電気回路学Ⅱ 特異な信号のフーリエ変換

電気回路学Ⅱ

通信工学コース

5 セメ

山田 博仁

特異な信号のフーリエ変

単位インパルス ( ディラックのデルタ関数

換

t₀ → 0 t₀ t

−t₀ 1

2 �₀ 面積 =1

方形パルス

t

単位インパルス 0

u₀(t) ∞

面積 =1 or δ(t)

単位インパルス ( デルタ関数 ) u₀(t)  の特徴   1

単位インパルスの性質

∫−∞

+∞

�₀(�−�) � (�)��=� (�)

  ∫

−∞

+∞

�₀(�) � (�+�)��=� (�)  

�  ₀(�)=

{

�₀(�)∗ � (� )=� (�)∗ �₀(�)=∫

−∞

+∞

�₀(�−�) � (� )� �=� (� )  

特異な信号のフーリエ変 換

�  0(�−�0)^↔�^{− � � �0}

より、遅延の公式から、

フーリエ変換

ω U₀(jω)

0 1

単位インパルスのフーリエ変換は、

�₀( � �)=lim

�0→0 ∫

−�₀

�0

1 2�₀ �

−� � �

��=lim

�0→0

sin � �₀

� �₀ =1

  即ち、 u₀(t) ↔ 1

� ( � �)=∫

−∞

+∞

�^{−� � �}�₀(� )��=1

  と求めることも可能

t

単位インパルス 0

u₀(t) ∞

面積 =1 or δ(t)

である。

或いは、単位インパルスの性質　　　　　　を利用し、∫

−∞

+∞

� (�)�₀(�)=� (0)  

特異な信号のフーリエ変

単一正弦波

換

フーリエ変換が 2πu₀(ω−ω₀) で表される信号 f(t)  を求める。

� (�)=ℱ⁻¹[^{2 � �0(�−�0)}]⁼₂¹_� ∫

−∞

+∞

2� �₀(^�−�₀)^{�� � � � �=�� �0�}  

ℱ  [�^{� �0�}]=2� �₀(�−�₀)

ω₀ = 0 即ち直流の場合には、1 ↔ 2πu₀(ω)

t f(t)

0 1

直流 f(t) とそのスペクトル F(jω) フーリエ逆変換により、

即ち、

ω F(jω)

0

面積 =2π

ω F(jω)

0

面積 =2π ω₀

1 -1

-j

j ω₀t

特異な信号のフーリエ変

単一正弦波

換

正弦波信号 sinω₀t については、

sin�₀�= 1

2 � (�^{� �0�}−�^{− ��0�})

sin  �₀�↔ � � {^{−�0(�−�0)+�0(�+�0)}}

0 ω

π

ω₀

−ω₀

−π

�(� �)   �

0 ω

π

ω₀

−ω₀

F(jω) π cos�₀�=1

2 (�^{� �0�}+�^{− � �0�})

cos  �₀�↔� {^{�0(�+�0)+�0(�−�0)}} より

より 余弦波信号 cosω₀t については、

ℱ  [�^{� �0�}]=2� �₀(�−�₀) _{であるから、}

従って、スペクトルは右の図のようになる。 ^ℱ  [^{sin �}0�]

ℱ  [^cos�0�]

従って、スペクトルは右の図のようになる。

周期波のフーリエ級数展開のスペクトルと同様、線スペクトルとなる。

1 -1

-j

j ω₀t

-ω₀t

特異な信号のフーリエ変

単位ステップ

換

t u₋₁(t)

0

�₋₁(�)=

{

に対 して ^{に 対して}

�₋₁(�)=1 2+1

2 sign�  

sign�=

{

∫0

∞ sin � �

� � �=

{

�₋₁(�) =1 2+ 1

� ∫

0

∞ sin� �

� � �  

単位ステップは書き直すと、

ここで符号関数 sign t  とは、 の性質がある。

また、定積分の公式より、

となる。

であるから、

と表せる。

特異な信号のフーリエ変 換

�₋₁(�) =1 2+ 1

� ∫

0

∞ sin� �

� � �  

の右辺第 1 項については、^ℱ  [1]=2� �₀(�) より、

ℱ 

[

]

一方、第 2 項については、sin� �= 1

2 � (�^{�� �}−�^{−� � �})

  を代入して変形すれば、

1

� ∫

0

∞ sin � �

� � �= 1

�

{

∞ �^{� � �}

2 � � � �−∫

0

∞ �^{− � � �}

2 � � � �

}

右辺第 2 項の ω  を、 u = −ω として u  に置き換えると、 dω → −du  となり、

となり、

1

� � のフーリエ逆変換であり、交流成分を与える。

これは

特異な信号のフーリエ変 換

�₋₁(�) =1 2+ 1

� ∫

0

∞ sin� �

� � �

従って、  の第 2 項のフーリエ変換は　　　である。1

�� 

ℱ[^�−1(�)]^{=� �}0(�)+ 1   � �

かくして、単位ステップのフーリエ変換は、

となる。

ω

U₋₁(jω) or U₋₁(jω)/j

0

面積 =π また、スペクトルは右の図のようになる。

一般的に、 f(t)  の変化の激しい信号ほど、スペ クトルの裾が広がる。 ( つまり、高い周波数成 分を有する )

変化の激しい信号としては単位インパルスが、

逆に変化に乏しい信号としては直流 ( 或いは単 一周波数の正弦波 ) がその例である。

また逆に、変化の激しいスペクトルをもつ波形 ほど、時間波形 f(t)  の裾は広がる。

特異な信号のフーリエ変

例 4.3.1

換

�  ₋₁(�)cos�₀�のフーリエ変換は、

0 t

1

�  ₋₁(�)cos�₀�

−1 cos �₀�=1

2 (�^{� �0�}+�^{−� �0�})

  の因数

�₋₁(�) =1 2+ 1

� ∫

0

∞ sin� �

� � �

  より、

と を遅延演算子と考えると、

従って、

となる。

特異な信号のフーリエ変

例 4.3.1

換

�  ₋₁(�)sin �₀�のフーリエ変換は、

0 t

1

�  ₋₁(�)sin �₀�

−1

sin�₀�= 1

2 � (�^{� �0�}−�^{− ��0�})

  の因数

�₋₁(�) =1 2+ 1

� ∫

0

∞ sin� �

� � �

  より、

と を遅延演算子と考えると、

従って、

となる。

特異な信号のフーリエ変

換

フーリエ変換とラプラス変換との

関係

ラプラス変換

応用 初期値を含む常微分方程式の解法 偏微分方程式の解法 定義

表記

f(t) のフーリエ変換 ( ただし、

f(t) は区分的に滑らかで絶対可 積分)

フーリエ逆変換

�  ( � �)=ℱ[ ^{� (�)}]

  或いは、

f(t) のラプラス変換 ( ただし、 f(t) は区分的に滑らかで、 t < 0 におい て f(t)=0)

ラプラス逆変換

f(t) 　　　　　　 F(s) 変換可能な

f(t) の条件 単位インパ ルスの変換

( 絶対可積分) f(t)=0 (t < 0)

σ > 0

単位ステッ プの変換

ℱ  [^�0(�)]⁼¹

ℒ  [^�0(�)]⁼¹

�  (�)=ℒ[ ^{� (�)}]

或いは、

ℒ  [^�−1(�)]⁼¹_� ℱ[^�−1(�)]^{=� �}0(�)+ 1   � �

パルス信号入力に対する線形不変回路の応

線形不変回路とは ?

答

R, L, C 等の線形回路素子のみからなる回路で、それら回路素子の値や回

路が時間と共に変化しない回路 ( これまで習ってきた通常の電気回路は これに相当 )

V(jω) を パルス信号 v(t)  のフーリエ変換とし、以下の様にフーリエ逆変

換として表わすと、 v(t) は部分振動成分 ω  の関数として表現できる。

上式は、 ω  と ω + dω の間に入る部分振動成分の複素振幅 ( 振幅と位相の分 布 ) が V(jω)dω で与えられることを意味する。

�(�)= 1 2� ∫

−∞

∞

� ( � �)�^{� � �}� �  

一方、角周波数 ω₀  の単一正弦波の励振 に対する線形不変回路の応答は、

その回路の伝達関数 H(jω) を用いて によって与えられるから、応答を で 表せば、

� ( � �₀)�^{� �0�}=� ( _{� �})_�( � �₀)�^{� �0�}

H(jω)

線形不変回路

�  ( ^{� �}0)^{�� �0� � ( � �0)�� �0�}

励振 応答

伝達関数 である。

従って、^� ( ^{� �}0)^{=�( � �)�}( ^{� �}0)

パルス信号入力に対する線形不変回路の応

従って応答波形 i(t)  は (§3.4 でも扱ったように

答

�(�)= 1 2� ∫

− ∞

∞

�( � �)�^{� � �}� �= 1 2� ∫

− ∞

∞

�( � �)� ( � �)�^{� � �}� �  

上式は、 I(jω) のフーリエ逆変換に他ならない。

つまり、励振 v(t)  のフーリエ変換 V(jω) と 伝達関数 H(jω) との積をフー リエ逆変換すれば、応答波形 i(t)  が求まる。

� (�)=ℱ⁻¹[^{�( � �)}]⁼ℱ⁻¹[^{�( � �)� ( � �)}]

パルス信号入力に対する線形不変回路の応

別の解釈として、 H(jω) がある関数

答

( ^{� �}0)^{=�( � �)�}( ^{� �}0)

  より

�  ( ^{� �}0)⁼

[

][

]

右辺第 2 因数は τ  に無関係であることから、第 1 因数の被積分関数に乗じて、

ここで、 u = t − τ と置いて、 t  と τ の積分の順序を交換すると、 du = dt より、

従って i(t)  は、^{�(�) =}∫

−∞

∞

h(�)�(� −�)� �

  或いは、 ^{�(�) =}∫

−∞

∞

�(� )h(�−�)� �  

畳み込み積分

パルス信号入力に対する線形不変回路の応 答

インパルス応答

単位インパルス u₀(t)  のスペクトルは、 U₀(jω) = 1  であるから、伝達関数 が H(jω) の線形不変回路に単位インパルス励振 u₀(t)  を印加した時の応答 は、 _� ( � �)=�( � �) により、

�(�) = 1 2� ∫

− ∞

∞

�( � �)�^{� � �} � �=h(�)

  である。

従って、伝達関数 H(jω)  のフーリエ逆変換 h(t)  を、インパルス応答と呼ぶ。

練習問題

1.  この波形をフーリエ級数で表せ。

f(t)

0 1

−1

T t

−T −T/2 T/2

�₀=2�   �

�₀= 1

� ∫

−�/2

�/2

� (�)��=0  

直流成分は無し

� (_�)=�₀+∑

�=1

∞

(^�_�^cos�_�^�+�_�^sin�_�^�)

を基本角周波数として、

のようにフーリエ級数に展開すると

図に示すような周期 T  で無限に繰り返す方形波を考える。

(n =1, 2, 3, …)

図の波形は奇関数のた め、偶関数 (cosω_nt) の係 数は 0

練習問題

�_�= 2

� � {^{1−(−1)�}}⁼

{

2.  この方形波 f(t)  を理想的な低域通過フィルタを通して周期 T  の基本 波のみを取り出したとする。そのフィルタを通した波形を振幅を明示 して図示せよ。

基本波は n = 1 に対応するから、その振幅は_�⁴  (n =1, 2, 3, …)

練習問題

3.  この理想低域通過フィルタで取り出した基本波の平均電力は、元の方 形波の平均電力の何 % になるか ?

基本波の電力は、

一方、元の方形波の電力は、

  1 であるから、 ^� _�¹⁼ _�^{82 ≅0.81} 約 81%

練習問題

4.  全ての調波電力の和が、元の方形波の電力と等しいことを確かめよ。

まず、第二高調波の電力を求めてみると、第二高調波は n = 2 に対応す るからその振幅は 0  であり、第二高調波の電力はゼロである。₄

3 �

次に、第三高調波の電力を求めてみると、その振幅は　　　であるから、電力は

第四高調波は n = 4 に対応するからその振幅は 0  であり、電力はゼロである。

従って、全ての調波電力の和は、

      =1

  n  は奇数

ゼータ関数より ^�

2

 8

成績評価につい て

1. 成績は、レポートへの取り組み内容 100% で評価する。

2.  レポート課題は、教科書の第 2 章と第 6 章の演習問題の全問が対象。た だし、重複している問題はどちらか一方を解けば良い。解答方法は、微 分方程式かラプラス変換のいずれを用いてもよい。また、教科書のラプ ラス変換表 ( 表 5.2) を用いて解いても良い。その場合は、用いた変換の 番号を示すこと。教科書に解答が示されているが、間違いもあるので要 注意。解答だけ写して提出しても全く評価しない。解答の過程が詳しく 丁寧に示されている場合のみ評価する。

3.  自筆の文書を提出のこと。提出先および提出期限は以下のいずれかとす る。 〆切を過ぎたレポートは受け付けない。

 1) 1 号館玄関ロビーにある私のメールボックスに投函 ( 提出期限 : 

8/2( 月 )17:00)

 2) 2 号館 2 階にある私の研究室に持参　 ( 提出期限 : 8/2( 月 ) 終日 )

 3)  郵送 ( 〒 980-8579 　仙台市青葉区荒巻字青葉 6-6-05 　東北大学 山田

博仁 )

 7/31 までの消印有効

ご聴講ありがとうございま

した