数学（問題）

〔問題１から問題３を通じて必要であれば（付表）に記載された数値を用いなさい。〕

問題１．次の（１）～（１２）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢 の中から選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。

各５点（計６０点）

（１）次の確率分布のうち、記憶喪失性を持つものは ① と ② である。（①と②は順不 同）

ここで、ある種類の確率分布が記憶喪失性を持つとは、任意の定数

a

^に対して

)

( )

|

( X a x X a P X x

P ≥ + ≥ = ≥

が成り立つことを意味するものとする。

（Ａ）二項分布 （Ｂ）ポアソン分布 （Ｃ）幾何分布

（Ｄ）正規分布 （Ｅ）指数分布 （Ｆ）ガンマ分布

（２）確率変数

X , Y

は互いに独立で、ともに平均

2

の指数分布に従うとする。ある円を考え、

( ^{X Y} )

W = min ,

をこの円の半径を表す確率変数とする。

この円について、面積の期待値は ① 、面積の分散は ② である。

［①の選択肢］

（Ａ）

² π

^（Ｂ）

⁴ π

^（Ｃ）

⁶ π

^（Ｄ）

⁸ π

（Ｅ）

¹⁰ π

^（Ｆ）

¹² π

^（Ｇ）

¹⁴ π

^（Ｈ）

¹⁶ π

［②の選択肢］

（Ａ）

16 π

^{2 （Ｂ）}

²⁰ π

^{2 （Ｃ）}

²⁴ π

^{2 （Ｄ）}

²⁸ π

²

（Ｅ）

32 π

^{2 （Ｆ）}

³⁶ π

^{2 （Ｇ）}

⁴⁰ π

^{2 （Ｈ）}

⁴⁴ π

²

数学（問題）

（３）ある店では、店員Ａ、店員Ｂの

2

人で

1

種類の製品を販売している。過去の営業実績から

1

日の 平均売上個数は店員Ａが

1

個、店員Ｂが

2

個である。店員Ａ、店員Ｂの売上個数は互いに独立で、

どちらもポアソン分布に従うものとする。

1

日の売上個数は店員Ａ、店員Ｂ合計して高々 個と考えて製品を用意しておけば、お客 さまからの購入依頼に

95

％以上の確実さで対応できる。

なお、必要であれば

e = 2 . 718

を用いなさい。

（Ａ）

3

（Ｂ）

4

（Ｃ）

5

^（Ｄ）

6

（Ｅ）

7

（Ｆ）

8

（Ｇ）

9

（Ｈ）

10

（４）

X

₁

, X

₂

,

は同じ確率分布を持つ独立な確率変数列であり、各

^X

^k

( ^{k = 1 , 2 ,}

^

)

^は

{ ^{0 , 1 , 2 , 3} }

^という

値をそれぞれ確率

4

1

_{でとるものとする。}



=

=

ⁿ

k k

k n

Y X

1

4

^{とおくと、}

Y

^{nの特性関数は}

n → ∞

^のとき に近づく。

［①の選択肢］

（Ａ）

e

^it

− 1

（Ｂ）

e

^it

+ 1

^（Ｃ）

− ( e

^it

− 1 )

（Ｄ）

e

^it

（Ｅ）

4 ( e

^it

+ 1 )

^（Ｆ）

− 4 ( e

^it

− 1 )

（Ｇ）

e

^it

+ 4

^（Ｈ）

− ( e

^it

− 4 )

［②の選択肢］

（Ａ）

it

（Ｂ）

1 + it

^（Ｃ）

1 − it

^（Ｄ）

4 it

（Ｅ）

1 + 4 it

^（Ｆ）

1 − 4 it

^（Ｇ）

4 + it

（Ｈ）

4 − it

①

②

（５）

X

₁

, X

₂

,

_

, X

_nを標本変量とし、標本変量平均



=

=

ⁿ

i

X

i

X n

1

1

について、

X

の分散

^V ( ) ^X

^は

であり、

X

^{の分布のひずみ}

{ ( ) }

( ) { }

²³

3

X V

X

E − μ

_{は である。}

なお、母平均を

μ

^{、母分散を}

σ

^{2、平均値のまわりの}

³

^{次の母積率}

^E { ( ^X

ⁱ

^{− μ} )

³

}

^を

^μ

^{3と表す。}

（Ａ）

n

_（Ｂ）

n

_（Ｃ）

σ

^（Ｄ）

σ

^{2 （Ｅ）}

² σ

²

（Ｆ）

σ

^{3 （Ｇ）}

σ

²

ⁿ

^（Ｈ）

σ

³

ⁿ

^（Ｉ）

μ

3 ^（Ｊ）

2 μ

3

（６）ある選挙候補者の支持率

p

を、標本として一部の有権者を抽出することにより、近似法で区間推 定を行う。支持率が

20 %

であると予想される場合に、信頼係数

90 %

^{で信頼区間の幅が}

5

^{ポイント以} 内となるために最低限必要な標本数として、最も近い数値は ① である。

また、支持率の予想が全くつかない場合に、同条件の区間推定をするために最低限必要な標本数と して、最も近い数値は ② である。

ここで 、支持率の 信頼区間の 幅が

5

ポイン ト以内であ るとは、信 頼区間

a < p < b

^{に対 して}

05

.

≤ 0

− a

b

が成り立つことを意味する。

［① の選択肢］

（Ａ）

11

^（Ｂ）

22

（Ｃ）

44

^（Ｄ）

174

（Ｅ）

246

（Ｆ）

421

^（Ｇ）

693

（Ｈ）

984

[②の選択肢］

（Ａ）

17

（Ｂ）

33

（Ｃ）

271

（Ｄ）

385

（Ｅ）

657

^（Ｆ）

1 , 083

（Ｇ）

1 , 537

（Ｈ）

4 , 330

②

①

④

③

（７）ある店ではゼリーを箱詰めにして販売している。箱詰めする前のゼリーを無作為に

6

個取り出し 重さを測定したところ、次のとおりであった。ただし、測定の誤差が無視できないものとし、この 分散が

σ

E²

= 0 . 0100

^（g2）と多くの繰り返しにより推定されていたものとする。また、重さと測定 誤差との間に相関はないものとする。

（単位：g）

120.1 , 121.0 , 120.5 , 120.4 , 120.3, 120.1

測定の誤差を除くゼリーの本来の重さの分散を信頼係数

95

％で区間推定すると、信頼区間の下限に 最も近い値は ① g²、信頼区間の上限に最も近い値は ② g²となる。

また、ゼリーを入れる箱の重さの分散が

σ

²

= 0 . 0600

^（g2）であることが分かっているとする。こ のゼリーを

4

個ずつ箱詰めして販売するとき、測定の誤差を除くこの

1

箱の総重量の分散を信頼係 数

95

％で区間推定すると、信頼区間の下限に最も近い値は ③ g²、信頼区間の上限に最も近 い値は ④ g²となる。

[①、②の選択肢］

（Ａ）

0 . 0288

（Ｂ）

0 . 0336

（Ｃ）

0 . 0406

（Ｄ）

0 . 0424

（Ｅ）

0 . 4426

（Ｆ）

0 . 4789

（Ｇ）

0 . 6637

（Ｈ）

0 . 7985

[③、④の選択肢］

（Ａ）

0 . 1752

（Ｂ）

0 . 1944

（Ｃ）

0 . 2296

（Ｄ）

0 . 3744

（Ｅ）

1 . 8304

（Ｆ）

2 . 7148

（Ｇ）

2 . 8948

（Ｈ）

3 . 2540

（８）大人と子供に対し、夏と冬のどちらが好きかアンケートを行ったところ、

n

^{を正の整数として下} 表の結果を得た。なお、アンケートには少なくとも

100

人は参加した。

大人 子供

夏が好き

3 n 10 n

冬が好き

n 2 n

帰無仮説

H

₀を「大人か子供かと、夏と冬のどちらが好きかは互いに独立である」として、有意水 準

1 %

で独立性の検定を行った結果、帰無仮説は採択された。このとき、

n

^{の取りうる値の上限に} 最も近い数値は ② である。

（Ａ）

19

（Ｂ）

28

（Ｃ）

39

（Ｄ）

48

（Ｅ）

56

（Ｆ）

67

（Ｇ）

97

（Ｈ）

134

（ ９ ）

8

個 の デ ー タ

( x

₁

, y

₁

), ( x

₂

, y

₂

),

_

, ( x

₈

, y

₈

)

を 用 い て

y

を

x

で 回 帰 し た と き の 回 帰 直 線 は

1 6 +

= x

y

、

x

を

y

で回帰したときの回帰直線は

2 8 1 +

= y

x

、

( ) 1

8 1

⁸

1

2

2

=  =

= i

i

x

x x

s －

であった。

このとき、決定係数は ① であり、

y

^を

x

で回帰したときの誤差分散の不偏推定量は ② である。

［①の選択肢］

（Ａ）

0

^（Ｂ）

256

3

（Ｃ）

48

1

（Ｄ）

2 1

（Ｅ）

4

3

（Ｆ）

5

4

（Ｇ）

8

7

（Ｈ）

1

[②の選択肢］

（Ａ）

4

1

（Ｂ）

3

1

（Ｃ）

2

（Ｄ）

12

（Ｅ）

16

^（Ｆ）

3

64

（Ｇ）

48

（Ｈ）

96

（１０）標準ブラウン運動

{ } ^X

t

^{, t ≥ 0}

に対して、

X

₁－

X

₂は平均 ① 、分散 ② の正規分 布に従い、

E ( X

₁

| X

₁－

X

₂

> 0 )

＝ ③ である。

（Ａ）

− 1

^（Ｂ）

2

− 1

^（Ｃ）

0

（Ｄ）

5

4

（Ｅ）

2 1

（Ｆ）

1

（Ｇ）

2

^（Ｈ）

π 2

1

（Ｉ）

π

2

（Ｊ）

π 2 2

（１１）

^AR ( ) ²

^モデル

^Y

^t

⁼ 1 . 0 ⁺ 0 . 2 ^Y

^t−1

⁺ 0 . 5 ^Y

^t−2

^{+ ε}

^t（

^E ( ) ^ε

^t

^{= 0}

）について、偏自己相関

φ

₁₁

, φ

₂₂

, φ

₃₃^は

それぞれ

φ

11

=

^{① 、}

φ

22

=

^{② 、}

φ

33

=

③ である。

（Ａ）

0

（Ｂ）

0 . 1

（Ｃ）

0 . 2

（Ｄ）

0 . 3

（Ｅ）

0 . 4

（Ｆ）

0 . 5

（Ｇ）

0 . 6

（Ｈ）

0 . 7

（Ｉ）

0 . 8

（Ｊ）

0 . 9

（１２）

^f ( ) ^x

^を

[ ] ^{0 , 1}

上の一様分布の確率密度関数、

X

を

[ ] ^{0 , 1}

上の一様分布に従う確率変数、

^g ( ) ^{x = e}

^x

としたとき、

^V ( ^g ( ) ^X )

に最も近い値は ① である。

次に、シミュレーションにより

θ ^{= E} ( ^g ( ) ^X ) ⁼ 

0¹

^g ( ) ( ) ^{x f x dx}

を推定することを考える。制御変量 として

^h ( ) ^{x = x}

^{2を採用し、試行回数を}

⁵

回とした場合、制御変量法による標本平均の分散の減少 率に最も近い値は ② ％である。なお、必要であれば

e = 2 . 718

を用いなさい。

［①の選択肢］

（Ａ）

0 . 1722

^（Ｂ）

0 . 1822

^（Ｃ）

0 . 1922

^（Ｄ）

0 . 2022

（Ｅ）

0 . 2122

^（Ｆ）

0 . 2222

^（Ｇ）

0 . 2322

^（Ｈ）

0 . 2422

［②の選択肢］

（Ａ）

96 . 1

（Ｂ）

96 . 6

（Ｃ）

97 . 1

（Ｄ）

97 . 6

（Ｅ）

98 . 1

^（Ｆ）

98 . 6

^（Ｇ）

99 . 1

^（Ｈ）

99 . 6

問題２．次の（１）、（２）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中

から 1 つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。

（２０点）

（１）以下の料金体系を持つゲームについて

1

日の利用料金の総額

Z

円の平均値を求めたい。

あるゲームの利用料金は、

2

分以内の利用であれば

a

^{円の定額であるが、}

2

分以上利用した場合は 時間に応じて追加料金がかかる。また

1

人のプレイヤーのゲーム時間

X

^分は平均

λ

^{分の指数分布に}

従い、

1

^{日の利用者数}

N

人は平均

μ

人のポアソン分布に従うものとする。ただし、以下の計算にお いて時間

X

分の上限は考慮しなくて良いものとし、各プレイヤーのゲーム時間と

1

日の利用者数は 独立であるとする。

Ⅰ）ゲームの追加料金が連続的に変化する場合を考える。すなわち、

2

分以上利用する場合、追加料 金が

1

分あたり

b

円の割合で比例的に加算されるものとする。まず初めに

1

人あたりの料金

Y

^円の平

均値を求める。

ゲーム時間が

x

分のときの料金

y

円は次の式で与えられる。（①と②の解答は順不同）

 

= 

= a

x a f

y 　

　 ) 　

( +

×

( )

( ^x )

x

<

≤

<

2

2 0

これより料金

Y

^{円の平均値は}

×

= 

0^∞

( ) )

( Y f x

E

③

×

^④

　 dx

=

^⑥

+

^⑦

×

^⑧

となる。

i

番目のプレイヤーの利用料金を

Y

_i^{円とすれば、}

1

^{日の利用料金の総額}

Z

^{円の平均値は}

×

=

= 

^∞

=

) ( )

(

0

k N P Z

E

k

^E ( ^Y

¹

^{+ Y}

²

⁺

^

^{+ Y}

^N

^{N = k} )

=

^⑩

× (

^⑪

+

^⑫

×

^⑬

)

となる。

Ⅱ）次に

2

分以上利用する場合、追加料金が

b

円加算され、以降

1

分ごとに

b

円加算される場合を考 える。ここで、ゲーム時間が

x

分のときの料金

y

^円は

( 1 + n < x ≤ 2 + n )

^{を満たす自然数}

n

を用い て、次の式で与えられる。

 

= 

= a

x a g

y 　

　 ) 　

( +

( )

( ^x )

x

<

≤

<

2

2 0

Ⅰ）と同様に計算すると

⑤

⑨

① ②

⑭

⑮



^∞

^× 　

=

₀

( ) )

( Y g x

E

③

×

^④

　 dx

=

^⑯

+

) (Z

E =

^⑲

 







×

^⑯

+

 







となる。

Ⅲ）現在の料金体系は Ⅱ）の方法であるが、Ⅰ）の方法に見直す。ただし、見直しに伴って

1

日の利 用料金の総額の平均値が変わらないように

b

円の追加料金が生じる時間を

2

分から

w

^{分に変更す} る。なお、利用者の利用時間や利用者数が料金体系変更の影響を受けないとするとき、

=

w ^{2 log} (

 

+ λ 

^⑳

) ^{+ log} ( ^{1 −}

^㉑

)

 



となる。

（２）このゲームの料金体系について（１）と異なる方式として、以下の料金体系を検討する。

ゲームの利用時間に関わらず、プレイヤーごとに

24

時間単位で定額料金が課せられる。すなわ ち、プレイヤーは一度料金を支払うと

24

時間は追加料金なしでゲームを利用することが可能と なるが、

24

時間を経過した場合、もしくは

24

時間経過後にゲームを再開する場合には改めて定 額料金を支払うものとする。

Ⅳ）

a = 100

円、

b = 10

円とし、

λ = 60

^分、

μ = ^{1　 , 000}

^{人と見込まれるとき、}

¹

^{日の利用料金の総額}

の見込額が Ⅱ）で求めた

E (Z )

の

1 .

　

2

倍となるように定額料金を設定する場合、

1

人あたりの料金 は ㉒ 円となる。なお、必要であれば ⁶⁰

0 . 983

1

−　

=

e

を用いなさい。

Ⅴ） Ⅳ）で設定した定額料金制に移行したところ、

1

人あたりのゲーム時間および

1

日あたりの利用 者数が変化し、

λ = 90

^分、

μ = ⁸⁰⁰

^{人となった。このとき}

¹

日あたりの利用料金の総額の見込額は ㉓ 円減少する。

このとき、上記の前提に見直したうえで

1

日あたりの利用料金の総額の見込額が Ⅱ）で求めた

) (Z

E

の

1 .

　

2

倍となるように定額料金を再設定した場合、

1

人あたりの料金は ㉔ 円増加する。

なお、必要であれば ⁹⁰

0 . 989

1

−　

=

e

を用いなさい。

⑰

⑱

⑤

⑰

⑱

［①～⑭の選択肢］

（Ａ）

a

（Ｂ）

b

^（Ｃ）

e

（Ｄ）

k

（Ｅ）

x

（Ｆ）

( ^{k + 2} )

^（Ｇ）

( ^{x + 2} )

^（Ｈ）

( ^{k − 2} )

（Ｉ）

( ^{x − 2} )

^（Ｊ）

^λ

^（Ｋ）

^{− λ}

^（Ｌ）

_λ ¹

（Ｍ）

λ

− 1

^（Ｎ）

λ

− 2

^（Ｏ）

− ² λ

^（Ｐ）

2

− λ

（Ｑ）

− λ x

^（Ｒ）

λ

− x

^（Ｓ）

λ x

− 2

^（Ｔ）

− ² λ x

（Ｕ）

2 λ x

−

^（Ｖ）

^a λ

^（Ｗ）

^b λ

^（Ｘ）

^μ

（Ｙ）

^a μ

^（Ｚ）

^b μ

［⑮～⑲の選択肢］

（Ａ）

a

（Ｂ）

b

（Ｃ）

bn

^（Ｄ）

b ( n + 2 )

（Ｅ）

b ( n − 2 )

（Ｆ） ²

　λ

e

− （Ｇ） ^λ

　2

e

− （Ｈ）

e

^−λ

（Ｉ） ^λ

　1

e

− ^（Ｊ）

 



 

 1 − e

^−　2λ （Ｋ）

 





 



 −

^−λ

2

1 e

 （Ｌ）

( ^{1 − e}

^−λ

)

（Ｍ）

 





 



 −

^−λ

1

1 e

 _（Ｎ）

be

^−　λ2 （Ｏ） ^λ

　2

be

− （Ｐ）

be

^−λ

（Ｑ） ^λ

　1

be

− ^（Ｒ）

^a λ

^（Ｓ）

^b λ

^（Ｔ）

^μ

（Ｕ）

^a μ

^（Ｖ）

^b μ

^（Ｗ）

 



 

 + 2

⁻²

　λ

e

a

（Ｘ）

 





 



 +

^−λ

2

2 e



a

（Ｙ）

( ^{a + 2 e}

^−λ

)

^（Ｚ）

 





 



 +

^−λ

1

2 e



a

［⑳、㉑の選択肢］

（Ａ）

λ

^（Ｂ）

² λ

^（Ｃ）

λ

1

（Ｄ）

λ 2

（Ｅ）

2

λ

（Ｆ） ²

　λ

e

− （Ｇ） ^λ

　2

e

− （Ｈ） ^λ

　1

e

−

（Ｉ） ²

　λ

be

− ^{（Ｊ） λ}

　2

be

− ^（Ｋ）

be

^−λ _（Ｌ） λ

　1

be

−

［㉒～㉔の選択肢］

（Ａ）

39

（Ｂ）

154

（Ｃ）

269

（Ｄ）

385

（Ｅ）

519

_（Ｆ）

668

（Ｇ）

802

（Ｈ）

989

（Ｉ）

1 , 　 187 　

（Ｊ）

1 　 , 　 385

（Ｋ）

23 　 , 195 　

（Ｌ）

24 　 , 　 976

（Ｍ）

26 　 , 　 805

（Ｎ）

28 　 , 956 　

（Ｏ）

31 　 , 　 044

（Ｐ）

33 　 , 195 　

（Ｑ）

35 　 , 　 024

（Ｒ）

36 　 , 　 805

問題３．次の（１）、（２）の各問について、空欄に当てはまる最も適切なものをそれぞれの選択肢の中 から1つ選び、解答用紙の所定の欄にマークしなさい。なお、同じ選択肢を複数回選択してもよい。

（２０点）

（１）母集団がガンマ分布であり、その確率密度関数が

^x

a

a e x x

f

^{− −}

= Γ ) ) (

(

1

( ^{0 ≤ x < ∞ , a > 0} )

で与えられているとき、標本変量平均

( X X X

n

)

X = n

1

+

2

+  +

1 ( ^{n ≥ 2} )

の確率密度関数を求めた い。

まず、

X

₁

+ X

₂^{の確率密度関数}

^f

2

( ) ^x

を、

X

_i^{の確率密度関数}

f ( x

_i

)

を用いて表すと、

( ) ⁼ 

^∞

( ) ( ) ⁼ 

0^∞

_Γ

^{− −}

^⋅ ( _Γ )

^{− −}( ) 1 1 1

1

0 1 1

2

( ) ( )

1

e dx

e a a dx x

f x f x

f

a x

a

　　　　　　

　　　　　 　　　　　

となる。

ここで、

x

u = x

¹ で変数変換をすると、

^f

2

( ) ^{x =}

② × ③ ×



0^{1 −}

( ⁻ )

⁻

1

1 u

1

du

u

^{a a}

となる。

ベータ関数の性質より、



0^{1 −}

( ⁻ )

⁻

⁼

1

1 u

1

du

u

^{a a} ④ となるため、

^f

2

( ) ^{x =}

⑤ × ⑥ となる。

上記の結果より、

X

1

+ X

2

+



+ X

_nの確率密度関数は、

^f

n

( ) ^{x =}

⑦ × ⑧ と推測され るため、これを帰納法で証明する。

^f

n

( ) ^x

を、

X

₁

+ X

₂

+

_

+ X

n₋₁の確率密度関数

^f

n−1

( ) ^x

を用いて表すと、

f

_n

( ) x ⁼ 

0^∞

f

_n⁻1

( ) ( s f

　　　　　

) ds

① ① ^①

⑨

となる。

さきほどと同様に、

x

v = s

で変数変換をし、ベータ関数の性質を用いて整理すると、

^f

n

( ) ^{x =}

⑩ × ⑪ ×



0^{1 ( )− −}

( ) ⁻

⁻

⁼

1 1

1

1 v dv

v

^{n a a} ⑦ × ⑧

となり、

^f

n

( ) ^x

の推測が正しいことが示された。

よって、

( X X X

n

)

X = n

1

+

2

+  +

1

の確率密度関数は

^f ( ) ^{x = n}

^×

^x

^{× ⑭}

となる。

（２）0 と1 の間の一様分布をもつ母集団からの標本

( Y

₁

, Y

₂

,

_

, Y

n

) ( ^{n ≥ 2} )

の幾何平均として、統計量

( ^{Y Y Y}

ⁿ

)

ⁿ

T =

_{1 2} ¹ を作ったとき、次の方法で統計量

T

の確率密度関数を求めたい。

まず、

T = ( Y

₁

Y

₂

Y

n

)

^{1nの対数をとり、}

( Y Y

n

)

T n 1 log log

log =

₁

+  +

^とおいて

− logY

1^の分布を

調べる。

Y

₁の分布は矩形分布であるから、十分小さい区間

Δ z

^{をとると、}

P ( z

1

^{< −} log Y

1

^< z

1

^{+ Δ} z ) ( ⁼ P



^< Y

1

^<



) ⁼

⑰ × ⑱ となり、 ⑱ は

Δ z

^{で近似できるため、}

^Z

₁

= − ^{log Y}

₁^{の確率密度関数は}

f ( ) z

1

⁼

⑰ で与えられることが分かる。

ここで、（１）の結果を用いると

( Z Z

n

)

Z = n

1

+  +

1

の確率密度関数は

^f ( ) ^{z =}

^{⑲ × ⑳ となる。}

ゆえに、統計量

T

の確率密度関数は

^f

T

( ) ^{t =}

㉑ × ㉒

( ^{0 ≤ t ≤ 1} )

となる。

⑫ ⑬

⑮ ⑯

［①の選択肢］

（Ａ）

x

（Ｂ）

x

1

（Ｃ）

x x

₁

（Ｄ）

x

1

x

（Ｅ）

x + x

₁ ^（Ｆ）

x − x

1 ^（Ｇ）

x

1

x x

+

^（Ｈ）

x x

1

x

−

［②、⑤の選択肢］

（Ａ）

x

^a−1

e

^−x （Ｂ）

x

^2a−1

e

^−x （Ｃ）

x

^{2( )a−1}

e

^−x （Ｄ）

x

^{2( )a−1−1}

e

^−x

（Ｅ）

x

^a−1

e

^−2x （Ｆ）

x

^2a−1

e

^−2x （Ｇ）

x

^{2( )a−1}

e

^−2x （Ｈ）

x

^{2( )a−1−1}

e

^−2x

［③、④、⑥の選択肢］

（Ａ）

1

（Ｂ）

2

1

（Ｃ）

^Γ ( ) ^a

^（Ｄ）

{ } ^Γ ( ) ^a

²

（Ｅ）

^Γ ( ) ^{2 a}

^（Ｆ）

^Γ ( ) ^{1 a}

^（Ｇ）

{ } ( )

²

1

Γ a

^（Ｈ）

^Γ ( ) ^{1 2 a}

（Ｉ）

( ) ( ) { }

²

2 a a Γ

Γ

（Ｊ）

( )

( ) ^{a a}

Γ Γ 2

（Ｋ）

{ } ( ) ( ) ^{a 2 a}

2

Γ

Γ

_（Ｌ）

( )

( ) ^{2 a a}

Γ Γ

［⑦、⑩の選択肢］

（Ａ）

x

^a−1

e

^−x （Ｂ）

x

^na−1

e

^−x （Ｃ）

x

^{n( )a−1}

e

^−x （Ｄ）

x

^{n( )a−1−1}

e

^−x

（Ｅ）

x

^a−1

e

^−nx （Ｆ）

x

^na−1

e

^−nx （Ｇ）

x

^{n( )a−1}

e

^−nx （Ｈ）

x

^{n( )a−1−1}

e

^−nx

［⑧、⑪の選択肢］

（Ａ）

^Γ ( ) ^a

^（Ｂ）

^{n Γ} ( ) ^a

^（Ｃ）

^Γ ( ) ^na

^（Ｄ）

^Γ ( ) ^{1 a}

（Ｅ）

^{n Γ 1} ( ) ^a

^（Ｆ）

^Γ ( ) ^{1 na}

^（Ｇ）

^Γ { ( ^{n − 1} ) ^a } ( ) ^{Γ a}

^（Ｈ）

^Γ { ( ^{n − 1 1} ) ^a } ( ) ^{Γ a}

（Ｉ）

{ ( ) } ( ) ^a

n a n

Γ

−

Γ 1

（Ｊ）

{ ( ) } ( ) ^{a a}

n Γ

−

Γ 1

（Ｋ）

( )

( )

{ ^{n n − a 1 a} }

Γ

Γ

（Ｌ）

( )

( )

{ ^{n − a 1 a} }

Γ

Γ

［⑨の選択肢］

（Ａ）

x

（Ｂ）

x

1

（Ｃ）

x

s

（Ｄ）

s x

（Ｅ）

x + s

^（Ｆ）

x − s

^（Ｇ）

s x

x

+

^（Ｈ）

x s

x

−

［⑫、⑬の選択肢］

（Ａ）

a − 1

^（Ｂ）

a

（Ｃ）

⁻ ( ^{a − 1} )

^（Ｄ）

^{− a}

（Ｅ）

ⁿ ( ^{a − 1} ) ^{− 1}

^（Ｆ）

ⁿ ( ^{a − 1} )

^（Ｇ）

na − ¹

^（Ｈ）

na

（Ｉ）

^{− n} ( ^{a − 1} ) ^{+ 1}

^（Ｊ）

^{− n} ( ^{a − 1} )

^（Ｋ）

^{− na + 1}

^（Ｌ）

^{− na}

［⑭の選択肢］

（Ａ）

(a ) e

^x

Γ

−

（Ｂ）

( )

) (

1

a e

^x

Γ

+

−

（Ｃ）

(a ) e

^nx

Γ

−

（Ｄ）

(a ) e

ⁿ

x

Γ

−

（Ｅ）

(na ) e

^x

Γ

−

（Ｆ）

( )

) (

1

na e

^x

Γ

+

−

（Ｇ）

(na ) e

^nx

Γ

−

（Ｈ）

(na ) e

ⁿ

x

Γ

−

［⑮～⑱の選択肢］

（Ａ）

z

₁ （Ｂ）

( ^z

¹

^{+ Δ z} )

^（Ｃ）

^e

^{−z1 （Ｄ）}

^e

^−Δz

（Ｅ）

e

^z1+Δz （Ｆ）

e

^{−z1−Δz （Ｇ）}

( ^{1 − e}

^−z1

)

^（Ｈ）

( ^{1 − e}

^−Δz

)

（Ｉ）

z

₁

e

^−z1 （Ｊ）

2

2 1

1

e

z

z

⁻ _（Ｋ）

log z

1 （Ｌ）

log Δ z

（Ｍ）

log ( ^z

1

^{+ Δ z} )

（Ｎ）

log ( ^z

1

^{− Δ z} )

（Ｏ）

( 1 − log z

1

)

^（Ｐ）

( ^{1 − log Δ z} )

［⑲の選択肢］

（Ａ）

n z

^（Ｂ）

z n

1

（Ｃ）

( ) ^{n z}

^{n−1 （Ｄ）}

( ) ^{n z}

ⁿ

（Ｅ）

n

ⁿ⁻¹

z

ⁿ （Ｆ）

n

ⁿ

z

ⁿ⁻¹ （Ｇ）

n

ⁿ

z

ⁿ⁺¹ （Ｈ）

n

ⁿ⁺¹

z

ⁿ

［⑳の選択肢］

（Ａ）

e

^−z （Ｂ）

e

^{−( )z+1} （Ｃ）

e

^−nz _（Ｄ） n z

e

⁻

（Ｅ）

(n ) e

^z

Γ

−

（Ｆ）

( )

) (

1

n e

^z

Γ

+

−

（Ｇ）

(n ) e

^nz

Γ

−

（Ｈ）

(n ) e

ⁿ

z

Γ

−

［㉑の選択肢］

（Ａ）

nt

（Ｂ）

nt

1

（Ｃ）

( ) ^nt

^{n−1 （Ｄ）}

( ) ^nt

ⁿ

（Ｅ）

n

ⁿ⁻¹

t

ⁿ （Ｆ）

n

ⁿ

t

ⁿ⁻¹ （Ｇ）

n

ⁿ

t

ⁿ⁺¹ （Ｈ）

n

ⁿ⁺¹

t

ⁿ

［㉒の選択肢］

（Ａ）

( ) ^{log t}

^{n−1 （Ｂ）}

( ^{− log t} )

^{n−1 （Ｃ）}

( ) ^{log t}

^{n+1 （Ｄ）}

( ^{− log t} )

ⁿ⁺¹

（Ｅ）

( )

) ( log

¹

n t

ⁿ

Γ

−

（Ｆ）

( )

) ( log

¹

n t

ⁿ

Γ

−

⁻

（Ｇ）

( )

) ( log

¹

n t

ⁿ

Γ

+

（Ｈ）

( )

) ( log

¹

n t

ⁿ

Γ

−

⁺

Ⅰ.標準正規分布表

上側ε点 u(ε) から確率εを求める表

u(ε)→ε * = 0 * = 1 * = 2 * = 3 * = 4 * = 5 * = 6 * = 7 * = 8 * = 9 0.0* 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1* 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2* 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3* 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4* 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5* 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6* 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7* 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8* 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9* 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0* 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1* 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2* 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3* 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4* 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5* 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6* 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7* 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8* 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9* 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0* 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1* 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2* 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3* 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4* 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5* 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6* 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7* 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8* 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.9* 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

(

付表

)

(

^{x 0.25}

)

^0.4013

P > =