Chapter 6

(1)

Chapter 6

ロバスト制御

線形制御理論は，状態空間モデルに基づく制御系設計法である。この状態空間モデルは，制御系の設計目的に基づいて適当な仮定の下で制御対象の特性を表現

(

^近似

)

したものである。したがって，その表現が妥当なものであるならば，得られた制御器は制御対象に対して良好に動作すると考えてよい。しかし，場合によっては，状態空間モデルに反映されていない制御対象の特性が閉ループ系の特性に影響を及ぼし，希望した応答が得られないことも起こり得る。もし，

制御器を設計する前に，モデルに正しく表現されていない特性を何らかの形で表現し，それを設計に反映させることができるならば，

このような問題を解決することが可能となる。これをロバスト制御問題と呼び，近年活発な研究が行われている分野の一つである。本章では，このロバスト制御の概要について述べる。

6.1

なぜロバスト制御が必要なのか

最初に，柔軟ビーム振動制御問題を通してロバスト制御の必要性を明確にしよう。

柔軟ビーム振動系に対する状態空間モデルは，発生する振動が無限個の振動モードの重ね合わせとして表現されることに対応して，無限次元をもつことは

1

^{章で示した。これに} 対して，

5

章までで述べた全状態観測器を利用した状態フィードバック制御を構成しようとすると，制御器は無限次元となる。そこで，高次モードを無視した低次元モデル

(3

^次振動モードまでを考慮

)

を柔軟ビームに対する設計モデル^yとみなした。高次振動モードを無視する工学的な背景には，一般の柔軟構造物を考えた場合，そこに発生する振動の支配的なものは低次の振動モードであることや高次になるほど物理パラメータを正確に求めること

y以下，制御系の設計を目的としたものである場合，それを強調するために設計モデルと呼ぶ

{ 6.1 {

(2)

が困難となることなどが挙げられる。

3

次振動モードまでを考慮した設計モデルを改めて次式に示す。

2 66 4

_ x

₁

_ x

₂

_ x

₃

3 77 5 = diag f A

1

; A

2

; A

3

g

2 66 4

x

₁

x

₂

x

₃

3 77 5 +

2 66 4

b

₁

b

₂

b

₃

3 77 5 u

ñ

y = [c

₁

c

₂

c

₃

]

2 66 4

x

1

x

2

x

₃

3 77 5

(6:1)

前章まではこの設計モデルが正しいと考えて観測量を

y

^{としたが，実際には}

4

^{次以上の高} 次振動モードを無視しているという意味で，上式では

y ñ

としていることに注意してほしい。

この設計モデル

(6:1)

に対して構成した制御器を実際の柔軟ビーム振動系に適用した場合を考えてみる。この場合，状態観測器に対する入力は

(ñ y

^ではなく

)

^観測量

y

^{であるため，}

4

次以上の高次振動モードの影響を受け状態推定に誤差が生まれる。さらにその推定値

x ^

に基づいて計算された操作量

u = Ä K x ^

^は，

[b

^T₄

; b

^T₅

; ÅÅÅ ]

^T を通して，設計モデルで考慮していない高次振動モードに影響を及ぼす。そのため，制御器の設計によってはそれらを励起し，閉ループ系が不安定となる場合が起こり得る。この現象をスピルオーバ

(spill-over)

と呼ぶ。設計モデルのもつ不確かさによって生じる不安定現象の典型的な例である。スピルオーバを回避するためには，設計モデルが不確かさをもつ

(

高次振動モードが含まれていない

)

という立場にたって，制御器の設計を行う必要がある。

5

章までに述べた設計法は，状態空間モデルという

1

つの設計モデルに対して構成されたものである。もし，設計モデルが制御対象の特性を十分正しく表現しているとしてよい場合には，それに基づいて設計した制御器は，制御対象に対しても設計者の要求通りに機能することが期待される。しかし，一般に，設計モデルは様々な仮定の下で導出されており，なんらかの不確かさを必ず含む。このことは，あるモデルの集合に対して設計者の要求を満たす制御器を設計することが必要であることを意味する。このような制御問題をロバスト制御問題

(robust control problem)

と呼ぶ。特に，設計要求が閉ループ系の安定性の保証にある場合を，ロバスト安定化

(robust stabilization)

と呼ぶ。柔軟ビームの振動制御におけるスピルオーバ回避の問題はこれに含まれる。線形制御理論は，これまでに多くの制御対象に対して適用されその有効性が示されてきたが，モデリングにおいて避けられないこのような不確かさに対して合理的な取扱いが可能となれば，より実際的な設計法への発展が期待される。ロバスト制御の必要性がここにある。

なお，次節以降ではロバスト制御というよりは

H

¹^制御

(H

¹

control)

^{を主に扱う。これ} は，周波数整形を基本とする

H

¹制御問題は，ロバスト制御問題も含めて非常に広い範囲の問題を扱うことができるためである。

(3)

6.2.

^{数学的準備}

{ 6.3 {

6.2

^{数学的準備}

H

¹制御の議論を始める前の数学的準備として，いくつかの概念を以下にまとめておく。

なお，本章ならびに次章では，状態空間モデル

_

x = Ax + Bu y = Cx + Du

に対する伝達行列

G(s) = D + C(sI Ä A)

^Ä1

B

^{の表記法として，}

G(s) =

2 4 A B

C D

3 5

もしくは，

G(s) = f A; B; C; D g

^{を使用する。}

6.2.1

^{プロパー性}

2

章でも述べたように，伝達関数

G(s)

は多項式の比として与えられる。もし，分母多項式の次数が分子多項式の次数に等しいかまたは高いとき，それをプロパー

(proper)

^な伝達関数と呼ぶ。特に，厳密に分母多項式の方が次数が高い場合には厳密にプロパー

(strictly

proper)

な伝達関数と呼ぶ。直達項のない状態空間モデル

(1

^入出力系

)

_

x = Ax + bu y = cx

に対する伝達関数は厳密にプロパーであり，直達項がある

(y = cx + du)

^{場合はプロパーな} 伝達関数となる。伝達関数

G(s)

がプロパーか厳密にプロパーかの違いは，

s!1

lim G(s)

を求めたときに，前者が

0

以外の定数になるのに対して，後者は

0

^{になることである。}

伝達関数の分子多項式の次数の方が分母多項式のそれよりも大きい場合，ノンプロパー

(non-proper)

な伝達関数と呼ぶ。プロパーな伝達関数は状態空間実現をもつがノンプロパー

な場合，状態空間実現をもたない。

多入出力系の場合，入出力関係は伝達行列で表されるが，その要素すべてが

(

^厳密に

)

^プロパーな伝達関数である場合，

(

^厳密に

)

プロパーな伝達行列と呼ぶ。

6.2.2

^特異値

伝達行列

G(s) 2 R(s)

^rÇm ^の ^特異値

(singular value) õ

i

(!)

^は

õ

_i

(!) = ^q ï

_i

(G

^É

(j!)G(j!)) (i = 1; ÅÅÅ ; m) (6:2)

(4)

で与えられる^y。ここで，

É

^{は複素共役転置}

(G

^É

(j!) = G

^T

( Ä j!))

^，

ï

_i ^{は固有値を意味する。}

特異値の最大

(

^最小

)

^値を^最大

(

^最小

)

^特異値

(maximum(minimum) singular value)

^といい，

ñ

õ (õ )

^{と記述する。行列}

G

^É

(j!)G(j!)

^{はエルミート行列}

(Hermitian matrix)

^であり^z^，その固有値は非負の実数となる。したがって，特異値は実数であり，周波数

!

^{の関数となる。}

また，定義から明らかなように，スカラ伝達関数

G(s)

^{に対しては，特異値}

õ (!)

^とゲイン

j G(j!) j

^{が一致する。}

特異値に関する基本公式のいくつかを以下に示す。なお，

A; B

は適当な大きさの複素行列である。

ñ

õ (A) ï 0 ñ

õ (A) = 0 , A = 0 ñ

õ (A

^Ä¹

) = 1=õ (A) (A

^{が正則であると仮定}

) ñ

õ (A) î I , I Ä A

^É

A ï 0 ñ

õ (AB) î õ ñ (A)ñ õ (B) õ (AB) ï õ (A)õ (B)

(6:3)

6.2.3

^{内部安定性}

2

章で述べたように，系が漸近安定であるための必要十分条件は，システム行列

A

^の極の実部がすべて負であることであった。それでは，図

6:1

に示すフィードバック制御系の漸近安定性を考えてみよう。

＋

- k (s-1)/(s+1)

r y

d u

＋

1/(s-1)

図

6.1

^{内部安定性}

この制御系は，例題

3:6

の直列結合した系に対してゲイン

k(> 0)

^{の比例制御を施した} ものである。これに対して，目標入力

r

^から出力

y

までの閉ループ伝達関数

G

_yr ^を求めると次式が得られる。

y

R(s)

^rÇm は実係数をもつ有理伝達関数を要素としてもつ

r Ç m

次伝達行列の集合を表す。

z

A

^É

= A

の性質をもつ複素行列をエルミート行列と呼ぶ。

(5)

6.2.

^{数学的準備}

{ 6.5 {

G

yr

(s) = k

s + 1 + k (6:4)

この閉ループ伝達関数の極

(

伝達関数に対しては，分母多項式が特性多項式となりその根が極となる

)

の実部は負であるので，閉ループ系が漸近安定であるように思われる。しかし，

例題

3:6

中の式を利用して上図に対する閉ループ系の状態空間モデルを求めると

_

x =

2 4 1 Ä k Ä 1 Ä 2k Ä 1

3 5 x +

2 4 1

2 3 5 r y = [1 0]x

となる。この場合，システム行列

A

^{は不安定な極}

1

をもつので閉ループ系は不安定といえる。両者の違いは，不安定な極と零点の相殺が生じたことが原因である。このように，状態空間モデルにおける漸近安定性と伝達関数におけるそれとの間には若干の相違がある。

これを除去するのが内部安定性

(internal stability)

^{という概念である。}

いま，図

6:1

の閉ループ系に対して，仮想的に外乱

d

を加えたとしよう。そして，

[r d]

^T

から

[y u]

^T までの伝達特性を求めると，

2 4 y

u

3 5 =

2 64 k

s + 1 + k s + 1 (s Ä 1)(s + 1 + k) k(s Ä 1)

s + 1 + k Ä k s + 1 + k

3 75

2 4 r

d

3 5 (6:5)

となり，不安定極

1

をもつ伝達関数が要素として現れる。このとき特性方程式は，

(s Ä

1)(s + 1 + k) = 0

^{で与えられる}^y ので，閉ループ系は不安定であるといえる。このように

仮想外乱入力を考慮した上で考える安定性のことを内部安定性という。内部安定性を考えることによって，状態空間モデルの立場における漸近安定性と伝達関数

(

^行列

)

^{のそれとが} 一致する。なお，以下で安定性といえばこの内部安定性を意味するものとする。一方，最初に述べた目標値

r

^から出力

y

^{，すなわち式}

(6:5)

^の

(1; 1)

要素に注目した安定性を入出力安定性

(input-output stability)

^と呼ぶ。

6.2.4 H ¹

^ノルム

(1)

周波数領域における表現

5

章で述べた最適レギュレータ設計法は，状態量と操作量の重み付き

2

^{乗面積の和を評価} 関数にとり，それを最小にする制御則を決定する設計法であった。

J =

Z

₁

0

(x

^T

Qx + u

^T

Ru) dt ! min:

y伝達行列に対する特性多項式は行列内の要素の分母多項式の最小公倍多項式である

(6)

これに対して，

H

¹制御は漸近安定な伝達行列

(

要素の伝達関数すべてが漸近安定な伝達行

列

)

^に対する

H

¹^ノルム

(H

¹

norm)

と呼ばれる大きさを評価関数とした設計法である。こ

の

H

¹ノルムは次のように定義される。

定義

6. 1 (H

¹^ノルム

)

漸近安定な伝達行列

G(s)

^に対して

H

¹ノルムは次式で与えられる。

k G k

1

= sup

!

ñ õ (G(j!)) (6:6)

ここで，

sup

^は最大値

(

^{正確には上限値}

)

^{を意味する。}

H

¹ノルムの工学的な意味を明確にするために，スカラ伝達関数

G(s)

^に対して

H

¹^ノルムを求めると，次の関係式が得られる。

k G k

1

= sup

!

j G(j!) j (6:7)

このことは，伝達関数

G(s)

^に対して

BODE

線図を描いたときに，その最大ゲインの値が

H

¹ノルムであることを意味している。

Frequency

||G(s)|| _∞

Gain

図

6.2 H

¹^ノルム

あるいはベクトル軌跡を描いたときに，原点からもっとも離れた点までの距離と考えてもよい。上式より任意の

!

に対して次の関係が成り立つことが容易に理解できる。

k G k

1

ï j G(j!) j (6:8)

伝達関数

G(s)

^{にある外乱}

w

を入力した場合の応答を考えてみる。外乱除去という立場からは，

w

に対する応答が小さい方が良好な性能をもつといえる。もし，

w

^が

G(s)

^のゲインの最大値

(

^すなわち

H

¹^ノルム

)

を与える周波数の正弦波外乱であったとすると，他の周波数をもつ外乱が入力する場合に比べて最も大きな出力ゲインが生じる。この意味で，こ

(7)

6.2.

^{数学的準備}

{ 6.7 {

のような外乱を最悪外乱

(worst case disturbance)

^と呼ぶ。

H

¹^{ノルムを評価にとる}

(H

¹^ノルムをできるだけ小さくする

)

ということは，系にとって最悪な外乱に対する特性を低減することをめざしていると言い替えることができる。

(2)

^{時間領域における表現}

(1)

^では

H

¹ノルムの周波数領域における側面をながめたが，時間領域における定義も与えることができる。その準備として，

L

2 ノルムを定義する。

定義

6. 2 (L

₂ ^ノルム

)

時間関数ベクトル

x(t)

^に対して

L

2 ノルム

k x(t) k

² ^{を次式で定義する。}

k x(t) k

2

=

íZ

₁

0

x

^T

(t)x(t)dt

ì

₁₌₂

(6:9)

この

L

₂ ^{ノルムを用いることで}

H

¹ノルムを次のようにも定義できる。

定義

6. 3 (H

¹^ノルム

)

漸近安定な伝達行列

G(s)

をもつ系に対して，有界な

L

₂ ^{ノルムをもつ}

u(t)

^{を入力した} ときの出力を

y(t) (

^{ただし，初期状態は}

0)

^{とする。このとき，}

k G k

1

= sup

u6=0

k y(t) k

2

k u(t) k

2

(6:10)

L

₂ ノルムはその時間関数のもつエネルギに相当するので，

H

¹^ノルムが

1

^{よりも小さい系} は，入力信号のもつエネルギが系を通過することで必ず減少することを意味する。

(3)

^{ブロック行列に対する}

H

¹^ノルム

ç ç ç ç ç ç 2

4 G

₁₁

G

₁₂

G

21

G

22

3 5 ç ç ç ç ç ç

1

î ç (6:11)

であるならば，

k G

ij

k

₁

î ç (i; j = 1; 2) (6:12)

が成り立つ。

6.2.5

^{スモールゲイン定理}

ロバスト安定性に関連する重要な定理としてスモールゲイン定理

(small gain theorem)

がある。本項では，この定理を紹介する。図

6:3

に示すフィードバック制御系を考える。

図中，

G(s)

^ならびに

Å(s)

はいずれも漸近安定な伝達行列とする。このとき，次の定理が成り立つ。

(8)

G(s)

Δ (s)

図

6.3

^{スモールゲイン定理} 定理

6. 1 (

^{スモールゲイン定理}

)

図

6:3

の閉ループ系が漸近安定であるための十分条件は，

k ÅG k

1

< 1 (6:13)

である。

G(s)

がスカラ伝達関数とすると，

H

¹ノルムの性質から，定理中のノルム条件は一巡伝達関数

ÅG

のベクトル軌跡が原点を中心とする単位円内に留まることを意味する。したがって，ナイキストの安定定理から，スモールゲイン定理は閉ループ系の漸近安定性に対して十分条件を意味していることは明らかである。

6.2.6

^{伝達行列の実現}

次に，伝達行列に関するいくつかの演算に対応した状態空間実現を与える。それぞれの導出過程は省略するが，いずれも簡単な計算で確認できるので各自確認してほしい。

(1)

^{逆システム}

伝達行列

G(s)

^が正方

(

^{入出力数が同じ}

)

^{でその直達行列}

D

の逆が存在するとき，逆システムは次式で与えられる。伝達行列は入力

u

^{に対する出力}

y

の伝達特性を与えるものであるが，逆システムは

y

^{を入力としたときに}

u

を出力する系を意味する。

G

^Ä1

(s) =

2 4 A Ä BD

^Ä1

C BD

^Ä1

Ä D

^Ä1

C D

^Ä1

3 5 (6:14)

(2)

^相似変換

相似変換に対して伝達行列が不変であることから，

2 4 T AT

^Ä1

T B CT

^Ä1

D

3 5 =

2 4 A B C D

3 5 (6:15)

(9)

6.2.

^{数学的準備}

{ 6.9 { (3)

^{伝達行列の直列結合}

G ₂ (s) G (s) ₁

図

6.4

^直列結合

伝達行列

G

₁

; G

₂ の直列結合は次式で与えられる

(

^図

6:4

^参照

)

^。

G(s) = G

₁

Ç G

₂

=

2 4 A

1

B

1

C

₁

D

₁

3 5 Ç

2 4 A

2

B

2

C

₂

D

₂

3 5

=

2 66 4

A

₁

B

₁

C

₂

B

₁

D

₂

0 A

₂

B

₂

C

1

D

1

C

2

D

1

D

2

3 77 5

(6:16)

(4)

^{伝達行列の並列結合}

G ₂ (s) G (s) ₁

+ +

図

6.5

^並列結合

伝達行列

G

1

; G

2 の並列結合は次式で与えられる

(

^図

6:5

^参照

)

^。

G(s) = G

1

+ G

2

=

2 4 A

₁

B

₁

C

₁

D

₁

3 5 +

2 4 A

₂

B

₂

C

₂

D

₂

3 5

=

2 66 4

A

₁

0 B

₁

0 A

2

B

2

C

₁

C

₂

D

₁

+ D

₂

3 77 5

(6:17)

(5)

不可制御，不可観測部分の除去

(10)

伝達行列は入出力特性を表すものなので，不可制御や不可観測な部分を除去することができる。たとえば，

2 66 4

A

₁

A

₁₂

B

₁

0 A

₂

0 C

₁

C

₂

D

3 77 5 ;

2 66 4

A

₁

0 B

₁

A

₂₁

A

₂

B

₂

C

₁

0 D

3 77 5 (6:18)

の場合，前者は

A

2 の極が不可制御な極，後者は不可観測な極であるので，いずれも入出力特性を変えることなく次式の伝達行列に低次元化できる。

2 4 A

₁

B

₁

C

₁

D

3 5 (6:19)

6.3 H ¹

ノルム評価に基づく制御系設計仕様

K(s) P(s) -

r e u y

d _y d _u

+

+ +

図

6.6

^{フィードバック制御系}

本節では，前節で定義した

H

¹ノルムを評価関数とすることでどの様な制御問題を考えることができるのかを明らかにする。対象とするフィードバック制御系を図

6:6

^に示す。

ここでは，議論を容易にする目的で，設計モデルならびに制御器はともに

1

^{入出力系であ} り，各伝達関数は

P (s), K(s)

で与えられるものとする。図中，

r; d

y

; d

u

; e; u; y

^{はそれぞれ} 目標入力，観測外乱，入力外乱，誤差，操作量，観測量を意味する。

6.3.1

^感度問題

図

6:6

のフィードバック制御系において，

r

^から

e

^{まで，あるいは}

d

_y ^から

y

^までの閉ループ伝達関数

S(s)

^は，

S(s) = 1

1 + P K (6:20)

で与えられる。これは

5

章でも述べた感度関数である。図の制御系において，たとえば目標値追従制御を考えた場合，感度関数のゲイン特性が小さいほど追従特性がよいことを意味

(11)

6.3. H

¹ノルム評価に基づく制御系設計仕様

{ 6.11 {

する。しかし，不必要に高い周波数帯域まで高い追従性能をもつような設計を行うと，必要以上のアクチュエータの能力を要求することになり，好ましい設計であるとはいえない。

適切な追従帯域は制御目的によって異なるが，通常は低周波数帯域で追従特性がよい，すなわち感度関数のゲインが低いことが要求される。

そこで，設計仕様が，ある伝達関数

W (s)

^{と正の実数}

ç

^を用いて

j S(j!) j < ç j W (j!) j

^Ä1

for all ! (6:21)

と表されたとしよう

(

^図

6:7)

^。

40

20

0

-20

-40

10 -1 10 0 10 1 10 2 10³

Freq.[rad/s]

γ |W(jω )|

^-1

|S(j )| ω

Gain[dB]

図

6.7

^感度問題上式は，

H

¹ノルムの定義を用いると，

k W S k

1

< ç (6:22)

と書き表される。このように感度関数に対する設計仕様は，

H

¹ノルムを使用して表現できることがわかる。上式において，設計モデル

P (s)

^{ならびに設計仕様}

ç; W (s)

^は与えられているので，閉ループ系が漸近安定でノルム条件を満足する制御器

K(s)

^{を設計する問} 題となる。これが感度問題

(sensitivity problem)

^である。

前述のとおり，感度関数は外乱

d

_y ^から出力

y

までの閉ループ伝達関数でもあるので，本問題は外乱抑制の立場からも考えることができる。

6.3.2

^{準感度問題}

次に，

d

_u ^から

y

までの閉ループ特性を考える。これは，柔軟ビーム振動制御問題に対応させることができる。つまり，柔軟ビームには力外乱

d

_u が加わることで振動が発生し，

制御器は柔軟ビームから手に入れた情報

y

に基づいて計算した操作量

(

^力

) u

^{を加える場合}

(12)

である。外乱ならびに操作量がともに力として柔軟ビームに与えられることに注意してほしい。このときの制御目的は，力外乱の影響が柔軟ビームの出力に現れない，言い換えると外乱によって発生した振動が素早く減衰するようにすることである。感度問題の場合と同様に，力外乱

d

_u ^から出力

y

までの閉ループ伝達関数を求めると，

P

1 + P K (6:23)

が得られる。これを準感度関数と呼ぶ。振動が素早く減衰するためには，開ループ系のもつ共振

(

^ゲイン

)

^特性

j P j

^{を制御を行う}

j P=(1 + P K) j

ことによって低減すればよい。そこで，どれだけ低減したいのかをある伝達関数

W (s)

^{で表現したとする}

(

^図

6:8

^参照

)

^。極配置法や最適レギュレータ法の場合，極の位置や重みといった設計パラメータの指定により状態フィードバックゲインを定め，それが十分な性能をもつかどうかを周波数応答で判定した。しかし，準感度問題では，直接低減したい量を重み

W (s)

^{として与えることがで} きる。

100 101 102 103

-40 -20 0 20 40

Freq.[rad/s]

γ |W(s)| -1

|P(s)|

|P/(1+PK)|

Gain[dB]

図

6.8

^{準感度問題} つまり，

å å å å P

1 + P K

å å

å å < ç j W j

^Ä1

for all ! (6:24)

である。前項の感度問題と同様に，この問題も

H

¹ノルムを評価関数として表現できる。

k W P=(1 + P K ) k

₁

< ç (6:25)

これを準感度問題と呼ぶ。

(13)

6.3. H

{ 6.13 {

6.3.3

^{ロバスト安定化}

(1)

本章の初めにも述べたように，モデルに基づく制御系の設計では，設計モデルの良否が制御性能に大きく関係する。設計モデルのもつ不確かさに対しても，性能が保証される

(

^このような性質のことをロバスト性能

(robust performance)

^という

)

^{ことが望ましいが，こ} こでは，不確かさの存在に対して，少なくとも漸近安定性を保証するロバスト安定化について考える。

K (s) P(s) + -

+ + P _Δ (s) Δ (s) _a

図

6.9

加法的不確かさに対するロバスト安定化問題

図

6:9

に示す制御系を考える。図中，

Å

_a

(s)

^は ^{加法的不確かさ}

(additive uncertainty)

^と呼ばれる不確かさを表す伝達関数である。つまり，制御対象の真の伝達特性を

P

_Å

(s)

^とし，

設計モデルの伝達関数を

P (s)

^{とすると，}

P

_Å

(s) = P (s) + Å

_a

(s) (6:26)

という関係が成り立つものとする。たとえば，柔軟ビーム振動制御問題を例にとると，設計モデルで無視した高次振動モードの伝達特性を表しているのが

Å

_a

(s)

^{と考えればよい。}

スピルオーバ問題というのはこの不確かさ

Å

a

(s)

が原因となって引き起こされるものであるから，ロバスト安定化制御の実現はそのままスピルオーバが生じない制御系を意味する。

図

6:9

のブロック線図を等価変換すると，図

6:10

^{が得られる。}

したがって，スモールゲイン定理から，

(a)

K(s)

^が

P (s)

^{を安定化し，}

(b)

k Å

a

K=(1 + P K) k

1

< 1

であるならば，フィードバック制御系がロバスト安定であることがいえる。ところで，

(b)

の条件において，

Å

_a

(s)

は高次の動特性であるか，もしくは実験などから数値データとして与えられ，このままでは設計が困難となる場合がある。そのときは，

j Å

a

j < j R

a

j f or all ! (6:27)

というゲイン条件

(

^図

6:11)

を満足する漸近安定な伝達関数

R

_a

(s)

^{を利用して，}

(14)

P(s)

-K(s) + + Δ _a (s)

図

6.10

^等価変換

(b)

⁰

k R

_a

K=(1 + P K) k

1

< 1

という

(

^{より保守的な}

)

条件で代用すればよい。

102 10 3

-40 -20 0 20 40

Freq.[rad/s]

|Ra(s)|

∆ a(s)

| |

Gain[dB]

図

6.11

加法的不確かさに対するロバスト関数

上式は，設計モデルの不確かさが大きい周波数帯域，すなわち

j R

a

j

^{が大きい周波数帯域で} は，制御器

K(s)

のゲインをその大きさに対応して低くすることでロバスト安定性が保証されることを意味している。たとえば，スピルオーバが問題となる無視した振動モードの周波数帯域では，制御器のゲインを積極的に低減することによって，高次振動モードを励起しないようにすればよいことになる。この考えは，適当なローパスフィルタを利用することで簡単に実現できるかもしれないが，不確かさに対してどの程度のゲインの低下が必要なのかを定量的に明確にしている点で重要性がある。

以上では，不確かさの表現方法として加法的な場合を考えたが，乗法的な不確かさ

(mul-

tipricative uncertainty)

を考えることもできる。

(15)

6.3. H

{ 6.15 {

P

_Å

(s) = (1 + Å

_m

(s))P (s) (6:28)

加法的不確かさの場合

Å

_a

= P

_Å

Ä P

で表されるのに対して，乗法的な場合は上式からもわかるとおり，

Å

_m

= P

_Å

Ä P P

となる。このことから，乗法的不確かさは設計モデル

P

に対する相対的な不確かさの表現であることがわかる。

K(s) P(s) + -

+ P _Δ (s) Δ (s) _m

+

図

6.12

乗法的不確かさに対するロバスト安定化問題

図

6:12

は乗法的不確かさを表現するブロック線図であるが，これに対して加法的不確かさの場合と同様にすることで，

(b)

⁰ に相当する条件が得られる。

(b)

⁰⁰

k R

_m

P K=(1 + P K) k

1

< 1 (6:29)

上式中，

R

_m ^{は乗法的不確かさ}

Å

_m ^に対して

j Å

m

j < j R

m

j for all !

を満足する漸近安定な伝達関数である。

なお，以下では

R

a

; R

m をロバスト関数

(robust function)

^と呼ぶ。

6.3.4

^{ロバスト安定化}

(2)

前項で紹介したロバスト安定化問題は，制御対象の入出力特性

(

^伝達関数

)

^{に注目した不} 確かさに対するものであったが，もう一つの扱い方がある。磁気浮上系を例としてこのことについて考えてみよう。

磁気浮上系の設計モデルを定めるパラメータは状態空間モデル中の

ã; å

^{である。これ} らの値は，実験等により得られるが，正確に決定することは困難な作業であり，必ず誤差

(16)

を伴う。また，平衡点の移動や経年変化などにより値が変動するかもしれない。つまり，

ã

_real

; å

_real ^{を真の値とし，}

ã

_n

; å

_n を設計に使用する値であるとすると，

ã

_real

= ã

_n

+ é

_ã

(t) å

_real

= å

_n

+ é

_å

(t)

なお，

é

ã

(t); é

å

(t)

のそれぞれの変動幅は見積もることが可能であるとする。すなわち，

j é

ã

j î é

_ãmax

; j é

_å

j î é

_åmax ^であり，

é

_ãmax

; é

_åmax は既知とする。このとき，真の値を用いた状態方程式は次式のように表される。

_ x =

0 @ 2

4 0 1 ã

_n

0 3 5 + Å

_A

1 A x +

0 @ 2 4 0

å

_n

3 5 + Å

_b

1 A u

ここで，

Å

A

=

2 4 0 0

é

ã

(t) 0

3 5

Å

_b

=

2 4 0

é

å

(t)

3 5

この場合，行列

A; b

のどの部分にどの程度の大きさの不確かさがあるのかという情報を

Å

A

; Å

b がもつ。この意味で，このような不確かさを構造的不確かさ

(structured uncertainty)

と呼ぶ。一方，前項で述べた入出力特性に基づく不確かさを非構造的不確かさ

(unstructured uncertainty)

^と呼ぶ。

構造的不確かさをもつ系の一般的な形を次式に示す。

_

x = (A

_n

+ Å

_A

(t))x + (B

_n

+ Å

_B

(t))u

y = (C

_n

+ Å

_C

(t))x (6:30)

ここで，

(A

_n

; B

_n

; C

_n

)

^{が設計モデルを，}

(Å

_A

(t); Å

_B

(t); Å

_C

(t))

がそれぞれの不確かさを意味する。時変の不確かさを与えているところに注意してほしい。

上式における設計モデル

(A

_n

; B

_n

; C

_n

)

^{と不確かさの構造}

(

不確かさの場所と大きさ

)

^に基づいて，不確かさの存在に対しても漸近安定性を保証する制御器の設計問題が構造的不確かさに対するロバスト安定化問題である。本問題は，

2

^次安定化

(quadratically stabilization)

制御問題の立場から議論されている

[2]

^。ここで

2

次安定化制御について簡単に触れておく。

もし，適当な

n

^{次正定行列}

P > 0

^{に対して関数}

V (x) = x

^T

P x (6:31)

を考えたときに，その時間微分が不確かさに依存せずに

V _ î Ä ã k x k

²

(6:32)

(17)

6.3. H

{ 6.17 {

となる定数

ã> 0

^{が存在するとき，系が}

2

次安定であるという。ここで，

k x k

^{はベクトル}

x

のノルムを意味する。また，ある制御器を用いて構成したフィードバック制御系が

2

^次安定であるならば，その制御器を

2

次安定化制御器と呼ぶ。式

(6:31)

^{は系内にあるエネル} ギに相当すると考えられるので，もし，式

(6:32)

^{を満足する}

ã

が存在すれば，系内のエネルギは不確かさに依存せずに

0

に向かうことが保証される。いま，正定行列

P

^の最大固有値と最小固有値をそれぞれ

c

1

; c

2 とすると，式

(6:31)

^より

c

₁

k x k

²

î V (x) î c

₂

k x k

² を得る。これと式

(6:32)

^より

V _ î Ä ã k x k

²

î Ä (ã=c

₂

)V (x)

から

V (x) î V (x(0))e

^Ä(ã=c²^)t を得る。この式は

k x(t) k î

s c

₂

c

1

k x(0) k e

^Ä(ã=2c²^)t

(6:33)

であることを意味している。これより，定数

ã

^{は状態量の大きさ}

k x k

^{の減衰度を表して} いることがわかる。

構造的不確かさは，不確かさに対する情報が構造という意味でより詳しく手に入れることができる反面，柔軟ビーム振動系のように制御対象と設計モデルとの間に次数の変動があるような場合に適用できない。

6.3.5

^{混合感度問題}

これまで述べてきた問題は，制御性能に関するもの

(6:3:1; 6:3:2)

^{とロバスト安定性に関}

するもの

(6:3:3; 6:3:4)

に大別できるが，通常の制御問題では，設計モデルに不確かさが存

在する中での制御性能の改善が要求される。したがって，上述の問題を単独で用いるよりはむしろ混合させることが実際の要求に即した問題といえる。これらにはいくつかの組み合わせが考えられるが，その代表的なものを挙げておく。

(1)

感度問題＋乗法的不確かさに対するロバスト安定化問題

乗法的不確かさに対するロバスト安定化に関連した閉ループ伝達関数

T = P K=(1 + P K)

と感度関数

S

との間には次式に示す関係がある。

S + T = 1 (6:34)

(18)

このため，

T

^のことを ^{相補感度関数}

(complementary sensitivity function)

^{という。上式は} 重要な関係を意味している。それは，制御性能とロバスト安定性との間のトレードオフである。つまり，制御性能を高めたい

( j S j ú 1)

^{周波数帯域では，}

T ô 1

^{となるが，これは} 不確かさを許容できないことを意味する。逆に，不確かさが大きい

( j T j ú 1)

^{周波数帯域} では，感度

S

の低減ができない。言い替えると，性能を高めたい帯域の設計モデルはできるだけ正確に求める必要があることになる。たとえば柔軟ビーム振動制御問題では，少なくとも性能を改善したい振動モードまでは正しくモデリングしなければならない

(

^この場合は，正しくパラメータ同定しなければならない

)

^{ことを意味する。}

幸いなことに，一般の制御問題において，性能を改善したい周波数帯域は低周波数，設計モデルの不確かさが多い帯域は高周波数である場合が多いので，これらのトレードオフを適切な周波数重みを利用することで考慮することができる。

10-1 10 0 101 102 10 3

-40 -20 0 20 40

Freq.[rad/s]

| WS | -1

| WT | -1

|S| |T|

γ γ

Gain[dB]

図

6.13

^{混合感度問題} つまり，

ç ç ç ç ç ç 2 4 W

_S

S

W

_T

T

3 5 ç ç ç ç ç ç

1

< ç (6:35)

このノルム条件を満足する制御器を設計することができれば，

H

¹^{ノルムの性質から}

k W

_S

S k

1

< ç; k W

_T

T k

1

< ç (6:36)

となり，制御性能ならびにロバスト安定性をともに満足する制御器を得ることができる。

このような制御問題のことを混合感度問題

(mixed sensitivity problem)

^という。

(19)

6.4. H

¹^{標準問題とその解法}

{ 6.19 {

6.4 H ¹

^{標準問題とその解法}

前節では

H

¹ノルムを評価関数とすることにより，様々な問題に対する設計仕様が表現できることを見てきた。いずれの評価関数もできるだけ小さくなることが望ましい設計を意味する。本節では，これらの設計問題の骨格となる

H

¹制御問題を定義し，それに対する解を与える。

6.4.1 H ¹

^制御問題

G(s)

K(s)

w z

u y

図

6.14

^{一般化制御問題}

図

6:14

に示すブロック線図を考える。図中の記号ならびに各次元は以下に示すとおりである。

w:

^外生信号

( 2 R

^nw

)

外乱や目標値など制御器が出力する以外の信号。

u:

^操作量

( 2 R

^nu

)

制御器が出力する信号。

z:

^制御量

( 2 R

^nz

)

制御目的は，ある信号を小さくすることで表すことができ，それらをまとめたもの。

たとえば，トラッキング問題では誤差であり，外乱抑制問題では抑制の対象となる出力。

y:

^観測量

( 2 R

^ny

)

適当なセンサにより制御器が直接手に入れることのできる量。

G(s):

^{一般化制御対象}

( 2 R(s)

(nz+ny)Ç(nw+nu)

)

一般化の意味については後述するが，

H

¹^{制御問題における}

G(s)

^{を設計モデル}

P (s)

と区別する意味で，以下このように呼ぶ。

(20)

K(s):

^制御器

( 2 R(s)

^nuÇny

)

一般の制御問題では，外乱と操作量の作用の仕方や観測できる量と制御したい量が異なることが多くある。したがって，上図はフィードバック制御系の一般的なフレームワークを与えているといえる。

図

6:14

^{の一般化制御対象}

G(s)

^は

2

^{つの入力と}

2

^つの出力

(

^{それぞれがベクトル}

)

^をもつ。それぞれの

(

^{ベクトルの}

)

^大きさ

(nz; ny; nw; nu)

に対応してブロック伝達行列表現すると，

z = G

₁₁

w + G

₁₂

u

y = G

₂₁

w + G

₂₂

u (6:37)

となる。上式に対して

u = K(s)y

^{の関係を代入して，}

w

^から

z

までの閉ループ伝達行列

à(s)( 2 R(s)

^nyÇnw

)

を求めると，簡単な計算から

à = G

11

+ G

12

K(I

ny

Ä G

22

K )

^Ä1

G

21

(6:38)

を導くことができる。なお，上式において

I

_ny

Ä G

₂₂

K

の逆行列が必ずしも存在するとはいえないが，以下では存在すると仮定する。このような性質を

well-posedness

^という。

次に時間領域表現を与える。

_

x = Ax + B

₁

w + B

₂

u z = C

₁

x + D

₁₁

w + D

₁₂

u y = C

₂

x + D

₂₁

w + D

₂₂

u

(6:39)

ここで，

A 2 R

^nÇn

簡単な計算から，次の関係が成り立つことを示せる。

G

_ij

=

2 4 A B

_j

C

_i

D

_ij

3 5 (i; j = 1; 2) (6:40)

なお，以下では

D

₂₂

= 0

とする。この仮定下では，

G

₂₂ が厳密にプロパな伝達行列となるので，

well-posedness

^{は必ず満足される。}

以上の準備の下に，

H

¹

(

^準最適^y

)

^{制御問題を与える。}

定義

6. 4 (H

¹^制御問題

)

図

6:14

に示すフィードバック制御系に対して，

(a)

閉ループ系が内部安定であり，

k à(s) k

1

< ç (6:41)

y閉ループ伝達行列

à(s)

^の

H

¹ノルムの最小値を与える制御器を求める問題を最適制御問題と呼ぶ。以下では，与えられた正の実数

ç

未満となる設計問題を考えており，準最適問題である

(21)

6.4. H

¹^{標準問題とその解法}

{ 6.21 {

を満足する制御器

K(s)

が存在するかどうかを判定し，

(b)

もし存在するならば，すべて見つけよ。

ここで

ç

は，設計者が与える正の実数値である。

定義からもわかるとおり，

H

¹^{制御問題では，制御器}

K(s)

が存在しない可能性がある。

線形制御理論に基づいて得られる制御器

(

^{状態観測器}

+

状態フィードバックの構造をもつ

)

では，状態空間モデルが可制御性ならびに可観測性を満足していれば，必ず何らかの

(

^安定化

)

制御器を設計することができた

(

決して設計者のすべての要求を満たしているわけではないが

)

^{。しかし，}

H

¹制御問題では，制御器は閉ループ系の内部安定性を保証するだけではなく

H

¹ノルム条件も満足しなければならない。そのため，制御器が存在しないという解があり得る。

6.4.2 H ¹

^{標準問題の解法}

この

H

¹^{制御問題に対して，}

1988

^年に

Glover & Doyle

によって提案されたアルゴリズ

ム

(G&D

^{アルゴリズム}

)

^{を次に紹介する}

[3]

。なお，このアルゴリズムは以下に示す仮定が

成り立つ一般化制御対象に対して制御器を計算するもので，このときの問題を特に

H

¹^標準問題

(H

¹

standard problem)

^と呼ぶ。

A1) (A; B

₂

)

^{が可安定，}

(C

₂

; A)

^{が可検出。}

A2) D

₁₂ ^{が列フルランク，}

D

₂₁ が行フルランクをもつ。

A3)

^任意の

!

^に対して

2 4 A Ä j!I

_n

B

₂

C

₁

D

₁₂

3

5

が列フルランク

,

2 4 A Ä j!I

_n

B

₁

C

2

D

21

3

5

が行フルランクをもつ。

これらの仮定の意味については次項で述べる。また，以降の表記を簡単にするため，

A4) D

₁₂

=

2 4 0

I

_nu

3 5 ; D

₂₁

= [0 I

_ny

]

とし，この分割に対応して，

D

₁₁ を次式のようにブロック行列表現する。

D

₁₁

=

2 4 D

₁₁₁₁

D

₁₁₁₂

D

₁₁₂₁

D

₁₁₂₂

3

5

さらに，次の行列を定義する。

(22)

R = D

_1è^T

D

_1è

Ä

2 4 ç

²

I

_nw

0 0 0

3 5 ; R ~ = D

_è₁

D

_è^T₁

Ä

2 4 ç

²

I

_nz

0 0 0

3 5

F

_I

=

2 66 4

2 4 F

11

F

₁₂

3 5

F

₂

3 77 5 = Ä R

^Ä1

[D

^T_1è

C

₁

+ B

^T

X

₁

]

H

_I

= [[H

₁₁

H

₁₂

] H

₂

] = Ä [B

₁

D

^T_è₁

+ Y

₁

C

^T

] ~ R

^Ä1 ここで，

D

_1è

= [D

₁₁

D

₁₂

]; D

_è₁

=

2 4 D

11

D

21

3 5

であり，

X

₁

; Y

₁ ^{は次に示す}

Riccati

^方程式の

(

^安定化

)

^{解である。}

X

₁

= Ric

8 <

: 2

4 A 0

Ä C

₁^T

C

₁

Ä A

^T

3 5 Ä

2 4 B

Ä C

^T

D

_1è

3 5 R

^Ä1

[D

^T_1è

C

1

; B

^T

]

9 =

;

Y

₁

= Ric

8 <

: 2

4 A

^T

0 Ä B

1

B

₁^T

Ä A

3 5 Ä

2 4 C

^T

Ä B

1

D

^T_è₁

3 5 R ~

^Ä1

[D

_è₁

B

₁^T

; C ]

9 =

;

(6:42)

最適レギュレータ問題の場合とは異なり，ハミルトン行列の

(1; 2)

^{ブロックならびに}

(2; 1)

ブロックは不定

(

正定とも負定ともいえない

)

であるために安定化解の存在が必ずしも保証されないことに注意してほしい。

定理

6. 2 (H

¹^{標準問題の解}

)

(a)

^仮定

A1) ò A4)

^{の下で，与えられた}

ç> 0

^に対して

H

¹^{標準問題の解}

(H

¹^制御器

)

が存在するための必要十分条件は，

(i) ç ï max(õ [D

₁₁₁₁

; D

₁₁₁₂

]; õ [D

₁₁₁₁^T

; D

^T₁₁₂₁

])

(ii) Riccati

^方程式

(6:42)

^{の準正定解}

X

₁

ï 0; Y

₁

ï 0

^{が存在し，}

ö (X

₁

Y

₁

) < ç

²

をともに満足することである。

(b) (a)

の条件を満足するとき，

H

¹^{制御器のすべては}

K(s) = K

₁₁

+ K

₁₂

U (I

_ny

Ä K

₂₂

U )

^Ä1

K

₂₁

(6:43)

で与えられる。上式において

U(s)

は制御器の自由度を表すパラメータで，

k U k

1

< ç

を満足する漸近安定な伝達行列である。また，

K

_ij は，次式で与えられる。