→∞f(an) = 1 を得ます．したがって，lim

n→∞f(an)=f( lim

n→∞an) となり，f がx= 0 で連続でないことが分かります．

x y

O

図 C.1: 不連続な関数の例

この定義，関数の連続性をそのグラフの連続性により定義するという流儀と比べると，随分形式的であり，したがってまた直感的には理解しにくいもの，という印象を与えるかも知れません．確かにその通りだと思います．しかし，その

「形式性」こそが連続性の厳密な取り扱いを初めて可能にします．また視覚的直感に依存していないことから，後に見るように，その高次元化も容易です．ただし区間上で定義された実数値関数の場合には，そのグラフを介して連続性を理解する，という考え方は，厳密ではないにせよ，いろいろな現象を予期したり，あるいは理解したりする上で，極めて重要であることに変わりありません．数学においては直感的理解が極めて重要な役割を果たします．確かに，数学は他の学問分野と比べたとき，極端に厳密性を好む学問です．とくに，数学的主張，あるいは仮説は，それが証明されて初めて正しいもの，すなわち定理として認知されます．

しかしながら，数学者が新たな定理を得るにあたっては，それに対するの証明を与える前に，その主張が正しいであろうことを何らかの直感に基づき期待・判断します．これなくして定理は生まれてこないのです．直感力こそ数学の原動力である，と言っても過言ではないと思います．しかし一方，数学の対象は極めて抽象的で，しかもその中にはときに一種病理的なものが含まれていることがあります．そして，そのようなものに対し私たちの直感を不用意に適用すると，しばし

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D. 有界単調数列 13 ば誤った結論に導かれることがあります．その危険を回避するために，厳密な論理的・形式的な思考が必要となるわけです．

ところで，問題1.2，1.3の解答に現れた3つの関数f,g,h の連続性もこの新しい定義にのっとり証明できます．とくに関数 f の連続性の証明はそれほど難しくありません．諸君もちょっと努力すれば，証明できるかと思います．一方，

関数 gの連続性はそれより大分難しいかと思います．なお，g の連続性を示すにあたっては解答に現れた直線_θ の一意性が必要不可欠です．電車の問題に対する解答に現れた関数 hの連続性が常微分方程式に対する一般論から従うことはすべに述べた通りです．これは数学関連の学科では，通常大学２，３年生で学習するはずの内容です．

D

有界単調数列

ともかく，今後われわれは定義1.5を関数の連続性の定義として採用します．すると，もはや中間値の定理は自明な主張ではありません．新たな定義1.5に基づいた中間値の定理の証明を与えなければなりません．ただしそのためには数列の収束に関する準備が必要です．それをこの節で行うことにしましょう．まずは定義です．

定義 1.6. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

{an}^{を数列とする．}

(1)もし

a0 ≤a1≤ · · · ≤an≤an+1≤ · · ·

が成り立つならば，{a_n} は広義単調増加，あるいは単に単調増加であると言われる．また，逆に

a₀ ≥a₁≥ · · · ≥a_n≥a_n+1≥ · · ·

が成り立つならば，{an} は広義単調減少，あるいは単に単調減少であると言われる．

(2)定数 K を適当に取ると，すべての番号 n= 0,1,· · · ^に対し a_n≤K

が成り立つとする．このとき数列{an} ^は上に有界であると言われる．また，適当に定数 K をとったとき，すべての番号 n= 0,1,· · · ^に対し

an≥K

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が成り立つならば，数列 {an} は下に有界であると言われる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば，an=nで定義される数列{an}は単調増加ですが，上から有界でありません．一方，{b_n} ^を b_n=−2⁻ⁿ で定義される数列とすると，これは単調増加，かつ上に有界となります．

なお，通常ここで述べた広義単調性とは別に，狭義の単調性が，次のようにして定義されます：

数列 {a_n} が狭義単調増加であるとは，

a₀ < a₁<· · ·< a_n< a_n+1<· · ·

が成り立つことを，また{an} が狭義単調減少であるとは，

a0 > a1>· · ·> an> an+1>· · ·

が成り立つことを意味する．

広義の単調性と狭義のそれとの差異は，前者においては，その定義において等号付きの不等号が用いられていることから，隣り合う 2項が同じ値をとるのを許しているのに反し，後者においては，数列の値が本当に増え続けるか，あるいは減り続けなければならないことです．ただしこのノートでは，広義の単調性しか利用しない予定ですので，それを単に単調性と称することにします．

定理 1.7 (有界単調数列の収束性). ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

上に有界な単調増加数列は必ず収束する．また，下に有界な単調減少数列も必ず収束する．

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

たとえば{an}を上に有界な単調増加数列としましょう．その各項 an を実数直線上にプロットすると，単調増加性から，a_n に対応する点は，番号nが増えるにつれて右に移動する，あるいはより厳密な言い方をすると，決して左方向に引き返すことがないということになります．一方上からの有界性によれば，実数直線上に定数 K に対応する点が存在し，数列{a_n}の各項に対応する点はそれより右側には存在しないことが保証されます．これは次のように例えることができるかもしれません．真っ直ぐな道を，決して後戻りはしないという頑固なうさぎが，ぴょこぴょこはねながらやってきます．しかしその前方には非常に高い柵があって，そのうさぎには決して飛び越えることが出来ないといった，うさぎに

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D. 有界単調数列 15

a0 a2 a3

K a1

図D.1: 上に有界な単調増加数列

とっては少々気の毒な状況を考えてみて下さい．時刻を無限大に発散させたときに，そのうさぎの位置は，柵の手前のある点に収束するというのが，有界単調数列の収束性定理が主張している内容です．こう考えると，定理の主張の正当性がある程度直感的に把握できるかも知れません．また，このように視覚的に解釈すれば，たとえば単調増加数列の収束性を保証するため必要なのは，下への有界性ではなく，上への有界性であることも直ちに理解されると思います．

さて有界単調数列の収束性定理の証明を始めたいと思います．まずその準備として，次のような補題を用意しましょう．

補題 1.8. ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

{a_n} を，すべての項が整数であるような数列とする．もし {a_n} ^が上に有界かつ単調増加であるか，あるいは下に有界かつ単調減少であるならば，ある番号 N から先，数列 {a_n} の各項は一定の値をとり続ける：すなわち，

a_N =a_N+1=a_N₊₂=· · · ^{が成り立つ．}

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

この補題において注意すべきことは，そこで扱う数列は整数列，つまりそのすべての項が整数であるような数列に限られている点です．さてここで，先ほどの頑固うさぎのことを思い出して下さい．すると，この補題 1.8の設定は，次のように例えることが出来るでしょう．やはり，以前と同様，真っ直ぐな道を決して後戻りをしない頑固なうさぎが飛び跳ねながらやってきます．一方，その前方にそのうさぎには飛び越えることの出来ない塀があるというのも，以前と同様です．

前回との相違は，その道には敷石が一列に（しかも等間隔に）置かれていて，うさぎはその上を飛び跳ねてくると言う点です．もちろんこれは補題1.8における数列が整数列であることの比喩です．ある時刻以降その可哀想なうさぎはあるひとつの敷石の上で飛び跳ね続けるしかない，というのが補題 1.8の述べるところです．

このように考えると，補題 1.8で主張されている内容が正しいことが，何の苦もなく理解されるでしょう．すなわち，この補題1.8は証明を必要としないほど自明な主張なわけです．そしてこれは，補題1.8と有界単調数列の収束性定理，すなわち定理1.7とを比べたとき，前者においては数列の取り得る値が整数という実数の中に離散的に分布する数に限られていることに起因しています．

(20)

さて定理1.7の証明を始めましょう．{an} が上に有界な単調増加数列であるとしたとき，これが必ず収束することを以下において証明します．{a_n} ^が下に有界な単調減少数列の場合にも本質的には同様な仕方で，あるいは {an} ^から bn=−anにより定義される数列{bn}が，上に有界かつ単調増加であることを利用して容易に示されるので，ここでは省略することにします．まず数列 {a_n}^の各項を整数部分と小数部分とに分解します．すなわち，各n= 0,1,· · · ^に対し，

an=Mn+rn

（ただし M_n は整数，0≤r_n<1）とするわけです．さらに少数部分r_n を, r_n= 0.d_n1d_n2· · ·

（だたしdn1, dn2,· · · ^は0以上 9以下の整数）のよう，10 進小数として表記しましょう．するともともとの数列{a_n}が上から有界，かつ単調増加であることより，その整数部分を取ることにより得られる数列 {Mn}^{も上から有界かつ単調} 増加であることが直ちに判ります．しかもこれは整数列であるから，補題1.8で述べたように，ある番号 N₀ から先M_n は同一の値M を取らなければならないことが保証されます

次いで，小数点以下第１位の数字を集めて得られる数列{dn1}^{に注目しましょ} う．これも明らかに上に有界な整数列です．しかももともとの数列{an}^が単調増加であること，またその各項 a_n の整数部分 M_n が番号 N₀ から先変化しないことより，{dn1} ^は番号 N0 から先では単調に増加することが判ります．したがって，再び補題 1.8 によれば，ある番号N₁（ただし N₁ ≥N₀) から先，

dn1は同一の値d1 をとり続けねばなりません. 全く同様な議論を，小数点以下第２位以降に対しても行うことにより d2, d3,· · · ^{が定義されます．}

以上の議論は，自動車に付いている走行距離計のようなデジタル・メーターを思い浮かべると，理解が容易かも知れません（図 D.2）．そのメーターには，まず整数部分を表す部分があり，さらにその右側に，小数点以下の各位を表す部分が一列にしかも無限に並んでいます（実際の走行距離計は有限桁しか持ちませんが，

そこは目をつぶって下さい）．さて，そのメーターに表示されている数値が刻々変化している状況を想定しましょう．まず，第一にそこに表れる数値は，決してある数よりは大きくならないと仮定します．第二に，そのメーターは，自動車の走行距離計と同様，逆回転はしない，したがってその数値が時間の経過とともに減少することはあり得ない，と仮定します．するとどうでしょう，ある時間が経過すると，まず整数部分をあらわす桁が停止し，その後は決して値を変えなくなるはずです．そして，さらに時間が経過するにつれ，少数部分を表す各桁が，左から順に静止していくはずです．

(21)

E. 中間値の定理の証明 17

2 1 7 4 5 .

2 1 7 4 5 . . . . . .

dn1 dn2dn3

Mn ...

3 9 2 3 9 2

図D.2: 無限の精度を持つ走行距離計

さて，まず実数r を先程求めた d₁, d₂,· · · ^を用い r = 0.d1d2· · · で定義しましょう．次いで実数 aを

a=M+r

で定義します．すると，a_n→ aであることを結論するのは容易です．以上で，

有界単調数列の収束性定理の証明は終わりです．

E

中間値の定理の証明

さていよいよ中間値の定理の証明です．

定理 1.1 の証明. f(a)·f(b) = 0 が成り立つときには，f(a) = 0 または f(b) = 0 でなければならない．したがってこの場合にはc=aあるいは c=b とおけばよい．そこで以下では f(a)·f(b) <0 の場合を考える．もちろん，

f(a)·f(b)<0であるならば，f(a)<0かつf(b)>0が成り立つか，あるいは f(a)>0かつ f(b)<0 が成り立つかのふたつの場合が考えられる．しかし第 2 の場合には第1 の場合の議論に少々手直しを加えることで，あるいは −f を改めてf と取り直し第1の場合に帰着することにより証明できる．そこでここでは第1 の場合，すなわち

f(a)<0 かつ f(b)>0

が成り立つ場合のみを取り扱うことにする．

最初にふたつの数列{an},{bn} を次のように帰納的に定義する．まず，

a0 =a, b0 =b

(22)

で初項a0，b0 を定める．さらにすでにan，bn が定義されているとき，次の項 a_n+1，b_n+1 を，

f

a_n+b_n 2

≥0 のときには a_n+1=a_n, b_n+1= a_n+b_n

2 ,

f

an+bn

2

<0 のときには an+1= an+bn

2 , bn+1=bn

で定義しよう（図E.1）．このとき，これらふたつの数列{a_n}^，{b_n}^が以下に

bn

an=an+1

=bn+1

mn

(a)

an mn=an+1

bn =bn+1

(b)

図E.1:

mn = (an+bn)/2 における f の値が，(a) ゼロないし正のときには a_n+1 =a_n, b_n+1 =m_n と，また (b) 負のときには a_n+1 =m_n, bn+1=bn と定義する．

述べる性質を有することが容易に判る：

a≤an≤b, a≤bn≤b; (1.4) b_n−a_n= b−a

2ⁿ ; (1.5)

f(an)<0, f(bn)≥0; (1.6) {an} ^{は単調増加，} {bn}^{は単調減少}; (1.7) (1.4)および (1.7)によれば，{an}^，{bn} はおのおの上に有界な単調増加数列および下に有界な単調減少数列であるから，有界単調数列の収束性定理よりこれらふたつの数列がともに収束することが保証される．しかも (1.5) によれば bn−an→0（n→ ∞）であるから，これらふたつの数列の極限は一致しなければならない．そこで，{a_n},{b_n}^{共通の極限を} c で表わすことにする：

c= lim

n→∞an= lim

n→∞bn. (1.4)よりもちろん a≤c≤bである．

このcに対し f(c) = 0 が成り立つことを以下で示したい．まず，連続性の定義，c= limn→∞an，およびf(an)<0 より，

f(c) =f( lim

n→∞an) = lim

n→∞f(an)≤0.

第１章中間値の定理

数学展望 II

— 連続性とトポロジー —

講義録

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